千文網(wǎng)小編為你整理了多篇相關(guān)的《函數(shù)極限證明》，但愿對(duì)你工作學(xué)習(xí)有幫助，當(dāng)然你在千文網(wǎng)還可以找到更多《函數(shù)極限證明》。

第一篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會(huì)

|Xn+1-A|

以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|Xn-A|

|Xn-1-A|

……

|X2-A|

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|

2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1

設(shè)x(k)

x(k+1)=√

3當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對(duì)于數(shù)列n*a^n，其極限為0

4

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個(gè)9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個(gè)忙。。。Lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實(shí)質(zhì)就是計(jì)算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進(jìn)去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會(huì)學(xué)的)

第三題，n趨于無窮時(shí)1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對(duì)不對(duì)呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第二篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限 求極限我會(huì)

|Xn+1-A|

|X2-A|

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②證明{x(n)}有上界。 x(1)=1

x(k+1)=√[2+3x(k)]1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分別求導(dǎo)) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，對(duì)于數(shù)列n*a^n，其極限為0 4 用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞

(3)lim[根號(hào)(n+1)-根號(hào)(n)]=0 n→∞

(4)lim0.999…9=1 n→∞ n個(gè)9 5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個(gè)忙。。。Lim就省略不打了。。。

第三篇：函數(shù)極限

習(xí)題

1.按定義證明下列極限:

(1) limx???6x?5=6 ;(2) lim(x2-6x+10)=2; x?2x

x2?5?1 ;(4) lim?(3) lim2x???x?1x?2

(5) limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據(jù)定義2敘述limf (x) ≠ A.x?x0

3.設(shè)limf (x) = A.,證明limf (x0+h) = A.x?x0h?0

4.證明:若limf (x) = A,則lim| f (x)| = |A|.當(dāng)且僅當(dāng)A為何值時(shí)反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數(shù)在x0→0 時(shí)的極限或左、右極限: (1)f(x)=x

x;(2) f(x) = [x]

?2x;x?0.?(3) f (x)=?0;x?0.

?1?x2,x?0.?

7.設(shè) limf (x) = A,證明limf (x???x?x01) = A x

8.證明:對(duì)黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR (x) = 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時(shí),考慮單側(cè)極限).x?x0

習(xí)題

1． 求下列極限：

x2?1 （1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim; ?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3) lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5) limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70

；

20

a2?x?a?3x?6??8x?5?.

（a>0）;(8) lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限： (1) lim

x???

x?cosxxsinx

;(2) lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設(shè) limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當(dāng)B≠0時(shí)) g(x)B

4． 設(shè)

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，

其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0\n

x?0

7.設(shè)limf(x)=A, limg(x)=B.

x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x) > g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）： (1) lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3) lim ;(4) lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5) lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf (x3)存在，則limf (x)= lim f (x3)（2）若limf (x2)存在，試問是否成立limf (x) =limf (x2) ?

x?0

x?0

x?0

習(xí)題

1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.

n???

n???

2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在

n???

[a,+?)上有上(下)界.

3.(1)敘述極限limf (x)的柯西準(zhǔn)則;

n???

(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf (x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.

n???

n???

4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對(duì)任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.

提示: 參見定理3.11充分性的證明.

5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0) =supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff (x)

6.設(shè) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.

x?x0

7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習(xí)題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1) lim;(2) lim

x?0x?0sinx2x

(3) lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5) lim;(6) ; 3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7) limxsin ;(8) lim;

x???x?axx?a

;(4) lim

x?0

tanx

; x

?cosx2

(9) lim;(10) lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1) lim(1?);(2) lim?1?ax?x(a為給定實(shí)數(shù));

n??x?0x

x

(3) lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4) lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5) lim(

x???

3x?22x?1?

);(6) lim(1?)?x(?,?為給定實(shí)數(shù))

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計(jì)算下列極限: (1) limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習(xí)題

1． 證明下列各式

(1) 2x－x2=O(x) (x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1) (x→0);

(4) (1+x)n= 1+ nx+o (x) (x→0)(n 為正整數(shù)) (5) 2x3 + x2=O(x3)(x→∞) ;

(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x→x0)

(7) o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0) 2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1) lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1) y = ;(2) y = arctan x ;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時(shí)為同階無窮小量：

(1) sin2x－2sinx ;(2)

－ (1－x); 1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時(shí)為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2 (2+sinx);

(3) (1+x)(1+x2)…(1+xn).

7． 證明：若S為無上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時(shí)的無窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時(shí)的無窮大量。

9． 設(shè) f(x)~g(x) (x→x0)，證明：

f ( x )－g ( x ) = o ( f ( x ) )或 f ( x )－g ( x ) = o ( g ( x ) )

總 練 習(xí) 題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1) lim;(2)??

x?3

x?1

(3) lim(

x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4) lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6) lim

?x??x?x??x

x?0

(7) lim?

n??m

,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：

?x2?1?

(1) lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3) limx

(2) lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：

(1) limf(x)?f(2)；(2) limf(x)不存在。

4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點(diǎn)x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的

x?x0

局部保號(hào)性有矛盾嗎？

5． 設(shè)limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設(shè)f (x)=x cos x。試作數(shù)列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0 (n→∞); (2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0 (n→∞); (3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0 (n→∞).

7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數(shù)列：

(1) liman?r?1

n??

(2) lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：

(1) lim?1?

?n??

?1??1??(2) lim?1??

n??n??n?

9． 設(shè)liman???，證明

n??

(1) lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：

(1)limn!(2) lim

n??

In(n!)

n??n

11.設(shè)f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f (x0－0) =

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f (x2) = f (x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x

第四篇：函數(shù)極限證明

函數(shù)極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當(dāng)x>N1,有a/MN2時(shí)，0Ni時(shí)，0

那么當(dāng)x>N,有

(a/M)^n

第五篇：導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用舉例

江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 學(xué)士學(xué)位論文

導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用舉例

Examples of applications of the derivative

and differential

姓 名：吳文才

學(xué) 號(hào)：0707010193

學(xué) 院：數(shù)信學(xué)院

專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

班 級(jí)：07數(shù)學(xué)（3）班

指導(dǎo)老師：桂國祥 (講師）

完成時(shí)間：2011年2月22日

導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用

吳文才

【摘要】本文通過對(duì)導(dǎo)數(shù)與微分的基本理論來解決數(shù)學(xué)中的相關(guān)問題，通過例題從簡單應(yīng)用和綜合應(yīng)用來說明導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用，如在函數(shù)單調(diào)性、極值，不等式證明、實(shí)際問題應(yīng)用介紹，還有在高等數(shù)學(xué)中運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與微分求不定式極限的介紹。同樣在實(shí)際中利用微分把非線性函數(shù)線性化，復(fù)雜的計(jì)算簡單化，把導(dǎo)數(shù)引入經(jīng)濟(jì)學(xué), 使經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的對(duì)象從常量進(jìn)入變量, 可以說運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)學(xué),, 辯證法進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)學(xué), 這在經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展史上具有重要的意義。來說明導(dǎo)數(shù)與微分的重要性，以及在數(shù)學(xué)生活領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 微分 函數(shù) 極值 近似值

Examples of applications of the derivative and differential

Wu wen cai

【Abstract 】 Based on the basic theories of differential and derivative, this paper aims to solve the questions related in mathematics and make an illustration of the application of derivative and differential through the simple application and comprehensive application by instances, such as introduction of application in functional monotonic, extreme, inequality proof and practical questions, and to introduce the methods of using derivatives and differential in higher mathematics to solve questions of quadrate infinitive limit. As well as mineralizing the nonlinear function and the simplification of complex calculation by differential in practice, introducing derivative into the economics research to turn the objects from constant into variables, thus movements and dialectics entering economics, which is a landmark with a vital significance in the history of Economics. The importance of derivative and differential, along with the wide application in mathematics and daily life will both be illustrated in this paper.

