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第一篇：微分中值定理的證明題

微分中值定理的證明題

1.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，證明：???R，???(a,b)使得：f?(?)??f(?)?0。

證：構(gòu)造函數(shù)F(x)?f(x)e?x，則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，（a,b)，使F?(?)?0 且F(a)?F(b)?0，由羅爾中值定理知：??? 即：[f?(?)??f(?)]e???0，而e???0，故f?(?)??f(?)?0。

2.設(shè)a,b?0，證明：???(a,b)，使得aeb?bea?(1??)e?(a?b)。

1111 證：將上等式變形得：e?e?(1??)e?(?)

baba1x11b11a111111作輔助函數(shù)f(x)?xe，則f(x)在[,]上連續(xù)，在(,)內(nèi)可導(dǎo)，baba 由拉格朗日定理得：

11f()?f()ba?f?(1)1?(1,1)，11ba???ba11b1a1e?e1a?(1?)e?

1?(1,1)，即 b11ba???ba

即：

aeb?bea?(1??)e?(a?b)

??(a,b)。

3.設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)?0，有F(x)?x2f(x)證明：在(0,1)

內(nèi)至少存在一點?，使得：F??(?)?0。

證：顯然F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，又F(0)?F(1)?0，故由羅爾定理知：?x0?(0,1)，使得F?(x0)?0

又F?(x)?2xf(x)?x2f?(x)，故F?(0)?0，于是F?(x)在[0，x0]上滿足羅爾定理條件，故存在??(0,x0)，使得：F??(?)?0，而??(0,x0)?(0,1)，即證 4.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，f(0)?0，f(1)?1.證明：(1)在(0,1)內(nèi)存在?，使得f(?)?1??．

(2)在(0,1)內(nèi)存在兩個不同的點?，?使得f/(?)f/(?)?1

【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【證明】（I）

令F(x)?f(x)?1?x，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在??(0,1), 使得F(?)?0，即f(?)?1??.（II）在[0,?]和[?,1]上對f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在兩個不同的點??(0,?),??(?,1)，使得f?(?)?于是，由問題（1）的結(jié)論有

f?(?)f?(?)?f(?)1?f(?)1???????1.?1???1??f(?)?f(0)f(1)?f(?)，f?(?)?

??01??5.設(shè)f(x)在[0，2a]上連續(xù)，f(0)?f(2a)，證明在[0,a]上存在?使得

f(a??)?f(?).【分析】f(x)在[0,2a]上連續(xù)，條件中沒有涉及導(dǎo)數(shù)或微分，用介值定理或根的存在性定理證明。輔助函數(shù)可如下得到

f(a??)?f(?)?f(a??)?f(?)?0?f(a?x)?f(x)?0

【證明】令G(x)?f(a?x)?f(x)，x?[0,a]．G(x)在[0,a]上連續(xù)，且

G(a)?f(2a)?f(a)?f(0)?f(a)

G(0)?f(a)?f(0)

當f(a)?f(0)時，取??0，即有f(a??)?f(?)；

當f(a)?f(0)時，G(0)G(a)?0，由根的存在性定理知存在??(0,a)使得，G(?)?0，即f(a??)?f(?)．

6.若f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，且當x?[0,1]時有0?f(x)?1，且f?(x)?1，證明：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個點?使得f(?)?? 證明：存在性

構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)?f(x)?x

則F(x)在[0,1]上連續(xù)，且有F(0)?f(0)?0?0，F(xiàn)(1)?f(1)?1?0，?由零點定理可知：F(x)在(0,1)內(nèi)至少存在一點?，使得F(?)?0，即：f(?)??

唯一性：（反證法）

假設(shè)有兩個點?1,?2?(0,1)，且?1??2，使得F(?1)?F(?2)?0

F(x)在[0,1]上連續(xù)且可導(dǎo)，且[?1,?2]?[0,1] ?

