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第一篇：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明

§2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明

教學(xué)目的：掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明思路與方法，加深對(duì)實(shí)數(shù)完備性若干定理的理解。重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)為其證明思路與方法。教學(xué)方法：講練結(jié)合。

在本節(jié)中，我們利用實(shí)數(shù)完備性的基本定理，來(lái)證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)．

有界性定理

若函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上有界．

證

[證法一](應(yīng)用有限覆蓋定理)由連續(xù)函數(shù)的局部有界性(定理4．2)，對(duì)每一點(diǎn)x???a,b?,都存在鄰域U(x?;?x?)及正數(shù)Mx?，使得f(x)?Mx?,x?U(x?;?x?)??a,b?.考慮開區(qū)間集

H?U(x?;?x?)x???a,b?, 顯然?是?a,b?的一個(gè)無(wú)限開覆蓋．由有限覆蓋定理，存在?的一個(gè)有限子集

???*??U?xi;?i?xi??a,b?,i?1,2,?,k?

覆蓋了?a,b?，且存在正數(shù)M1,M2,?,Mk，使得對(duì)一切x?U?xi;?i???a,b?有f?x??Mi,i?1,2,?,k.令

M?maxMi，1?i?k則對(duì)任何x??a,b?，x必屬于某U?xi;?i??f?x??Mi?M．即證得f在?a,b?上有界．

[證法二](應(yīng)用致密性定理)倘若f在?a,b?上無(wú)上界，則對(duì)任何正整數(shù)n，存在xn??a,b?，使得f?xn??n．依次取n?1,2,?，則得到數(shù)列?xn???a,b?．由致密性定理，它含有收斂子列xnk，記limxnk??。由a?xnk?b及數(shù)列極限的保不等式性，???a,b?．利用f在點(diǎn)?連續(xù)，推得

k????limfxnk?f??????

k????另一方面，由xn的選取方法又有fxnk?nk?k????limfxnk???

k??????與(1)式矛盾．所以f在?a,b?有上界．類似可證f在?a,b?有下界，從而f在?a,b?上有界.最大、最小值定理 若函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上有最大值與最小值．

證

(應(yīng)用確界原理)已證f在?a,b?上有界，故由確界原理，f的值域f??a,b??有上確界，記為M．以下我們證明：存在???a,b?，使f????M．倘若不然，對(duì)一切x??a,b?都有f?x??M．令

第七章第二節(jié)第1頁(yè)

g?x??1,x?[a,b]

M?f(x)易見g在?a,b?連續(xù),故g在?a,b?有上界.設(shè)G是g的一個(gè)上界,則

0?g?x??1,x?[a,b]

M?f(x)1,x?[a,b] G從而推得f?x??M?但這與M為f??a,b??的上確界矛盾.故必存在???a,b?,使f????M,即f在?a,b?上有最大值,同理可證f在?a,b?上有最小值.介值性定理 設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f?a??f?b?.若?為介于f?a?與f?b?之間的任何實(shí)數(shù),則存在x0??a,b?，使得f?x0???

證[證法一](應(yīng)用確界原理)不妨設(shè) f?a????f?b?．令 g?x?= f?x???，則g也是 ?a,b?上的連續(xù)函數(shù)，且g?a??0,g?b??0.于是定理的結(jié)論轉(zhuǎn)化為：存在x0??a,b?，使得g?x0??0．這個(gè)簡(jiǎn)化的情形稱為根的存在性定理．

記???g?x??0,x??a,b??．顯然?為非空有界數(shù)集(???a,b?且b??)，故由確界原理，?有下確界，記x0?inf?．因g?a??0,g?b??0，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在??0，使得在?a,a???內(nèi)g?x??0，在?b??,b?內(nèi)g?x??0，由此易見x0?a,x0?b，即x0??a,b?．

下證g?x0??0．倘若g?x0??0，不妨設(shè)g?x0??0，則又由局部保號(hào)性，存在U?x0;?????a,b??，使在其內(nèi)g?x??0，特別有g(shù)?x0???????0?x0???．但這與x0?inf?正相矛盾，故必有2?2?g?x0??0．

[證法二](應(yīng)用區(qū)間套定理)同上述證法一，我們把問題轉(zhuǎn)化為證明根的存在性定理，即若函數(shù)g在?a,b?上連續(xù)，g?a??0,g?b??0，則存在x0??a,b?，使得g?x0??0．

