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第一篇：零點(diǎn)存在定理的教案

教案

課題：零點(diǎn)存在定理 授課人：

一、內(nèi)容及內(nèi)容解析：

本章位于全書的第3章，零點(diǎn)主要是解決方程求解的問(wèn)題，應(yīng)用函數(shù)思想的方法，把方程與函數(shù)相結(jié)合，它在較難方程的求根方面有巨大的貢獻(xiàn)，而零點(diǎn)存在定理能確定零點(diǎn)的存在范圍，從而近似的確定零點(diǎn)的值，也即方程的近似根.各個(gè)內(nèi)容之間的聯(lián)系：

方程的根?零點(diǎn)?零點(diǎn)存在定理

?

二分法 二、三維目標(biāo)：

知識(shí)與技能:會(huì)使用零點(diǎn)存在定理解決問(wèn)題，準(zhǔn)確確定根的范圍，并且使用二分法找到相應(yīng)方程的近似解.過(guò)程與方法:通過(guò)分析零點(diǎn)附近的值的關(guān)系，得到f(a)f(b)?0的特點(diǎn)，并且通過(guò)辨析引出定理,得到定理后，還要針對(duì)定理中的每一項(xiàng)進(jìn)行辨析，得知定理中的每一項(xiàng)必不可少.通過(guò)定理我們知道了零點(diǎn)存在的區(qū)間，為了得到零點(diǎn)的值我們又引入了二分法，從而能近似的求解出零點(diǎn).情感態(tài)度價(jià)值觀:讓學(xué)生了解到每一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)都是環(huán)環(huán)相扣的,并初步體會(huì)到函數(shù)思想的巧妙轉(zhuǎn)化,感受到方程與函數(shù)的聯(lián)系,并且得出另一種解方程的方法,讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)教學(xué)的巧妙之處和知識(shí)與知識(shí)的緊密聯(lián)系.三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)：

[難點(diǎn)] 二分法的使用及對(duì)定理的理解.[重點(diǎn)] 定理的使用及求解方程的近似根.四、設(shè)計(jì)教學(xué)

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了零點(diǎn)的定義，所以我們知道了如果畫出了函數(shù)圖像，我們就能知道函數(shù)是不是有零點(diǎn)，那么如果有些方程的相應(yīng)函數(shù)我們不會(huì)畫圖像怎么辦？我們還能知道函數(shù)有沒(méi)有零點(diǎn)嗎？通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們就可以不畫圖像直接知道函數(shù)是否有零點(diǎn).1、引入定理

通過(guò)之前的例題，我們知道函數(shù)的零點(diǎn)可能有若干個(gè)，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，我們首先考慮函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)的情況.請(qǐng)大家思考：若函數(shù)y=f(x)是連續(xù)不斷的函數(shù)，且有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)零點(diǎn)兩端的函數(shù)值有何特征？

因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。那函數(shù)圖象與x軸會(huì)有哪些位置關(guān)系呢？不難想到（無(wú)非是兩種情況）：一種為函數(shù)圖象不穿

過(guò)x軸；另一種是函數(shù)圖象穿過(guò)x軸。

（1）大家先看第一種情況，函數(shù)零點(diǎn)附近函數(shù)值有何特征呢？（同學(xué)回答）

這種情況下，零點(diǎn)附近函數(shù)值同號(hào)。那我在零點(diǎn)兩端各選一個(gè)代表a，b，則它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(a)、f(b)的乘積大于0；

（2）我們?cè)倏戳硪环N情況，此時(shí)零點(diǎn)附近函數(shù)值有何特征呢？

（圖像在PPT上顯示動(dòng)畫過(guò)程，讓學(xué)生觀察出圖像穿過(guò)x軸的過(guò)程，然后知道零點(diǎn)附近的值相反.）

無(wú)論怎么穿過(guò)，都有零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)，同樣，我在零點(diǎn)兩端各選一個(gè)代表a，b，則它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(a)、f(b)的乘積就小于0.【分析】

（1）如果函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，滿足f(a)f(b)>0，那么函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定有零點(diǎn)嗎？

①（不一定）那好，你能給大家舉一個(gè)反例嗎？

②（一定）好，你先請(qǐng)坐。其他同學(xué)有不同意見(jiàn)么？ 如果函數(shù)有零點(diǎn)，說(shuō)明函數(shù)圖象一定與x軸有交點(diǎn)。條件告訴我們f(a)f(b)>0，那我不妨設(shè)f(a)、f(b)同時(shí)為正，大家請(qǐng)看，通過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)圖象一定能與x軸有交點(diǎn)么？

顯然是不一定的，比如我舉的這個(gè)反例。

這就說(shuō)明滿足這樣條件的函數(shù)，不能確定 函數(shù)一定有零點(diǎn)。

（2）如果函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，滿足f(a)f(b)

