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科技信息
○本刊重稿○
SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2010年第23期
隨機變量可加性及在概率論與數(shù)理統(tǒng)計
教學(xué)中的應(yīng)用
屈聰張水利
（平頂山學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院河南
【摘
2
平頂山467000）
要】隨機變量的可加性是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中一個非常重要的內(nèi)容，但是很多教材都沒有較系統(tǒng)的對此問題進行討論。本文給出了
二項分布、泊松分布、正態(tài)分布、χ分布、Γ－分布、柯西分布、復(fù)合泊松分布以及泊松過程都具有可加性,最后討論了隨機變量可加性在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用。
【關(guān)鍵詞】可加性；相互獨立；正態(tài)分布；教學(xué)
TheAdditivePropertyofRandomVariablesandIt’sApplicationinTeachingofProbabilityandStatistics
【Abstract】TheadditivepropertyofrandomvariablesisaveryimportantcontentinProbabilityandStatistics,butmostoftextbookdon’tdiscussthisproblem.Inthispaper,Binomialdistribution、Poissondistribution、thenormaldistribution、chi-squaredistribution、Γ－Distribution、Cauchydistribution、compoundPoissondistributionandPoissonprocesscanbeadditive,andtheadditivepropertyofrandomvariableswasappliedinteachingofProbabilityandStatistics.
【Keywords】Additiveproperty；Independence；Normaldistribution；Teaching
0引言m，p）．
結(jié)論3.2［1］泊松分布具有可加性.
設(shè)ξ1～P（λ1），ξ2～P（λ2），且ξ1與ξ2相互獨立，則η=ξ1+ξ2~P（λ1＋λ2）．結(jié)論3.3［1］
正態(tài)分布具有可加性.
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2
在概率論中，在求一些隨機變量和的分布的情形中，有一類求和比較特殊，即有限多個相互獨立同分布的隨機變量之和的分布類型不變．這一性質(zhì)，稱為“可加性”或“再生性”．隨機變量的可加性是概率論中的一個重要概念，關(guān)于隨機變量的可加性研究，在一般的教科書中，尚未形成系統(tǒng)、較完善的論述，有必要對該方面的內(nèi)容做一些較深入的研究．本文給出了二項分布、泊松分布、正態(tài)分布、χ分布、Γ－分布，柯西分布、復(fù)合泊松分布以及泊松過程都具有可加性，最后討論了隨機變量可加性在概率論與q理統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用．
2
設(shè)ξ1～N（a1，σ1），ξ2～N（a2，σ2），且ξ1與ξ2相互獨立，則
η=ξ1+ξ2～N（a1＋a2，σ1＋σ2）．結(jié)論3.4［1］χ分布具有可加性.
設(shè)ξ1與ξ2相互獨立且ξ1～χ（m），ξ2～χ（n），則：ξ1+ξ2~χ（m+n）結(jié)論3.5［1］Γ－分布具有可加性.
若ξ1，ξ2相互獨立且分別服從Γ－分布Γ［α1，β］及Γ［α2，β］，則ξ1+
2
2
2
2
1定義
定義2.1[1]（Γ－分布）若隨機變量ξ的密度函數(shù)由下式給出
α1xe，x＞0f（x）＝βΓ（α＋1）
，0x≤0
其中α>-1，β＞0，則稱ξ服從Γ－分布或?qū)憺棣蝵Γ［α，β］．定義2.2［4］（柯西分布）若隨機變量ξ的密度函數(shù)為
，－∞＜x＜∞，f（x）＝1λ
λ＋（x－μ）ξ2服從Γ－分布Γ［α1＋α2＋1，β］
結(jié)論3.6［1］柯西分布具有可加性.
設(shè)ξ1與ξ2相互獨立且服從柯西分布，則η=ξ1+ξ2也服從柯西分布結(jié)論3.7［3］復(fù)合泊松分布具有可加性.
