千文網(wǎng)小編為你整理了多篇相關(guān)的《考研高數(shù)局部保號性在定理證明中的應(yīng)用》，但愿對你工作學(xué)習(xí)有幫助，當(dāng)然你在千文網(wǎng)還可以找到更多《考研高數(shù)局部保號性在定理證明中的應(yīng)用》。

第一篇：考研高數(shù)局部保號性在定理證明中的應(yīng)用

Born To Win

考研數(shù)學(xué)：局部保號性在定理證明中的應(yīng)用

學(xué)習(xí)函數(shù)極限的性質(zhì)的時候，有一個重要的性質(zhì)叫做函數(shù)極限的局部保號性，也稱為局部保序性，今天跨考教育數(shù)學(xué)教研室邵偉如老師為大家具體講解局部保號性在定理證明中的應(yīng)用知識。

函數(shù)極限的局部保號性定理內(nèi)容為：如果limf(x)?A,且A?0(或A?0)，那么存在

x?x00?x?x0??常數(shù)??0,使得當(dāng)時，有f(x)?0(或f(x)?0),即一個函數(shù)極限的符號確定的話，求極限的函數(shù)在一個鄰域內(nèi)與該點(diǎn)處極限保持相同的符號。這個定理還有一個常用的

x?(x0??,x0)?(x0,x0??)時，推論：若存在常數(shù)??0,使得當(dāng)有f(x)?0(或f(x)?0)，且極限x?x0limf(x)存在，則

x?x0limf(x)?0(或?0),即在某點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，函數(shù)的符號確定的話，那么其極限的符號在這一去心鄰域內(nèi)也能確定。這個定理溝通了函數(shù)與極限之間符號之間的關(guān)系，所以凡是討論到極限的符號或函數(shù)的符號問題的時候都應(yīng)該想到應(yīng)用這個定理去解決。那么，在高等數(shù)學(xué)中哪些考點(diǎn)哪些定理是應(yīng)用了局部保號性的呢？下面邵老師為大家做一個整理。

與局部保號性聯(lián)系最緊密的是函數(shù)的極值部分的定理，大家知道，在駐點(diǎn)是可疑的極值點(diǎn)，要判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，有兩個方法，一個的極值第一充分條件，一個是極值第二充分條件，如果函數(shù)二階可導(dǎo)的話，顯然極值第二充分條件有不可替代的優(yōu)勢，尤其是極值問題與隱函數(shù)結(jié)合考查的時候。

'''xf(x)?0f(x0)?0,f(x)00第二充分條件的內(nèi)容是：設(shè)函數(shù)在處存在二階導(dǎo)數(shù)且，''''xxf(x)?0,f(x0)?0,f(x)f(x)000則在處取得極小值；②若則在處取得極大值；③若x則f(x)在0處是否取極值未知.這個定理涉及到了導(dǎo)數(shù)的符號問題，所以是依靠局部保號性來證明的。與這個定理平行的另一個定理是判定拐點(diǎn)的第二充分條件，定理內(nèi)容是：設(shè)函

'''"xf(x)?0,f(x0)?0,則點(diǎn)(x0,f(x0))為曲線f(x)00數(shù)三階可導(dǎo)且在點(diǎn)處有且y?f(x)的拐點(diǎn)。 這個定理中一樣涉及到導(dǎo)數(shù)的符號問題，所以仍是由局部保號性證明的。

再來看一道真題，設(shè)函數(shù)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，

f'(0)?0,limx?0f"(x)?1,x則討論f(0)是否為極值點(diǎn)，(0,f(0))是否為拐點(diǎn)。這道題非常典型，已知極限的符號，討論函數(shù)的符人生也許就是要學(xué)會愚忠。選我所愛，愛我所選。

