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第一篇：數(shù)列極限的證明

例1 設(shè)數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??

?xn?1?xn（Ⅱ）計(jì)算lim??。n??

?xn?

解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調(diào)下降且有下界，由0?x1??，得

0?x2?sinx1?x1??，設(shè)0?xn??，則

0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調(diào)下降且有下界，故limxn存在。

n??

記a?limxn，由xn?1?sinxn得

x??

a?sina，所以a?0，即limxn?0。

n??

（Ⅱ）解法1 因?yàn)?/p>

?sinx?lim??x?0

?x?

1x?lime

x?0

1sinxlnx2x

?lime

x?0

1?cosx1?

???

2x?sinxx?

?xsinx6x2

xcosx?sinx

?lime

x?0

2x3

?lime

x?0

?e

?

又由（Ⅰ）limxn?0，所以

n??

1xn

?xn?1??sinxn?xn2

lim???lim??n??n??xx?n??n?

?sinx?

?lim??x?0x??

解法2 因?yàn)?/p>

1xx?e

?

sinx?x

?sinx????x?

?

?sinx?x????1????x??

xsinx?x

????

x3，又因?yàn)?/p>

limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?

xnxsinx?x?e，??sinx?6所以lim?，?e?x?0?x?1

故

11?x?lim?n?1?n???xn?xn?sinxn??lim??n??x?n?

?sinx??lim??x?0?x?xn1x ?e?1

6.