設(shè)隨機變量S1，S2服從復(fù)合泊松分布且相互獨立，S1＝
N2
N1
－x
ΣX，N服
i=1
i
1
2
從參數(shù)為λ的泊松分布，Xi分布函數(shù)為F1（x），S2＝
ΣY，N服從參數(shù)
i=1
i
其中λ＞0及μ均為常數(shù)，則稱ξ服從參數(shù)為λ，μ的柯西分布，記作ξ~C（λ，μ）．
定義2.3［3］（復(fù)合泊松分布）設(shè)有隨機變量和
為γ的泊松分布，Yi分布函數(shù)為F2（x），則S1＋S2與復(fù)合泊松隨機變量
ΣX，若N服從泊
i＝1
i
N
ΣZ的分布相同，
i=1
i
N0
其中N0服從參數(shù)為λ＋γ的泊松分布，｛Zi，i≥1｝獨
松分布，｛Xi，i≥1｝獨立同分布，且N與｛Xi，i≥1｝獨立，則稱隨機和
Σ
i＝1
N
立同分布，分布函數(shù)為
Xi服從復(fù)合泊松分布．約定當N＝0時，ΣXi＝0．
i＝1
N
Fz（x）＝λF1（x）＋γF2（x）
λ＋γλ＋γ［3］
結(jié)論3.8泊松過程具有可加性.
設(shè)｛N1（t），t≥0｝與｛N2（t），t≥0｝為相互獨立且參數(shù)為λ1，λ2的泊松過程，則｛N（t）＝N1（t）＋N2（t），t≥0｝是參數(shù)為λ1＋λ2的泊松過程．
定義2.4（泊松過程）稱計數(shù)過程｛N（t），t≥0｝是參數(shù)為λ的泊松過程，若它滿足下列條件：
[3]
（1）N（0）=0，
（2）N（t）是獨立增量過程，（3）對任意s，t≥0總有
－λt
P（N（s＋t）－N（s）＝n）＝（λt）e，n＝0，1，2，…
n
3隨機變量可加性在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用
可加性是概率論中的一個重要概念，它在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)中有非常廣泛的應(yīng)用．例如，在求抽樣分布時，需要用到正態(tài)分布和
2主要結(jié)論
結(jié)論3.1［1］二項分布具有可加性.
設(shè)ξ1～b（n，p），ξ2～b（m，p），且ξ1與ξ2相互獨立，則：η=ξ1+ξ2~b（n+
χ分布的可加性；有時，使用隨機變量的可加性來解決一些問題將變得比較簡單.
定理4.1［2］設(shè)（ξ1，ξ2，…ξm），（η1，η2，…ηn）分別取自兩個相互獨立的正態(tài)總體N（a1，σ1）和N（a2，σ2）的樣本，則
2
2
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2010年第23期SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION
○本刊重稿○
科技信息
Z＝
軃－軍ξη－（a1－a2）
軃～N（a，σ），軍證明：由費希爾定理可知；ξη～N（a2，σ2），且由11
軃與軍軃－軍兩個總體的獨立性知ξη也獨立，由正態(tài)分布的可加性，于是ξη～N（a1＋a2，σ1m＋σ2），故
2
2
姨
σ1σ2
＋2
2
～N（0，1）則
Σi＝1
N
ξi－aii
～χ（n）．Σ
2
2
2
證明∵ξi~N（ai，σi），i＝1，2，…，n
∴
ξi－ai
~N（0，1），i＝1，2，…，ni
［2］
由定理4.3知：
Σi＝1
N
ξi－aii
～χ（n）．Σ
2
2
Z＝
軃－軍ξη－（a1－a2）
σ1σ2
＋定理4.2［2］設(shè)（ξ1，ξ2，…ξm），（η1，η2，…ηn）分別取自兩個相互獨立的正態(tài)總體N（a1，σ）和N（a2，σ）的樣本，則
2
2
姨
～N（0，1）
例4.1設(shè)隨機變量ξ~N（3，16），η~N（6，9），且ξ與η相互獨立，求P（4＜ξ＋η≤14）＝．
解：由于ξ，η都服從正態(tài)分布，且相互獨立，由正態(tài)分布的可加性知，
ξ+η~N（9，25）
555
＝2Φ（1）－1≈2×0．8413－1＝0．6826
例4.2報名聽教育學(xué)課的學(xué)生人數(shù)是均值為100的泊松隨機變量，負責這門課程的教授決定，如果報名的人數(shù)不少于120人，就分成兩班講授，如果少于120人，就集中在一個班講授，試問該教授將講授兩個班的概率為多大？
（100），但沒有給出具體的數(shù)字答案，如i＝120
果想到均值為100的泊松隨機變量等于100個均值為1的獨立泊松隨機變量之和，我們就可以用林德伯格－萊維定理求其近似值．設(shè)η表
解精確的解是e