【Keywords 】derivative differentia functions extreme approximation

目錄

1 引言 . ............................................................. 1

2 預(yù)備知識(shí) . ......................................................... 2

3導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用 .................................................. 6

3.1導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用 . .......................................... 6

3.1.1求函數(shù)極值和最值 ....................................... 6

3.1.2求函數(shù)的解析式 ......................................... 8

3.1.3判斷函數(shù)的周期性，奇偶性 ............................... 9

3.1.4求曲線的切線 ........................................... 9

3.1.5導(dǎo)數(shù)的定義求極限 ...................................... 11

3.2導(dǎo)數(shù)解決不等式問題 . ......................................... 12

3.2.1構(gòu)造輔助證明不等式 .................................... 12

3.2.2構(gòu)造輔助求不等式參數(shù)的范圍 ............................ 14

3.2.3微分中值定理解決不等式問題 ............................ 14

3.3 洛必達(dá)法則求未定式的極限 ................................... 16 03.3.1型不定式極限 . ........................................ 16 0

∞3.3.2型不定式極限 ........................................ 17 ∞

3.3.3其他類型不定式極限 .................................... 18

3.4微分在近似值中的應(yīng)用 . ....................................... 19

3.4.1計(jì)算函數(shù)的近似值 ...................................... 19

3.4.2誤差估計(jì) .............................................. 20

3.5導(dǎo)數(shù)與微分證明恒等式 . ....................................... 20

3.6導(dǎo)數(shù)與微分探究方程根的存在性或唯一性 . ....................... 21

3.7導(dǎo)數(shù)與微分的綜合應(yīng)用 . ....................................... 23

3.7.1導(dǎo)數(shù)與微分的實(shí)際問題建模 .............................. 23

3.7.2導(dǎo)數(shù)在微觀經(jīng)濟(jì)中的簡單應(yīng)用 ............................ 26

4小結(jié) ............................................................. 27

參考文獻(xiàn) . .......................................................... 28

1 引言

導(dǎo)數(shù)與微分的知識(shí)和方法在數(shù)學(xué)的許多問題上，能起到以簡馭繁的作用，尤其體現(xiàn)在判定函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，曲線的切線，證明不等式，恒等式，研究函數(shù)的變化形態(tài)及函數(shù)作圖上. 導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識(shí), 是研究函數(shù)解析性質(zhì)的重要手段，在求函數(shù)的極值, 最值方面起著“鑰匙”的作用。通過大學(xué)的課程，我們對(duì)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)一些概念，也有了一定的認(rèn)識(shí)。由導(dǎo)數(shù)定義

f ' lim (x )=?x →0f (x 0+?x )-f (x 0)?x 利用極限與無窮小量之間的關(guān)系，上式可寫?y =f (x 0+?x )-f (x 0)=f ' (x 0)?x +O(?x ) 即函數(shù)在x 0處的改變量 y 課表示成兩部分： x 的線性部分f ' (x 0)?x 與?x 的高階無窮小部分O(?x )。當(dāng) x 充分小時(shí)，函數(shù)的改變量可由第一部分近似代替?y ≈f ' (x 0)?x 而計(jì)算函數(shù)改變量的精確值，微分概念依賴于導(dǎo)數(shù)概念，但它具有獨(dú)立的意義，它是函數(shù)的局部線性化. 在數(shù)學(xué)上最容易處理的函數(shù)是線性函數(shù)，借助微分可使一大批非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)。一般來說是較繁瑣、較困難的，但是計(jì)算它的近似值相對(duì)要容易些.

111?s =g(t+?t) 2-gt 2=gt(?t) +g(?t) 2 222

顯然當(dāng)?t →0時(shí)，?s 是無窮小量，其中第一部分gt (?t )是同價(jià)無窮小，而第二12部分gt (?t )是比?t 高階的無窮小量，且當(dāng)?t 很小時(shí)，它比第一部分要小得多，2

12所以可將第二部分gt (?t )忽略掉，而用第一部分gt (?t )近似地表示?s ，即2

?s ≈gt (?t )。我們將第一部分gt (?t )稱?s 為的主要部分，它是關(guān)于?t 的線性函數(shù)，計(jì)算起來要簡便些。

2 預(yù)備知識(shí)

導(dǎo)數(shù)它來源于求曲線在一點(diǎn)處的切線和運(yùn)動(dòng)物體在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度。因而，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線斜率；

導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 曲線在一點(diǎn)處切線的斜率.

導(dǎo)數(shù)的物理意義： 瞬時(shí)速度. 一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的變化率..

導(dǎo)數(shù)的概念:設(shè)函數(shù)y =f (x ) 在點(diǎn)x 0的鄰域內(nèi)有定義，若極限

lim f (x ) -f (x 0) 存在則稱函數(shù)f 在點(diǎn)x 0處可導(dǎo)并稱該極限為函數(shù)f 在點(diǎn)x 0處的x -x 0x →x 0

導(dǎo)數(shù)，記作f '(x ) 令x =x 0+?x ?y =f (x 0+?x ) -f (x 0) 則

f ' (x )=lim f (x 0+?x )-f (x 0) ?y =lim ?x →0?x ?x →0?x

微分的概念:引例：一片邊長為x 0的正方形,

它的面積s =x 2其邊長從x 0變化到x 0+?x , 問此正方形的面積改變了多少？

2?s =(x 0+?x ) 2-x 0=2x 0?x +?x 2

定義1[1]：設(shè)函數(shù)y =f (x ) 在 U (x 0, r ) 內(nèi)有定義，且x 0+?x ∈U (x 0, r ) 如果函數(shù)的增量為

?y =f (x 0+?x ) -f (x 0) 可表示為?y =A ?x +o (?x ) , 則稱函數(shù)y =f (x ) 在點(diǎn)x 0是可微的，A ?x 稱為函數(shù)y =f (x ) 在點(diǎn)x 0相應(yīng)于自變量的增量?x 的微分，記為d y ，即d y =A ?x .

微分的幾何意義:微分dy =f ' (x 0)(x -x 0)是曲線y =f (x ) 在點(diǎn)(x 0, f (x 0))的切線在點(diǎn)x 0的縱坐標(biāo)改量, 如圖。

x

極值定義：設(shè)f (x ) 在U(x 0, δ) 內(nèi)有定義，若對(duì)任意x ∈u 0(x 0, δ)，恒有f (x ) f (x 0) ) ，則稱f (x 0) 是f (x ) 的一個(gè)極大值（極小值），點(diǎn)x 0稱為f (x ) 的一個(gè)極大值點(diǎn)（極小值點(diǎn)）。

函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。 函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)。駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)稱為極值的可疑點(diǎn)。

極值的充分條件：

定理[1]（第一充分條件）：設(shè)f (x ) 在U(x 0, δ) ) 內(nèi)連續(xù)，在x ∈u 0(x 0, δ)內(nèi)可導(dǎo)

0，則f (x 0) 為f (x ) 1)若x ∈(x 0-δ, x 0)， f '(x ) > 0，x ∈(x 0, x 0+δ)，f '(x )

的極大值.

2)若x ∈(x 0-δ, x 0)， f '(x ) 0，則f (x 0) 為f (x ) 的極小值.

3)若x ∈(x 0-δ, x 0)，f '(x ) 的符號(hào)保留不變，則f (x 0) 不是極值.

[1] 定理（極值的第二充分條件）：設(shè)f (x ) 在x 0具有二階導(dǎo)數(shù)，且f ' (x 0) =0

1)若f '' (x 0)

2)若f '' (x 0) > 0，則f (x 0) 為f (x ) 的極小值.

3)若f '' (x 0) =0，則f (x 0) 可能是也可能不是極值.

導(dǎo)數(shù)求最值問題的方法：解這類實(shí)際問題需要先建立函數(shù)關(guān)系，再求極值點(diǎn)，確定最值點(diǎn)及最值。

設(shè)f (x ) 在閉區(qū)間[a , b ]上連續(xù)，在開區(qū)間(a , b )內(nèi)可導(dǎo)，求f (x ) 在[a, b ]上的最大值與最小值。

(1)求出f (x ) 在(a, b )內(nèi)的極值也就是f ' (x ) =0時(shí)所對(duì)應(yīng)的值

（2）將的極值與比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的那個(gè)是最小值. 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟:

a 求出函數(shù)y =f (x )的導(dǎo)數(shù)f ' (x ) 。

b 在函數(shù)定義域內(nèi)解求出f ' (x ) >0遞增區(qū)間，求出f ' (x )

1羅爾定理[1] ：設(shè)f (x ) 滿足：

1) 在閉區(qū)間 [a , b ]上連續(xù)。

2) 在開區(qū)間(a, b )內(nèi)可導(dǎo)。

3) f (a ) =f (b )

則在(a, b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f ' (ξ) =0.