?F(x)在[?1,?2]上滿足Rolle定理條件

?必存在一點??(?1,?2)，使得：F?(?)?f?(?)?1?0

即：f?(?)?1，這與已知中f?(x)?1矛盾

?假設(shè)不成立，即：F(x)?f(x)?x在(0,1)內(nèi)僅有一個根，綜上所述：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個點?，使得f(?)??

17.設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，f()=1。試

2(x)=1。證至少存在一個??(0，1)，使f￠分析：f'(?)=1?f'(x)=1?f(x)=x?f(x)?x=0 令 F(x)= f(x)?x 證明： 令 F(x)= f(x)?x

F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(1)= f(1)?1??1?0(?f(1)?0)F(11111)= f()???0(?f()?1)222221由介值定理可知，?一個??(，1)，使 F(?)=0 又 F(0)=f(0)?0=0 對F(x)在[0，1]上用Rolle定理，?一個??(0，?)?(0，1)使

F'(?)=0 即 f'(?)=1 8.設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)試證存在?和?.滿足0?????1，使f?(?)?f?(?)?0。

證 由拉格朗日中值定理知，1f()?f(0)12?f?(?)??(0,)

12?021f(1)?f()12?f?(?)??(,1)

121?211f()?f(0)f(1)?f()2?0 f?(?)?f?(?)?2?11229.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0?a?b),f(a)?f(b), 證明: ??,??(a,b)使得 f?(?)?a?bf?(?).(1)2?證:(用(b?a)乘于(1)式兩端,知)(1)式等價于

f?(?)f?(?)2(b?a)?(b?a2).(2)12?

為證此式,只要取F(x)?f(x),取G(x)?x和x在[a,b]上分別應(yīng)用Cauchy中值定理,則知

2f?(?)f?(?)2?(b?a)?(b?a2), f(b)?f(a)?12?其中?,??(a,b).10.已知函數(shù)f(x)在[0 ,1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，0?a?b，證明存在?,??(a,b)，使3?2f/(?)?(a2?ab?b2)f/(?)

f/(?)f(b)?f(a)解：利用柯西中值定理 ?2333?b?a而f(b)?f(a)?f/(?)(b?a)

則

f/(?)f(b)?f(a)f/(?)(b?a)f/(?)（后面略）???22333323?b?ab?aa?ab?b/11.設(shè)f(x)在x?a時連續(xù)，f(a)?0，當x?a時，f(x)?k?0，則在(a,a?f(a))k內(nèi)f(x)?0有唯一的實根

/解：因為f(x)?k?0，則f(x)在(a,a?f(a))上單調(diào)增加 kf(a)f(a)f/(?)/f(a?)?f(a)?f(?)?f(a)[1?]?0（中值定理）

kkk而f(a)?0故在(a,a?f(a))內(nèi)f(x)?0有唯一的實根 k1?2t?0?tsin12.試問如下推論過程是否正確。對函數(shù)f(t)??在[0,x]上應(yīng)用拉t?t?0?0格朗日中值定理得：

1x2sin?0f(x)?f(0)111x??xsin?f??(?)?2si?nc(0s???x)

ox?0x?0x??

即：cos1??2?sin1??xsin1)

(0???x

x1xsin? lim?x?0??0，il2?nsi?0

因0???x，故當x?0時，由m??0?1?0 x

得：lim?cosx?0

1??0，即limcos???01??0

解：我們已經(jīng)知道，lim?cos??01??0不存在，故以上推理過程錯誤。

首先應(yīng)注意：上面應(yīng)用拉格朗日中值的?是個中值點，是由f和區(qū)間[0,x]的

端點而定的，具體地說，?與x有關(guān)系，是依賴于x的，當x?0時，?不 一定連續(xù)地趨于零，它可以跳躍地取某些值趨于零，從而使limcos?x?01??0成

