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第一篇：零點存在定理的教案

教案

課題：零點存在定理 授課人：

一、內(nèi)容及內(nèi)容解析：

本章位于全書的第3章，零點主要是解決方程求解的問題，應用函數(shù)思想的方法，把方程與函數(shù)相結(jié)合，它在較難方程的求根方面有巨大的貢獻，而零點存在定理能確定零點的存在范圍，從而近似的確定零點的值，也即方程的近似根.各個內(nèi)容之間的聯(lián)系：

方程的根?零點?零點存在定理

?

二分法 二、三維目標：

知識與技能:會使用零點存在定理解決問題，準確確定根的范圍，并且使用二分法找到相應方程的近似解.過程與方法:通過分析零點附近的值的關系，得到f(a)f(b)?0的特點，并且通過辨析引出定理,得到定理后，還要針對定理中的每一項進行辨析，得知定理中的每一項必不可少.通過定理我們知道了零點存在的區(qū)間，為了得到零點的值我們又引入了二分法，從而能近似的求解出零點.情感態(tài)度價值觀:讓學生了解到每一點數(shù)學知識都是環(huán)環(huán)相扣的,并初步體會到函數(shù)思想的巧妙轉(zhuǎn)化,感受到方程與函數(shù)的聯(lián)系,并且得出另一種解方程的方法,讓學生體會到數(shù)學教學的巧妙之處和知識與知識的緊密聯(lián)系.三、教學難點與重點：

[難點] 二分法的使用及對定理的理解.[重點] 定理的使用及求解方程的近似根.四、設計教學

上節(jié)課我們學習了零點的定義，所以我們知道了如果畫出了函數(shù)圖像，我們就能知道函數(shù)是不是有零點，那么如果有些方程的相應函數(shù)我們不會畫圖像怎么辦？我們還能知道函數(shù)有沒有零點嗎？通過今天的學習，我們就可以不畫圖像直接知道函數(shù)是否有零點.1、引入定理

通過之前的例題，我們知道函數(shù)的零點可能有若干個，為了使問題簡化，我們首先考慮函數(shù)只有一個零點的情況.請大家思考：若函數(shù)y=f(x)是連續(xù)不斷的函數(shù)，且有一個零點，則函數(shù)零點兩端的函數(shù)值有何特征？

因為函數(shù)只有一個零點，所以函數(shù)圖象與x軸只有一個交點。那函數(shù)圖象與x軸會有哪些位置關系呢？不難想到（無非是兩種情況）：一種為函數(shù)圖象不穿

過x軸；另一種是函數(shù)圖象穿過x軸。

（1）大家先看第一種情況，函數(shù)零點附近函數(shù)值有何特征呢？（同學回答）

這種情況下，零點附近函數(shù)值同號。那我在零點兩端各選一個代表a，b，則它們對應的函數(shù)值f(a)、f(b)的乘積大于0；

（2）我們再看另一種情況，此時零點附近函數(shù)值有何特征呢？

（圖像在PPT上顯示動畫過程，讓學生觀察出圖像穿過x軸的過程，然后知道零點附近的值相反.）

無論怎么穿過，都有零點左右函數(shù)值異號，同樣，我在零點兩端各選一個代表a，b，則它們對應的函數(shù)值f(a)、f(b)的乘積就小于0.【分析】

（1）如果函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，滿足f(a)f(b)>0，那么函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定有零點嗎？

①（不一定）那好，你能給大家舉一個反例嗎？

②（一定）好，你先請坐。其他同學有不同意見么？ 如果函數(shù)有零點，說明函數(shù)圖象一定與x軸有交點。條件告訴我們f(a)f(b)>0，那我不妨設f(a)、f(b)同時為正，大家請看，通過這兩個點的函數(shù)圖象一定能與x軸有交點么？

顯然是不一定的，比如我舉的這個反例。

這就說明滿足這樣條件的函數(shù)，不能確定 函數(shù)一定有零點。

（2）如果函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，滿足f(a)f(b)

①（一定）好，那其他同學呢？都同意他的觀點嗎？ ②（不一定）你能為大家說明一下你的理由么？

由于函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，并且端點函數(shù)值異號，所以無論怎么畫，函數(shù)圖象一定會與x軸有交點，從而說明函數(shù)怎么樣？——一定有零點！

