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第一篇：元函數(shù)極限證明

二元函數(shù)極限證明

二元函數(shù)極限證明

設(shè)p=f(x,y),p0=(a,b)，當(dāng)p→p0時(shí)f(x,y)的極限是x,y同時(shí)趨向于a,b時(shí)所得到的稱為二重極限。

此外，我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時(shí)的極限,稱為二次極限。

我們必須注意有以下幾種情形：’

(1)兩個(gè)二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在 (2)兩個(gè)二次極限存在而不相等

(3)兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在 2 函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在，不妨設(shè)：limf(x)=a(x→x0) 根據(jù)定義:對(duì)任意ε>0,存在δ>0,使當(dāng)|x-x0|

而|x-x0|

又因?yàn)棣庞腥我庑?故可取ε=1,則有:|f(x)-a|0,當(dāng)任意x屬于x0的某個(gè)鄰域u(x0;δ)時(shí),有|f(x)| 證畢

3首先，我的方法不正規(guī)，其次，正確不正確有待考察。

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1，y以y=x^2-x的路徑趨于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨于0結(jié)果是無(wú)窮大。

2，3可以用類似的方法，貌似同濟(jì)書上是這么說(shuō)的，二元函數(shù)在該點(diǎn)極限存在，是p(x,y)以任何方式趨向于該點(diǎn)。

4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在

當(dāng)x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動(dòng)的所以不存在

而當(dāng)x->0,y->0時(shí)

由|sin(1/x)|0,y->0時(shí)，f的極限就為0 這個(gè)就是你說(shuō)的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說(shuō)的

正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮或無(wú)窮，我想這個(gè)就可以了 就我這個(gè)我就線了好久了 5

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(一)時(shí)函數(shù)的極限： 以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.) 幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語(yǔ)言介紹幾何意義.例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證…… (二)時(shí)函數(shù)的極限： 由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

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=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí)) 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。 教學(xué)方法：講練結(jié)合。 一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號(hào)性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有) 註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說(shuō)明.5.迫斂性: 6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

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(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過(guò)以下幾個(gè)極限： (注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值) 這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過(guò)有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.例1(利用極限和) 例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4 例5例6例7 §2二元函數(shù)的極限 (一)教學(xué)目的：

掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．

(二)教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的極限的定義；累次極限． 基本要求：

(1)掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法．

(2)較高要求：掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，能用來(lái)處理極限存在性問(wèn)題．

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(三)教學(xué)建議：

(1)要求學(xué)生弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會(huì)他們求多元函數(shù)極

限的方法．

(2)對(duì)較好學(xué)生講清重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，通過(guò)舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法．

一二元函數(shù)的極限

先回憶一下一元函數(shù)的極限：limf(x)?a的“???”定義(c31)： x?x0 0設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一空心鄰域u(x0,?1)內(nèi)由定義，如果對(duì) ???0,當(dāng)

x?u(x0,?)

，

即

|x?x0|??

時(shí)

，

都

有|f(x)?a|??，???0,???1，

則稱x?x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a.類似的，我們也可以定義二元函數(shù)的極限如下：

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為定義在d?r2上的二元函數(shù)，在點(diǎn)p0(x0,y0)為d的一個(gè)聚點(diǎn)，

a是一個(gè)確定的常數(shù)，如果對(duì)???0,???0，使得當(dāng)p(x,y)?u(p0,?)?d時(shí)，0都有|f(p)?a|??，則稱f在d上當(dāng)p?p0時(shí)，以a為極限。記作

p?p0p?dlimf(p)?a

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也可簡(jiǎn)寫為limf(p)?a或 p?p0(x,y)?(x0,y0) 2limf(x,y)?a例1用定義驗(yàn)證 2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1| ?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1| 限制在（2，1）的鄰域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1} |x?3|?6, |x?y?1|?6 取??min{1,?/6}，則有 |x?xy?y|?? 由二元函數(shù)極限定義lim (x,y)?(2,1) (x?xy?y)?7 22 22 ?x?y ,(x,y)?(0,0)?xy22 例2f(x,y)??x?y， ?0,(x,y)?(0,0)?

