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第一篇：零點存在定理的教案

教案

課題：零點存在定理 授課人：

一、內(nèi)容及內(nèi)容解析：

本章位于全書的第3章，零點主要是解決方程求解的問題，應用函數(shù)思想的方法，把方程與函數(shù)相結(jié)合，它在較難方程的求根方面有巨大的貢獻，而零點存在定理能確定零點的存在范圍，從而近似的確定零點的值，也即方程的近似根.各個內(nèi)容之間的聯(lián)系：

方程的根?零點?零點存在定理

?

二分法 二、三維目標：

知識與技能:會使用零點存在定理解決問題，準確確定根的范圍，并且使用二分法找到相應方程的近似解.過程與方法:通過分析零點附近的值的關系，得到f(a)f(b)?0的特點，并且通過辨析引出定理,得到定理后，還要針對定理中的每一項進行辨析，得知定理中的每一項必不可少.通過定理我們知道了零點存在的區(qū)間，為了得到零點的值我們又引入了二分法，從而能近似的求解出零點.情感態(tài)度價值觀:讓學生了解到每一點數(shù)學知識都是環(huán)環(huán)相扣的,并初步體會到函數(shù)思想的巧妙轉(zhuǎn)化,感受到方程與函數(shù)的聯(lián)系,并且得出另一種解方程的方法,讓學生體會到數(shù)學教學的巧妙之處和知識與知識的緊密聯(lián)系.三、教學難點與重點：

[難點] 二分法的使用及對定理的理解.[重點] 定理的使用及求解方程的近似根.四、設計教學

上節(jié)課我們學習了零點的定義，所以我們知道了如果畫出了函數(shù)圖像，我們就能知道函數(shù)是不是有零點，那么如果有些方程的相應函數(shù)我們不會畫圖像怎么辦？我們還能知道函數(shù)有沒有零點嗎？通過今天的學習，我們就可以不畫圖像直接知道函數(shù)是否有零點.1、引入定理

通過之前的例題，我們知道函數(shù)的零點可能有若干個，為了使問題簡化，我們首先考慮函數(shù)只有一個零點的情況.請大家思考：若函數(shù)y=f(x)是連續(xù)不斷的函數(shù)，且有一個零點，則函數(shù)零點兩端的函數(shù)值有何特征？

因為函數(shù)只有一個零點，所以函數(shù)圖象與x軸只有一個交點。那函數(shù)圖象與x軸會有哪些位置關系呢？不難想到（無非是兩種情況）：一種為函數(shù)圖象不穿

過x軸；另一種是函數(shù)圖象穿過x軸。

（1）大家先看第一種情況，函數(shù)零點附近函數(shù)值有何特征呢？（同學回答）

這種情況下，零點附近函數(shù)值同號。那我在零點兩端各選一個代表a，b，則它們對應的函數(shù)值f(a)、f(b)的乘積大于0；

（2）我們再看另一種情況，此時零點附近函數(shù)值有何特征呢？

（圖像在PPT上顯示動畫過程，讓學生觀察出圖像穿過x軸的過程，然后知道零點附近的值相反.）

無論怎么穿過，都有零點左右函數(shù)值異號，同樣，我在零點兩端各選一個代表a，b，則它們對應的函數(shù)值f(a)、f(b)的乘積就小于0.【分析】

（1）如果函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，滿足f(a)f(b)>0，那么函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定有零點嗎？

①（不一定）那好，你能給大家舉一個反例嗎？

②（一定）好，你先請坐。其他同學有不同意見么？ 如果函數(shù)有零點，說明函數(shù)圖象一定與x軸有交點。條件告訴我們f(a)f(b)>0，那我不妨設f(a)、f(b)同時為正，大家請看，通過這兩個點的函數(shù)圖象一定能與x軸有交點么？

顯然是不一定的，比如我舉的這個反例。

這就說明滿足這樣條件的函數(shù)，不能確定 函數(shù)一定有零點。

（2）如果函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，滿足f(a)f(b)