這樣，我們就得到了判斷函數(shù)是否有零點的方法，即函數(shù)零點存在性定理：

2、零點存在定理

若函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)

現(xiàn)在我有一個問題：若函數(shù)滿足在[a,b]上有f(a)f(b)

如果可以請說明理由，不能的話請同學們舉個反例.在這個反例中，f(a)0，f(0)=0.5

我們來看，這個定理是我們通過結(jié)合函數(shù)圖象探究而得的，而至于它的嚴格證明，需要到大學階段再去研究。

這樣，我們通過引入函數(shù)的零點，將方程與函數(shù)建立起了聯(lián)系，并且為我們提供了一種新的解決方程問題的途徑。此前我們學習過的一元一次方程以及一元二次方程都有公式解，但是對于高次方程、超越方程等其他形式的方程而言，通常沒有求根公式。而通過函數(shù)零點存在性定理，就可以去研究這樣一般形式方程根的問題了。

【例】求函數(shù)f(x)?lnx?2x?6的零點個數(shù).【解析】因為f(2)?0,f(3)?0,所以在(2,3)之間有零點，又因為函數(shù)f(x)在(0,??)上是單調(diào)遞增的，所以這個函數(shù)只有一個零點.根據(jù)零點存在定理，我們知道函數(shù)是否有零點，但是如果我們想知道零點的值怎么辦呢？接下來，我們要學習一個新的求根方法-----二分法.3、二分法（求根的近似值）

我們就以上面的例子來研究，即如何求f(x)?lnx?2x?6的零點呢？ 一個最直觀的想法就是：如果我們把零點存在的范圍(2,3)盡量縮小，那么在一定的精確范圍內(nèi)，我們就可以得到零點的近似值.那我們?nèi)绾慰s小范圍呢？顯然最簡單、最可行的方法就是“取中點”.接下來，我們解答上面的例子來看看二分法是如何運用的.【解析】應用零點存在定理，我們知道了f(x)?lnx?2x?6在(2,3)之間有一個零點.接下來我們要用“取中點”的方法縮小零點存在的范圍.取(2,3)的中點2.5，用計算器計算f(2.5)??0.084?0，而f(3)?0，那么f(2.5)f(3)?0，所以在(2.5,3)之間有零點，即縮小了零點所在的范圍.再取區(qū)間(2.5,3)的中點2.75，用計算器計算f(2.75)?0.512?0，而f(2.5)?0，即：f(2.5)f(2.75)?0，所以在(2.5,2.75)之間有零點.我們可以看出零點存在的范圍越來越小了，如果一直取下去，零點存在的范圍會越來越小，這樣，在一定的精確度下，我們就可以在有限次重復步驟之后，將所得的零點存在的區(qū)間內(nèi)任意一點作為函數(shù)零點的近似值.我們把上面例題縮小區(qū)間的過程畫在表格中：

如果當精確度為0.01時，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125

1、確定區(qū)間[a,b]，驗證f(a)?f(b)?0，給定精確度?；

2、求區(qū)間(a,b)的中點x1；

3、計算f(x1)的值；

（1）若f(x1)?0,則x1就是函數(shù)的零點；

（2）若f(a)f(x1)?0,則令b?x1,此時零點x0?(a,x1)；

（3）若f(x1)f(b)?0,則令a?x1,此時零點x0?(x1,b).4、判斷是否達到精確度?：即若|a?b|??，則零點的近似值是a(或b）；否

則重復2-4步.【課堂練習】

1、借助計算器，用二分法求方程x?3?lgx在區(qū)間（2,3）的近似解（精確到.0.01）

2、借助計算器，用二分法求函數(shù)f(x)?lnx?到0.1）

【作業(yè)】

2在區(qū)間（2,3）內(nèi)的零點.（精確xP108，1、3、4、6和P109，3、4.

