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第一篇：討論二元函數(shù)連續(xù)性_偏導(dǎo)存在性及可微性間的關(guān)系

第23卷哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào) Vol.23,No.22007 第2期

NAT URAL SC I E NCES JOURNAL OF HARB I N NOR MAL UN I V ERSI TY 討論二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)存在性 及可微性間的關(guān)系 張 鴻

(哈爾濱師范大學(xué)阿城學(xué)院

門艷紅

(青島飛洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院

【摘要】 通過具體實(shí)例對(duì)二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)存在性及可微性間的關(guān)系進(jìn)行

討論.關(guān)鍵詞:連續(xù)性;偏導(dǎo)存在性;可微性 收稿日期:2006-11-08 0 引言

多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣,因此它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì),但也有某些差異,這些差異

主要是由于多元函數(shù)的“多元”(即自變量由一個(gè)增加到多個(gè)而產(chǎn)生的.對(duì)于多元函數(shù)我們著重討論二元函數(shù),在掌握了二元函數(shù)的有關(guān)理論與研究方法之后,再將它推廣到一般的多元函數(shù)中去.本文將通過具體實(shí)例來討論二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)存在性及可微性間的關(guān)系.1 二元函數(shù)連續(xù)性與偏導(dǎo)存在性間 的關(guān)系

1.1 函數(shù)f(x,y 在點(diǎn)P 0(x 0,y 0連續(xù),但偏 導(dǎo)不一定存在.例1 證明函數(shù)f(x,y =x 2 +y 2 在點(diǎn)(0, 0連續(xù)偏導(dǎo)存在.證明 因?yàn)?li m(x,y →(0,0 f(x,y = li m(x,y →(0,0 x 2 +y 2

=0=f(0,0 故函數(shù)f(x,y =x 2+y 2 在點(diǎn)(0,0連續(xù).由偏導(dǎo)數(shù)定義: f x(0,0=li m Δx →x f(0+Δx,0-f(0,0 Δx = li m Δx →x Δx 2

Δx = 1,Δx >0,-1,Δx

(0,0處f x(0,0,f y(0,0存在,但不連續(xù).證明 由偏導(dǎo)數(shù)定義: f x(0,0=li m Δx →x f(0+Δx,0-f(0,0 Δx

=li m Δx →x Δx =0，同理可求得f y(0,0=0.因?yàn)閘i m(x,y →(0,0 f(x,y = li m(x,y →(0,0(x 2+y 2 =0≠f(0,0=1 故函數(shù)f(x,y = x 2 +y 2 ,xy =0 1,xy ≠0 在點(diǎn)(0,0處 不連續(xù).綜上可見,二元的連續(xù)性與偏導(dǎo)存在性間不存在必然的聯(lián)系.2 二元函數(shù)的可微性與偏導(dǎo)存在性間的關(guān)系 2.1 可微與偏導(dǎo)存在

定理1(可微的必要條件 若二元函數(shù)f(x, y在其定義域內(nèi)一點(diǎn)P0(x0,y0處可微,則f在該點(diǎn)關(guān)于每個(gè)自變量的偏導(dǎo)都存在,且d f|(x0,y0 = f x(x0,y0d x+f y(x0,y0d y.注1:定理1的逆命題不成立,即二元函數(shù)f(x,y在點(diǎn)P0(x0,y0處的偏導(dǎo)即使存在,也不一定可微.例

3f(x,y= xy x2+y2 ,x2+y2≠0, 0,x2+y2=0 在原點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)存在,但不可微.證明 由偏導(dǎo)數(shù)定義: f x(0,0=li m Δx→x f(0+Δx,0-f(0,0 Δx =li m Δx→x 0-0 Δx= 0, 同理可求得f y(0,0=0.下面利用可微的定義來證明其不可微,用反證法.若函數(shù)f在原點(diǎn)可微,則Δf-d f=[f(0+ Δx,0+Δy-f(0,0]-[f x(0,0d x+f y(0, 0d y]= ΔxΔy

Δx2+Δy2 ,應(yīng)是較ρ=Δx2+Δy2的 高階無窮小量,為此考察極限 li m ρ→0Δf-d f ρ= li m ρ→0 ΔxΔy Δx2+Δy2

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)(x,y沿直線y=m x趨于(0,0時(shí),則 li m(x,y→(0,0 xy x2+y2 =li m(x,y→(0,0 y=m x m 1+m2 = m