立，而lim?cos??01??0中要求?是連續(xù)地趨于零。故由limcos?x?01??0推不出

??0lim?cos1??0

13.證明：?0?x??2成立x?tgx?x。cos2x

證明：作輔助函數(shù)f(x)?tgx，則f(x)在[0,x]上連續(xù)，在(0,x)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日定理知：

f(x)?f(0)tgx1??(0,x)??f?(?)?x?0xcos2?即：tgx??1?x(0,)(0,)，因在內(nèi)單調(diào)遞減，故在cosx22cosx22cos?111xx??x??即： cos20cos2?cos2xcos2?cos2x內(nèi)單調(diào)遞增，故

即：x?tgx?1。cos2x

注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先由不等式出發(fā)，選擇合適的函數(shù)f(x)及相應(yīng)的區(qū)間[a,b]，然后驗證條件，利用定理得

??f?()(?b?a?(a,b)

f(b)?f(a)，再根據(jù)f?(x)在(a,b)內(nèi)符號或單調(diào)

證明不等式。?14.證明：當0?x?時，sinx?tgx?2x。

證明：作輔助函數(shù)?(x)?sinx?tgx?2x

則??(x)?cosx?sec2x?2

1?2 cos2x1?cos2x?2? 2cosx?cosx?x?(0,)

2?

?(cosx??0

12)cosx??

故?(x)在(0,)上單調(diào)遞減，又因?(0)?0，?(x)在(0,)上連續(xù)，22

故 ?(x)??(0)=0，即：sinx?tgx?2x?0，即：sinx?tgx?2x。

注：利用單調(diào)性證明不等式是常用方法之一，欲證當x?I時f(x)?g(x)，常用輔助函數(shù)?(x)?f(x)?g(x)，則將問題轉(zhuǎn)化證?(x)?0，然后在I上

討論?(x)的單調(diào)性，進而完成證明。

15.證明：若f(x)二階可導(dǎo)，且f??(x)?0，f(0)?0，則F(x)?,內(nèi)單調(diào)遞增。)

(0??

f(x)在 x證明：因F?(x)?xf?(x)?f(x)，要證F(x)單調(diào)遞增，只需證F?(x)?0，2x

即證xf?(x)?f(x)?0。

設(shè)G(x)?xf?(x)?f(x)，則G?(x)?xf??(x)?f?(x)?f?(x)?xf??(x)，因為

f??(x)?0，x?0，故G(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，而G(0)?0f?(x)?0?0，因此G(x)?G(0)，即：xf?(x)?f(x)?0，即：F?(x)?0，即F(x)當x?0時單調(diào)遞增。

第二篇：有關(guān)中值定理的證明題

中值定理證明題集錦

1、已知函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且limx?0f(x)?0，f(1)?0，試證：在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少x存在一點?，使得f??(?)?0.證：由limf(x)，由此又得?0?0，可得limf(x)?0，由連續(xù)性得f(0)x?0x?0xf(x)?f(0)f(x)f?(0)?lim?lim?0，由f(0)?f(1)?0及題設(shè)條件知f(x)在[0,1]x?0x?0x?0x上滿足羅爾中值定理條件，因此至少存在一點 c?(0,1)，使得f?(c)?0，又因為f?(0)?f?(c)?0，并由題設(shè)條件知f?(x)在[0,c]上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知，在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一點?，使得f??(?)?0.2、設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?0，證明：存在一點??(0,a)，使得f(?)??f?(?)?0.證：分析：要證結(jié)論即為：[xf(x)]?x???0.令F(x)?xf(x)，則F(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)?F(a)?0，因此故存在一點??(0,a)，使得F?(?)?0，F(xiàn)(x)?xf(x)在[0,a]上滿足羅爾中值定理的條件，即f(?)??f?(?)?0.注1：此題可改為：