Born To Win

f"(x)?0,x號，明顯的局部保號性的使用標(biāo)志。由極限等于1可知，函數(shù)極限在0的左右鄰域內(nèi)符號為正，那么根據(jù)保號性，在這一去心鄰域內(nèi)，要求極限的函數(shù)而分母恒大于0，所以可以斷定，分子f"(x)在去心鄰域內(nèi)大于0，此時不能根據(jù)二階導(dǎo)函數(shù)大于0就斷定0點(diǎn)為極小值點(diǎn)，因為第二充分條件需要的是f"(0)的符號，不是去心鄰域內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號，那么接下去就根據(jù)二階導(dǎo)函數(shù)的符號可以得到一階導(dǎo)函數(shù)在去心鄰域內(nèi)單調(diào)遞增，而f'(0)?0，結(jié)合二者可知在0點(diǎn)的左右兩側(cè)鄰域，一階導(dǎo)函數(shù)符號發(fā)生了改變，先減后增，因此0這一點(diǎn)為極小值點(diǎn)，此題得解。從整個分析過程可知，第一步由局部保號性得到的結(jié)論在解題過程中起到了至關(guān)重要的作用。

經(jīng)過以上分析我們需要掌握兩點(diǎn)：

1、局部保號性定理內(nèi)容及結(jié)論；

2、何時需要考慮使用局部保號性去解決問題。

文章來源：跨考教育

人生也許就是要學(xué)會愚忠。選我所愛，愛我所選。

第二篇：18考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

來源：智閱網(wǎng)

微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)中的重要定理，考察的頻率較高，難度也比較大，下面詳細(xì)的講解一下，希望大家有所收獲。

微積分定理包括兩個定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對待：對應(yīng)開區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學(xué)科?！边@段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運(yùn)用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。

注意到該公式的另一個條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語言描述一下，即f(x)對應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個函數(shù)的兩個原函數(shù)之間只差個常數(shù)，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個常數(shù)C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

上面講述的微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，考生們要認(rèn)真學(xué)習(xí)其解題方法，并且學(xué)會運(yùn)用。湯神《考研數(shù)學(xué)接力題典1800》可以檢驗大家的復(fù)習(xí)效果，總結(jié)做題經(jīng)驗，對我們現(xiàn)階段的復(fù)習(xí)幫助很大。

第三篇：12年考研數(shù)學(xué)高數(shù)中的重要定理與公式及其證明

高數(shù)中的重要定理與公式及其證明

（一）

文章來源：跨考教育

考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶Υ龜?shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費(fèi)時又費(fèi)力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過程，或是直接的考點(diǎn)，或是蘊(yùn)含了重要的解題思想方法，在復(fù)習(xí)的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

1）常用的極限

lim

ln(1?x)

x

?1，lim

e?1x

x

x?0x?0

?1，lim

a?1x

x

x?0

?lna，lim

(1?x)?1

x

a

x?0

lim?a，

1?cosx

x

2

x?0

?

12

【點(diǎn)評】：這幾個公式大家在計算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想

過它們的由來呢？事實上，這幾個公式都是兩個重要極限lim(1?x)x?e與

x?0

lim

sinxx

x?0

?1的推論，它們的推導(dǎo)過程中也蘊(yùn)含了計算極限中一些很基本的方法技

巧。 證明：

lim

ln(1?x)

x

x?0

?1：由極限lim(1?x)x?e兩邊同時取對數(shù)即得lim

x?0

ln(1?x)

x

x?0

?1。

lim

e?1x

x

x?0

?1：在等式lim

ln(1?x)

x

x?0

?1中，令ln(1?x)?t

te?1

t

，則x?et?1。由于極限

過程是x?0，此時也有t?0，因此有l(wèi)im

t?0

?1。極限的值與取極限的符號

是無關(guān)的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數(shù)即得lim

lim

a?1xe

x

e?1x

x

x?0

?1。

x?0

?lna：利用對數(shù)恒等式得lim

a?1x

x

x?0

?lim

e

xlna

?1

x?0

x

x

，再利用第二個極限可

xlna

得lim

?1

x?0

x

?lnalim

e

xlna

?1

x?0

xlna

?lna。因此有l(wèi)im

a?1x

x?0

?lna。

lim

(1?x)?1

x(1?x)?1

x

a

a

x?0

?a：利用對數(shù)恒等式得

lim

x?0

?lim

e

aln(1?x)

?1

x?0

x

?alim

e

aln(1?x)

?1ln(1?x)

x

x?0

aln(1?x)

?alim

e

aln(1?x)

?1

x?0

aln(1?x)

lim

ln(1?x)

x

x?0

?a

上式中同時用到了第一個和第二個極限。

x?

2sinsin

1?cosx1?cosx1?1lim?lim?lim：利用倍角公式得lim??222

x?0x?0x?0x2xx2x?0?x

?2

x

??1??