證

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證明lim (x,y)?(0,0) f(x,y)?0 x?yx?y 22 22 證|f(x,y)|?|xy 所以 lim (x,y)?(0,0) |?|xy| lim (x,y)?(0,0) |f(x,y)|?lim (x,y)?(0,0) |xy|?0 |f(x,y)|?0 對(duì)于二元函數(shù)的極限的定義，要注意下面一點(diǎn)： p?p0

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limf(p)?a是指：p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)，包括沿任何直線，沿任

何曲線趨于p0(x0,y0)時(shí)，f(x,y)必須趨于同一確定的常數(shù)。 對(duì)于一元函數(shù)，x僅需沿x軸從x0的左右兩個(gè)方向趨于x0，但是對(duì)于二元函數(shù)，p趨于p0的路線有無(wú)窮多條，只要有兩條路線，p趨于p0時(shí)，函數(shù)f(x,y)的值趨于不同的常數(shù)，二元函數(shù)在p0點(diǎn)極限就不存在。

?1,0?y?x2 例1二元函數(shù)f(x,y)?? ?0,rest 請(qǐng)看圖像（x62），盡管p(x,y)沿任何直線趨于原點(diǎn)時(shí)f(x,y)都趨于零，但也不能說(shuō)該函數(shù)在原點(diǎn)的極限就是零，因?yàn)楫?dāng)p(x,y)沿拋物線y?kx,0?k?1時(shí)，f(x,y)的值趨于１而不趨于零，所以極限不存在。

(考慮沿直線y?kx的方向極限).?x2y ,? 例2設(shè)函數(shù)f(x,y)??x2?y2 ?0,? (x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) 求證limf(x,y)?0

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x?0 y?0 證明因?yàn)閨f(x,y)?0|? x|y|x?y ? x|y|x ?|y| 所以，當(dāng)(x,y)?(0,0)時(shí)，f(x,y)?0。

請(qǐng)看它的圖像，不管p(x,y)沿任何方向趨于原點(diǎn)，f(x,y)的值都趨于零。

通常為證明極限limf(p)不存在,可證明沿某個(gè)方向的極限不存在,或證明沿某兩

p?p0 個(gè)方向的極限不相等,或證明方向極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意,沿任何方向的極限存在且相等??全面極限存在.例3 設(shè)函數(shù)

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) ?xy ,?22 f(x,y)??x?y

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?0,? 證明函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)處極限不存在。 證明盡管p(x,y)沿ｘ軸和ｙ軸

趨于原點(diǎn)時(shí)(f(x,y)的值都趨于零，但沿直線y?mx趨于原點(diǎn)時(shí) x?mxx?(mx) f(x,y)?? mx 22 (1?m)x ? m1?m 沿斜率不同的直線趨于原點(diǎn)時(shí)極限不一樣，請(qǐng)看它的圖象,例１沿任何路線趨于原點(diǎn)時(shí)，

極

限都是0，但例２沿不同的路線趨于原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，所以其極限不存在。

例4 非正常極限極限 lim (x,y)?(x0,y0)

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判別函數(shù)f(x,y)? xy?1?1x?y 在原點(diǎn)是否存在極限.f(x,y)???的定義: 12x?3y 例1設(shè)函數(shù)f(x,y)?證明limf(x,y)?? x?0y?0 證| 12x?3y |?| 13(x?y) | 只要取?? 16m |x?0|??,|y?0|??時(shí)，都有 | 12x?3y16? 22 |?| 13(x?y)

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| ??m 12x?3y 請(qǐng)看它的圖象，因此是無(wú)窮大量。 例2求下列極限:i) lim xyx?y 22 ;ii) (x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0) lim sinxyy ; iii) (x,y)?(0,0) lim xy?1?1xy ;iv) (x,y)?(0,0) lim

