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第一篇：函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性本站推薦

第一部分高等數(shù)學(xué)

第一節(jié)函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性

考點梳理

一、函數(shù)及其性質(zhì)

1、 初等函數(shù)

冪函數(shù)：y?xa(a?R)

指數(shù)函數(shù)y?ax(a?1且a?1)

對數(shù)函數(shù)：y?logax(a?0且a?1)

三角函數(shù)：sin x , cos x , tan x , cot x

反三角函數(shù)：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x

2、 性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性）

【注】奇偶性、單調(diào)性相對考察的可能性打，但一般不會單獨出題，常與其他知識點結(jié)合起來考察（比如與積分、導(dǎo)數(shù)結(jié)合）

二、函數(shù)極限

1． 數(shù)列極限

定義（略）

收斂性質(zhì)：極限的唯一性、極限的有界性、極限的保號性。

·類比數(shù)列極限，函數(shù)極限有唯一性、局部有界性、局部保號性。

單側(cè)極限（左極限、右極限）

【注】函數(shù)極限為每年的必考內(nèi)容，常見于客觀題中。一般為2~3題。

2． 兩個重要極限

（1）limsinx?1 x?0x

x類似得到：x→0時，x～ln(x+1)～arcsin x～arctan x～tan x （2）lim(1?x)?e x?0

類似得到：lim(1?)?elim(1?)?x??x??1xx

1xx1 e

·此處，需提及無窮大，無窮小的概念，希望讀者進(jìn)行自學(xué)。

三、函數(shù)的連續(xù)性

1． 概念：函數(shù)f(x)在x0處的連續(xù)（f(x)在x0點左連續(xù)、f(x)在x0點右連續(xù)）函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a,b）上的連續(xù)

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)

2． 函數(shù)的間斷點分類

● 跳躍式間斷點：函數(shù)f(x)在點x0的左右極限都存在但不相等。

● 函數(shù)在點x0的左右極限都存在且相等，但不等于該點的函數(shù)值（或函數(shù)值在該

點無定義）

● 振蕩間斷點：f(x)在點x0的左右極限至少有一個不存在。

3． 連續(xù)函數(shù)的和、積、商，初等函數(shù)的連續(xù)性

● 有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)。

● 有限個再某點連續(xù)的函數(shù)的積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)。

● 兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商事一個在該點連續(xù)的函數(shù)（分母在該點不為零） ● 一切基本初等函數(shù)在定義域（或定義區(qū)間）上是連續(xù)的。

4． 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

● （最大、最小定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。

● （有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界。

● （零點定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號（即f(a)·f(b)

那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點。

● 介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點處取不同的函

數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么，對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)

內(nèi)至少有一點ξ，使得f(b)=C(a

【注】函數(shù)的連續(xù)性，一般在客觀題目中出現(xiàn)，分值不大，一般1~2題。

典型例題分析

【例1】（2010年真題）（工程類）計算極限limx?sinx? x?0x?sinx

A.1B.-1C.0D.

2sinx?1這一重要極限。如此，我們不難解x?0x

sinxsinx1?1?limx?sinxx?0??0。 出該極限為0.即lim?limx?0x?sinxx?01?1?limx?0xx

x?cx)?e6,則常數(shù)c=_________。 【例2】（2010年真題）（工程類）設(shè)lim(x??x?c

1x1【解析】解決此類題目，我們要靈活運用lim(1?)?。 x??xe【解析】：解決此類題目，我們要深刻掌握lim

2cxx?cx2cx

2?ccx?clim()?lim(1?)?limex??x?cx??x??x?c?2c1?c?e?2c?e6。則c= -3。

1???xsin,x?0【例3】（2009年真題）（工程類）設(shè)f(x)??若f(x)在點x=0處連續(xù)，則αx??0,x?0

的取值范圍是

A．(-∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C. (0,+ ∞)D.(1,+ ∞)

【解析】函數(shù)f(x)為一個分段函數(shù)，要使其在點x=0處連續(xù)，只需limxsinx?0?1?0，不難x

發(fā)現(xiàn)x→0時，sin x 為有界的，我們只需滿足limx?0即可。易得，α>0。但α不能等于x?0?