2??

。

2）導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則

(u?v)?u?v,d(u?v)?du?dv(uv)?uv?uv,d(uv)?vdu?udv()?

vu

''

'

'

'

'

'

vu?uvv

''

uvdu?udv

,d()?(v?0)2

vv

【點(diǎn)評】：這幾個求導(dǎo)公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導(dǎo)數(shù)的定義。

而導(dǎo)數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點(diǎn)，通過這幾個公式可以強(qiáng)化相關(guān)的概念，避免到復(fù)習(xí)后期成為自己的知識漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。 3）鏈?zhǔn)椒▌t

設(shè)y?f(u),u??(x)，如果?(x)在x處可導(dǎo)，且f(u)在對應(yīng)的u??(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y?f(?(x))在x處可導(dǎo)可導(dǎo)，且有：

?f(?(x))?

【點(diǎn)評】：同上。 4）反函數(shù)求導(dǎo)法則

'

?f(u)?(x)或

''

dydx

?

dydududx

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)x0處可導(dǎo)且f'(x)?0，并令其反函數(shù)為x?g(y)，且x0所對應(yīng)的y的值為y0，則有：

g(y0)?

'

1f(x0)

'

?

1f(g(y0))

'

或

dxdy

?

1dydx

【點(diǎn)評】：同上。

5）常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

?x?

?

'

??x

'

??1

，

'

?sinx??lnx?

'

?cosx，?cosx???sinx， 1x

x

?

，?logax??

'

'

1xlna

，

?e

x

?

'

?e

，?ax??exlna

【點(diǎn)評】：這些求導(dǎo)公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實際上，掌握這幾個公式的證明過程，不但可以幫助我們強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的定義這個薄弱點(diǎn)，對極限的計算也是很好的練習(xí)?，F(xiàn)選取其中典型予以證明。 證明：

?x?

?

'

??x

??1

：導(dǎo)數(shù)的定義是f'(x)?lim

?

?

f(x??x)?f(x)

?x

，代入該公式得

)?1

??x

??1

?

?x?0

?x

?

?

'

?lim

(x??x)?x

?x

(1??x

?

?x

?x?0

x?x

)?1

?x

??1

?x?0

?

(1?lim

?x

x?xx

。最后一

步用到了極限lim

x?0

(1?x)?1

x

a

x?0

?a。注意，這里的推導(dǎo)過程僅適用于x?0的情形。

的情形需要另行推導(dǎo)，這種情況很簡單，留給大家。

'

?sinx??cosx：利用導(dǎo)數(shù)定義?sinx??lim

'

sin(x??x)?sinx

?x

，由和差化積公式得

?x?0

?x?0

lim

sin(x??x)?sinx

?x

2cos(x?

?lim

?x?0

?x?x

)sin

?x

?cosx。cosx'??sinx的證明類??

似。

?lnx?

'

?

'

1x?

：利用導(dǎo)數(shù)定義?lnx??lim

1xlna

'

ln(x??x)?lnx

?x

lnxlna

ln(1?

?lim

?x?0

?x)?

1x

?x?0

?x

。

?logax?

的證明類似（利用換底公式logax?

）。

?e?

x

'

?e

x

：利用導(dǎo)數(shù)定義?e

x

?

'

?lim

e

(x??x)

?e

x

?x?0

?x

?lime

?x?0

x

e

?x

?1

?x

?e。?a

x

x

?

'

?elna

x

的

證明類似（利用對數(shù)恒等式ax?exlna）。

第四篇：18考研數(shù)學(xué)之高數(shù)考點(diǎn)預(yù)測中值定理證明_斃考題

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2018考研數(shù)學(xué)之高數(shù)考點(diǎn)預(yù)測：中值定理證明

中值定理證明是高等數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)，今年很有可能會考到，沖刺時間不多，小編帶大家來把這些考點(diǎn)回顧鞏固下： 中值定理是考研數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，這一類型的問題，從待證的結(jié)論入手，首先看結(jié)論中有無導(dǎo)數(shù)，若無導(dǎo)數(shù)則采用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)來證明(介值或零點(diǎn)定理)，若有導(dǎo)數(shù)則采用微分中值定理來證明(羅爾、拉格朗日、柯西定理)，這個大方向首先要弄準(zhǔn)確，接下來就待證結(jié)論中有無導(dǎo)數(shù)分兩塊來講述。

