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第一篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明
函數(shù)極限的性質(zhì)證明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限 求極限我會
|Xn+1-A|
|X2-A|
①證明{x(n)}單調(diào)增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 設(shè)x(k+1)>x(k)，則
x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②證明{x(n)}有上界。 x(1)=1
x(k+1)=√[2+3x(k)]1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 則：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分別求導(dǎo)) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0 4 用數(shù)列極限的定義證明
3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞
(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞
(3)lim[根號(n+1)-根號(n)]=0 n→∞
(4)lim0.999…9=1 n→∞ n個9 5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。。Lim就省略不打了。。。
第二篇：函數(shù)極限證明
函數(shù)極限證明
記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;
下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。
不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;
那么存在N1,當(dāng)x>N1,有a/MN2時，0Ni時，0
那么當(dāng)x>N,有
(a/M)^n
第三篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明
函數(shù)極限的性質(zhì)證明
X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限
求極限我會
|Xn+1-A|
以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|Xn-A|
|Xn-1-A|
……
|X2-A|
向上迭代，可以得到|Xn+1-A|
2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。
用數(shù)學(xué)歸納法：
①證明{x(n)}單調(diào)增加。
x(2)=√=√5>x(1);
設(shè)x(k+1)>x(k)，則
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②證明{x(n)}有上界。
x(1)=1
設(shè)x(k)
x(k+1)=√
3當(dāng)0
當(dāng)0
構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，則：t>
1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
則：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0
4
用數(shù)列極限的定義證明
3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n個9
5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。。Lim就省略不打了。。。
n/(n^2+1)=0
√(n^2+4)/n=1
sin(1/n)=0
實質(zhì)就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了
第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進去就行
第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會學(xué)的)
第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0
不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0
lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
第四篇：函數(shù)極限
習(xí)題
1.按定義證明下列極限:
(1) limx???6x?5=6 ;(2) lim(x2-6x+10)=2; x?2x
x2?5?1 ;(4) lim?(3) lim2x???x?1x?2
(5) limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;
2.根據(jù)定義2敘述limf (x) ≠ A.x?x0
3.設(shè)limf (x) = A.,證明limf (x0+h) = A.x?x0h?0
4.證明:若limf (x) = A,則lim| f (x)| = |A|.當(dāng)且僅當(dāng)A為何值時反之也成立? x?x0x?x0
5.證明定理3.1
6.討論下列函數(shù)在x0→0 時的極限或左、右極限: (1)f(x)=x
x;(2) f(x) = [x]
?2x;x?0.?(3) f (x)=?0;x?0.
?1?x2,x?0.?
7.設(shè) limf (x) = A,證明limf (x???x?x01) = A x
8.證明:對黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR (x) = 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時,考慮單側(cè)極限).x?x0
習(xí)題
1． 求下列極限：
x2?1 （1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim; ?x?02x2?x?1x?22
x2?1?x?1???1?3x?;
lim(3) lim;(4)
x?12x2?x?1x?0x2?2x3
xn?1(5) limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim
x?1xx?4?1
（7）lim
x?0
?2x?3x?2
70
；
20
a2?x?a?3x?6??8x?5?.
（a>0）;(8) lim
x???x5x?190
2． 利用斂性求極限： (1) lim
x???
x?cosxxsinx
;(2) lim2
x?0xx?4
x?x0
3． 設(shè) limf(x)=A, limg(x)=B.證明：
x?x0
（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;
x?x0
（2）lim[f(x)g(x)]=AB;
x?x0
（3）lim
x?x0
f(x)A
=(當(dāng)B≠0時) g(x)B
4． 設(shè)
a0xm?a1xm?1???am?1x?am
f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1
b0x?b1x???bn?1x?bn
試求 limf(x)
x???
5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=A.證明
x?x0
x?x0
lim
f(x)=A，
其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0\n
x?0
7.設(shè)limf(x)=A, limg(x)=B.
x?x0
x?x0
(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)
（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x) > g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）： (1) lim ?
x?0
x
x11
lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x
x?x2???xn?n
(3) lim ;(4) lim
x?0x?0x?1
?x?1
x
(5) lim
x??
?x?(提示：參照例1)
x
x?0
x?0
x?0
9．（1）證明：若limf (x3)存在，則limf (x)= lim f (x3)（2）若limf (x2)存在，試問是否成立limf (x) =limf (x2) ?
x?0
x?0
x?0
習(xí)題
1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.
n???
n???