①（一定）好，那其他同學呢？都同意他的觀點嗎？ ②（不一定）你能為大家說明一下你的理由么？

由于函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，并且端點函數(shù)值異號，所以無論怎么畫，函數(shù)圖象一定會與x軸有交點，從而說明函數(shù)怎么樣？——一定有零點！

這樣，我們就得到了判斷函數(shù)是否有零點的方法，即函數(shù)零點存在性定理：

2、零點存在定理

若函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)

現(xiàn)在我有一個問題：若函數(shù)滿足在[a,b]上有f(a)f(b)

如果可以請說明理由，不能的話請同學們舉個反例.在這個反例中，f(a)0，f(0)=0.5

我們來看，這個定理是我們通過結(jié)合函數(shù)圖象探究而得的，而至于它的嚴格證明，需要到大學階段再去研究。

這樣，我們通過引入函數(shù)的零點，將方程與函數(shù)建立起了聯(lián)系，并且為我們提供了一種新的解決方程問題的途徑。此前我們學習過的一元一次方程以及一元二次方程都有公式解，但是對于高次方程、超越方程等其他形式的方程而言，通常沒有求根公式。而通過函數(shù)零點存在性定理，就可以去研究這樣一般形式方程根的問題了。

【例】求函數(shù)f(x)?lnx?2x?6的零點個數(shù).【解析】因為f(2)?0,f(3)?0,所以在(2,3)之間有零點，又因為函數(shù)f(x)在(0,??)上是單調(diào)遞增的，所以這個函數(shù)只有一個零點.根據(jù)零點存在定理，我們知道函數(shù)是否有零點，但是如果我們想知道零點的值怎么辦呢？接下來，我們要學習一個新的求根方法-----二分法.3、二分法（求根的近似值）

我們就以上面的例子來研究，即如何求f(x)?lnx?2x?6的零點呢？ 一個最直觀的想法就是：如果我們把零點存在的范圍(2,3)盡量縮小，那么在一定的精確范圍內(nèi)，我們就可以得到零點的近似值.那我們?nèi)绾慰s小范圍呢？顯然最簡單、最可行的方法就是“取中點”.接下來，我們解答上面的例子來看看二分法是如何運用的.【解析】應用零點存在定理，我們知道了f(x)?lnx?2x?6在(2,3)之間有一個零點.接下來我們要用“取中點”的方法縮小零點存在的范圍.取(2,3)的中點2.5，用計算器計算f(2.5)??0.084?0，而f(3)?0，那么f(2.5)f(3)?0，所以在(2.5,3)之間有零點，即縮小了零點所在的范圍.再取區(qū)間(2.5,3)的中點2.75，用計算器計算f(2.75)?0.512?0，而f(2.5)?0，即：f(2.5)f(2.75)?0，所以在(2.5,2.75)之間有零點.我們可以看出零點存在的范圍越來越小了，如果一直取下去，零點存在的范圍會越來越小，這樣，在一定的精確度下，我們就可以在有限次重復步驟之后，將所得的零點存在的區(qū)間內(nèi)任意一點作為函數(shù)零點的近似值.我們把上面例題縮小區(qū)間的過程畫在表格中：

如果當精確度為0.01時，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125

1、確定區(qū)間[a,b]，驗證f(a)?f(b)?0，給定精確度?；

2、求區(qū)間(a,b)的中點x1；

3、計算f(x1)的值；

（1）若f(x1)?0,則x1就是函數(shù)的零點；

（2）若f(a)f(x1)?0,則令b?x1,此時零點x0?(a,x1)；

（3）若f(x1)f(b)?0,則令a?x1,此時零點x0?(x1,b).4、判斷是否達到精確度?：即若|a?b|??，則零點的近似值是a(或b）；否

則重復2-4步.【課堂練習】

1、借助計算器，用二分法求方程x?3?lgx在區(qū)間（2,3）的近似解（精確到.0.01）

2、借助計算器，用二分法求函數(shù)f(x)?lnx?到0.1）

【作業(yè)】

2在區(qū)間（2,3）內(nèi)的零點.（精確xP108，1、3、4、6和P109，3、4.