將?a,b?等分為兩個(gè)子區(qū)間?a,c?與?b,c?．若g?c??0，則c即為所求；若g?c??0，則當(dāng)g?c??0時(shí)記?a1,b1???a,c?，當(dāng)g?c??0時(shí)記?a1,b1???c,b?。于是有g(shù)?a1??0,g?b1??0，且

第七章第二節(jié)第2頁(yè)

?a1,b1???a,b?,b1?a1?1?b?a?． 2再?gòu)膮^(qū)間?a1,b1?出發(fā)，重復(fù)上述過程，得到：或者在?a1,b1?的中點(diǎn)c1上有g(shù)?c1??0，或者有閉區(qū)間?a2,b2?，滿足g?a2??0,g?b2??0，且

?a2,b2???a1,b1?,b2?a2?1?b?a? 22

將上述過程不斷地進(jìn)行下去，可能出現(xiàn)兩種情形：

(1)在某一區(qū)間的中點(diǎn)ci上有g(shù)?ci??0，則ci即為所求；

(2)在任一區(qū)間的中點(diǎn)ci上均有g(shù)?ci??0，則得到閉區(qū)間列

??an,bn??,滿足g?an??0,g?bn??0，且

?an?1,bn?1???an,bn?,bn?an?1?b?a?,n?1,2,?.n2由區(qū)間套定理，存在點(diǎn)x0??an,bn?,n?1,2,?.下證．g?x0??0，倘若g?x0??0，不妨設(shè)g?x0??0，則由局部保號(hào)性，存在U?x0;??,使在其內(nèi)有g(shù)?x??0．而由定理7.1的推論，當(dāng)n充分大時(shí)有?an,bn??U?x0;??，因而有g(shù)?an??0．但這與?an,bn?選取時(shí)應(yīng)滿足的g?an??0相矛盾，故必有g(shù)?x0??0

一致連續(xù)性定理

若函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上一致連續(xù)．

證[證法一](應(yīng)用有限覆蓋定理)由f在?a,b?上的連續(xù)性，任給??0，對(duì)每一點(diǎn)x??a,b?，都存在?x?0，使得當(dāng)x??U?x;?x?時(shí)有

f?x???f?x??考慮開區(qū)間集合 ???U?x,?2.(2)???x???x??a,b??

??2??顯然H是?a,b?的一個(gè)開覆蓋．由有限覆蓋定理，存在H的一個(gè)有限子集

???U?xi,*?????i???i?1,2,?,k? 2??覆蓋了?a,b?．記??min???i???0 1?i?k2??*對(duì)任何x?,x????a,b?,x??x????,x?必屬于?中某開區(qū)間,設(shè)x??U?xi;???i???即x??xi?i.22?第七章第二節(jié)第3頁(yè)

此時(shí)有x???xi?x???x??x??xi???故由(2)式同時(shí)有f?x???f?xi???i2??i2??i2??i

?2

和

f?x????f?xi???2

由此得f?x???f?x?????.所以f在?a,b?上一致連續(xù).[證法二](應(yīng)用致密性定理)用反證法.倘若f在?a,b?上不一致連續(xù),則存在某?0?0,對(duì)任何??0,都存在相應(yīng)的兩點(diǎn)x?,x????a,b?,盡管x??x????,但有

f?x???f?x?????0.令??11?,xn????a,b?，盡管x??x???,但有

(n為正整數(shù))，與它相應(yīng)的兩點(diǎn)記為xnnn???f?xn?????0.(3)

f?xn??與?xn?????a,b?．由致密性定理，存在?xn??的收斂子列xn?k，當(dāng)n取遍所有正整數(shù)時(shí)，得數(shù)列?xn???k?x0??a,b??k???．同時(shí)由 設(shè)xn?k?xn??k?xn1??k?x0?xn??k?xn?k?xn?k?x0?0?xnnk?k???

??k?x0?k???。又得xn?k?fxn??k??0，最后，由(3)式有

fxn在上式中令 k???，由 f的連續(xù)性及數(shù)列極限的保不等式性，得到

?????k?fxn??k??0，0?f?x0??f?x0??limfxnk??????這與?0?0相矛盾．所以f在?a,b?上一致連續(xù)．

第七章第二節(jié)第4頁(yè)

第二篇：高數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教案模版

第17、18課時(shí)：【教學(xué)目的】

1、掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)；

2、熟練掌握零點(diǎn)定理及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】

1、介值性定理及其應(yīng)用；

2、零點(diǎn)定理及其應(yīng)用。【教學(xué)難點(diǎn)】

介值性定理及其應(yīng)用

§1? 10 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、有界性與最大值與最小值

最大值與最小值? 對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)? 如果有x0?I? 使得對(duì)于任一x?I都有

f(x)?f(x0)(f(x)?f(x0))?