第二篇：案例零點定理的教學設計

過程與方法是這樣體現(xiàn)的！

一、開放的情境更易于引導學生做數(shù)學

根據(jù)高中學生的認知水平，開發(fā)利用教材的探索性內(nèi)涵，創(chuàng)造性地使用教材，設計了能啟發(fā)學生思維的“溫度連續(xù)變化”情境，引導學生得出本節(jié)課的重要結(jié)論：零點附近兩側(cè)的圖象特征及代數(shù)特征（函數(shù)值異號）。這一片段的課堂教學實錄如下：

問題1 圖1是某地從0點到12點的氣溫變化圖，假設氣溫是連續(xù)變化的，請將圖形補充成完整的函數(shù)圖象。這段時間內(nèi)，是否一定有某時刻的氣溫為0度？為什么？

師：在補充圖象的時候請考慮：圖象與x軸是否一定相交。師：有哪位同學得到與x軸不相交的圖象嗎？（所有同學都搖頭表示不能畫出）師：困難在哪？為什么畫不出？

生?。阂驗闅鉁氐淖兓B續(xù)不斷，而且有兩個已知的溫度是一正一負。師：很好，因為這兩個原因使得圖象與x軸一定相交。那么，交點可能會在哪兒？

生眾：0到12之間。

師：氣溫變化圖其實也是一個函數(shù)的圖象，它與x軸的交點就是函數(shù)的零點，這樣我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了函數(shù)存在零點的一種判斷方法。

師：函數(shù)存在零點的關鍵是什么？

生眾：函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的；一個點在x軸下方，一個點在x軸上方。

從上述過程可見，通過 “問答”式這種形式引導學生進行探究，實踐證明效果較好。但對高中學生來說，數(shù)學學習是一個充滿價值判斷的過程，最有效的是有引導又不受干擾的思考，屬于學生自己的獨立思考。美國數(shù)學家哈爾莫斯指出：“學習數(shù)學的唯一方法是做數(shù)學”，我們認為：讓學生以研究者的身份通過動手做來解決這一問題，先做后說，也許效果會更好。鑒于此，我們對這一教學片段重新進行了設計，把如下的修改問題作為學生深度思考的一個源題：

問題2 圖1是某地從0點到12點的氣溫變化圖，假設氣溫是連續(xù)變化的，請用二種不同的方法將圖形補充成完整的函數(shù)圖象。這段時間內(nèi)，是否一定有某時刻的氣溫為0度？為什么？

在課外活動中將印有這個題目的紙張發(fā)給學生，要求學生通過研究設計出二種不同的連結(jié)方法。

上述的圖形連接問題起點低，直觀性強，簡單而內(nèi)涵豐富，且結(jié)論開放，符合高中學生喜歡動手的特點，適合不同層次學生進行探究。并在動態(tài)生成中很自然地“更新”了學習方式：讓學生從“聽”數(shù)學的學習方式，改變成在教師的指導下“做”數(shù)學，研究數(shù)學。

二、“預設”與“生成”結(jié)合的課堂更精彩

原問題給學生一個圖，學生會用最方便直接的方法進行連接（一條直線段），在轉(zhuǎn)換了情境問題后，一次就給學生二個相同的圖形，要求進行不同的連接，設計第二個圖的連接有的學生會面臨困難，教師適時提示：“請大家再試著畫畫看”，“獨立思考幾分鐘”，以更好地激發(fā)學生的探究欲，在嘗試畫圖和反復的思索中，—種、兩種、三種??沒有預設的連接方法接踵而至，學生在畫圖過程中，不拘一格大膽思考，使課堂出現(xiàn)“生成”的精彩。學生是聰明的，無窮的遐想和個性化理解給不同的學生帶來了不同的收獲（下面僅列舉一部分成果，課堂上用實物投影展示）。

1．讓學生在表述結(jié)果中進行數(shù)學交流

教師先從連接線的幾何和數(shù)量特性著手，引領學生進行課堂交流。學生畫出的圖形是五花八門的：

(1)用線段連接（如圖2、3等）。

(2)用曲線段連接，學生給出了很多連接方法，如圖4、5、6、7等都是學生給出的。

學生畫出的圖形為課堂教學提供了豐富的資源，其中包括在區(qū)間(a，b)內(nèi)有單一零點的函數(shù)是單調(diào)的、不單調(diào)的、有多個交點的等。而且也還有因為沒有注意到條件要求而畫錯的圖形（如圖5），這有利于糾正部分學生對函數(shù)概念理解的偏差。