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ln(1?x?y) x?y 22 .二.累次極限:累次極限

前面講了p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)時(shí)的極限，我們稱它為二重極限，對(duì)于兩個(gè)自變量x,y依一定次序趨于x0,y0時(shí)f(x,y)的極限，稱為累次極限。對(duì)于二元函數(shù)f(x,y)在p0(x0,y0)的累次極限由兩個(gè)

limlimf(x,y)和limlimf(x,y) y?y0x?x0 x?x0y?y0 例1 f(x,y)? xyx?yx?yx?y 222 ,求在點(diǎn)(0,0)的兩個(gè)累次極限.22 例2f(x,y)?,求在點(diǎn)(0,0)的兩個(gè)累次極限.例3f(x,y)?xs(請(qǐng)你支持：)in

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1y ?ysin 1x ,求在點(diǎn)(0,0)的兩個(gè)累次極限.二重極限與累次極限的關(guān)系: （１）兩個(gè)累次極限可以相等也可以不相等，所以計(jì)算累次極限

例函數(shù)f(x,y)? x?y?x?y x?y 22 的兩個(gè)累次極限是y?yyx?xx 22 limlim x?y?x?y x?yx?y?x?y x?y y?0x?0 ?lim y?0

15 / 29 時(shí)一定要注意不能隨意改變它們的次序。二元函數(shù)極限證明

?lim(y?1)??1 y?0 ?lim(x?1)?1 x?0 limlim x?0y?0 ?lim x?0 （２）兩個(gè)累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在例f(x,y)? xyx?y xyx?y ，兩個(gè)累次極限都存在 limlim y?0x?0 ?0,limlim xyx?y x?0y?0 ?0

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二元函數(shù)極限證明

但二重極限卻不存在，事實(shí)上若點(diǎn)p(x,)沿直線y?kx趨于原點(diǎn)時(shí)，

kx f(x,y)? x?(kx) ? k1?k 二重極限存在也不能保證累次極限存在

二重極限存在時(shí),兩個(gè)累次極限可以不存在.例函數(shù)f(x,y)?xsin 1y?ysin 1x 由|f(x,y)|?|x|?|y|?0,(x,y)?(0,0).可見二重極限存在,但 1x limsin x?0 和limsin y?0 1y 不存在，從而兩個(gè)累次極限不存在。 （4）二重極限極限lim

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(x,y)?(x0,y0) f(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存 x?x0y?y0 在,則必相等.(證) （5）累次極限與二重極限的關(guān)系

若累次極限和二重極限都存在，則它們必相等 二元函數(shù)極限的研究 作者：鄭露遙指導(dǎo)教師：楊翠

摘要函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，本文討論了二元函數(shù)極限的定義、二元函數(shù)極限存在或不存在的判定方法、求二元函數(shù)極限的方法、簡(jiǎn)單討論二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的關(guān)系以及二元函數(shù)極限復(fù)雜的原因、最后討論二重極限與累次極限的關(guān)系。

關(guān)鍵詞二元函數(shù)極限、累次極限、二重極限、連續(xù)性、判別法、洛必達(dá)法則、運(yùn)算定理

1引言

函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容,關(guān)于一元函數(shù)的極限及其求法,各種教材中都有詳盡的說(shuō)明。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如,在極運(yùn)算法則上,它們是一致的,但隨著變量個(gè)數(shù)的增加,二元函數(shù)極限比一元函數(shù)

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二元函數(shù)極限證明

極限變得復(fù)雜得多,但目前的各類教材、教學(xué)參考書中有關(guān)二元函數(shù)極限的求法介紹不夠詳二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個(gè)基本概念,它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個(gè)定值時(shí),函數(shù)值的變化趨勢(shì)。是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的問(wèn)題。但是,一般來(lái)說(shuō),二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限,無(wú)論從計(jì)算還是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問(wèn)題作如下探討求一元函數(shù)的極限問(wèn)題,主要困難多數(shù)集中于求未定型極限問(wèn)題,而所有未定型的極限又總可轉(zhuǎn)化為兩類基本型即00與∞∞型,解決這兩類基本未定型的有力工具是洛泌達(dá)(lhospital)法則。類似地,二元函數(shù)基本未定型的極限問(wèn)題也有相似的洛泌達(dá)法則。為了敘述上的方便,對(duì)它的特殊情形(即(x0,y0)=(0,0))作出如下研究,并得到相應(yīng)的法則與定理。二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個(gè)基本概念,它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個(gè)定值時(shí),函數(shù)