則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值（最小值）?

例如? 函數(shù)f(x)?1?sin x在區(qū)間[0? 2?]上有最大值2和最小值0? 又如? 函數(shù)f(x)?sgn x 在區(qū)間(??? ??)內(nèi)有最大值 1和最小值?1? 在開區(qū)間(0? ??)內(nèi)? sgn x的最大值和最小值都是1? 但函數(shù)f(x)?x在開區(qū)間(a? b)內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值?

定理1（最大值和最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值?

定理1說明? 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 那么至少有一點(diǎn)?1?[a? b]? 使f(?1)是f(x)在[a? b]上的最大值? 又至少有一點(diǎn)? 2?[a? b]? 使f(? 2)是f(x)在[a? b]上的最小值?

注意? 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)? 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)? 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值?

例? 在開區(qū)間(a? b)考察函數(shù)y?x?

又如? 如圖所示的函數(shù)在閉區(qū)間[0? 2]上無(wú)最大值和最小值?

?x?1 0?x?1??y?f(x)??1 x?1?

???x?3 1?x?

2定理2（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界?

二、零點(diǎn)定理與介值定理

零點(diǎn)? 如果x0 使f(x0)?0? 則x0 稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)?

定理3（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 且f(a)與f(b)異號(hào)? 那么在開區(qū)間(a? b)內(nèi)至少有一點(diǎn)??使f(?)?0?

定理4（介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值

f(a)?A及f(b)?B? 那么? 對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C? 在開區(qū)間(a? b)內(nèi)至少有一點(diǎn)? ? 使得

f(?)?C ?

定理4（?介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 且f(a)?f(b)? 那么? 對(duì)于f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)數(shù)C? 在開區(qū)間(a? b)內(nèi)至少有一點(diǎn)? ? 使得

f(?)?C ?

證? 設(shè)?(x)?f(x)?C? 則?(x)在閉區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 且?(a)?A?C與?(b)?B?C異號(hào)? 根據(jù)零點(diǎn)定理? 在開區(qū)間(a? b)內(nèi)至少有一點(diǎn)? 使得

?(?)?0(a

但?(?)?f(?)?C? 因此由上式即得

f(?)?C(a

定理4 的幾何意義? 連續(xù)曲線弧y?f(x)與水平直線y?C至少交于一點(diǎn)?

推論

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值?

例1? 證明方程x 3?4x 2?1?0在區(qū)間（0? 1）內(nèi)至少有一個(gè)根?

證?

函數(shù)f(x)? x 3?4x 2?1在閉區(qū)間[0? 1]上連續(xù)? 又f(0)?1>0?

f(1)??2

根據(jù)零點(diǎn)定理? 在(0? 1)內(nèi)至少有一點(diǎn)? ? 使得f(?)?0? 即

? 3?4? 2?1?0(0

這等式說明方程x 3?4x 2?1?0在區(qū)間（0? 1）內(nèi)至少有一個(gè)根是? ?

第三篇：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明題的解題方法

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閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明題的解題方法 作者：朱云鵬 張?zhí)?/p>

來(lái)源：《學(xué)園》2013年第34期

【摘 要】在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，證明題是非常重要的一類題型，也是讓學(xué)生感到最棘手的一類題型。尤其是剛剛接觸高等數(shù)學(xué)的初學(xué)者，適應(yīng)和掌握高等數(shù)學(xué)的證明思路需要一定的積累過程。關(guān)于“閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)”的證明題，本文給出了“直接證明法”與“輔助函數(shù)法”兩種方法，對(duì)其加以總結(jié)并給出了相應(yīng)例題，希望對(duì)初學(xué)者與考研復(fù)習(xí)的同學(xué)有所幫助。

【關(guān)鍵詞】連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 證明方法 輔助函數(shù) 零點(diǎn)定理 介值定理

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2013）34-0062-01

三 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于證明類的題型，在高等數(shù)學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)過程中需要反復(fù)總結(jié)方法，并形成一種證明邏輯，靈活運(yùn)用定理證明各種問題。當(dāng)然，讀者在看完以上證明方法之后，最好能夠總結(jié)提煉出自己的方法，能真正在應(yīng)試和學(xué)習(xí)的過程中找到適合自己的證明方法，真正掌握連續(xù)函數(shù)的定義及其性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

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[3]盛祥耀、葛嚴(yán)麟、胡金德等.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003〔責(zé)任編輯：范可〕