實踐證明，每一個學生都希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者和探索者。學生從這一問題的研究出發(fā)，放飛想象，上述這道教師眼里簡單的畫圖題，僅僅在幾分鐘里，學生通過觀察、猜想、嘗試，就探索出了這么多種不同的畫法，有助于加深對本節(jié)課所學知識的理解，為后續(xù)學習積累大量的素材，逐步學會思考。

2．課堂研究中的動態(tài)生成是靈動的教學資源

構(gòu)建動態(tài)生成的課堂必須把學生置于教學的出發(fā)點和核心地位，讓學生充分地開展自主學習，課堂才能煥發(fā)出勃勃生機，呈現(xiàn)出一道優(yōu)美、流動的風景線，才能使課堂真正為學生的發(fā)展服務。在課堂上要及時合理地捕捉學生研究得到的動態(tài)生成，讓它多一些真實的美麗，多一些有效的精彩。

（1）學生畫出的圖形，蘊含著豐富的教學資源。從圖象與x軸交點（即零點）的個數(shù)看，可以構(gòu)造出任意有限個零點的連接圖。那么，是否存在有無限個零點的連接圖？有的學生經(jīng)過思考后提出：將線段設置為與x軸重合，如圖8，其圖象是不間斷的，顯然該函數(shù)的零點為一個區(qū)間，有無限多個。

給學生幾分鐘的思考時間，給學生“靈機一動”、“茅塞頓開”的機會，就可能出現(xiàn)“柳暗花明”“出人意料”的結(jié)果，進而極大地激發(fā)學生的探究欲望，并充分享受發(fā)現(xiàn)的喜悅。

（2）從這些圖形零點附近圖象的代數(shù)特征看，可分成四種情形：函數(shù)值異號（+－；－+）；函數(shù)值同號（++；－－），這樣可把學生引向本節(jié)課的重要結(jié)論的研究。

（3）前面學生研究出的連接圖，還可用來協(xié)助解決二節(jié)觀摩課中提出的一系列問題，加深學生對本課內(nèi)容的理解，如：

問題1 若問題2 若，函數(shù)，函數(shù)

在區(qū)間在區(qū)間

上一定沒有零點嗎？ 上只有一個零點嗎？ 內(nèi)有且只有一個零點？ 問題3 能否增加條件，使得函數(shù)在區(qū)間是否一定有f(a)f(b)

師：所以零點存在性定理可以判斷當條件滿足時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定有零點，但不能確定零點的個數(shù)。

師：能否增加條件，使得函數(shù)在區(qū)間生眾：單調(diào)性。

師：具體說，可以增加這樣的條件：函數(shù)在區(qū)間這里我們利用圖7就能回答這幾個問題。

這樣的生成，讓平淡的課堂變得趣味無窮，讓平常的課堂情節(jié)變得迭宕起伏，不僅將學生在畫圖過程中動態(tài)生成的信息轉(zhuǎn)化為有效的教學資源，并在動態(tài)中促

內(nèi)為單調(diào)函數(shù)。

內(nèi)有且只有一個零點？ 使學習內(nèi)容不斷生成，知識不斷建構(gòu)并得到內(nèi)化，使數(shù)學教學成為激情與智慧綜合的生成過程的課堂教學。

古今中外凡有重大成就的人，在其攀登科學高峰的征途中，都會給思考留有一定時間。據(jù)說愛因斯坦狹義相對論的建立，經(jīng)過了“十年的沉思”。他說：“學習知識要善于思考、思考、再思考，我就是靠這個學習方法成為科學家的?！痹S多教師在課堂教學中，由于沒有抓住教學內(nèi)容的核心，往往堆積了大量細枝末節(jié)問題，教師講得多，給學生思考的時間少，甚至不給學生思考機會，導致學生思維能力得不到培養(yǎng)。因此，教學設計時應給學生預留更多的思考時間和空間。學習的效果最終取決于學生是否真正參與到學習活動中，是否積極主動地思考。如果學生能學會思考和研究，這比什么目標都有意義。

（浙江省衢州市教研室 李世杰）

（摘錄自人民教育出版社網(wǎng)站：精彩的生成來自學生的自主研究）