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第一講 數(shù)列極限

一、數(shù)列極限的收斂準則

1.數(shù)列極限的夾逼準則

a)數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}滿足：

i.yn＃xnzn(n N0)

ii.nlimyn=nlimzn=a

則數(shù)列{xn}的極限存在，且nlimxn=a

b)例

1、求極限n!

nlimnn=0 注：n!=1鬃23Ln

1例

2、求極限lim1+2n+nnn

n(3)注：nlima=1(a>0)

驏1n

練習：

1、1n

nlim?? ??桫1+n+

1n÷÷

2÷÷ 注：運用重要極限nlim(1+n)=e2、求n?lim(其中 a1,a2,L,ak為正常數(shù), k?Z+.)

2.單調數(shù)列的收斂準則

a)單調增加有上界的數(shù)列必收斂；

b)單調遞減有下界的數(shù)列必收斂；

通常說成：單調有界的數(shù)列必收斂。

例1． 證明lim(1

1n)n

n+=e 注：補充二項式定理

例2．

設x1=10，xn+1={xn}極限存在，并求其極限。例3．

設x1=xn+1={xn}極限存在，并求其極限。注：補充數(shù)學歸納法例

1、證明1+3+L+(2n-1)=n2 例

2、證明1+++L+

1、有界數(shù)列是否收斂？

2、數(shù)列{xn}收斂是否可推出數(shù)列xn}收斂？反之是否成立？

13、數(shù)列xn為有界數(shù)列，且limyn=0，數(shù)列數(shù)列xnyn是否收斂？ n{}{}

二、收斂數(shù)列的性質

1.極限的唯一性。

2.有界性。問題：有界數(shù)列是否收斂？

3.保號性。問題：若xn>0("n N)，且limxn=a，是否一定有a>0？ n

4.收斂數(shù)列的子數(shù)列必收斂。

思考：（1）數(shù)列xn與yn都發(fā)散，是否數(shù)列xnyn與xn+yn也都發(fā)散？

（2）若子列x2n-1與x2n均收斂，則數(shù)列xn是否收斂？

（3）設x1>0，xn+1{}{}{}{}{}{}{}1驏1÷÷=?x+，證明數(shù)列{xn}極限存在，并求其極限。?÷n?÷2?xn桫

nn（4）求lim2+3+4n(nn

驏12n÷÷（5）求lim ++L+÷222n÷n+n+1n+n+2n+n+n桫

（6）設數(shù)列xn滿足：0ì?n2+??當n為奇數(shù)?n（7）數(shù)列xn=í，則當n?1?當n為偶數(shù)??n??時，xn是

A無窮小量B無窮大量C有界變量D無界變量2