值的變化趨勢(shì)。是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的問(wèn)題。但是,一 般來(lái)說(shuō),二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限,無(wú)論從計(jì)算還 是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問(wèn)題作如 下探討。

§2.3二元函數(shù)的極限與連續(xù) 定義

設(shè)二元函數(shù)有意義,若存在

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二元函數(shù)極限證明

常數(shù)a, 都有

則稱a是函數(shù)當(dāng)點(diǎn)趨于點(diǎn) 或 或

趨于點(diǎn)時(shí)的極限,記作 。

的方式無(wú)關(guān),即不,當(dāng)（即）時(shí)，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)或 必須注意這個(gè)極限值與點(diǎn) 論p以什么方

向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向

分接近,就能使。只要p與充與a接近到預(yù)先任意指定的程度。注意：點(diǎn)p趨于點(diǎn)點(diǎn)方式可有無(wú)窮多

種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個(gè)單側(cè)極限要復(fù)雜的多（圖8-7）。 圖8-7 同樣我們可用歸結(jié)原則,若發(fā)現(xiàn)點(diǎn)p按兩個(gè)特殊的路徑趨于點(diǎn)時(shí), 極限 在該點(diǎn)

存在,但不相等,則可以判定元函數(shù)極限不存在的重要方法之一。 極限不存在。這是判斷多

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二元函數(shù)極限證明

一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論,在二元函數(shù)極

限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。例如若 有 ,其中 。

求多元函數(shù)的極限,一般都是轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來(lái)求,或利用夾逼定理

來(lái)計(jì)算。例4求。解由于 , 而

,根據(jù)夾逼定理知 ,所以。 a≠0) 。 解 例 求 （

。例6求。解

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二元函數(shù)極限證明

由于理知

且,所以根據(jù)夾逼定 .例7 研究函數(shù) 在點(diǎn)

處極限是否存在。解當(dāng)x2 +y2≠0時(shí)，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于 （0，0 ）的極限，有值，可得到不同的極限值,所以極限 不存在,但

,。很顯然，對(duì)于不同的k 。

注意：極限方式的 的區(qū)別,前面兩個(gè)求

本質(zhì)是兩次求一元函數(shù)的極限,我們稱為累次極限,而最后一個(gè)是求二元函數(shù)的

極限,我們稱為求二重極限。 例8 設(shè)函數(shù)極限都不存在,因 為對(duì)任何

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二元函數(shù)極限證明

,當(dāng) 時(shí) , 。它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次 的第二項(xiàng)不存在極限；同理對(duì)任何 時(shí),的第一項(xiàng)也不存在極限, 但是因此 。

由例7知,兩次累次極限存在,但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存

在,但二個(gè)累次極限不存在。我們有下面的結(jié)果:定理1若累次極限

都存在,則

三者相等（證明略）。推論 若但不相等, 則二重極限 不 存在 和二重極 限

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二元函數(shù)極限證明

, 由于 , 存在。定義設(shè)

在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有意義, 且稱 函 數(shù) ,則 在 點(diǎn) 處 連 續(xù) , 記

上式稱為函數(shù)(值)的全增量 。 則。

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二元函數(shù)極限證明

定義 增量。

為函數(shù)(值)對(duì)x的偏 二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為 偏增量。 若 斷點(diǎn),若 在點(diǎn)