2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在
n???
[a,+?)上有上(下)界.
3.(1)敘述極限limf (x)的柯西準(zhǔn)則;
n???
(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf (x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.
n???
n???
4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都
n??
n??
存在,則所有這極限都相等.
提示: 參見定理3.11充分性的證明.
5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0) =supf(x),f(x0+0)=
0x?u?
?x0?
0x?un(x0)
inff (x)
6.設(shè) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.
x?x0
7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0
x???
8.證明定理3.9
習(xí)題
1.求下列極限
sin2xsinx3
(1) lim;(2) lim
x?0x?0sinx2x
(3) lim
x?
cosxx?
?
tanx?sinxarctanx
lim(5) lim;(6) ; 3x?0x?0xx
sin2x?sin2a1
(7) limxsin ;(8) lim;
x???x?axx?a
;(4) lim
x?0
tanx
; x
?cosx2
(9) lim;(10) lim
x?0x?01?cosxx?1?1
sin4x
2.求下列極限
12?x
(1) lim(1?);(2) lim?1?ax?x(a為給定實數(shù));
n??x?0x
x
(3) lim?1?tanx?
x?0
cotx
;(4) lim?
?1?x?
?;
x?01?x??
(5) lim(
x???
3x?22x?1?
);(6) lim(1?)?x(?,?為給定實數(shù))
n???3x?1x
3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計算下列極限: (1) limnsin
n??
?
x?0n??
??
?
x2
xx???cos?1 2n??22??
?
n
;(2)
習(xí)題
1． 證明下列各式
(1) 2x－x2=O(x) (x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);
+
(3)?x?1?o(1) (x→0);
(4) (1+x)n= 1+ nx+o (x) (x→0)(n 為正整數(shù)) (5) 2x3 + x2=O(x3)(x→∞) ;
(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x→x0)
(7) o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0) 2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：
?x2?1x(1) lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx
x3． 證明定理3.13
4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：
13x3?4
(1) y = ;(2) y = arctan x ;(3)y = 2
xx?2x
5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時為同階無窮小量：
(1) sin2x－2sinx ;(2)
－ (1－x); 1?x
(3)?tanx??sinx;(4)
x2?4x3
6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時為同階無窮大量：
(1)
x2?x5;(2)x+x2 (2+sinx);
(3) (1+x)(1+x2)…(1+xn).
7． 證明：若S為無上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)
8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r
時的無窮大量。
9． 設(shè) f(x)~g(x) (x→x0)，證明：
f ( x )－g ( x ) = o ( f ( x ) )或 f ( x )－g ( x ) = o ( g ( x ) )
總 練 習(xí) 題
1． 求下列極限：
?1
(x?[x])lim([x]?1)(1) lim;(2)??
x?3
x?1
(3) lim(
x???
a?xb?x?a?xb?x)
xx?a
(4) lim
x???
(5)lim
xx?a
x???
(6) lim
?x??x?x??x
x?0
(7) lim?
n??m
,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??
2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：
?x2?1?
(1) lim??ax?b???0 x????x?1??
x(3) limx
(2) lim
x???x???x?2
??x?1?ax?b??0
?x?1?ax?b?0
x?2
3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：
(1) limf(x)?f(2)；(2) limf(x)不存在。
4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的
x?x0
局部保號性有矛盾嗎？
5． 設(shè)limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出
x?a
g?A
limg(f(x))?B?
x?a
6． 設(shè)f (x)=x cos x。試作數(shù)列
(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0 (n→∞); (2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0 (n→∞); (3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0 (n→∞).
7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數(shù)列：
(1) liman?r?1
n??
(2) lim
an?1
?s?1(an≠0,n=1,2,…)
n??an
n2
n2
8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：
(1) lim?1?
?n??
?1??1??(2) lim?1??
n??n??n?
9． 設(shè)liman???，證明
n??
(1) lim
(a1?a2???an)??? n??n
n??
(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：
(1)limn!(2) lim
n??
In(n!)
n??n
11.設(shè)f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得
limf(xn)?A，則有
n??
f (x0－0) =
supf(x)?A
0x?U?(x0)
12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)
x???
13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f (x2) = f (x)，且
f(x)=limf(x)?f(1)lim?
x?0
x???
證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)
14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足
x???
lim(f(x?1)?f(1))?A證明
x???
lim
f(x)
?A x
