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令y=x, lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y
=lim(x趨于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y
= lim(x趨于0) x^3-x^2/ x^2 =-1
兩種情況極限值不同，故原極限不存在
2答案： 首先需要二項式定理：
(a+b)^n=∑ C(i=0 C i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)
用數學歸納法證此定理：
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此，n=1時，式一成立。
設n1為任一自然數，假設n=n1時，(式一)成立 ，即：
(a+b)^n1=∑ C(i=0 C i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i (式二)
則，當n=n1+1時:
式二兩端同乘(a+b)
[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ C(i=0 C i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
= (a+b)^(n1+1)= ∑ C(i=0 C i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 據乘法分配律)
因此二項式定理(即式一成立)