為函數(shù)（值）對(duì)y的 處不連續(xù), 則稱點(diǎn) 是 的間 在某區(qū)域

在區(qū)域g上連續(xù)。若 在閉區(qū)域g g上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱的每一內(nèi)點(diǎn)都連續(xù),并在g的連界點(diǎn) 處成立 , 則稱

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二元函數(shù)極限證明

為連續(xù)曲面。

在閉域g上連續(xù)。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱

關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì),如最值定理、介值定理、cantor 定理,對(duì)于

二元函數(shù)也相應(yīng)成立?？梢宰C明如下的重要結(jié)果：定理2設(shè) 在平面有界閉區(qū)域g上連續(xù),則

（1）必在g上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2 ） ,當(dāng) 時(shí),都有

。以上關(guān)于二元函數(shù)的 在g上一致連續(xù),即

極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。 函數(shù)極限的證明 (一)時(shí)函數(shù)的極限： 以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.) 幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語(yǔ)言介紹幾何意義.

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二元函數(shù)極限證明

例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證…… (二)時(shí)函數(shù)的極限： 由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有 =§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí)) 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

27 / 29 等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。二元函數(shù)極限證明

教學(xué)方法：講練結(jié)合。 一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號(hào)性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有) 註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說(shuō)明.5.迫斂性: 6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過(guò)以下幾個(gè)極限： (注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值) 這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過(guò)有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.

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二元函數(shù)極限證明

例1(利用極限和) 例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4 例5例6例7 函數(shù)極限證明 函數(shù)極限的性質(zhì)證明 函數(shù)極限的定義證明 利用函數(shù)極限定義證明11 用定義證明函數(shù)極限方法總結(jié)

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第二篇：證明極限不存在

證明極限不存在

二元函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的內(nèi)容,因?yàn)槠涠x與一元函數(shù)極限的定義有所不同,需要定義域上的點(diǎn)趨于定點(diǎn)時(shí)必須以任意方式趨近,所以與之對(duì)應(yīng)的證明極限不存在的方法有幾種.其中有一種是找一種含參數(shù)的方式趨近,代入二元函數(shù),使之變?yōu)橐辉瘮?shù)求極限.若最后的極限值與參數(shù)有關(guān),則說(shuō)明二重極限不存在.但在證明這類型的.題目時(shí),除了選y=kx這種趨近方式外,許多學(xué)生不知該如何選擇趨近方式.本文給出證明一類常見的有理分式函數(shù)極限不存在的一種簡(jiǎn)單方法.例1[1]證明下列極限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.證明一般地,對(duì)于(1)選擇當(dāng)(x,y)沿直線y=kxy=kx趨近于(0,0)時(shí),有l(wèi)im(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.顯然它隨著k值的不同而改變,故原極限不存在.對(duì)于(2)若仍然選擇以上的趨近方式,則不能得到證明.實(shí)際上,若選擇(x,y)沿拋物線y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趨近于(0,0),則有l(wèi)..

2

是因?yàn)槎x域D={(x,y)|x不等于y}嗎，從哪兒入手呢，請(qǐng)高手指點(diǎn)

沿著兩條直線 y=2x

y=-2x 趨于(0,0)時(shí)

極限分別為 -3 和 -1/3 不相等

極限存在的定義要求 延任何過(guò)(0,0)直線求極限時(shí) 極限都相等

所以極限不存在

3

lim (x 和y)趨向于無(wú)窮大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

證明該極限不存在

lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)

=1-lim8 / [(x/y)^2+3]

因?yàn)椴恢纗、y的大校

所以lim (x 和y)趨向于無(wú)窮大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

極限不存在

4

如圖用定義證明極限不存在~謝謝!!

反證法

若存在實(shí)數(shù)L，使limsin(1/x)=L，

取ε=1/2，

在x=0點(diǎn)的任意小的鄰域X內(nèi)，總存在整數(shù)n，

①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，

②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，

使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3，

和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3，

同時(shí)成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同時(shí)成立。

這與|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2發(fā)生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L 成立的實(shí)數(shù)L不存在。