2拉格朗日中值定理[1]：設(shè)f (x ) 滿足：

1) 在閉區(qū)間[a , b ]上連續(xù)。

2) 在開區(qū)間(a, b )內(nèi)可導(dǎo)。

則在(a, b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f (b ) -f (a ) = f ' (ξ)(b -a ) (ξ∈(a, b )) 若記x =a ，x +?x =b ，則拉格朗日中值定理的結(jié)論可寫為：

f (x +?x )-f (x )=f ' (ξ)?x ξ 位于x 與x +?x 之間。

若記ξ=x +??x (0

?y =f (x +θ?x )?x

常用的拉格朗日中值公式有下列形式：

①f ' (ξ)=f (b )-f (a ) （ξ介于a 與b 之間）； b -a

②f (b )-f (a )=f ' (ξ)(b -a ) （ξ介于a 與b 之間）；

③f (b )-f (a )=f ' (a +θ(b -a ))(b -a ) (0

④f (x +?x )-f (x )=f ' (ξ)?x （ξ介于x 與x +?x 之間）；

⑤f (x +?x )-f (x )=f ' (x +θ(x )?x )?x (0

⑥f (x +h )-f (x )=hf ' (x +θh ) (0

⑦f ' (ξ)=f (x 2)-f (x 1) （ξ介于x 1與x 2之間）。 x 2-x 1

3. 柯西定理[1] ：設(shè)f (x ) ，g (x ) 滿足：

1)在閉區(qū)間[a , b ]上連續(xù)。

2）在開區(qū)間(a , b )內(nèi)可導(dǎo)且g ' (x )=0。

則在(a , b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(ξ∈(a , b ))，使

4. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際與彈性

邊際 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際是變量y 關(guān)于變量x 在x 0附近（邊緣上）的變化情

況，即x 在x 0附近有微小變化時(shí)，變量y 的變化。當(dāng)x 的變化單位?x 很小時(shí)，由

微分近似計(jì)算公式得，?y |x =x 0≈dy =f '(x 0) ?x |x =x 0=f '(x 0) ， ?x =1?x =1f (b ) -f (a ) f '(ξ) = g (b ) -g (a ) g '(ξ)

因此，邊際值f '(x 0) 是當(dāng)x =x 0，x 改變一個(gè)單位，y 改變了f '(x 0) 個(gè)單位。

彈性的概念及彈性理論無論在數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究，還是在實(shí)際應(yīng)用都會(huì)起到重要作用。在經(jīng)濟(jì)管理中，彈性對(duì)分析產(chǎn)品的需求、供給和收益，給決策者提供

有力可靠的理論依據(jù)起到了重要作用。

當(dāng)自變量x 和因變量y 代表不同背景的實(shí)際問題時(shí)，其彈性E yx 的意義也不同。如x 代表某種商品的價(jià)格，y 代表顧客對(duì)該商品的需求量，那么E yx 表示當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格有1%的變化時(shí)，相應(yīng)需求的變化為E yx %。由于需求函數(shù)一般是減函 數(shù)，所以它的邊際函數(shù)f '(x ) 小于零。因此需求價(jià)格彈性E yx 取負(fù)值，經(jīng)濟(jì)學(xué)中常規(guī)定需求價(jià)格彈性為 E yx =-f '(x ) x f (x )

這樣，需求價(jià)格彈性便取正值。即便如此，經(jīng)濟(jì)學(xué)上在對(duì)需求價(jià)格彈性做經(jīng)濟(jì)意義的解釋時(shí)，也應(yīng)理解為需求量的變化與價(jià)格的變化是反方向的。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中對(duì)需求價(jià)格彈性有下述規(guī)定：當(dāng)某商品的需求價(jià)格彈性E DP >1，則稱該商品的需求量對(duì)價(jià)格富有彈性；當(dāng)某商品的需求價(jià)格彈性E DP

該商品的需求量對(duì)價(jià)格潰乏彈性；當(dāng)E DP =1時(shí)，則稱該商品具有單位彈性。

3導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用

3.1導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

3.1.1求函數(shù)極值和最值

1例1：求f (x )＝x 3－x ２－3x ＋１在[-2, 4]點(diǎn)的最大值與最小值 3

解： 由f (x ) 在閉區(qū)間[-2, 4]上連續(xù)則f ' (x ) =x 2-2x -3

令f ' (x ) =0有x 2-2x -3=0即(x +1)(x -3)=0解得

x １=-1,x２=3 而f (x ) 在[-2, 4]內(nèi)無導(dǎo)數(shù)不存的點(diǎn)

1817由f (-2)＝， f (-1) = f (3)=-5 f (14)=- 333

817所以：min =- max = 33

?21?

例2：已知f (x )=x 3+ax 2++x +1，a ∈R 設(shè)函數(shù)f (x ) 在區(qū)間 -, -?內(nèi)是減函

?33?

數(shù)求a 的取值范圍

解：f (x )=x 3+ax 2++x +1 則f ' (x )=3x 2+2ax +1

?21?

∵函數(shù)f (x ) 在區(qū)間 -, -?內(nèi)是減函數(shù)

?33?

722?2?

∴f ' -?≤0即3×（-）2+2a ×（-）+1≤0 a≥

433?3?11?1?

f ' -?≤0 即3×（-）2+2a×(-)+1≤0 a≥2

33?3?綜上可知a ≥2

(2) 若f '(-1) =0，例3：已知a 為實(shí)數(shù)，函數(shù)f (x ) =(x 2-4)(x -a ) . (1) 求導(dǎo)數(shù)f '(x ) ；

求f (x ) 在[-2, 2]上的最大值和最小值.

解：(1) 由原式得f (x ) =x 3-ax 2-4x +4a 則 f '(x ) =3x 2-2ax -4 (2) 由 f '(-1) =0 得a =

f '(x ) =3x 2-x -4

11

，此時(shí) f (x ) =(x 2-4)(x -) 22

44509

或x =-1，又 f () =-f (-1) =, f (-2) =0, f (2) =0，33272

950

所以f (x ) 在[-2, 2]上的最大值為，最小值為-.

227

由 f '(x ) =0 得 x =

例4： 已知函數(shù)f (x )=x 2+2x tan θ-1，x ∈[-1, ],其中θ∈(-的取值范圍，使f (x )在區(qū)間[-1, 3]上是單調(diào)函數(shù).

解：f '(x ) =2x +2tan θ，它在[-1, ]上是單調(diào)函數(shù)，

f '(x )m in =-2+2tan θ，f '(x )max =23+2tan θ，

ππ

, ) ，求θ

22

ππ

當(dāng)-2+2tan θ≥0， 即θ∈[, ) 時(shí)，

42

f ' (x )≥0，f (x )為單調(diào)遞增函數(shù)；

當(dāng)2+2tan θ≤0， 即θ∈(-

π

, -]時(shí)， 23

π

f ' (x )≤0，故f (x )為單調(diào)遞減函數(shù)；

ππππ

綜上所述，當(dāng)θ∈[, ) ?(-, -]時(shí)，f (x )在區(qū)間[-1, 3]上是單調(diào)函

4223數(shù).

3.1.2求函數(shù)的解析式

例5[6]：設(shè)函數(shù)y =f (x ) 為三次函數(shù)，其圖像與y 軸的交點(diǎn)為P ，且曲線在P 點(diǎn)

處的切線方程為24x +y -12=0，若函數(shù)在x =2處取得極值-16，求函數(shù)的解析式.

解：設(shè)f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) ，則f '(x ) =3ax 2+2bx +c ，依題意有

f '(0) =c . 因?yàn)榍芯€24x +y -12=0的斜率為k =-24，所以c =-24.

把x =0代入24x +y -12=0，得y =12.

所以P 點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 12) ，即求得d =12，此時(shí)f (x ) =ax 3+bx 2-24x +12. 由函數(shù)f (x ) 在x =2處取得極值-16，

?a =1?-16=8a +4b -36

則得 ?， 解得 ?，

b =30=12a +4b -24??

所以 f (x ) =x 3+3x 2-24x +12

例6： 設(shè)y =f (x ) 為三次函數(shù)，且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x =值為，求函數(shù)f (x ) 的解析式.

解：設(shè)f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (d ≠0) ， 因?yàn)槠鋱D像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即 f (-x ) =-f (x ) ， 所以 ax 3+bx 2+cx +d =ax 3-bx 2+cx -d ，

則 b =0, d =0, 即 f (x ) =ax 3+cx ，所以 f '(x ) =3ax 2+c .

1

時(shí)，f (x ) 的極小2

1311c

依題意 f '() =a +c =0，f () =a +=-1，解得 a =4, c =-3, 故

24282f (x ) =4x 3-3x .

