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第一篇：函數(shù)極限
《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
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第三章 函數(shù)極限
教學(xué)目的：
1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個(gè)重要極限
和
，并能熟練運(yùn)用；
4.理解無(wú)窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會(huì)利用它們求某些函數(shù)的極限。 教學(xué)重（難）點(diǎn)：
本章的重點(diǎn)是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計(jì)算；難點(diǎn)是海涅定理與柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用。
教學(xué)時(shí)數(shù)：16學(xué)時(shí)
§ 1 函數(shù)極限概念 （3學(xué)時(shí)）
教學(xué)目的：使學(xué)生建立起函數(shù)極限的準(zhǔn)確概念；會(huì)用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關(guān)命題。
教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會(huì)應(yīng)用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關(guān)命題，并能運(yùn)用???語(yǔ)言正確表述函數(shù)不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念。
教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義及其應(yīng)用。
一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等
二、講授新課：
（一） 時(shí)函數(shù)的極限：
- 21 《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
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例4 驗(yàn)證
例5 驗(yàn)證
例6 驗(yàn)證
證 由 =
為使
需有
需有
為使
于是, 倘限制 , 就有
例7 驗(yàn)證
例8 驗(yàn)證 ( 類(lèi)似有
（三）單側(cè)極限:
1．定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法. 幾何意義: 介紹半鄰域
- 23 《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
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我們引進(jìn)了六種極限: .以下以極限
,
為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.
二、講授新課：
（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.
1.唯一性:
2.
局部有界性:
3.
局部保號(hào)性:
4.
單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ):
Th 4 若使 ，證 設(shè)
和都有 =
( 現(xiàn)證對(duì) 都存在, 且存在點(diǎn)
的空心鄰域
,
有
註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有
5.6. 以
迫斂性:
”為“ 舉例說(shuō)明.
”, 未必
四則運(yùn)算性質(zhì): ( 只證“+”和“ ”)
（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過(guò)以下幾個(gè)極限：
- 25 《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
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例8
例9
例10 已知
求和
補(bǔ)充題:已知
求和 (
) § 3 函數(shù)極限存在的條件（4學(xué)時(shí)）
教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。 教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路。 教學(xué)重點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。 教學(xué)難點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則 運(yùn)用。
教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運(yùn)用。 本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個(gè)充要條件.仍以極限
為例.
一.
Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：
Th 1 設(shè)函數(shù)在,對(duì)任何在點(diǎn)
且
的某空心鄰域
內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.( 證 )
存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具.對(duì)單側(cè)極限,還可加強(qiáng)為
單調(diào)趨于
.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.
- 27 《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
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教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)重要極限的證明及運(yùn)用。
教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說(shuō)明應(yīng)用，練習(xí)。 一．
（證） （同理有
）
例1
例2 .例3
例4
例5 證明極限 不存在.二.
證 對(duì)
有
例6
特別當(dāng) 等.例7
例8
- 28
29 《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
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三． 等價(jià)無(wú)窮小：
Th 2 ( 等價(jià)關(guān)系的傳遞性 ). 等價(jià)無(wú)窮小在極限計(jì)算中的應(yīng)用: Th 3 ( 等價(jià)無(wú)窮小替換法則 )
幾組常用等價(jià)無(wú)窮小: （見(jiàn)[2]）
例3 時(shí), 無(wú)窮小
與
是否等價(jià)? 例4
四.無(wú)窮大量:
1.定義:
2.性質(zhì):
性質(zhì)1 同號(hào)無(wú)窮大的和是無(wú)窮大.
性質(zhì)2 無(wú)窮大與無(wú)窮大的積是無(wú)窮大. 性質(zhì)3 與無(wú)界量的關(guān)系.
無(wú)窮大的階、等價(jià)關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無(wú)窮小討論, 有平行的結(jié)果.
3.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系:
無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小,非零無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大
習(xí) 題 課（2學(xué)時(shí)）
一、理論概述：
- 31 《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
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例7 .求
.注意 時(shí), 且
.先求
由Heine歸并原則
即求得所求極限
.
