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梅涅勞斯（Menelaus ）定理的十種證明 作者：楊春波

來源：《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中版) 》2015年第05期

梅涅勞斯定理是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要作用，其具體內(nèi)容為：設(shè)直線l 分別與△ABC 的三邊（或邊的延長線）相交于點(diǎn)D 、E 、F ，則有

AFFB·BDDC·CEEA=1.

直線l 與三角形的三邊相交，有兩種情形：（1）其中兩個交點(diǎn)在邊上，一個交點(diǎn)在邊的延長線上，如圖1；（2）三個交點(diǎn)均在邊的延長線上，如圖2. 圖1圖2

梅涅勞斯定理在處理直線形中線段長度比例的計(jì)算時，尤為快捷. 值得一提的是，其逆定理也成立，可作為三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題的判定方法. 下面給出梅涅勞斯定理的十種精彩證明，證明中僅以圖1作為示例.

證法1平行線法

如圖3，過點(diǎn)C 作CG ∥DF 交AB 于點(diǎn)G ，則BDDC=BFFG，CEEA=GFFA，故 AFFB·BDDC·CEEA=AFFB·BFFG·GFFA=1.

圖3圖4

證法2共邊定理法

如圖4，由共邊定理知AFFB·BDDC·CEEA=AEDBED·BEDCED·CEDAED=1. 證法3共角定理法

如圖1，由共角定理知

△AEF △BFD=AF·EFFB·DF ，BFDCDE=BD·DFDC·DE ，CDEAEF=DE·CEEA·EF ， 三式相乘得1=AF·EFFB·DF·BD·DFDC·DE·DE·CEEA·EF=AFFB·BDDC·CEEA ，得證. 注共邊定理和共角定理源自于張景中院士的面積法[1]，下面是定理的具體內(nèi)容.

共邊定理若直線AB 和PQ 相交于點(diǎn)M （如圖5，有4種情形），則有PABQAB=PMQM. 圖5圖6