設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?0，證明：存在一點??(0,a)，使得

nf(?)??f?(?)?0.)?nf??(?)（0給分析：要證結(jié)論nf(??)??f(??)等價于n?n?1f(??nn?1n，而n?f(?)??f?(?)?0即為[xf(x)]?x???0.nf(??)??f(??)兩端同乘以?n?1）故令F(x)?xf(x)，則F(x)在[0,a]上滿足羅爾中值定理的條件，由此可證結(jié)論.注2：此題與下面例題情況亦類似：

設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?0，?x?(0,1)，有f(x)?0，證：n?n?N?，???(0,1)，使得

nf?(?)f?(1??)?成立.f(?)f(1??)分析：要證結(jié)論可變形為nf?(?)f(1??)?f(?)f?(1??)?0，它等價于nfn?1(?)f?(?)f(1??)?fn(?)f?(1??)?0(給nf?(?)f(1??)?f(?)f?(1??)?0兩端同乘以fn?1(?))，而nfn?1(?f)??f(??)?(fn1?f?)???(即)為(1)0[fn(x)?f?x??1?(x，用羅爾中值定理)]0.以上三題是同類型題.3、已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)?0，f()?1，證明：（1）存在一點??(,1)，使f(?)??.（2）存在一點??(0,?)，使f?(?)?1.（3）存在一點x0?(0,?)，使f?(x0)?1??(f(x0)?x0).證：（1）分析：要證結(jié)論即為：f(?)???0.12121211111顯然F(x)在[,1]上連續(xù)，且F()?f()???0，F(xiàn)(1)?f(1)?1??1?0，2222211因此F(x)在[,1]上滿足零點定理的條件，由零點定理知，存在??(,1)，使F(?)?0，22令F(x)?f(x)?x，則只需證明F(x)在(,1)內(nèi)有零點即可。即f(?)??.（2）又因為F(0)?f(0)?0?0，由(1)知F(?)?0，因此F(x)在[0,?]上滿足羅爾中值定理條件，故存在一點??(0,?)，使F?(?)?0，即f?(?)?1?0，即f?(?)?1.（3）分析：結(jié)論f?(x0)?1??(f(x0)?x0)即就是F?(x0)??F(x0)或F?(x0)??F(x0)?0，F(xiàn)?(x0)??F(x0)?0?e??x0[F?(x0)??F(x0)]?0，即[e??xF(x)]?x?x0?0.故令G(x)?e??xF(x)，則由題設(shè)條件知，G(x)在[0,?]上連續(xù)，在(0,?)內(nèi)可導(dǎo)，且G(0)?e0F(0)?0，G(?)?e???F(?)?0,則G(x)在[0,?]上滿足羅爾中值定理條件，命題得證.4、設(shè)f(x)在[0,x]上可導(dǎo)，且f(0)?0，試證：至少存在一點??(0,x)，使得f(x)?(1??)ln(1?x)f?(?).證：分析：要證結(jié)論即為： f(x)?f(0)?(1??)[ln(1?x)?ln1]f?(?),也就是f(x)?f(0)f?(?)，因此只需對函數(shù)f(t)和ln(1?t)在區(qū)間[0,x]上應(yīng)用柯西中值定理?1ln(1?x)?ln11??即可.5、設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，且g(x)?0，證明：至少存在一點??(a,b)，使得f?(?)g(?)?f(?)g?(?).證：分析：要證結(jié)論即為： f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0,等價于

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0，2g(?)即就是[即可.f(x)f(x)在區(qū)間[a,b]上應(yīng)用羅爾中值定理]?x???0，因此只需驗證函數(shù)F(x)?g(x)g(x)

6、設(shè)f(x)在[x1,x2]上可導(dǎo)，且0?x1?x2，試證：至少存在一點??(x1,x2)，使得x1f(x2)?x2f(x1)???f?(?)?f(?).x1?x2f(x2)f(x1)f(x)?()?x??x2x1x證：分析：要證結(jié)論即為： ,因此只需對函???f?(?)?f(?)?111?()?x??x2x1x數(shù)f(x)1和在區(qū)間[x1,x2]上應(yīng)用柯西中值定理即可.xx此題亦可改為：