一、結(jié)論中無導(dǎo)數(shù)的情況

結(jié)論中無導(dǎo)數(shù)，接下來看要證明的結(jié)論中所在的區(qū)間是閉區(qū)間還是開區(qū)間，若為閉區(qū)間則考慮用介值定理來證明，若為開區(qū)間則考慮用零點(diǎn)定理來證明。

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第五篇：考研數(shù)學(xué)定理證明

考研數(shù)學(xué)定理證明

不一定會考，或者說是好像近幾年也就是09年的考題出過一道證明題(拉格朗日中值定理的證明)。但準(zhǔn)備時最好把課本上幾個重要定理(比如中值定理)的證明看下，做到會自己證明。還有就是幾個證明過程或方法比較奇特的定理，要看懂證明。一個可以應(yīng)付直接考證明題，還可以借鑒證明思路幫助自己解其他題目，算是開擴(kuò)思路吧，總之看下會有好處的，而且也不是很多，比照課本自己總結(jié)下吧，我去年就是這么整理的。數(shù)學(xué)140+

定理的證明屬于比較難的，可以不看。很多人看都看不懂，或者看懂了也不會用。

但是定理的結(jié)論和應(yīng)用一定要會。

考研里的證明題屬于壓軸的，大部分人都做不出來，所以不用擔(dān)心。只要把基本盤拿下，你的分?jǐn)?shù)就應(yīng)該能過國家線。

祝你成功。

呵呵非常理解你的處境。我覺得這個問題不難解決，主要有兩個辦法。下面幫你具體分析一下，呵呵～

一。旁聽師弟師妹的數(shù)學(xué)課～優(yōu)點(diǎn)：不僅經(jīng)濟(jì)，便利，而且對老師的水平有保證～因為都是你們學(xué)校的嘛，你可以事先充分打聽好哪個老師哪門課講得好，然后還能比較容易獲取課程進(jìn)度，這樣就可以專門去聽自己不懂得那塊，針對性強(qiáng)矮甚至你下課后還可以就不懂得習(xí)題跟老師請教一下～就本人這么多年的上學(xué)經(jīng)驗，老師對“問題學(xué)生”都是歡迎的，至少不排斥～缺點(diǎn)：由于不是專門針對考研復(fù)習(xí)的講授，有些東西可能不是很適合～舉個例子吧，比如將同樣的知識，高一時候和高三第一輪復(fù)習(xí)時，講的側(cè)重點(diǎn)就不一樣～(但是個人覺得這不算什么大缺點(diǎn)～嘿嘿～)

二。報名參加專門的考驗輔導(dǎo)班。優(yōu)點(diǎn)顯而易見。老師肯定都是有多年考研輔導(dǎo)經(jīng)驗的，指導(dǎo)復(fù)習(xí)當(dāng)然針對性強(qiáng)，有事半功倍的效果。缺點(diǎn)就是，嘿嘿，學(xué)費(fèi)問題。你所在地的學(xué)費(fèi)情況我就不清楚了，你可以自己去查一下～

還有一句話想說，其實這兩個辦法也不是對立的，你可以在學(xué)校里去旁聽老師的課，把第一輪扎扎實實的復(fù)習(xí)完，放假回家去報名參加個輔導(dǎo)班，利用假期有針對性的做第二輪復(fù)習(xí)～相信兩輪復(fù)習(xí)下來，你的長進(jìn)一定不蝎呵呵～

我就說這么多，要是以后想起來了會再來補(bǔ)充的～最后祝你如愿考上理想院校哦～加油

也不知道一樓是哪個名校數(shù)學(xué)系的研究生，廣州大學(xué)嗎?這么有才華!聽他的話等樓主沒考到130哭的地方都找不到。

考研每一門學(xué)科都要復(fù)習(xí)好幾輪，也不知道樓主考什么專業(yè)，數(shù)學(xué)幾?

基礎(chǔ)差的話第一輪復(fù)習(xí)要弄清楚定理及其證明過程。如果應(yīng)屆本科生又是學(xué)理科，平時成績不錯，高數(shù)，線性分都很高的話第一輪可以直接看教材做題。