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第一篇：海倫公式的證明方法:利用邊求三角形面積
篇一：利用三邊求三角形面積的幾種方法
龍?jiān)雌诳W(wǎng) .cn
利用三邊求三角形面積的幾種方法
作者：陳林真
來源：《新課程學(xué)習(xí)?上》2013年第12期
已知三邊長(zhǎng)求三角形的面積在解三角形問題中比較常見，本文將常用的幾種方法總結(jié)如下。
一、根據(jù)勾股定理的逆定理判斷是否為直角三角形
四、利用海倫公式直接求三角形的面積
（作者單位 甘肅省隴西縣第二中學(xué)）
篇二：求三角形面積――海倫公式
證明：海倫公式：若ΔABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，則
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(這是海倫公式的變形，“負(fù)號(hào)“－”從a左則向右經(jīng)過a、b、c”，負(fù)號(hào)從x軸負(fù)軸向正軸掃描一個(gè)周期！我覺得這么記更簡(jiǎn)單，還設(shè)個(gè)什么l=(a+b=c)/2啊，多此一舉！)
證明：設(shè)邊c上的高為 h,則有
√(a^2－h(huán)^2)＋√(b^2－h(huán)^2)=c
√(a^2－h(huán)^2)=c－√(b^2－h(huán)^2)
兩邊平方，化簡(jiǎn)得：
2c√(b^2－h(huán)^2)=b^2+c^2-a^2
兩邊平方，化簡(jiǎn)得：
h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))
SΔABC=ch/2
=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2
仔細(xì)化簡(jiǎn)一下，得：
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4
用三角函數(shù)證明！
證明：
SΔABC=absinC/2
=ab√(1-(cosC)^2)/2――――（1）
∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
∴代入（1）式，（仔細(xì)）化簡(jiǎn)得：
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4
篇三：海倫公式及其證明方法
海倫公式及其證明方法
海倫公式：
1??=，其中??= ??+??+??
如圖
在△ABC中，過A作高AD交BC于D 設(shè)BD = x，那么DC = a-x
由于AD是△ABD、△ACD的公共邊
?2=??2???2=??2? ????? 2
解出x得
??2???2+??2
??= 于是
2???2+??2???= ??2? 2
△ABC的面積
2???2+??211????=???=??? ??2?2
即
122??2+??2???2??= ?????令
1??= ??+??+?? 對(duì)被開方數(shù)分解因式，并整理得到
第二篇：海倫公式的幾種證明與推廣
海倫公式的幾種證明與推廣
古鎮(zhèn)高級(jí)中學(xué) 付增德
高中數(shù)學(xué)必修⑤第一章在閱讀與思考欄目向?qū)W生介紹一個(gè)非常重要且優(yōu)美的公式——海倫公式〔Heron's Formula 〕：假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a , b , c , ，三角形的面積S 可由以下公式求得：
s =
(p -a )(p -b )(p -c ) ，而公式里的p =
12
(a +b +c ) ，稱為半周長(zhǎng)。
圖1
C
海倫公式又譯希倫公式，傳說是古代的敘拉古國(guó)王希倫二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長(zhǎng)來求取三角形面積。但根據(jù)Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實(shí)是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表。由于任何n 邊的多邊形都可以分割成n-2個(gè)三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測(cè)量土地的面積的時(shí)候，不用測(cè)三角形的高，只需測(cè)兩點(diǎn)間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。海倫公式形式漂亮，結(jié)構(gòu)工整，有多種變形，如：S=
p (p -a )(p -b )(p -c )
2
2
2
===
141414
(a +b +c )(a +b -c )(a +c -b )(b +c -a ) (a
2
=
14
[(a +b ) -c ][c 14
4a b
2
2
-(a -b ) ]
2
2
+b
2
2
-c
2
+2ab )[-(a
2
2
+b
4
2
-c
4
2
-2ab )]
4
=
-(a
2
+b -c )
22
2a b
2
+2a c
2
+2b c
22
-a -b -c
12
ab sin C 和余弦定理
教課書中并以習(xí)題形式出現(xiàn)，給出的參考答案是利用三角形面積計(jì)算公式s =
12
12
12
c
2
=a
2
+b
2
-2ab cos C 的證明過程：s =ab sin C =ab 1-cos n C =
2
ab 1-(
a
2
+b
2
-c
2
2ab
)
2
下略。我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價(jià)的“三斜求積”公式，中國(guó)古代的天元術(shù)發(fā)展水平非常高，筆者猜想秦九韶在獨(dú)立推出“三斜求積”公式過程中，利用了解方程的方法，因此海倫公式可以作如下推證，從三角形最基本的面積公式S ?ABC =
12
ah a 入手，利用勾股定理，布列方程組求高。
如圖2，
B
圖2
C
?x 2+y 2=c 2
222
?2a +c -b 22
在△ABC 中，AD 為邊BC 上的高，根據(jù)勾股定理，有?x +z =b 解方程，得y =，
2a
?y +z =a ?z =
a
2
+b
2
-c
2
2a
，x =c
2
-y
2
=c
2
-(
a
2
+c
2
-b
2
2a
)
2
=
12a
4a c
22
-(a
2
+c
2
-b ) 下略。在求
22
高的方法上，我們也可以用斯特瓦爾特定理，根據(jù)斯氏定理，△ABC 頂點(diǎn)A 于對(duì)邊BC 上任一點(diǎn)D 間的距離AD 有下列等式確定：AB
AD
2
2
?DC +AC
2
?BD =AD
2
?BC +BD ?DC ?BC ，等式改寫為
=AB
2
?