例8 求是否存在.
和.并說(shuō)明極限
解 ;
可見(jiàn)極限 不存在.
- - 32
高數(shù)極限證明
重要極限證明
極限證明（共8篇）
證明函數(shù)fx
凸函數(shù)證明
第二篇：函數(shù)極限
習(xí)題
1.按定義證明下列極限:
(1) limx???6x?5=6 ;(2) lim(x2-6x+10)=2; x?2x
x2?5?1 ;(4) lim?(3) lim2x???x?1x?2
(5) limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;
2.根據(jù)定義2敘述limf (x) ≠ A.x?x0
3.設(shè)limf (x) = A.,證明limf (x0+h) = A.x?x0h?0
4.證明:若limf (x) = A,則lim| f (x)| = |A|.當(dāng)且僅當(dāng)A為何值時(shí)反之也成立? x?x0x?x0
5.證明定理3.1
6.討論下列函數(shù)在x0→0 時(shí)的極限或左、右極限: (1)f(x)=x
x;(2) f(x) = [x]
?2x;x?0.?(3) f (x)=?0;x?0.
?1?x2,x?0.?
7.設(shè) limf (x) = A,證明limf (x???x?x01) = A x
8.證明:對(duì)黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR (x) = 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時(shí),考慮單側(cè)極限).x?x0
習(xí)題
1． 求下列極限：
x2?1 （1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim; ?x?02x2?x?1x?22
x2?1?x?1???1?3x?;
lim(3) lim;(4)
x?12x2?x?1x?0x2?2x3
xn?1(5) limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim
x?1xx?4?1
（7）lim
x?0
?2x?3x?2
70
；
20
a2?x?a?3x?6??8x?5?.
（a>0）;(8) lim
x???x5x?190
2． 利用斂性求極限： (1) lim
x???
x?cosxxsinx
;(2) lim2
x?0xx?4
x?x0
3． 設(shè) limf(x)=A, limg(x)=B.證明：
x?x0
（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;
x?x0
（2）lim[f(x)g(x)]=AB;
x?x0
（3）lim
x?x0
f(x)A
=(當(dāng)B≠0時(shí)) g(x)B
4． 設(shè)
a0xm?a1xm?1???am?1x?am
f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1
b0x?b1x???bn?1x?bn
試求 limf(x)
x???
5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=A.證明
x?x0
x?x0
lim
f(x)=A，
其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0\n
x?0
7.設(shè)limf(x)=A, limg(x)=B.
x?x0
x?x0
(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)
（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x) > g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）： (1) lim ?
x?0
x
x11
lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x
x?x2???xn?n
(3) lim ;(4) lim
x?0x?0x?1
?x?1
x
(5) lim
x??
?x?(提示：參照例1)
x
x?0
x?0
x?0
9．（1）證明：若limf (x3)存在，則limf (x)= lim f (x3)（2）若limf (x2)存在，試問(wèn)是否成立limf (x) =limf (x2) ?
x?0
x?0
x?0
習(xí)題
1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.
n???
n???
2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在
n???
[a,+?)上有上(下)界.
3.(1)敘述極限limf (x)的柯西準(zhǔn)則;
n???
(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf (x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.
n???
n???
4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對(duì)任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都
n??
n??
存在,則所有這極限都相等.
提示: 參見(jiàn)定理3.11充分性的證明.
5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0) =supf(x),f(x0+0)=
0x?u?
?x0?
0x?un(x0)
inff (x)
6.設(shè) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.
x?x0
7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0
x???
8.證明定理3.9
習(xí)題
1.求下列極限
sin2xsinx3
(1) lim;(2) lim
x?0x?0sinx2x
(3) lim
x?
cosxx?
