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三角形的重心定理及其證明
積石中學(xué)王有華
同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何時(shí)，常常用到三角形的重心定理.但很多同學(xué)不會(huì)證明這個(gè)定理？下面給出三種證明方法，你閱讀后想一想，哪一種證明方法最好.已知：（如圖）設(shè)?ABC中，L、M、N分
別是BC、CA、AB的中點(diǎn).求證：AL、BM、CN相交于一點(diǎn)G，且
AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.BC證明1（平面幾何法）：（如圖1）假設(shè)中
線AL與BM交于G，而且假設(shè)C與G的連線與AB邊交于N，首先來證明N是AB的中點(diǎn).現(xiàn)在，延長(zhǎng)GL，并在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，使GL=LD。因?yàn)樗倪呅蜝DCG的對(duì)角線互相平分，所以BDCG是平行四邊形.從而，BG∥DC，即GM∥DC.但M是AC的中點(diǎn)，因此，G是AD的中點(diǎn).另一方面，GC∥BD，即NG∥BD.但G是AD的中點(diǎn)，因此N是AB的中點(diǎn).另外，G是AD的中點(diǎn)，因此AG﹕GL=2﹕1.同理可證：BG﹕GM=2﹕1，CG﹕GN=2﹕1.這個(gè)點(diǎn)G被叫做?ABC的重心.證明2（向量法）：（如圖2）在?ABC中，設(shè)AB邊上的中
1線為CN，AC邊上的中線為BM，其交點(diǎn)為G，邊BC的中點(diǎn)為L(zhǎng)，連接AG和GL，因?yàn)锽、G、M三點(diǎn)共線，且M是AC的中點(diǎn)，?????????
所以向量BG∥BM，所以，存在實(shí)數(shù)?
1C
??????????????????????????BG??1BM，即 AG?AB??1(AM?AB)
?????????????
所以，AG??1AM?(1??1)AB，使得
????????
=?1AC?(1??1)AB
同理，因?yàn)镃、G、N三點(diǎn)共線，且N是AB的中點(diǎn).所
????????????
以存在實(shí)數(shù)?2，使得 AG??2AN?(1??2)AC
????????1= ?2AB?(1??2)AC
2????????????????1所以?1AC?(1??1)AB = ?2AB?(1??2)AC 22
?????????
又因?yàn)锳B、AC 不共線，所以 ?
121
2?1?1??2
?
?2?1??
1???????????????
因?yàn)長(zhǎng)是BC的中點(diǎn)，所以GL?GA?AC?CL
?2????1?????????1????????1????1???1???
=?(AB?AC)?AC?CB =?AB?AC?(AB?AC)
332332
????1????1????
所以 ?1??2?，所以 AG?AB?AC.33
3?????????1????1???
=AB?AC，即AG?2GL66，所以A、G、L三點(diǎn)共線.故AL、BM、CN相交于一點(diǎn)G，且AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕
1證明3（向量法）（如圖3）在?ABC中，BC的中點(diǎn)L
????1????????
對(duì)應(yīng)于OL?(OB?OC)，中線AL上的任意一點(diǎn)G，有
????????????
OG??OA?(1??)OL
????1??????1????????OA?2OB?
2OC.同理，AB的中線
CN上的任意點(diǎn)
G′，?????????OG???OC?1??????12A???????
O2
OB，求中線AL和CN的交點(diǎn)，就是要找一個(gè)?和一個(gè)?，使
?????????OG?OG?.因此，我們令??
1??
1??1??1??2，?，??
.解之
得?1
????????????3.所以O(shè)G?OG??1????1????1????
3OA?3OB?
3OC.由對(duì)稱性可知，第三條中線也經(jīng)過點(diǎn)G.故AL、CN、BM相交于一點(diǎn)G，且易證AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.