3.1.3判斷函數(shù)的周期性，奇偶性

例7：若所給的偶函數(shù)可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

f (-x +?x )-f (-x )

?x →0?x

f (x -?x )-f (x ) ＝ lim ?x →0?x

f (x +(-?x ))-f (x ) ＝lim =-f ' (x ) -?x →0-?x

證明：設(shè)f (x )為偶函數(shù) 則f ' (-x )=lim

例8：周期函數(shù)若可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)仍為周期函數(shù)。 證明： 設(shè)f (x )為周期是T 的函數(shù)

f ' (x +T )=lim

f (x +T +?X )-f (x +T )f (x +?x )-f (x )=lim =f ' (x ) ?x →0?X ?x

?x →0

3.1.4求曲線的切線

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線在P （x 0 y0）處的切線方程和法線方程 在求過點(diǎn)P (x 0, y 0) 所作函數(shù)y =f (x )對(duì)應(yīng)曲線的切線方程時(shí)應(yīng)先判斷該點(diǎn)是否在曲線上.

(1) 當(dāng)點(diǎn)P (x 0, y 0) 在曲線上，即點(diǎn)P (x 0, y 0) 為切點(diǎn)時(shí)，則切線方程為

y -y 0=f '(x 0)(x -x 0).

?y 1=f (x 1)

?

(2) 當(dāng)點(diǎn)P (x 0, y 0) 不在曲線上時(shí)，則設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x ', y ')，由?y 0-y 1

'()f x =1?x 0-x 1?

先求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后進(jìn)一步求切線方程.

例9：已知拋物線C 1:y =x 2+2x 和拋物線C 2:y =-x 2+a ，當(dāng)a 取什么值時(shí)，C 1和C 2有且僅有一條公切線？寫出公切線的方程.

分析：傳統(tǒng)的處理方法來解決，但計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，如能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去解，則思路清晰，解法簡單.

解：設(shè)A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)分別是直線l 與C 1、C 2的兩個(gè)切點(diǎn). 又C 1:y =x 2+2x ，C 2:y =-x 2+a 的導(dǎo)數(shù)分別為：

y '=2x +2，y '=-2x ，所以 2x 1+2=-x 2，即 x 1+x 2=-1

又C 1、C 2有且只有一條公切線，則點(diǎn)A 與點(diǎn)B 重合，x 1=x 2，

111?13?

所以x 1=x 2=-，即A -, -?，有點(diǎn)B 在C 2上，可知a =-，此時(shí)l :y =x -.

224?24?

例10： 已知曲線C :y =x 3-3x 2+2x ，直線l :y =kx ，且l 與C 切與點(diǎn)

(x 0, y 0)(x 0≠0) ，求直線l 的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).

解：由l 過原點(diǎn)，知k =

y 0

(x ≠0) ，點(diǎn)(x 0, y 0) 在曲線C 上，x 0

y 02

=x 0-3x 0+2 x 0

2

∴y 0=x 0-3x 0+2x 0∴

32

又∵y '=3x 2-6x +2∴k =3x 0-6x 0+2，又 k =∴3x 0-6x 0+2=x 0-3x 0+2∴2x 0-3x 0=0, x 0=

-

2

2

y 0

x 0

2

3

（x 0=0不符合題意） 2

3y 33331

∴y 0=() 3-3?() 2+2?=-∴k =0==-

x 042228

2

133

所以l 的方程為y =-x ，切點(diǎn)為(, -) .

284

例11：x 2+5xy +y 2+5=0在處切線的斜率。 （1，-2）

解：2x +5(y +xy ' ) +2yy ' =0

(5x +2y )y ' =-5y -2x y ' =-

k

x =1y =-2

5y +2x

5x +2y

=

5?(-2)+25?1+2?-2=8

x 2y 2

=1的一個(gè)焦點(diǎn)(1,0)發(fā)出的任意光線，經(jīng)過橢圓反射后， 例12：從橢圓+

43

反射光必經(jīng)過它的另一個(gè)焦點(diǎn)(-1,0)。

證明：假設(shè)(x 0, y 0)為橢圓上的任意一點(diǎn)當(dāng)y 0=0時(shí)的結(jié)論顯然成立設(shè)

y 0≠0，則過此點(diǎn)的切線斜率為tan θ=-

3x 0

y 0

y 0

，此連線與切線夾角的正切為 x 0+1

(x 0, y 0)與焦點(diǎn)(-1,0)的連線的斜率為tan θ1=

y 03x

+0

x +14y 0tan θ1-tan θ3=0K==

1+tan θ1tan θ1-00y 0

x 0+14y 0

(x 0, y 0)與另一焦點(diǎn)(1,0)連線的斜率為tan θ2=

-

y 0

此連線與切線夾角的正切為x 0-1

3x 0y

-0

4y 0x 0-13x 0-123tan θ-tan θ2

==K ∴兩個(gè)夾角的正切相等即兩==

x 0y 0-4y 0y 01+tan θtan θ21-004y 0x 0-1

個(gè)夾角相等

3.1.5導(dǎo)數(shù)的定義求極限

導(dǎo)數(shù)的定義多題目中出現(xiàn)的形式靈活多樣，較為簡單的類型是直接用導(dǎo)數(shù)的定義是作適當(dāng)?shù)淖冃渭茨芙鉀Q問題，導(dǎo)數(shù)是由極限定義，所以就能利用導(dǎo)數(shù)來求極限

x sin x -

.

例13

：lim

x →

π

4

x -

4

解：令f (x ) =x sin x ，由導(dǎo)數(shù)定義可得

x sin x lim

x →

π

4

=f '(π) =(sinx +x cos x ) |=2(1+π).

πx =2444x -

4

例14：f '(x 0) 存在，證明lim

h →0

f (x 0+mh ) -f (x 0+nh ) m -n

=f '(x 0) ，其中m , n , p 為

ph p

常數(shù).

證明：左=lim

h →0

f (x 0+mh ) -f (x 0) +f (x 0) -f (x 0+nh )

ph

=lim

[f (x 0+mh ) -f (x 0)]-[f (x 0+nh ) -f (x 0)]

h →0ph f (x 0+mh ) -f (x 0) n f (x 0+nh ) -f (x 0) m

lim -lim

mh →0nh →0p mh p nh n m -n m

f '(x 0) -f '(x 0) =f '(x 0) .

p p p

=

=

3.2導(dǎo)數(shù)解決不等式問題

3.2.1構(gòu)造輔助證明不等式

利用數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式，根據(jù)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)

證明函數(shù)得到單調(diào)性，從而達(dá)到證明不等式的目的。

12

x -x +1 21

證明：設(shè)g (x ) ＝e x -x 2+x -1

2

例15：x ＞0時(shí) 求證e x >

g ' (x )=e x -x +1 g '' (x )=e x -1

'

＞g ' (0)=e 0-0+1=2＞0 當(dāng)x ＞0時(shí)g '' (x )>0 g ' (x )單調(diào)遞增 g(x)

∴g (x ) 也為單調(diào)遞增函數(shù) g (x ) ＞g (0)= e0-0-1=0 ∴e x >

12

x -x +1 2

例16：證明在(0,1)上成立 (1+x )ln 2(x +1)

證明：令f (x )=x 2-(1+x )ln 2(1+x ) f ' (x )=2x -ln 2(1+x )-2ln (1+x )

f '' (x )=2-2

ln (1+x )1+x

-2 1+x

＝

2?x -ln (1+x )?1+x

>0 x ∈(0,1)

f ' (0)=0可知f ' (x )>0 ∵f (0)=0得f (x )>0 ∴(1+x )ln 2(x +1)

例17：證明：當(dāng)0＜x ＜

π2

時(shí)，有不等式x ＜sin x ＜x 2π

證明：令f (x )=x -sin x f ' (x )=1-cos x 當(dāng)0＜x ＜

π

時(shí) 0＜cos x ＜1 ∴f ' (x )＞0 f (x )單調(diào)遞增 2

2

f (x )＞f (0)=0 得證 sin x ＜x 為證明x ＜sin x

π

'

'

(sin x )x -sin x (x )=x cos x -sin x sin x

設(shè)g (x )= g ' (x )=

x x 2x 2

令t (x )=x cos x -sin x

t ' (x )=(x cos x )-(sin x )=cos x +x (-sin x )-cos x =-x sin x ＜0 t (x )為單調(diào)遞減 當(dāng)0＜x ＜

'

'

π?π?

時(shí) t ?＜t (x )＜t (0) ∴t (x )＜0 即t (x )=x cos x -sin x ＜0 2?2?

?π??π?