0，否則limsinx?01?0。 x

提高訓(xùn)練

1、 求下列函數(shù)的定義域

（

1）y?

（2）y?1 2x?2x

（3）y=lg (3x+1)

(4) y?1? 1?x

22、 判斷一下函數(shù)的奇偶性

ax?a?x

(1) y = tan x(2) y?a(3) y? 2x

3、 求下列函數(shù)的極限

1x3?4x2(1) lim(3x?1)(2) lim3(3) limxsinx?3x?0x?0x?xx

sin3x15sin2x(4) lim(5) lim(6) lim(1?) x?0x??x?01?cosxxx

?1?ex,x?0??

4、

討論f(x)??0,x?0在x=0點的連續(xù)性。

x?0

5、 證明方程x?3x?1至少有一個根介于1和2之間。

【答案】

1、（1）[-1,1](2)(- ∞,0)∪(0,2) ∪(2,+∞)(3)(-1/3,+∞)

(4)[-2,-1)∪(-1,1) ∪(1,+∞)

2、（1）奇（2）非奇非偶（3）偶

3、（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）

14、連續(xù)

5、證明：記f(x)?x?3x?1，f(1)=-30。由零點存在定理知，至少存在一個零點介于1和2之間。即方程x?3x?1在1和2之間至少有一個根。 555

第二篇：9利用定義求極限

1．fxlimxx0fxfx0， xx0

fx0hfx0． h2．fx0limh0

其中h是無窮小，可以是xxxx0，x的函數(shù)或其他表達(dá)式．

例1

求極限x0p0,q0．

0 分析 此題是x0時型未定式，在沒有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念之前，常用的方法是消去分母0

中的零因子，針對本題的特征，對分母分子同時進(jìn)行有理化便可求解．但在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義式之后，我們也可直接運用導(dǎo)數(shù)的定義式來求解．

解 令f

xg

x 則

x0fxf0

lim x0gxg0x0

f0g0p． q

第三篇：6利用函數(shù)連續(xù)性

（就是直接將趨向值帶出函數(shù)自變量中，此時要要求分母不能為0）

描述函數(shù)的一種連綿不斷變化的狀態(tài)，即自變量的微小變動只會引起函數(shù)值的微小變動的情況。確切說來，函數(shù)在某點連續(xù)是指：當(dāng)自變量趨于該點時，函數(shù)值的極限與函數(shù)在該點所取的值一致。

例1

設(shè) f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，試求：

當(dāng)a，b為何值時，f（x）在x=0處的極限存在？

當(dāng)a，b為何值時，f（x）在x=0處連續(xù)？

注：f（x）=xsin 1/x +a, x< 0

b+1, x=0

X^2-1, x>0

解：f(0)＝b+1

左極限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a

左極限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1

f(x)在x＝0處連續(xù)，則lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，

所以a＝-1＝b+1，

所以a＝-1，b＝-2

第四篇：10利用歸結(jié)原則求極限

歸結(jié)原則設(shè)f在U0x0;內(nèi)有定義，limfx存在的充要條件是：對任何含于xx0

U0x0;且以x0為極限的數(shù)列xn，極限limfxn都存在且相等． n

例1 11求極限lim12． nnn

x1分析 利用復(fù)合函數(shù)求極限，令ux12x

x1解 令ux12x

nnnx2x1，vxx1求解． xx2x1，vxx1則有 xlimuxe；limvx1，

由冪指函數(shù)求極限公式得

vx11lim12limuxe， xxxxx

第五篇：元函數(shù)極限證明

二元函數(shù)極限證明

二元函數(shù)極限證明

設(shè)p=f(x,y),p0=(a,b)，當(dāng)p→p0時f(x,y)的極限是x,y同時趨向于a,b時所得到的稱為二重極限。

此外，我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時的極限,稱為二次極限。

我們必須注意有以下幾種情形：’

