千文網(wǎng)小編為你整理了多篇相關(guān)的《梯形蝴蝶定理的證明》，但愿對你工作學(xué)習(xí)有幫助，當(dāng)然你在千文網(wǎng)還可以找到更多《梯形蝴蝶定理的證明》。
蝴蝶定理的證明
定理：設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交PQ于點E和F，則M是EF的中點。
在蝴蝶定理的證明中有各種奇妙的輔助線，同時誕生了各種美妙的思想，蝴蝶定理在這些輔助線的幫助下，翩翩起舞！
證法1 如圖2，作OU?AD，OV?BC，則垂足U，V分別為AD、BC的中點，且由于 ?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?
得M、E、U、O共圓；M、F、V、O共圓。 則?AUM=?EOM，?MOF??MVC
又?MAD??MCB，U、V為AD、BC的中點，從而?MUA??MVC，?AUM??MVC 則 ?EOM??MOF，于是ME=MF。
證法2 過D作關(guān)于直線OM的對稱點D"，如圖3所示，則 ?FMD"??EMD，MD=MD" 1 ○
聯(lián)結(jié)D"M交圓O于C"，則C與C"關(guān)于OM對稱，即
PC"?CQ。又
111?CFP=QB+PC）=QB+CC"+CQ）=BC"=?BD"C"
222
故M、F、B、D"四點共圓，即?MBF??MD"F
而 ?MBF??EDM ○2 由○1、○2知，?DME??D"MF，故ME=MF。
圖 2
證法3 如圖4，設(shè)直線DA與BC交于點N。對?NEF及截線AMB，?NEF及截線CMD分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，有
FMEANBFMEDNC
???1，???1 MEANBFMEDNCF
由上述兩式相乘，并注意到
NA?ND?NC?NB 得
圖 3
FMANNDBFCFBF?CF
????? 2
MEAEEDBNCNAE?ED
2
?
?PM+MF??MQ-MF??PM?MF
PM-MEMQ+MEPM2?ME2
2
2
[2]
化簡上式后得ME=MF。2 不使用輔助線的證明方法
單純的利用三角函數(shù)也可以完成蝴蝶定理的證明。
圖
4
證法 4 （Steven給出）如圖5，并令
?DAB=?DCB???ADC=?ABC??
?DMP=?CMQ?? ?AMP=?BMQ??PM?MQ?a
ME?x，MF?y
S?AMES?FCMS?EDMS?FMB
????1即 由
S?FCMS?EDMS?FMBS?AME
，
AM?AE?sin?FM?CM?sin?ED?MD?sin?MF?MB?sin?
????1
MC?CF?sin?EM?MD?sin?FB?BM?sin?MA?ME?sin?
圖 5
MF2CF?FBQF?FP?a?y??a?y?a2?y2
化簡得 ????2
22MEAE?EDPE?EQa?xa?xa?x
y2a2?y2
即 2?2從而 x?y,ME?MF。 2
xa?x，
證法 5 令?PMD??QMC??，?QMB??AMP??，以點M為視點，對?MBC和?MAD分別應(yīng)用張角定理，有
sin?????sin?sin?sin?????sin?sin?
????
MFMCMBMEMDMA
上述兩式相減，得
1?sin?sin??1
sin????????MC?MD????MB?MA? ?
MFMEMC?MDMA?MB??
設(shè)G、H分別為CD、AB的中點，由OM?PQ，有
MB?MA?2MH?2OMcos?90?????2OMsin?MD?MC?2MG?2OMcos?90?????2OMsin?
于是 sin??????故ME=MF。
1??1
???0而????180?，知sin??????0，MFME??，
（二） 運用解析幾何的知識完成蝴蝶定理的證明
在數(shù)學(xué)中用函數(shù)的方法解決幾何問題也是非常重要的方法，所以解析幾何上夜出現(xiàn)了許多漂亮的證
明蝴蝶定理的方法，以下列出幾個例子以供參考。
證法 6 （單墫教授給出）如圖6，建立直角坐標系，則圓的方程可設(shè)為
x2??y?a??R2
2
。
直線AB的方程為y?k1x，直線CD的方程為y?k2x
。
由于圓和兩相交直線組成了二次曲線系，其方程為
??x2??y?a??R2??????y?k1x??y?k2x????0
?
