千文網(wǎng)小編為你整理了多篇相關的《函數(shù)極限證明(范文2篇)》，但愿對你工作學習有幫助，當然你在千文網(wǎng)還可以找到更多《函數(shù)極限證明(范文2篇)》。
第一篇：函數(shù)極限
《數(shù)學分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
第三章 函數(shù)極限
教學目的：
1.使學生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限
和
，并能熟練運用；
4.理解無窮小（大）量及其階的概念，會利用它們求某些函數(shù)的極限。 教學重（難）點：
本章的重點是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計算；難點是海涅定理與柯西準則的應用。
教學時數(shù)：16學時
§ 1 函數(shù)極限概念 （3學時）
教學目的：使學生建立起函數(shù)極限的準確概念；會用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關命題。
教學要求：使學生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會應用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關命題，并能運用???語言正確表述函數(shù)不以某實數(shù)為極限等相應陳述。
教學重點：函數(shù)極限的概念。
教學難點：函數(shù)極限的???定義及其應用。
一、復習：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等
二、講授新課：
（一） 時函數(shù)的極限：
- 21 《數(shù)學分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
例4 驗證
例5 驗證
例6 驗證
證 由 =
為使
需有
需有
為使
于是, 倘限制 , 就有
例7 驗證
例8 驗證 ( 類似有
（三）單側(cè)極限:
1．定義：單側(cè)極限的定義及記法. 幾何意義: 介紹半鄰域
- 23 《數(shù)學分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
我們引進了六種極限: .以下以極限
,
為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.
二、講授新課：
（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.
1.唯一性:
2.
局部有界性:
3.
局部保號性:
4.
單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ):
Th 4 若使 ，證 設
和都有 =
( 現(xiàn)證對 都存在, 且存在點
的空心鄰域
,
有
註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有
5.6. 以
迫斂性:
”為“ 舉例說明.
”, 未必
四則運算性質(zhì): ( 只證“+”和“ ”)
（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個極限：
- 25 《數(shù)學分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
例8
例9
例10 已知
求和
補充題:已知
求和 (
) § 3 函數(shù)極限存在的條件（4學時）
教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數(shù)極限的存在性。 教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，領會其實質(zhì)以及證明的基本思路。 教學重點：海涅定理及柯西準則。 教學難點：海涅定理及柯西準則 運用。
教學方法：講授為主，輔以練習加深理解，掌握運用。 本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個充要條件.仍以極限
為例.
一.
Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系：
Th 1 設函數(shù)在,對任何在點
且
的某空心鄰域
內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.( 證 )
存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關系,是證明極限不存在的有力工具.對單側(cè)極限,還可加強為
單調(diào)趨于
.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.
- 27 《數(shù)學分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
教學難點：兩個重要極限的證明及運用。
教學方法：講授定理的證明，舉例說明應用，練習。 一．
（證） （同理有
）
例1
例2 .例3
例4
例5 證明極限 不存在.二.
證 對
有
例6
特別當 等.例7
例8
- 28
29 《數(shù)學分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
三． 等價無窮?。?/p>
Th 2 ( 等價關系的傳遞性 ). 等價無窮小在極限計算中的應用: Th 3 ( 等價無窮小替換法則 )
幾組常用等價無窮小: （見[2]）
例3 時, 無窮小
與
是否等價? 例4
四.無窮大量:
1.定義:
2.性質(zhì):
性質(zhì)1 同號無窮大的和是無窮大.
性質(zhì)2 無窮大與無窮大的積是無窮大. 性質(zhì)3 與無界量的關系.
無窮大的階、等價關系以及應用, 可仿無窮小討論, 有平行的結(jié)果.
3.無窮小與無窮大的關系:
無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大
習 題 課（2學時）
一、理論概述：
- 31 《數(shù)學分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
例7 .求
.注意 時, 且
.先求
由Heine歸并原則
即求得所求極限
.
例8 求是否存在.
和.并說明極限
解 ;
可見極限 不存在.
- - 32
高數(shù)極限證明
重要極限證明
極限證明（共8篇）
證明函數(shù)fx
凸函數(shù)證明
第二篇：函數(shù)極限的定義證明
習題1?3
1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:
(1)lim(3x?1)?8;x?3
(2)lim(5x?2)?12;x?2
x2?4??4;(3)limx??2x?2
1?4x3
(4)lim?2.
x??2x?12
1證明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3
1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33
1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5
1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25
(3)分析
|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2
x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2
(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222
1?4x3111?4x3
?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:
(1)lim1?x3
2x3
sinxx???1;2(2)limx???x?0.
證明 (1)分析
|x|?1
1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.
證明 因為?? ?0, ?X?(2)分析
sinxx?0?
12?
, 當|x|?X時, 有1x
1?x32x311?x31???, 所以lim?.
x??2x322
1x
??, 即x?
sinxx
|sinx|x
?, 要使
sinx
證明 因為???0, ?X?
?2
, 當x?X時, 有
xsinxx
?0??, 只須
?
.
?0??, 所以lim
x???
?0.
3.當x?2時,y?x2?4.問?等于多少, 使當|x?2|\n
解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要
|x?2|?
0.001
?0.0002, 取??0.0002, 則當0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0.001.5
x2?1x?
34.當x??時, y?
x2?1x2?3
?1, 問X等于多少, 使當|x|>X時, |y?1|\n
解 要使?1?
4x2?3
?0.01, 只|x|?
?3?397, X?.0.01
5.證明函數(shù)f(x)?|x| 當x?0時極限為零.
x|x|
6.求f(x)?, ?(x)?當x?0時的左﹑右極限, 并說明它們在x?0時的極限是否存在.
xx
證明 因為
x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??
x?0
x?0
所以極限limf(x)存在.
x?0
因為
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
|x|?x
?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
lim?(x)?lim?(x),??
x?0
x?0
所以極限lim?(x)不存在.
x?0
7.證明: 若x???及x???時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則limf(x)?A.
x??
證明 因為limf(x)?A, limf(x)?A, 所以??>0,
x???
x???
?X1?0, 使當x??X1時, 有|f(x)?A|?? ;?X2?0, 使當x?X2時, 有|f(x)?A|?? .
取X?max{X1, X2}, 則當|x|?X時, 有|f(x)?A|?? , 即limf(x)?A.
x??
8.根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.
證明 先證明必要性.設f(x)?A(x?x0), 則??>0, ???0, 使當0\n
|f(x)?A|\n
因此當x0??\n
|f(x)?A|\n
這說明f(x)當x?x0時左右極限都存在并且都等于A .再證明充分性.設f(x0?0)?f(x0?0)?A, 則??>0,??1>0, 使當x0??10, 使當x0\n
取??min{?1, ?2}, 則當0\n
| f(x)?A|\n
即f(x)?A(x?x0).
9.試給出x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.
解 x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當x??時的極限存在? 則存在X?0及M?0? 使當|x|?X時? |f(x)|?M?
證明 設f(x)?A(x??)? 則對于? ?1? ?X?0? 當|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?
這就是說存在X?0及M?0? 使當|x|?X時? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|?