從而g ' (x )＜0 ∴g (x )在x ∈ 0, ?上單調(diào)遞減 g ?＜g (x )＜g (0)

?2??2?

sin x =2 所以得證2x ＜sin x ＜x ＞

πx π2

例18：證明不等式x ?≤1-?+?x （x >0, 0

證明：令f (x )=x ?-?x +?-1

f ' (x )=?x ?-1-?=?(x ?-1-1) 令f ' (x )=0得證唯一駐點(diǎn)x ＝１

sin

π

f ' (x )x =1=?(?-1)x ?-2=?(?-1)＜0 ∴f (1)=0為極大值

從而是在點(diǎn)(0, +∞)內(nèi)的最大值

∴x >0 f (x ) ≤f (1)＝0即x ?≤1-?+?x 其中等號(hào)僅在x ＝１

時(shí)成立。

3.2.2構(gòu)造輔助求不等式參數(shù)的范圍

例19[4]：已知a ≥0，函數(shù)f (x ) =(x 2-2ax ) e x 在[-1, 1]上是單調(diào)函數(shù)，求a 的取值范圍.

解：f '(x ) =[x 2+2(1-a ) x -2a ]e x ，由 f '(x ) =0， 即 [x 2+2(1-a ) x -2a ]e x =0，解得 x 1, 2=a -1±+a 2(x 1

當(dāng)a ≥0時(shí)， x 1

f (x ) 在(x 1, x 2) 上是減函數(shù)，在(x 2, +∞) 上是增函數(shù)，所以f (x ) 在[-1, 1]上是單調(diào)

函數(shù)的充要條件是x 2≥1, ， 即 a -1++a 2≥1，解得 a ≥

33

. 所以a 的取值范圍為[, +∞) 44

例20：求出a 的范圍，使不等式x 4-4x 3>2-a 對(duì)任意的x 都成立.

分析: 將含參數(shù)的不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題, 利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最小值, 方可確定出參數(shù)的范圍.

解：令f (x ) =x 4-4x 3，則 f '(x ) =4x 3-12x 2， 再設(shè)f '(x ) =0，可求得 x =0或x =3，

當(dāng)x

當(dāng)x >3時(shí)，f '(x )>0. 所以x =3時(shí)，f (x ) 取得極小值為-27， 從而f (x ) 有最小值為-27，則f (x ) |m in =-27>2-a ， 故有a >29. 解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極小值的位置. 3.2.3微分中值定理解決不等式問題 例21：證明：當(dāng)x >0時(shí)，成立不等式

111

證明; 令f (t ) =ln t ，則f (t ) 在[x , 1+x ](x >0) 上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，從而有

f (1+x ) -f (x ) =f '(ξ)(1+x -x ) (0

即 ln(1+x ) -ln x =

1

ξ

.

因?yàn)?

11111

0) x +1x x

即

例22： 設(shè)f (0) =0且在[0, +∞) 上f '(x ) 單調(diào)遞減，證明對(duì)任意a >0，b >0，成立不等式 f (a +b )

證明 :不妨設(shè)0

f (a ) -f (0) =f '(ξ1)(a -0) ， f (a +b ) -f (b ) =f '(ξ2)(a +b -b ) 成立，從而有

f (a ) f (a +b ) -f (b )

=f '(ξ1) 所以ξ1又因?yàn)閒 '(x ) 單調(diào)遞減，從而f '(ξ1) >f '(ξ2) ，于是

f (a +b ) -f (b ) f (a )

，

a a

再由a >0得f (a +b )

例23：設(shè)f (x ) 在[0, 1]上連續(xù)，在(0, 1) 內(nèi)可導(dǎo)且f (0) =0，對(duì)任意x ∈(0, 1]有

f '(x ) ≤f (x ) ，則在[0, 1]上恒有f (x ) =0.

證明:在區(qū)間(0, 1]上任取一點(diǎn)x ，則f (x ) 在[0, x ]上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，故存在ξ1∈(0, x ), 使f (x ) -f (0) =f '(ξ) x ,

所以 f (x ) =x f '(ξ1) =x f '(ξ1) ≤x f (ξ1) (0

又f (x ) 在[0, ξ1]上也滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，故

f (ξ1) -f (0) =f '(ξ2) ξ1 (0

f (x ) ≤x ξ1ξ2 ξn f (ξn +1) (0

n n

因?yàn)閘im ξ1=0，且由f (x ) 在[0, 1]上連續(xù)知f (ξn +1) 有界，所以lim ξ1f (ξn +1) =0，

n →∞

n →∞

由夾逼準(zhǔn)則知f (x ) ≡0.

3.3 洛必達(dá)法則求未定式的極限

求未定式極限的洛必達(dá)法則是柯西中值定理的一個(gè)應(yīng)用，它是求極限的一個(gè)

0∞重要方法，應(yīng)注意只有“”型、“”型的極限才可以直接用洛必達(dá)法則，而

0∞

對(duì)“0?∞，∞-∞，00”型等其他未定式極限，必須通過通分、取對(duì)數(shù)等變形方

0∞

法將其轉(zhuǎn)化為“”型或“”型后，才能使用洛必達(dá)法則。

0∞

3.3.1型不定式極限

1.

型不定式極限 0

若函數(shù)f 和g 滿足

（I ）lim

x →x 0

f (x )=lim g (x )=0

x →x 0

（II ）在點(diǎn)

x 0的某空心鄰域U 0x 內(nèi)兩者都可導(dǎo)且g ' x ≠0

(0)()

f ' (x )g ' x =A 則lim

f (x )g x =lim

x →x 0

（III ）

x →x 0

lim

f ' (x )g ' x x →X 0

=A

“”型不定式

e x -1

例24：lim

x →0x

e x -1e x

解：lim =lim =1

x →0x →01x

例25：lim

sin ax

x →0sin bx

解：lim

sin ax a cos ax a

=lim =

x →0sin bx x →0b cos bx b

x 3-12x +16

例26：lim 3

x →2x -2x 2-4x +8

x 3-12x +163x 2-126x 3

解:lim 3 =lim =lim =

x →2x -2x 2-4x +8x →23x 2-4x -4x →26x -42

π

例27:lim x →+∞

-arctan x 1

x

π

解 :x lim →+∞

-arctan x 1x

-=lim

x →+∞

1

2

1+x 2=lim x =1

x →+∞1+x 2-2x

3.3.2

∞

型不定式極限 ∞

若函數(shù)f 和g 滿足

（I ）

x →x +0

lim f (x )=lim g (x )=∞ +

x →x

（II ）在

x 0的某右鄰域U 0

f ' (x )g x '

+

(x 0)內(nèi)兩者到可導(dǎo)且g ' (x )≠0

f (x )

（III)

x →x +0

lim

=A 則lim +

x →X

g x =lim +

x →x

f ' (x )g x '

=A

例28:lim

ln x

(α>0)

x →+∞x α

1

ln x =lim 1=0 =lim 解 ：x lim →+∞x αx →+∞αx α-1x →+∞αx α

x n

例29: lim x (n >0) 。

x →+∞e

x n n (n -1) x n -2nx n -1n !

解：lim x =lim x =lim = =lim x =0 x x →+∞e x →+∞x →+∞e x →+∞e e

3.3.3其他類型不定式極限

0∞

其他類型不定式極限，經(jīng)過簡單變換吧它們化成或型的極限

0∞1??1-例30:lim ? x →1ln x x -1??

解 ：這是“∞-∞”型的極限，求解方法是通分或有理化因式將其化為“型或“

”0

0∞

”型極限后用洛必達(dá)法則。對(duì)本題，通分后化為“”型可兩次使用

0∞

洛必達(dá)法則。

1

1?x -1-ln x ?1-=lim lim ?=lim

x →1ln x x →1x →1x -1x -1ln x x -1??ln x +

x

x -111

=lim =lim =

x →1x ln x +x -1x →1ln x +1+12

1-

sin x ln x 例31:lim +

x →0

這是“0?∞”型的極限，求這類極限的方法是將部分函數(shù)取倒數(shù)變形為 “

1

ln x x 型極限后用洛必達(dá)法則， lim +sin x ln x =lim + =lim +

x →0x →0csc x x →0-csc x cot x

-sin 2x x 2

=-lim +=0. =lim +

x →0x cos x x →0x cos x

例32:lim

x →+∞

∞”∞

?π?-arctan x ??2?

1

ln x

v (x )

這是“0”型極限，利用對(duì)數(shù)性質(zhì)有l(wèi)im u (x )

x →+∞

=e

x →+∞

lim v (x )ln u (x )

，問題歸結(jié)

為求“0?∞”型極限。本題變形后為“

∞

”型極限，則 ∞

?π?lim -arctan x ?x →+∞2??

1

ln x

?1?π??=ex p ?lim ln -arctan x ??

???x →+∞ln x ?2

??????-11????

÷?? =exp ?lim ?

x →+∞?πx ???2??-arctan x 1+x )?? ?(??2??????

??x 0?π???

÷-arctan x =exp ?-lim ?（“? ??2

0????x →+∞?1+x ?2

????22

1+x -2x -1? =exp ?-lim ? ??÷2?x →+∞?221+x ????(1+x )???

