千文網(wǎng)小編為你整理了多篇相關(guān)的《平面幾何歐拉定理證明》，但愿對(duì)你工作學(xué)習(xí)有幫助，當(dāng)然你在千文網(wǎng)還可以找到更多《平面幾何歐拉定理證明》。

證明：

(1)令 Zn = {x1, x2,..., xφ(n)}，S = {a * x1 mod n, a * x2 mod n,..., a * xφ(n)mod n}，則 Zn = S。

#① 因?yàn)?a 與 n 互質(zhì)，xi(1 ≤ i ≤ φ(n))與 n 互質(zhì)，所以 a * xi 與 n 互質(zhì)，所以 a * xi mod n ∈ Zn。

#② 若 i ≠ j，那么 xi ≠ xj，且由 a, n互質(zhì)可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n（消去律）。

(2)aφ(n)* x1 * x2 *...* xφ(n)mod n

≡(a * x1)*(a * x2)*...*(a * xφ(n))mod n ≡(a * x1 mod n)*(a * x2 mod n)*...*(a * xφ(n)mod n)mod n ≡ x1 * x2 *...* xφ(n)mod n 對(duì)比等式的左右兩端，因?yàn)?xi(1 ≤ i ≤ φ(n))與 n 互質(zhì)，所以 aφ(n)

≡ 1 mod n（消去律）。

歐拉函數(shù)是數(shù)論中很重要的一個(gè)函數(shù)，歐拉函數(shù)是指：對(duì)于一個(gè)正整數(shù) n，小于 n 且和 n 互質(zhì)的正整數(shù)（包括 1）的個(gè)數(shù)，記作 φ(n)。

完全余數(shù)集合：

定義小于 n 且和 n 互質(zhì)的數(shù)構(gòu)成的集合為 Zn，稱呼這個(gè)集合為 n 的完全余數(shù)集合。顯然 |Zn| ＝φ(n)。

有關(guān)性質(zhì)： 對(duì)于素?cái)?shù) p，φ(p)= p-1。

對(duì)于兩個(gè)不同素?cái)?shù) p，q，它們的乘積 n = p * q 滿足 φ(n)=(p-1)*(q-1)。

這是因?yàn)?Zn = {1, 2, 3,..., n{p, 2p,...,(q{q, 2q,...,(p1)1)1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)* φ(q)。

消去律：如果 gcd(c,p)= 1，則 ac ≡ bc mod p ? a ≡ b mod p