(1)兩個二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在 (2)兩個二次極限存在而不相等

(3)兩個二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在 2 函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時極限存在，不妨設(shè)：limf(x)=a(x→x0) 根據(jù)定義:對任意ε>0,存在δ>0,使當(dāng)|x-x0|

而|x-x0|

又因為ε有任意性,故可取ε=1,則有:|f(x)-a|0,當(dāng)任意x屬于x0的某個鄰域u(x0;δ)時,有|f(x)| 證畢

3首先，我的方法不正規(guī)，其次，正確不正確有待考察。

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二元函數(shù)極限證明

1，y以y=x^2-x的路徑趨于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨于0結(jié)果是無窮大。

2，3可以用類似的方法，貌似同濟(jì)書上是這么說的，二元函數(shù)在該點極限存在，是p(x,y)以任何方式趨向于該點。

4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在

當(dāng)x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動的所以不存在

而當(dāng)x->0,y->0時

由|sin(1/x)|0,y->0時，f的極限就為0 這個就是你說的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說的

正無窮或負(fù)無窮或無窮，我想這個就可以了 就我這個我就線了好久了 5

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二元函數(shù)極限證明

(一)時函數(shù)的極限： 以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.) 幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證…… (二)時函數(shù)的極限： 由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

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二元函數(shù)極限證明

=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時) 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。 教學(xué)難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。 教學(xué)方法：講練結(jié)合。 一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有) 註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性: 6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)

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二元函數(shù)極限證明

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限： (注意前四個極限中極限就是函數(shù)值) 這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和) 例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.例4 例5例6例7 §2二元函數(shù)的極限 (一)教學(xué)目的：

掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．

(二)教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的極限的定義；累次極限． 基本要求：

(1)掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法．

(2)較高要求：掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，能用來處理極限存在性問題．

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二元函數(shù)極限證明

(三)教學(xué)建議：

(1)要求學(xué)生弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會他們求多元函數(shù)極

限的方法．

(2)對較好學(xué)生講清重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，通過舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法．

一二元函數(shù)的極限

先回憶一下一元函數(shù)的極限：limf(x)?a的“???”定義(c31)： x?x0 0設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一空心鄰域u(x0,?1)內(nèi)由定義，如果對 ???0,當(dāng)

x?u(x0,?)

，

即

|x?x0|??

時

，

都

有|f(x)?a|??，???0,???1，

則稱x?x0時，函數(shù)f(x)的極限是a.類似的，我們也可以定義二元函數(shù)的極限如下：

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為定義在d?r2上的二元函數(shù)，在點p0(x0,y0)為d的一個聚點，

a是一個確定的常數(shù)，如果對???0,???0，使得當(dāng)p(x,y)?u(p0,?)?d時，0都有|f(p)?a|??，則稱f在d上當(dāng)p?p0時，以a為極限。記作

p?p0p?dlimf(p)?a

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二元函數(shù)極限證明

也可簡寫為limf(p)?a或 p?p0(x,y)?(x0,y0) 2limf(x,y)?a例1用定義驗證 2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1| ?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1| 限制在（2，1）的鄰域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1} |x?3|?6, |x?y?1|?6 取??min{1,?/6}，則有 |x?xy?y|?? 由二元函數(shù)極限定義lim (x,y)?(2,1) (x?xy?y)?7 22 22 ?x?y ,(x,y)?(0,0)?xy22 例2f(x,y)??x?y， ?0,(x,y)?(0,0)?

證

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二元函數(shù)極限證明

證明lim (x,y)?(0,0) f(x,y)?0 x?yx?y 22 22 證|f(x,y)|?|xy 所以 lim (x,y)?(0,0) |?|xy| lim (x,y)?(0,0) |f(x,y)|?lim (x,y)?(0,0) |xy|?0 |f(x,y)|?0 對于二元函數(shù)的極限的定義，要注意下面一點： p?p0