”

?1-x 2

=exp 2 x lim

?→+∞1+x ?-1?=e ??

3.4微分在近似值中的應(yīng)用

在工程問題中，常會(huì)遇到一些復(fù)雜的計(jì)算公式，如果直接用這些公式進(jìn)行計(jì)算，往往會(huì)費(fèi)時(shí)費(fèi)力而利用微分則可把一些復(fù)雜性的計(jì)算公式用簡單的近似公式來代替

3.4.1計(jì)算函數(shù)的近似值

f (x 0+?x ) -f (x 0) ?y

由極=lim

?x →o ?x ?x →0?x ?y f (x 0+?x ) -f (x 0)

≈f '(x 0) ，所以=限的定義知，當(dāng)?x 充分小時(shí)，

?x ?x

函數(shù)y =f (x ) 在x =x 0處的導(dǎo)數(shù)f '(x 0) =lim

f (x 0+?x ) ≈f (x 0) +f '(x 0) ??x ，利用這個(gè)公式可求的函數(shù)的近似值.

例33.：計(jì)算(1.04)

2.02

的近似值

解 ：設(shè)函數(shù).f (x , y )=x y 顯然, 要計(jì)算的值就是函數(shù)在x =1.04,y=2.02, 時(shí)的函數(shù)值 f (1.04, 2.02)取, x =1, y =2,?x =0.04, ?y =0.02 由于,

f (x +?x , y +?y )≈f (x , y )+f x (x , y )?x +f y (x , y )?y

=

x y +yx y -1?x +x y ln x ?y

(1.04)

2.02

≈12+2?12-1?0.04+12?ln1?0.02=1.08

例34： 不查表，求sin 46?的值.

解：令y =sin x ，由導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系得

sin x ≈sin x 0+(cosx 0) ?(x -x 0) ，

πππππ

因 46?=45?+1?=(+， ) rad ，取x 0=，x =+

441804180于是 x -x 0= =

3.4.2. 誤差估計(jì)

若精確度值為A ，近似值為A, 近似值為a, 那么A -a 稱為絕對(duì)誤差，稱為相對(duì)誤差。

例35： 測(cè)量直徑為4m 的球時(shí)有1%的相對(duì)誤差，利用公式V=時(shí)，相對(duì)誤差有多大？

解：絕對(duì)誤差：δd =4×1%=4%

1

絕對(duì)誤差 δv ＝πd 2. d . 1%

21

＝π×64%=32π%

2δv 32π%

相對(duì)誤差 ＝＝3%

1v π. 646

，代入上式得 sin 46?=+ ) =sin +(cos) ?[1**********]0

ππππππ

22π

. +?=0. 707+10. 0123=0. 7194

22180

A -a a

π

6

d 3計(jì)算球的體積

答：相對(duì)誤差是3%

3.5導(dǎo)數(shù)與微分證明恒等式

12x π

例36：證明：當(dāng)x >1時(shí)，arctan x -arccos =. 2

21+x 412x π

分析 令f (x ) =arctan x -arccos -. 當(dāng)x >1時(shí)只要f '(x ) =0，便有2

21+x 4f (x ) =C . 注意到f (1) =0且lim +f (x ) =f (1) ，所以有C =lim +f (x ) =f (1) =0.

x →1

x →1

12x π

證明： 令f (x ) =arctan x -arccos -. 當(dāng)x >1時(shí)有 2

21+x 4

f '(x ) =

11

-1+x 22

-12x

() ' 21+x 2x 2

-() 2

1+x

111+x 22(1+x 2) -4x 2

+? = 1+x 22(1+x 2) 2-4x 2(1+x 2) 2

1x 2-111-x 2

+=-2=0， =2222221+x (x -1)(x +1) (1-x ) (1+x ) 1+x

所以f (x ) =C . 因?yàn)閒 (x ) 在x ≥1時(shí)連續(xù)，從而

12x π

C =lim +f (x ) =lim +[arctanx -arccos -]=0 2

x →1x →121+x 4

12x π

故f (x ) =C 即arctan x -arccos =. 2

21+x 4

3.6導(dǎo)數(shù)與微分探究方程根的存在性或唯一性

例37： 若a >3，則方程x 3-ax 2+1=0在[0, 2]上有多少個(gè)根？

解：設(shè)f (x ) =x 3-ax 2+1，則f '(x ) =3x 2-2ax ，

當(dāng)a >0，x ∈(0, 2) 時(shí)，f '(x )

而f (x ) 在x =0與x =2處都連續(xù)，且f (0) =1>0, f (2) =9-4a

例38：a 取何值時(shí), 關(guān)于x 的方程x 2+ax +2=0在(0, 1]上有解？

分析：本題亦可結(jié)合二次函數(shù)f (x ) =x 2+ax +2的圖象, 使得問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間根分布問題, 但是要分在(0, 1]上有兩解和一解兩種情況. 采用轉(zhuǎn)化思想將a 與

x 分離開, 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域, 使得運(yùn)算量大大減少.

2

解：因?yàn)?x 2+ax +2=0，所以 a =-(x +) ，將a 看成x 的函數(shù)，

x

2

因?yàn)?x ∈(0, 1]， a '=-(1-2)

x

22

所以函數(shù)a =-(x +) 在(0, 1]上是增函數(shù)， 故a ≤-(1+) =-3.

x 1

例39：設(shè)函數(shù)f (x ) 在[1, 2]上二階可導(dǎo)且f (1) =f (2) =0, F (x )=(x -1)f (x ),

2

（1，2）則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使F ''(ξ) =0.

證明： 由題設(shè)可知，F(xiàn) '(x ) =2(x -1) f (x ) +(x -1) f '(x ) 在[1, 2]上可導(dǎo)，從而

（1，2）F '(x ) 在[1, 2]上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且F '(1) =0，但F '(2) =f '(1) 與F '(1) 是否相等（1，2）未知。注意到F (1) =F (2) =0，且F (x ) 在[1, 2]上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，故F (x ) 在[1, 2]上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理可知，存在η∈使F '(η) =0，即（1，2）

F '(η) =2(η-1) f (η) +(η-1) 2f '(η) =0. 于是F '(x ) 在區(qū)間[1, η]上滿足羅爾定理的

條件，故由羅爾定理可知，存在ξ∈(1, η) ?(1, 2) ，使F ''(ξ) =0.

例39：設(shè)函數(shù)f (x ) =x (x +1)(2x +1)(3x -1) ，試確定方程f '(x ) =0實(shí)根的個(gè)數(shù)。

解：顯然函數(shù)f (x ) 在(-∞, +∞) 可導(dǎo)，且易知f (x ) 有4個(gè)零點(diǎn)x 1=-1，

11111

，x 3=0，x 4=，故f (x ) 在區(qū)間[-1, -]，[-, 0]，[0, ]上滿足羅爾定22332

111

理的條件，由羅爾定理知，至少存在ξ1∈(-1, -) ，ξ2∈(-, 0) ，ξ3∈(0, ) ，使

223x 2=-

f '(ξ1) =f '(ξ2) =f '(ξ3) =0，即f '(x ) 至少有3個(gè)零點(diǎn)。

又因?yàn)閒 (x ) 是四次多項(xiàng)式，所以f '(x ) 是三次多項(xiàng)式，故f '(x ) 至多有3個(gè)零點(diǎn)。 綜上可得，方程f '(x ) =0恰有3個(gè)實(shí)根

[2]

例40： 設(shè)函數(shù)f (x ) 在[1，e ]上可導(dǎo)，且f (1) =0，f (e ) =1，試證：方程f '(x ) =

1

x

在(1, e ) 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。

證明：作函數(shù)F (x ) =f (x ) -ln x ，則F (x ) 在區(qū)間[1，e ]上連續(xù)，在(1, e ) 內(nèi)可導(dǎo)，且由f (1) =0及f (e ) =1有

F (1) =f (1) -ln 1=0， F (e ) =f (e ) -ln e =0

所以F (x ) 在區(qū)間[1，e ]上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)

ξ∈(1, e ) ，使

F '(ξ) =[f (x ) -ln x ]'x =ξ=f '(ξ) -

1

ξ

=0，即x =ξ是方程f '(x ) =

1

的一個(gè)根。 x

3.7導(dǎo)數(shù)與微分的綜合應(yīng)用

3.7．1導(dǎo)數(shù)與微分的實(shí)際問題建模

例41： 正方形的棱長從4cm 增加到4. 01cm ，它的體積大約增加多少？ 解：設(shè)正方形的體積為V ，它放入棱長為L , 則V =L 3, V '(L ) =3L 2， 取L 0=4, ?L =0. 01, 則

?V ≈V '(L 0) ??L =3?42?0. 01=0. 48(cm 3)

例42：有一圓柱體, 受壓后發(fā)生形變, 它的半徑由20cm 增大到20.05cm 高度由

100c m 減少到99cm . 求此圓柱體體積變化的近似值.