?
tanx?sinxarctanx
lim(5) lim;(6) ; 3x?0x?0xx
sin2x?sin2a1
(7) limxsin ;(8) lim;
x???x?axx?a
;(4) lim
x?0
tanx
; x
?cosx2
(9) lim;(10) lim
x?0x?01?cosxx?1?1
sin4x
2.求下列極限
12?x
(1) lim(1?);(2) lim?1?ax?x(a為給定實(shí)數(shù));
n??x?0x
x
(3) lim?1?tanx?
x?0
cotx
;(4) lim?
?1?x?
?;
x?01?x??
(5) lim(
x???
3x?22x?1?
);(6) lim(1?)?x(?,?為給定實(shí)數(shù))
n???3x?1x
3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計(jì)算下列極限: (1) limnsin
n??
?
x?0n??
??
?
x2
xx???cos?1 2n??22??
?
n
;(2)
習(xí)題
1． 證明下列各式
(1) 2x－x2=O(x) (x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);
+
(3)?x?1?o(1) (x→0);
(4) (1+x)n= 1+ nx+o (x) (x→0)(n 為正整數(shù)) (5) 2x3 + x2=O(x3)(x→∞) ;
(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x→x0)
(7) o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0) 2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：
?x2?1x(1) lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx
x3． 證明定理3.13
4． 求下列函數(shù)所表示曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)：
13x3?4
(1) y = ;(2) y = arctan x ;(3)y = 2
xx?2x
5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時(shí)為同階無(wú)窮小量：
(1) sin2x－2sinx ;(2)
－ (1－x); 1?x
(3)?tanx??sinx;(4)
x2?4x3
6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時(shí)為同階無(wú)窮大量：
(1)
x2?x5;(2)x+x2 (2+sinx);
(3) (1+x)(1+x2)…(1+xn).
7． 證明：若S為無(wú)上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)
8． 證明：若f為x→r時(shí)的無(wú)窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿(mǎn)足g(x)≥K>0，則fg為x→r
時(shí)的無(wú)窮大量。
9． 設(shè) f(x)~g(x) (x→x0)，證明：
f ( x )－g ( x ) = o ( f ( x ) )或 f ( x )－g ( x ) = o ( g ( x ) )
總 練 習(xí) 題
1． 求下列極限：
?1
(x?[x])lim([x]?1)(1) lim;(2)??
x?3
x?1
(3) lim(
x???
a?xb?x?a?xb?x)
xx?a
(4) lim
x???
(5)lim
xx?a
x???
(6) lim
?x??x?x??x
x?0
(7) lim?
n??m
,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??
2． 分別求出滿(mǎn)足下述條件的常數(shù)a與b：
?x2?1?
(1) lim??ax?b???0 x????x?1??
x(3) limx
(2) lim
x???x???x?2
??x?1?ax?b??0
?x?1?ax?b?0
x?2
3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：
(1) limf(x)?f(2)；(2) limf(x)不存在。
4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點(diǎn)x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的
x?x0
局部保號(hào)性有矛盾嗎？
5． 設(shè)limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出
x?a
g?A
limg(f(x))?B?
x?a
6． 設(shè)f (x)=x cos x。試作數(shù)列
(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0 (n→∞); (2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0 (n→∞); (3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0 (n→∞).
7． 證明：若數(shù)列{an}滿(mǎn)足下列條件之一，則{an}是無(wú)窮大數(shù)列：
(1) liman?r?1
n??
(2) lim
an?1
?s?1(an≠0,n=1,2,…)
n??an
n2
n2
8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：
(1) lim?1?
?n??
?1??1??(2) lim?1??
n??n??n?
9． 設(shè)liman???，證明
n??
(1) lim
(a1?a2???an)??? n??n
n??
(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：
(1)limn!(2) lim
n??
In(n!)
n??n
11.設(shè)f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得
limf(xn)?A，則有
n??
f (x0－0) =
supf(x)?A
0x?U?(x0)
12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿(mǎn)足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)
x???
13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿(mǎn)足方程f (x2) = f (x)，且
f(x)=limf(x)?f(1)lim?
x?0
x???
證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)
14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿(mǎn)足
x???
lim(f(x?1)?f(1))?A證明
x???
lim
f(x)
?A x