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二元函數(shù)極限證明

limf(p)?a是指：p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)，包括沿任何直線，沿任

何曲線趨于p0(x0,y0)時，f(x,y)必須趨于同一確定的常數(shù)。 對于一元函數(shù)，x僅需沿x軸從x0的左右兩個方向趨于x0，但是對于二元函數(shù)，p趨于p0的路線有無窮多條，只要有兩條路線，p趨于p0時，函數(shù)f(x,y)的值趨于不同的常數(shù)，二元函數(shù)在p0點極限就不存在。

?1,0?y?x2 例1二元函數(shù)f(x,y)?? ?0,rest 請看圖像（x62），盡管p(x,y)沿任何直線趨于原點時f(x,y)都趨于零，但也不能說該函數(shù)在原點的極限就是零，因為當(dāng)p(x,y)沿拋物線y?kx,0?k?1時，f(x,y)的值趨于１而不趨于零，所以極限不存在。

(考慮沿直線y?kx的方向極限).?x2y ,? 例2設(shè)函數(shù)f(x,y)??x2?y2 ?0,? (x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) 求證limf(x,y)?0

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二元函數(shù)極限證明

x?0 y?0 證明因為|f(x,y)?0|? x|y|x?y ? x|y|x ?|y| 所以，當(dāng)(x,y)?(0,0)時，f(x,y)?0。

請看它的圖像，不管p(x,y)沿任何方向趨于原點，f(x,y)的值都趨于零。

通常為證明極限limf(p)不存在,可證明沿某個方向的極限不存在,或證明沿某兩

p?p0 個方向的極限不相等,或證明方向極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意,沿任何方向的極限存在且相等??全面極限存在.例3 設(shè)函數(shù)

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) ?xy ,?22 f(x,y)??x?y

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二元函數(shù)極限證明

?0,? 證明函數(shù)f(x,y)在原點處極限不存在。 證明盡管p(x,y)沿ｘ軸和ｙ軸

趨于原點時(f(x,y)的值都趨于零，但沿直線y?mx趨于原點時 x?mxx?(mx) f(x,y)?? mx 22 (1?m)x ? m1?m 沿斜率不同的直線趨于原點時極限不一樣，請看它的圖象,例１沿任何路線趨于原點時，

極

限都是0，但例２沿不同的路線趨于原點時，函數(shù)趨于不同的值，所以其極限不存在。

例4 非正常極限極限 lim (x,y)?(x0,y0)

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二元函數(shù)極限證明

判別函數(shù)f(x,y)? xy?1?1x?y 在原點是否存在極限.f(x,y)???的定義: 12x?3y 例1設(shè)函數(shù)f(x,y)?證明limf(x,y)?? x?0y?0 證| 12x?3y |?| 13(x?y) | 只要取?? 16m |x?0|??,|y?0|??時，都有 | 12x?3y16? 22 |?| 13(x?y)

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二元函數(shù)極限證明

| ??m 12x?3y 請看它的圖象，因此是無窮大量。 例2求下列極限:i) lim xyx?y 22 ;ii) (x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0) lim sinxyy ; iii) (x,y)?(0,0) lim xy?1?1xy ;iv) (x,y)?(0,0) lim

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二元函數(shù)極限證明

ln(1?x?y) x?y 22 .二.累次極限:累次極限

前面講了p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)時的極限，我們稱它為二重極限，對于兩個自變量x,y依一定次序趨于x0,y0時f(x,y)的極限，稱為累次極限。對于二元函數(shù)f(x,y)在p0(x0,y0)的累次極限由兩個

limlimf(x,y)和limlimf(x,y) y?y0x?x0 x?x0y?y0 例1 f(x,y)? xyx?yx?yx?y 222 ,求在點(0,0)的兩個累次極限.22 例2f(x,y)?,求在點(0,0)的兩個累次極限.例3f(x,y)?xs(請你支持：)in

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二元函數(shù)極限證明

1y ?ysin 1x ,求在點(0,0)的兩個累次極限.二重極限與累次極限的關(guān)系: （１）兩個累次極限可以相等也可以不相等，所以計算累次極限

例函數(shù)f(x,y)? x?y?x?y x?y 22 的兩個累次極限是y?yyx?xx 22 limlim x?y?x?y x?yx?y?x?y x?y y?0x?0 ?lim y?0