解 設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r , h 和v , 則有 v =πr 2h 已知r =20, h =100,?r =0.05, ?h =-1. 根據(jù)近似公式, 有 ?v ≈dv =v r ?r +v h h ?h =2πrh ?r+πr 2?h

=2π?20?100?0.05+π?202?(-1)=-200π(cm 3). 即此圓柱體在受壓后體積約減少了200π(cm 3)

例43 :長14. 8m 的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0. 5m ，那么高為多少時(shí)容器的容積最大? 并求出它的最大容積.

解：設(shè)容器底面短邊為xm , 則另一邊長為(x +0. 5) m ，高為

1

[14. 8-4x -4(x +0. 5)]=(3. 2-2x ) m . 4

由 3. 2-2x >0且x >0，得0

設(shè)容器的容積為ym 3，則有

y =x (x +0. 5)(3. 2-2x ) =-2x 3+2. 2x 2+1. 6x , (0

所以 y '=-6x 2+4. 4x +1. 6, 令 -6x 2+4. 4x +1. 6=0，即15x 2-11x -4=0，

解得 x 1=1, x 2=-

4

（不合題意，舍去）. 15

當(dāng)x ∈(0, 1) 時(shí)，y '>0；當(dāng)x ∈(1, 1. 6) 時(shí)，y '

所以函數(shù)y =-2x 3+2. 2x 2+1. 6x 在(0, 1]上單調(diào)遞增，在[1, 1. 6) 上單調(diào)遞減. 因此，當(dāng)x =1時(shí)，y m ax =-2+2. 2+1. 6=1. 8，這時(shí)，高為3. 2-2?1=1. 2，

故高為1. 2m 時(shí)容器的容積最大，最大容積為1. 8m 3

例44:鐵路上AB 段的距離為100Km ，工廠C 與A 相距40Km ，AC 垂直于AB ，今要在AB 之間一點(diǎn)D 向工廠C 修一條公路，使原料供應(yīng)站B 運(yùn)貨到工廠C 所用運(yùn)費(fèi)最少，問D 點(diǎn)應(yīng)該設(shè)在何處? 已知每公里的鐵路運(yùn)費(fèi)和公路運(yùn)費(fèi)之比3：5

解：設(shè)BD=x （0≤x ≤100）

∵每公里的鐵路運(yùn)費(fèi)和公路的運(yùn)費(fèi)之比是3：5 假設(shè)鐵路的運(yùn)費(fèi)為3元, 公路的運(yùn)費(fèi)是5元

則

y =3x +

12

y =3+5??1600+(100-x )?2?2(100-x )?(-1)

?2?

'

-1

=3-5(

100-x =

35100-x 當(dāng)y ' ＞0 時(shí) 3

5100-x ∴70＜x ＜130

∴當(dāng)0≤x ≤70時(shí)y ' ＜0 單調(diào)遞減

當(dāng)70≤x ≤100時(shí)y ' ＞0 單調(diào)遞增

∴當(dāng)x =70時(shí)y 最小 則D 點(diǎn)應(yīng)設(shè)在離A 處30Km 處的位置

例45:從南至北的鐵路經(jīng)過B 城, 某工廠A 距此鐵路的最短距離為aKm ，距北面之B 城b Km, 為了從A 到B 運(yùn)輸貨物最經(jīng)濟(jì), 從工廠建設(shè)一條側(cè)軌，若每噸貨物沿側(cè)軌運(yùn)輸?shù)膬r(jià)格是P 元/Km而沿鐵路q 元/Km 問測(cè)軌應(yīng)向鐵路取怎樣的角度?？ 解：AD=a BC=b ∠ACD =?

ap (b sin ?-a cos ?)q ap +bq sin ?-aq cos ?

+=

sin ?sin ?sin ?

(ap +bq sin ?-aq cos ?)sin ?-(ap +bq sin ?-aq cos ?)(sin ?)y ' =

sin ?

2

' '

= =

(bq cos ?+aq sin ?)sin ?-cos ?(ap +bq sin ?-aq cos ?)

sin 2?

aq -ap cos ?

2

sin ?

q a q ≥arctan 時(shí)?=arccos p b p

當(dāng)arccos

當(dāng)arccos

a q a

≤arctan 時(shí)?=arctan 相應(yīng)的運(yùn)費(fèi)所需p b b

M=(

b -a cot ?)q

3.7.2導(dǎo)數(shù)在微觀經(jīng)濟(jì)中的簡單應(yīng)用

例46： 供給函數(shù)為Q =2P 2+3P +1，問當(dāng)價(jià)格P =2時(shí)，價(jià)格改變一個(gè)單位（增

加或減少一個(gè)單位），供給量Q 改變多少個(gè)單位？ 解：因?yàn)?/p>

dQ

=11，所以當(dāng)價(jià)格改變一個(gè)單位（增加或減少一個(gè)單位） dP P =2

供給量Q （增加或減少一個(gè)11個(gè)單位）。 例47：設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q =100-5P , （1）求需求量對(duì)價(jià)格的彈性E QP (E QP >0) ； （2）推導(dǎo)

dR

=Q (1-E QP ) ，其中R 為收益，并用彈性E QP 說明在何范圍內(nèi)變化dP

P ∈(0, 20) ，其中Q 為需求量。

時(shí)，降價(jià)反而使收益增加。

解：（1）E QP =

Q '(P ) 5P P P P

，所以E QP =| P =-=|=

Q (P ) 100-5P P -20P -2020-P

（2）R =PQ =100P -5P 2?

dR

=100-10P =(100-5P ) -5P dP

=Q -5P =(Q -QE QP ) +(QE QP -5P ) 。

而(QE QP -5P ) =(100-5P )

P

-5P =5P -5P =0， 20-P

令E QP =1，解得P =10。當(dāng)10

1，降價(jià)反而使收益增加。

4小結(jié)

導(dǎo)數(shù)和微分的應(yīng)用是非常豐富，這里只列出了一部分。本文利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間; 研究函數(shù)極值與最值; 研究曲線的切線問題; 研究不等式的證明問題; 研究函數(shù)的零點(diǎn)。在這里我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的理論推出一種既簡便又重

0∞要的不定式極限的計(jì)算方法---洛必達(dá)法則，洛必達(dá)法則適用于或，對(duì)于叫0∞

0復(fù)雜的1∞，00，∞0型不定式極限一般在求冪指函數(shù)的極限時(shí)出現(xiàn)，這類題0

0∞型可以通過對(duì)數(shù)公式及指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性轉(zhuǎn)化為型或型不定式，再利用洛必0∞

達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算。 洛必達(dá)法則是求不定式極限行之有效的一種方法。利用微分來求函數(shù)在一點(diǎn)增量的近似值；求函數(shù)在一點(diǎn)的近似值; 在局部范圍內(nèi)用線性函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)。經(jīng)濟(jì)和數(shù)學(xué)是緊密相連的，經(jīng)濟(jì)到數(shù)學(xué)其實(shí)就是一個(gè)建模抽象的過程，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的很多領(lǐng)域都必然涉及數(shù)學(xué), 物理中的很多也涉及到數(shù)學(xué)，特別是數(shù)學(xué)中的一些思維方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，物理學(xué)中應(yīng)用很廣。

參考文獻(xiàn)

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[9]高鴻業(yè)，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)（微觀部分）[M]，2006

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[11]Lu Jiaxi On Large sets of disjoint Steiner triple

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第六篇：元函數(shù)極限證明

二元函數(shù)極限證明

二元函數(shù)極限證明

設(shè)p=f(x,y),p0=(a,b)，當(dāng)p→p0時(shí)f(x,y)的極限是x,y同時(shí)趨向于a,b時(shí)所得到的稱為二重極限。

此外，我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時(shí)的極限,稱為二次極限。

我們必須注意有以下幾種情形：’

(1)兩個(gè)二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在 (2)兩個(gè)二次極限存在而不相等

(3)兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在 2 函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在，不妨設(shè)：limf(x)=a(x→x0) 根據(jù)定義:對(duì)任意ε>0,存在δ>0,使當(dāng)|x-x0|