－100
T＝
軃－軍ξη－（a1－a2）
所以P（4＜ξ＋η≤14）＝P（4-9＜ξ＋η-9≤14-9）=Φ（1）－Φ（－1）
姨
2
mS1＋nS22
2
～t（m＋n－2）2
2
姨＋其中S1，S2，分別是總體N（a1，σ）和N（a2，σ）的樣本方差.證明：由定理4.1可知Z＝
2
2
軃－軍ξη－（a1－a2）σ
姨＋2
～N（0，1），由費希爾定理
2
2
2
Σ
∞i
軃，軍可知，mS1σ～χ（m－1），nS2σ～χ（n－1），且ξη，S1，S2相互獨立，由χ
2
2
分布的可加性，W＝
mS1＋nS2
σ
22
～χ（m＋n－2）并且Z和W獨立，所以
2
P（η≥120）＝P
軃－軍ξη－（a1－a2）
【參考文獻】
T＝
姨
2i
Z＝［1］
～t（m＋n－2）
定理4.3
mS1＋nS2＋設(shè)ξ1，ξ2，…，ξn相互獨立，并且都服從N（0，1）分布，則
姨
姨
［1］魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2001.
［2］繆銓生.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2006.
［3］唐玲，徐懷.復(fù)合泊松分布和泊松過程的可加性[J].安徽建筑工業(yè)學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，15（5）：80-81.
［4］梁之舜，等.概率論及數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2001.
Σξ～χ
i＝1
N
2
（n）．
2
2
證明∵ξi~N（0，1），i＝1，2，…，n，則：ξi～χ（1），i＝1，2，…，n.又由結(jié)論3.4：χ分布具有可加性，知：定理4.4
［1］
2
Σξ～χ
i＝1
i
N
作者簡介：屈聰（1981—），女，漢族，河南南陽人，碩士，助教。
22
（n）．
2
※基金項目：平頂山學(xué)院青年科研基金資助項目（2008045）。
［責任編輯：王靜］
設(shè)ξ1，ξ2，…，ξn相互獨立，且ξi~N（ai，σi），i＝1，2，…，n，
（上接第47頁）選取浙江省國家水文數(shù)據(jù)庫中曹娥江流域崇仁站1963-2001年逐日雨量數(shù)據(jù)進行測試。
以1978年為特征年，這一年是曹娥江流域的枯水年。利用本文的方法進行相似查找，和1978年的日降雨量相似的是1967年，其日降雨量曲線如圖3所示。從圖中可以看出，1967，1978這兩年的日降雨過程趨勢大致相似。它們的年總降雨量分別為837mm,852mm，都屬于枯水年。
由于每年的日降雨量時間序列的隨機性，用一般的方法（如將序列平移）
很難找到兩年的日降雨過程相似。利用離散小波變換，過濾掉時間序列中一些細節(jié)部分，保留了序列大致的趨勢。因而使得在數(shù)學(xué)定義的兩個不相似的序列在離散小波變換下能夠相似，這對大尺度的年來說，能夠知道大致的變化趨勢就可以了。科
●
【參考文獻】
［1］WenshengWang,JingDing,HonglianXiang.Applicationandprospectofwaveletanalysisinhydrology.AdvancesInWaterScience,2002,13(4)：515-520.［2］XianbinLi,JingDing,HouqiangLi.WaveletAnalysisofHydrologicalTimeSeries.AdvancesInWaterScience,1999,10(2)：30-35.
［3］ChengyouTang,RuiWang,RenMiao.ApplicationofDiscreteWaveletTransforminHydrologicalSeriesDecomposition.ChinaRuralWaterandHydropower，2007(2)：106-108.
［4］HaiqinZhang,QingshengCai.TimeSeriesSimilarPatternMatchingBasedonWaveletTransform.ChineseJournalofComputers，2003,26(3)：373-377.
圖31967,1978年的日降雨量曲線
※基金項目：浙江省水利廳資助項目（RC0927）。
［責任編輯：翟成梁］
4結(jié)語
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