15 / 29 時一定要注意不能隨意改變它們的次序。二元函數(shù)極限證明

?lim(y?1)??1 y?0 ?lim(x?1)?1 x?0 limlim x?0y?0 ?lim x?0 （２）兩個累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在例f(x,y)? xyx?y xyx?y ，兩個累次極限都存在 limlim y?0x?0 ?0,limlim xyx?y x?0y?0 ?0

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二元函數(shù)極限證明

但二重極限卻不存在，事實上若點p(x,)沿直線y?kx趨于原點時，

kx f(x,y)? x?(kx) ? k1?k 二重極限存在也不能保證累次極限存在

二重極限存在時,兩個累次極限可以不存在.例函數(shù)f(x,y)?xsin 1y?ysin 1x 由|f(x,y)|?|x|?|y|?0,(x,y)?(0,0).可見二重極限存在,但 1x limsin x?0 和limsin y?0 1y 不存在，從而兩個累次極限不存在。 （4）二重極限極限lim

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二元函數(shù)極限證明

(x,y)?(x0,y0) f(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存 x?x0y?y0 在,則必相等.(證) （5）累次極限與二重極限的關(guān)系

若累次極限和二重極限都存在，則它們必相等 二元函數(shù)極限的研究 作者：鄭露遙指導(dǎo)教師：楊翠

摘要函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，本文討論了二元函數(shù)極限的定義、二元函數(shù)極限存在或不存在的判定方法、求二元函數(shù)極限的方法、簡單討論二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的關(guān)系以及二元函數(shù)極限復(fù)雜的原因、最后討論二重極限與累次極限的關(guān)系。

關(guān)鍵詞二元函數(shù)極限、累次極限、二重極限、連續(xù)性、判別法、洛必達(dá)法則、運算定理

1引言

函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容,關(guān)于一元函數(shù)的極限及其求法,各種教材中都有詳盡的說明。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如,在極運算法則上,它們是一致的,但隨著變量個數(shù)的增加,二元函數(shù)極限比一元函數(shù)

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二元函數(shù)極限證明

極限變得復(fù)雜得多,但目前的各類教材、教學(xué)參考書中有關(guān)二元函數(shù)極限的求法介紹不夠詳二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個基本概念,它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個定值時,函數(shù)值的變化趨勢。是高等數(shù)學(xué)中一個極其重要的問題。但是,一般來說,二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限,無論從計算還是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如下探討求一元函數(shù)的極限問題,主要困難多數(shù)集中于求未定型極限問題,而所有未定型的極限又總可轉(zhuǎn)化為兩類基本型即00與∞∞型,解決這兩類基本未定型的有力工具是洛泌達(dá)(lhospital)法則。類似地,二元函數(shù)基本未定型的極限問題也有相似的洛泌達(dá)法則。為了敘述上的方便,對它的特殊情形(即(x0,y0)=(0,0))作出如下研究,并得到相應(yīng)的法則與定理。二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個基本概念,它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個定值時,函數(shù)

值的變化趨勢。是高等數(shù)學(xué)中一個極其重要的問題。但是,一 般來說,二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限,無論從計算還 是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如 下探討。

§2.3二元函數(shù)的極限與連續(xù) 定義

設(shè)二元函數(shù)有意義,若存在

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二元函數(shù)極限證明

常數(shù)a, 都有

則稱a是函數(shù)當(dāng)點趨于點 或 或

趨于點時的極限,記作 。

的方式無關(guān),即不,當(dāng)（即）時，在點的某鄰域內(nèi)或 必須注意這個極限值與點 論p以什么方

向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向

分接近,就能使。只要p與充與a接近到預(yù)先任意指定的程度。注意：點p趨于點點方式可有無窮多

種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個單側(cè)極限要復(fù)雜的多（圖8-7）。 圖8-7 同樣我們可用歸結(jié)原則,若發(fā)現(xiàn)點p按兩個特殊的路徑趨于點時, 極限 在該點

