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三角形內(nèi)角平分線定理的多種證明方法

已知，如圖，AM為△ABC的角平分線，求證AB／AC=MB／MC

證明：方法一：（面積法）

三角形ABM面積S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM, 三角形ACM面積S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM, 所以三角形ABM面積S：三角形ACM面積S=AB:AC 又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面積的比等于底的比，即三角形ABM面積S：三角形ACM面積S=BM:CM 所以AB／AC=MB／MC 方法二（相似形）

過C作CN平行于AB交AM的延長線于N 三角形ABM相似三角形NCM, AB/NC=BM/CM, 又可證明∠CAN=∠ANC 所以AC=CN，所以AB／AC=MB／MC 方法三（相似形）

過M作MN平行于AB交AC于N 三角形ABC相似三角形NMC, AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可證明∠CAM=∠AMN 所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC所以AB／AC=MB／MC

方法四（正弦定理）

作三角形的外接圓，AM交圓于D，由正弦定理，得，AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180 sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, 所以AB／AC=MB／MC

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三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例。

已知：△ABC中，AD是角平分線（如圖1），求證：=。

分析：要證=，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在的三角形相似，現(xiàn)在B、D、C在一條直線，△ABD與△ADC不相似，需要考慮用別的方法換比。

在比例式=中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例項，所以考慮過C作CE∥AD交BA的延長線于E，從而得到BD、DC、AB的

第四比例項AE，這樣，證明（1）完成證明過程： 證明：

=，就可轉(zhuǎn)化證=。

（2）上述證明過程中，用到了哪些定理（寫對兩個即可）答：用了：①____________；②_____________。

（3）在上述分析和你的證明過程中，主要用到了下列三種數(shù)學(xué)思想的哪一種：①數(shù)形結(jié)合思想 ②轉(zhuǎn)化思想 ③分類討論思想 答：____________。（4）用三角形內(nèi)角平分線定理解答問題：

如圖2，△ABC中，AD是角平分線，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC之長。

（1）證明：過點C作CE//AD交BA的延長線于點E，則∠E=∠BAD=∠DAC=∠ECA，所以AE=AC，由CE//AD，可得=，∴=。

（2）兩直線平行，同位角相等；等腰三角形的判定；三角形相似的判定的定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（3）②；（4）“略”