?
222
令y?0，知點E和點F的橫坐標滿足二次方程????k1k2?x??a?R?0
2
??
，
由于x的系數(shù)為0，則兩根x1和x2之和為0，即x1??x2，故ME=MF。
證法 7 如圖7建立平面直角坐標系，則圓的方程可寫為
[5]
?x?a?
2
?y2?r2
。
則x1、x4分別是二次方
直線AB、CD的方程可寫為y?k1x,y?k2x
又設(shè)A、B、C、D的坐標為?xi,yi?,i?1,2,3,4程
，
?x?a?
2
22
?k12x2?r2,?x?a??k2x?r2的一根。AD在y軸上的截距為
2
k2x4?k1x1?x1?k1?k2?x1x4?y4?y1
y1??x1?k1x1??
x2?x1x4?x1x4?x1。
同理，BC在y軸上的截距為
?k1?k2?x2x3
x3?x2
兩
根
。，
注意到x1、x2是方程
?1?k?x
21
2
?2ax?a2?r2?0x2?2
a?x2
的
x3、x4
是方程
?1?k?
22
x?xx1?x22a
?a20?r的兩根，所以?22?34從而易
x1x2a?rx3x4，
圖 8
得
xxx1x2
?34?0即ME?MF。
x1?x2x3?x4
，
證法 8 如圖8，以M為極點，MO為極軸建立極坐標系。因C、F、B三點共線，令
??????
?BMx??，?CMx??，則?C?Fsin??????F?Bsin??????C?Bsin?????
2???2?
即 ?F?
?C?Bsin??????A?Dsin?????
○1 ?E? ○2
?Bcos???Ccos??Acos???Dcos?
作OU?CD于U，作OV?AB于V。注意到?A?B??C?D ○3 由Rt?OUM與Rt?OVM可得
?B??A?D??C
○4 ?
cos??cos?
將○3○4代入○1○2可得?E??F，即ME=MF。
二 蝴蝶定理的推廣和猜想
（一） 猜想 1 在蝴蝶定理中, P、 Q分別是 ED、 CF和AB的交點. 如果 P、 Q分別是 CE、 DF
和AB延長線的交點,我們猜想, 仍可能會有 PM = QM .
推論 1 過圓的弦 AB的中點M引任意兩條弦 CD與 EF, 連結(jié) CE、 DF并延長交 AB的延長線于 P、 Q. 求證: PM = QM.
證明;設(shè)AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;
∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;
記 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面積分別為 S1 , S2 , S3 , S4.
則由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. ②
又由割線定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.
由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.
[3]
（二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 顯然 OM是 AB的垂線 (O是圓心) , 那么, 我們可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB的前提下將圓 O的弦 AB移至圓外, 仍可能會有 PM =QM .
推論 2 已知直線 AB與 ⊙O相離. OM ⊥AB, M 為垂足. 過 M作 ⊙O任意兩條割線 MC, M E分別交 ⊙O于 C, D和 E, F. 連結(jié)DE,FC并延長分別交 AB 于 P, Q. 求證: PM = QM. 證明：過 F作 FK∥AB, 交直線 OM于 N,交 ⊙O于 K .
連結(jié) M K交 ⊙O于 G. 連結(jié) GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,從而M F =M K(因為M在 FK的垂直平分線上) .
又由割線定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③ 又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④
從 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 從而 G,M, Q, C四點共圓. 所以 ∠MGQ =∠MCQ.
又由于 ∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤ 由 ③、 ④、 ⑤知 △PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.
（三）猜想 3 既然蝴蝶定理對于雙曲線是成立的, 而雙曲線是兩條不相交的曲線, 那么, 我們
可以猜想,如果把兩條不相交的曲線換成兩條不相交的直線 (也即是兩條平行線) , 仍可能會有 PM = QM .
推論 3 設(shè)點 A、 B分別在兩條平行線 l 1、 l 2上,過AB的中點M任意作兩條直線 CD和 EF分別交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 連結(jié) ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求證: PM =QM. 證明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 從而利用 △MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用 △MAE≌△MBF知 M平分 EF.
在四邊形 CEDF中, 由對角線相互平分知 CEDF是平行四邊形,從而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用 △M EP ≌△M FQ知 PM = QM。
[4]