①（一定）好，那其他同學(xué)呢？都同意他的觀點(diǎn)嗎？ ②（不一定）你能為大家說(shuō)明一下你的理由么？

由于函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，并且端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，所以無(wú)論怎么畫，函數(shù)圖象一定會(huì)與x軸有交點(diǎn)，從而說(shuō)明函數(shù)怎么樣？——一定有零點(diǎn)！

這樣，我們就得到了判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)的方法，即函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：

2、零點(diǎn)存在定理

若函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)

現(xiàn)在我有一個(gè)問(wèn)題：若函數(shù)滿足在[a,b]上有f(a)f(b)

如果可以請(qǐng)說(shuō)明理由，不能的話請(qǐng)同學(xué)們舉個(gè)反例.在這個(gè)反例中，f(a)0，f(0)=0.5

我們來(lái)看，這個(gè)定理是我們通過(guò)結(jié)合函數(shù)圖象探究而得的，而至于它的嚴(yán)格證明，需要到大學(xué)階段再去研究。

這樣，我們通過(guò)引入函數(shù)的零點(diǎn)，將方程與函數(shù)建立起了聯(lián)系，并且為我們提供了一種新的解決方程問(wèn)題的途徑。此前我們學(xué)習(xí)過(guò)的一元一次方程以及一元二次方程都有公式解，但是對(duì)于高次方程、超越方程等其他形式的方程而言，通常沒(méi)有求根公式。而通過(guò)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，就可以去研究這樣一般形式方程根的問(wèn)題了。

【例】求函數(shù)f(x)?lnx?2x?6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】因?yàn)閒(2)?0,f(3)?0,所以在(2,3)之間有零點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,??)上是單調(diào)遞增的，所以這個(gè)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).根據(jù)零點(diǎn)存在定理，我們知道函數(shù)是否有零點(diǎn)，但是如果我們想知道零點(diǎn)的值怎么辦呢？接下來(lái)，我們要學(xué)習(xí)一個(gè)新的求根方法-----二分法.3、二分法（求根的近似值）

我們就以上面的例子來(lái)研究，即如何求f(x)?lnx?2x?6的零點(diǎn)呢？ 一個(gè)最直觀的想法就是：如果我們把零點(diǎn)存在的范圍(2,3)盡量縮小，那么在一定的精確范圍內(nèi)，我們就可以得到零點(diǎn)的近似值.那我們?nèi)绾慰s小范圍呢？顯然最簡(jiǎn)單、最可行的方法就是“取中點(diǎn)”.接下來(lái)，我們解答上面的例子來(lái)看看二分法是如何運(yùn)用的.【解析】應(yīng)用零點(diǎn)存在定理，我們知道了f(x)?lnx?2x?6在(2,3)之間有一個(gè)零點(diǎn).接下來(lái)我們要用“取中點(diǎn)”的方法縮小零點(diǎn)存在的范圍.取(2,3)的中點(diǎn)2.5，用計(jì)算器計(jì)算f(2.5)??0.084?0，而f(3)?0，那么f(2.5)f(3)?0，所以在(2.5,3)之間有零點(diǎn)，即縮小了零點(diǎn)所在的范圍.再取區(qū)間(2.5,3)的中點(diǎn)2.75，用計(jì)算器計(jì)算f(2.75)?0.512?0，而f(2.5)?0，即：f(2.5)f(2.75)?0，所以在(2.5,2.75)之間有零點(diǎn).我們可以看出零點(diǎn)存在的范圍越來(lái)越小了，如果一直取下去，零點(diǎn)存在的范圍會(huì)越來(lái)越小，這樣，在一定的精確度下，我們就可以在有限次重復(fù)步驟之后，將所得的零點(diǎn)存在的區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值.我們把上面例題縮小區(qū)間的過(guò)程畫在表格中：

如果當(dāng)精確度為0.01時(shí)，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125

1、確定區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)?f(b)?0，給定精確度?；

2、求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)x1；

3、計(jì)算f(x1)的值；

（1）若f(x1)?0,則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)；

（2）若f(a)f(x1)?0,則令b?x1,此時(shí)零點(diǎn)x0?(a,x1)；

（3）若f(x1)f(b)?0,則令a?x1,此時(shí)零點(diǎn)x0?(x1,b).4、判斷是否達(dá)到精確度?：即若|a?b|??，則零點(diǎn)的近似值是a(或b）；否

則重復(fù)2-4步.【課堂練習(xí)】

1、借助計(jì)算器，用二分法求方程x?3?lgx在區(qū)間（2,3）的近似解（精確到.0.01）

2、借助計(jì)算器，用二分法求函數(shù)f(x)?lnx?到0.1）

【作業(yè)】

2在區(qū)間（2,3）內(nèi)的零點(diǎn).（精確xP108，1、3、4、6和P109，3、4.