1+m2 這一結(jié)果說明動(dòng)點(diǎn)沿不同斜率m的直線趨于原點(diǎn)時(shí),對(duì)應(yīng)的極限值也不同,因此所討論的極限不存在.故函數(shù)f在原點(diǎn)不可微.2.2 偏導(dǎo)連續(xù)與可微

定理2(可微的充分條件 若二元函數(shù)z=f(x,y的偏導(dǎo)在點(diǎn)P0(x0,y0的某鄰域內(nèi)存在, 且f x 與f y 在點(diǎn)P(x ,y0處連續(xù),則函數(shù)f(x,y 在點(diǎn)P(x ,y0可微.注2:偏導(dǎo)連續(xù)是函數(shù)可微的充分而非必要條件.例4 證明函數(shù) f(x,y=

(x2+y2sin 1 x2+y2 ,x2+y2≠0

0, x2+y2=0 在點(diǎn)(0,0處可微,但f x(x,y,f y(x,y在(0,0點(diǎn)卻間斷.證明 Π(x,y:x2+y2≠0,有 f x(x,y=2x sin 1 x2+y22y x2+y2 cos 1 x2+y2(1當(dāng)y=x時(shí),極限li m x→0 f x(x,x=li m x→0(2x sin 1 2x2-1 x

cos 1 2x2 不存在,則f x(x,y在(0,0點(diǎn)間 斷.同理可證f y(x,y在(0,0點(diǎn)間斷.(2因f x(0,0=li m x→0 f(x,0-f(0,0 x =li m x→0 x sin 1 x2 =0, f y(0,0=li m x→0

f(0,y-f(0,0 y =li m y→0 y sin 1 y2 =0 則d f=f x(0,0d x+f y(0,0d y=0, Δf=f(x,y-f(0,0=(x2+y2sin1 x2+y2 =ρ2sin 1 ρ2

(Π(x,y:x2+y2≠0 從而

li m ρ→0 Δf-d f ρ= li m ρ→0 ρ2sin1 ρ2 ρ= li m ρ→0 ρsin1 ρ2

=0,即函數(shù)f(x,y在點(diǎn)(0,0可微.3 二元函數(shù)的連續(xù)性與可微性間的 關(guān)系

類似于一元函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性間的關(guān) 系,即二元函數(shù)f(x,y在點(diǎn)P(x ,y0可微,則必 連續(xù).反之不然.例5 證明函數(shù)f(x,y=|xy|在點(diǎn)(0, 0連續(xù),但它在點(diǎn)(0,0不可微.33 第2期

討論二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)存在性及可微性間的關(guān)系

證明(1因?yàn)閘i m x →0y →0 f(x,y =li m x →0y →0 |xy |= 0=f(0,0,故函數(shù)f(x,y =|xy |在點(diǎn)(0,0 連續(xù);(2因?yàn)棣 =f(0+Δx,0+Δy-f(0,0=|Δx ||Δy | d f =f ′x(0,0d x +f ′ y(0,0d y =0 所以 li m ρ→0Δf-d f ρ=li m Δx →0Δy →0

|Δx ||Δy |(Δx 2 +(Δy 2 =li m Δx →0Δy →0 |Δx ||Δy |(Δx 2+(Δy 2 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)(x,y 沿著直線y =x 趨于(0,時(shí),有 li m Δx →0Δy →0 |Δx ||Δy |(Δx 2+(Δy 2= 1 2 ≠0即li m ρ→0Δf-d f ρ≠0,故f(x,y 在原點(diǎn)(0,0不可微.綜上所述二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)存在性及可微性間的關(guān)系如圖1所示.參 考 文 獻(xiàn) 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(三版.高等教育出版社，2004.5.2 吳良森,等.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書.高等教育出版社,2004.9.3 劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(三版.高等教育出版社, 2001.2.4 劉玉璉,等.數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書(二版.高等教育出版 社,2004.7.D I SCUSS TH E RE LATI ONS O F THE CONTI NUI T Y,THE EXI STENCE OF PARTI AL DERI VATI ON AN D THE D I FFERENTI ABI L I T Y OF THE DUAL FUNCTI ON Zhang Hong(A Cheng I nstitute of Harbin Nor mal University

Men Yanhong(qingdao Feiyang Vocati onal and Techaial College ABSTRACT I n this paper,we discuss the relati ons of the continuity,the existence of partial derivati on and the differentiability of the dual functi on by the s pecific exa mp les.Keywords:Continuity;The existence of partial derivati on;D ifferentiability(責(zé)任編輯:李雙臻 3哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)

2007年