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若0?a?b，試證：至少存在一點??(a,b)，使得af(b)?bf(a)?[f(?)??f?(?)](a?b).7、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，試證：（1）???(a,b)，使得f(?)??f?(?)?0；（2）???(a,b)，使得?f(?)?f?(?)?0.證:（1）令F(x)?xf(x)，利用羅爾中值定理即證結(jié)論.（2）分析：?f(?)?f?(?)?0?e[?f(?)?f?(?)]?0?[e?22x22f(x)]?x???0，因此令F(x)?ex22f(x)，利用羅爾中值定理即證結(jié)論.8、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?1，試證：??,??(a,b)，使得e???[f(?)?f?(?)]?1.[exf(x)]?x??e?[f(?)?f?(?)]證：分析：要證結(jié)論即為?1，即就是?1.?xe(e)?x??令F(x)?ef(x)，令G(x)?e，則F(x)和G(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知： xxebf(b)?eaf(a)eb?ea?，即就是e[f(?)?f?(?)]?.???(a,b)，使得F?(?)?b?ab?aeb?eaeb?ea?，即就是e?.???(a,b)，使得F?(?)?b?ab?ae?[f(?)?f?(?)]因此，有?1，即就是e???[f(?)?f?(?)]?1.?e9、設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)?g(a)，f(b)?g(b)，試證：???(a,b)，使得f??(?)?g??(?).?0.證：分析：要證結(jié)論即為[f(x)?g(x)]??x??令F(x)?f(x)?g(x)，（1）若f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)的同一點處取得相同的最大值，不妨設(shè)都在c點處取得最大值，則F(a)?F(c)?F(b)?0(a?c?b)，則F(x)分別在[a,c]、[c,b]上滿足羅爾中值定理條件，故??1?(a,c)，??2?(c,b)使得F?(?1)?0，F(xiàn)?(?2)?0.由題設(shè)又知，F(xiàn)?(x)在[?1,?2]上滿足洛爾定理條件，故存在???(?1,?2)，使得F??(?)?0，即就是f??(?)?g??(?)].（2）若f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)的不同的點處取得相同的最大值，不妨設(shè)f(x)在p點處、g(x)在q點處取得最大值，且p?q，則F(p)?f(p?)g(?p)，F(xiàn)(q)?f(q)?g(q)?0，由零點定理知，?c?(p,q)?(0,1)，使得F(c)?0，由此得 F(a)?F(c)?F(b)?0(a?c?b)，后面證明與（1）相同.10、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f?(x)?0，若極限lim?x?af(2x?a)存在，x?a試證：（1）存在一點??(a,b)，使得

b2?a2?b?af(x)dx22?； f(?)22?b（2）在(a,b)內(nèi)存在異于?的點?，使得f?(?)(b?a)?f(x)dx.；

??a?a證：（1）令F(x)??xaf(t)dt，G(x)?x2，則F(x)、G(x)在[a,b]上滿足柯西中值定理

b2?a2ba條件，故存在一點??(a,b)，使得

?b2?a2af(t)dt??f(t)dta?2?成立，即就是f(?)?bab2?22成立，即就是2??f(x)dx?(b?a)f(?)成立.?af(x)dxf(?)（2）由（1）知，2??ba22因此要證f?(?)(b?a)?f(x)dx?(b2?a2)f(?)，2?bf(x)dx.，?a??a即要證f?(?)(b?a)?221??a(b2?a2)f?(，)即要證f?(?)(??a)?f(?，)由已知

x?alim?f(2x?a)f(2x?a)?0，可得，lim從而得f(a)?0，因此要證f?(?)(??a)?f(?)，x?a?x?a即要證f?(?)(??a)?f(?)?f(a)，顯然只需驗證f(x)在[a,?]上滿足拉格朗日中值定理條件即可。