存在,但不相等,則可以判定元函數(shù)極限不存在的重要方法之一。 極限不存在。這是判斷多

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二元函數(shù)極限證明

一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論,在二元函數(shù)極

限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。例如若 有 ,其中 。

求多元函數(shù)的極限,一般都是轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來求,或利用夾逼定理

來計算。例4求。解由于 , 而

,根據(jù)夾逼定理知 ,所以。 a≠0) 。 解 例 求 （

。例6求。解

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二元函數(shù)極限證明

由于理知

且,所以根據(jù)夾逼定 .例7 研究函數(shù) 在點

處極限是否存在。解當(dāng)x2 +y2≠0時，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于 （0，0 ）的極限，有值，可得到不同的極限值,所以極限 不存在,但

,。很顯然，對于不同的k 。

注意：極限方式的 的區(qū)別,前面兩個求

本質(zhì)是兩次求一元函數(shù)的極限,我們稱為累次極限,而最后一個是求二元函數(shù)的

極限,我們稱為求二重極限。 例8 設(shè)函數(shù)極限都不存在,因 為對任何

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二元函數(shù)極限證明

,當(dāng) 時 , 。它關(guān)于原點的兩個累次 的第二項不存在極限；同理對任何 時,的第一項也不存在極限, 但是因此 。

由例7知,兩次累次極限存在,但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存

在,但二個累次極限不存在。我們有下面的結(jié)果:定理1若累次極限

都存在,則

三者相等（證明略）。推論 若但不相等, 則二重極限 不 存在 和二重極 限

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二元函數(shù)極限證明

, 由于 , 存在。定義設(shè)

在點的某鄰域內(nèi)有意義, 且稱 函 數(shù) ,則 在 點 處 連 續(xù) , 記

上式稱為函數(shù)(值)的全增量 。 則。

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二元函數(shù)極限證明

定義 增量。

為函數(shù)(值)對x的偏 二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為 偏增量。 若 斷點,若 在點

為函數(shù)（值）對y的 處不連續(xù), 則稱點 是 的間 在某區(qū)域

在區(qū)域g上連續(xù)。若 在閉區(qū)域g g上每一點都連續(xù),則稱的每一內(nèi)點都連續(xù),并在g的連界點 處成立 , 則稱

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二元函數(shù)極限證明

為連續(xù)曲面。

在閉域g上連續(xù)。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱

關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì),如最值定理、介值定理、cantor 定理,對于

二元函數(shù)也相應(yīng)成立?？梢宰C明如下的重要結(jié)果：定理2設(shè) 在平面有界閉區(qū)域g上連續(xù),則

（1）必在g上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2 ） ,當(dāng) 時,都有

。以上關(guān)于二元函數(shù)的 在g上一致連續(xù),即

極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。 函數(shù)極限的證明 (一)時函數(shù)的極限： 以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.) 幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.

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二元函數(shù)極限證明

例1驗證例2驗證例3驗證證…… (二)時函數(shù)的極限： 由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有 =§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時) 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不

教學(xué)重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。 教學(xué)難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

27 / 29 等式性質(zhì)以及有理運算性等。二元函數(shù)極限證明

教學(xué)方法：講練結(jié)合。 一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有) 註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性: 6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限： (注意前四個極限中極限就是函數(shù)值) 這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.

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二元函數(shù)極限證明

例1(利用極限和) 例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.例4 例5例6例7 函數(shù)極限證明 函數(shù)極限的性質(zhì)證明 函數(shù)極限的定義證明 利用函數(shù)極限定義證明11 用定義證明函數(shù)極限方法總結(jié)

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第六篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限 求極限我會

|Xn+1-A|

|X2-A|

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②證明{x(n)}有上界。 x(1)=1

x(k+1)=√[2+3x(k)]1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分別求導(dǎo)) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0 4 用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞

(3)lim[根號(n+1)-根號(n)]=0 n→∞

(4)lim0.999…9=1 n→∞ n個9 5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。。Lim就省略不打了。。。