DC BC
+AC
2
?
BD BC
-BC
2
?
DC BC
?
BD BC
a a
22
而當(dāng)點(diǎn)D 是頂點(diǎn)A 的正射影時(shí), 有
BD DC
2
=
AB cos B AC cos C
=
+c +b
22
-b -c
22
，利用比例的性質(zhì)，變形得
BD BC
=
a
2
+c
22
-b
2
2a
，
DC BC
=
a
2
+b
22
-c
2a
，代入即求出高AD 。推證海倫公式也可以考慮應(yīng)用三角函數(shù)
的恒等式，容易證明下列三角恒等式：若∠A+∠B+∠C =180°那么
A B A C B C t a ?t a +tan ?tan ?tan +tan =1，
222222
z z
C
圖3
如圖3, 在△ABC 中，內(nèi)切圓⊙O 的半徑是r, 則tan
A 2
=
r x
, tan
B 2
=
r y
, tan
C 2
=
r z
, 代入恒等式
tan
A 2
?tan
B 2
+tan
A 2
?tan
C 2
2
+tan
B 2
?tan
C 2
=1，得
r
2
xy
+
r
2
xz
+
r
2
yz
=1，兩邊同乘xyz ，有等式
r (x +y +z ) =xyz ???①
又，b +c -a =(x +z ) +(x +y ) -(y +z ) =2x ，所以，x =
z =
a +b -c
2
b +c -a
2
，同理y =
a +c -b
2
，
。???②于是△ABC 的面積S =
2
12
(a +b +c ) r =
2
12
(y +z +x +z +x +y ) r =(x +y +z ) r
=(x +y +z ) r =
14
，把①、②式代入，即得S =(x +y +z ) xyz
(a +b +c )(a +b -c )(b +c -a )(a +c -b )
三角形的面積和三邊有如此優(yōu)美和諧的關(guān)系，我們不禁會(huì)類比猜想，簡(jiǎn)單四邊形的面積和它的四條
邊又是什么關(guān)系呢？由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD 中，設(shè)四條邊長(zhǎng)分別為a , b , c , d ，且p =
a +b +c +d
2
, 則S 四邊形=(p -a )(p -b )(p -c )(p -d )
現(xiàn)根據(jù)猜想進(jìn)行證明。
證明：如圖，延長(zhǎng)DA ，CB 交于點(diǎn)E 。設(shè)EA = e EB = f
○○
∵∠1+∠2 =180 ∠2+∠3 =180 ∴∠1 =∠3 ∴△EAB ～△ECD ∴
f a +e
=
e f +c
=
b d
，
S ?EAB S 四邊形
A B C D
=
b d
2
2
2
-b
解得： e =
b (ab +cd ) d
2
-b
2
③ f =
b (ad +bc ) d
2
-b
2
④由于S 四邊形ABCD =
d
2
-b b
2
2
S △EAB
將③，④跟b =
b (d d
2
2
2
+b ) -b
2
2
2
代入海倫公式公式變形，得：
∴S 四邊形ABCD =
d -b
2
4e b
22
-(e
2
+b
2
-f
2
)
2
4b
4
2
d
2
-b
2
2
4
b (ab +cd ) (d
(d b
4
2
42
2
224
-b )
22
=
d
4b
2
-b )
-[(
b (ab +cd ) (d
2
2
-b )
22
+
b (d (d
2
22
-b )
2
2
22
-b )
-
b (ad +bc ) (d
2
22
-b )
22
)]
2
2
2
-b
2
2
=
4b
(d
2
-b )
{4(ab
+cd ) (d
22
-b ) -[(ab +cd ) +(d
2222
-b ) -(ad +bc ) ]
22
}
1
=
4(d
2
-b ) 1
2
4(ab +cd ) (d
22
-b ) -[{ab +cd }+{d
2222
-b }-{ad +bc }]
2222
=
4(d
2
-b ) 1
2
4(ab +cd ) (d
22
-b ) -(a b
2222
+c d
22
+d
4
+b
4
-2d b
22
-a d
22
-b c )
22
=
4(d
2
-b ) 1
2
4(ab +cd ) (d
22
-b ) -[b (a
2222
+b
2
-d
2
-c ) +d (d
222
-b
2
-a
2
+c )
2
=
4(d 1
2
-b )
2
(d
2
-b ) [4(ab +cd ) -(c
2222
+d
2
-b
2
-a ) ]
22
=4
1
(2ab +2cd +c
2
+d
2
-b
2
-a )(2ab +2cd -d
22
+b
2
+a
2
-c )
2
=4
1
a +c ) -(b -d ) ][(b +d ) -(a -c ) ]
2222
(a +b +c -d )(a +b +d -c )(a +d +c -b )(b +d +c -a )
=4
=(p -a )(p -b )(p -c )(p -d ) 所以，海倫公式的推廣得證。
圖4
參考文獻(xiàn)
［1］ 七市高中選修教材編寫委員會(huì)．?dāng)?shù)學(xué)問題探究[M]．北京：生活·讀書·新知三聯(lián)書店，2003：14～
２６．
［2］ 王林全．初等幾何研究教程[M]．廣州：暨南大學(xué)出版社，１９９６．