而|x-x0|

又因?yàn)棣庞腥我庑?故可取ε=1,則有:|f(x)-a|0,當(dāng)任意x屬于x0的某個(gè)鄰域u(x0;δ)時(shí),有|f(x)| 證畢

3首先，我的方法不正規(guī)，其次，正確不正確有待考察。

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二元函數(shù)極限證明

1，y以y=x^2-x的路徑趨于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨于0結(jié)果是無窮大。

2，3可以用類似的方法，貌似同濟(jì)書上是這么說的，二元函數(shù)在該點(diǎn)極限存在，是p(x,y)以任何方式趨向于該點(diǎn)。

4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在

當(dāng)x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動(dòng)的所以不存在

而當(dāng)x->0,y->0時(shí)

由|sin(1/x)|0,y->0時(shí)，f的極限就為0 這個(gè)就是你說的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說的

正無窮或負(fù)無窮或無窮，我想這個(gè)就可以了 就我這個(gè)我就線了好久了 5

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二元函數(shù)極限證明

(一)時(shí)函數(shù)的極限： 以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.) 幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證…… (二)時(shí)函數(shù)的極限： 由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

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二元函數(shù)極限證明

=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí)) 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。 教學(xué)方法：講練結(jié)合。 一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號(hào)性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有) 註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性: 6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

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二元函數(shù)極限證明

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個(gè)極限： (注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值) 這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.例1(利用極限和) 例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4 例5例6例7 §2二元函數(shù)的極限 (一)教學(xué)目的：

掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．

(二)教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的極限的定義；累次極限． 基本要求：

(1)掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法．

(2)較高要求：掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，能用來處理極限存在性問題．

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二元函數(shù)極限證明

(三)教學(xué)建議：

(1)要求學(xué)生弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會(huì)他們求多元函數(shù)極

限的方法．

(2)對(duì)較好學(xué)生講清重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，通過舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法．

一二元函數(shù)的極限

先回憶一下一元函數(shù)的極限：limf(x)?a的“???”定義(c31)： x?x0 0設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一空心鄰域u(x0,?1)內(nèi)由定義，如果對(duì) ???0,當(dāng)

x?u(x0,?)

，

即

|x?x0|??

時(shí)

，

都

有|f(x)?a|??，???0,???1，

則稱x?x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a.類似的，我們也可以定義二元函數(shù)的極限如下：

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為定義在d?r2上的二元函數(shù)，在點(diǎn)p0(x0,y0)為d的一個(gè)聚點(diǎn)，

a是一個(gè)確定的常數(shù)，如果對(duì)???0,???0，使得當(dāng)p(x,y)?u(p0,?)?d時(shí)，0都有|f(p)?a|??，則稱f在d上當(dāng)p?p0時(shí)，以a為極限。記作

p?p0p?dlimf(p)?a

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二元函數(shù)極限證明

也可簡寫為limf(p)?a或 p?p0(x,y)?(x0,y0) 2limf(x,y)?a例1用定義驗(yàn)證 2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1| ?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1| 限制在（2，1）的鄰域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1} |x?3|?6, |x?y?1|?6 取??min{1,?/6}，則有 |x?xy?y|?? 由二元函數(shù)極限定義lim (x,y)?(2,1) (x?xy?y)?7 22 22 ?x?y ,(x,y)?(0,0)?xy22 例2f(x,y)??x?y， ?0,(x,y)?(0,0)?

證

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二元函數(shù)極限證明

證明lim (x,y)?(0,0) f(x,y)?0 x?yx?y 22 22 證|f(x,y)|?|xy 所以 lim (x,y)?(0,0) |?|xy| lim (x,y)?(0,0) |f(x,y)|?lim (x,y)?(0,0) |xy|?0 |f(x,y)|?0 對(duì)于二元函數(shù)的極限的定義，要注意下面一點(diǎn)： p?p0

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二元函數(shù)極限證明

limf(p)?a是指：p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)，包括沿任何直線，沿任

何曲線趨于p0(x0,y0)時(shí)，f(x,y)必須趨于同一確定的常數(shù)。 對(duì)于一元函數(shù)，x僅需沿x軸從x0的左右兩個(gè)方向趨于x0，但是對(duì)于二元函數(shù)，p趨于p0的路線有無窮多條，只要有兩條路線，p趨于p0時(shí)，函數(shù)f(x,y)的值趨于不同的常數(shù)，二元函數(shù)在p0點(diǎn)極限就不存在。

?1,0?y?x2 例1二元函數(shù)f(x,y)?? ?0,rest 請(qǐng)看圖像（x62），盡管p(x,y)沿任何直線趨于原點(diǎn)時(shí)f(x,y)都趨于零，但也不能說該函數(shù)在原點(diǎn)的極限就是零，因?yàn)楫?dāng)p(x,y)沿拋物線y?kx,0?k?1時(shí)，f(x,y)的值趨于１而不趨于零，所以極限不存在。

(考慮沿直線y?kx的方向極限).?x2y ,? 例2設(shè)函數(shù)f(x,y)??x2?y2 ?0,? (x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) 求證limf(x,y)?0

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二元函數(shù)極限證明

x?0 y?0 證明因?yàn)閨f(x,y)?0|? x|y|x?y ? x|y|x ?|y| 所以，當(dāng)(x,y)?(0,0)時(shí)，f(x,y)?0。

請(qǐng)看它的圖像，不管p(x,y)沿任何方向趨于原點(diǎn)，f(x,y)的值都趨于零。

通常為證明極限limf(p)不存在,可證明沿某個(gè)方向的極限不存在,或證明沿某兩

p?p0 個(gè)方向的極限不相等,或證明方向極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意,沿任何方向的極限存在且相等??全面極限存在.例3 設(shè)函數(shù)

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) ?xy ,?22 f(x,y)??x?y

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二元函數(shù)極限證明

?0,? 證明函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)處極限不存在。 證明盡管p(x,y)沿ｘ軸和ｙ軸

趨于原點(diǎn)時(shí)(f(x,y)的值都趨于零，但沿直線y?mx趨于原點(diǎn)時(shí) x?mxx?(mx) f(x,y)?? mx 22 (1?m)x ? m1?m 沿斜率不同的直線趨于原點(diǎn)時(shí)極限不一樣，請(qǐng)看它的圖象,例１沿任何路線趨于原點(diǎn)時(shí)，

極

限都是0，但例２沿不同的路線趨于原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，所以其極限不存在。

例4 非正常極限極限 lim (x,y)?(x0,y0)

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二元函數(shù)極限證明

判別函數(shù)f(x,y)? xy?1?1x?y 在原點(diǎn)是否存在極限.f(x,y)???的定義: 12x?3y 例1設(shè)函數(shù)f(x,y)?證明limf(x,y)?? x?0y?0 證| 12x?3y |?| 13(x?y) | 只要取?? 16m |x?0|??,|y?0|??時(shí)，都有 | 12x?3y16? 22 |?| 13(x?y)

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| ??m 12x?3y 請(qǐng)看它的圖象，因此是無窮大量。 例2求下列極限:i) lim xyx?y 22 ;ii) (x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0) lim sinxyy ; iii) (x,y)?(0,0) lim xy?1?1xy ;iv) (x,y)?(0,0) lim

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ln(1?x?y) x?y 22 .二.累次極限:累次極限

前面講了p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)時(shí)的極限，我們稱它為二重極限，對(duì)于兩個(gè)自變量x,y依一定次序趨于x0,y0時(shí)f(x,y)的極限，稱為累次極限。對(duì)于二元函數(shù)f(x,y)在p0(x0,y0)的累次極限由兩個(gè)

limlimf(x,y)和limlimf(x,y) y?y0x?x0 x?x0y?y0 例1 f(x,y)? xyx?yx?yx?y 222 ,求在點(diǎn)(0,0)的兩個(gè)累次極限.22 例2f(x,y)?,求在點(diǎn)(0,0)的兩個(gè)累次極限.例3f(x,y)?xs(請(qǐng)你支持：)in

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二元函數(shù)極限證明

1y ?ysin 1x ,求在點(diǎn)(0,0)的兩個(gè)累次極限.二重極限與累次極限的關(guān)系: （１）兩個(gè)累次極限可以相等也可以不相等，所以計(jì)算累次極限

例函數(shù)f(x,y)? x?y?x?y x?y 22 的兩個(gè)累次極限是y?yyx?xx 22 limlim x?y?x?y x?yx?y?x?y x?y y?0x?0 ?lim y?0

15 / 29 時(shí)一定要注意不能隨意改變它們的次序。二元函數(shù)極限證明

?lim(y?1)??1 y?0 ?lim(x?1)?1 x?0 limlim x?0y?0 ?lim x?0 （２）兩個(gè)累次極限即使都存在而且相等，也不能