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第一篇：MM定理證明過程MM定理證明過程

1 無稅收條件下的MM定理

1.1 假設(shè)條件

假設(shè)1：無摩擦市場(chǎng)假設(shè)

? 不考慮稅收；

? 公司發(fā)行證券無交易成本和交易費(fèi)用，投資者不必為買賣證券支付任何費(fèi)用； ? 無關(guān)聯(lián)交易存在；

? 不管舉債多少，公司和個(gè)人均無破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)；

? 產(chǎn)品市場(chǎng)是有效的：市場(chǎng)參與者是絕對(duì)理性和自私的；市場(chǎng)機(jī)制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對(duì)稱、公共物品等市場(chǎng)失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；

? 資本市場(chǎng)強(qiáng)有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無法套利，沒有無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； ? 投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數(shù)量的資金。

假設(shè)2：一致預(yù)期假設(shè)

? 所有的投資者都是絕對(duì)理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的所有信息，并且對(duì)其進(jìn)行完全理性的前瞻性分析，因此大家對(duì)證券價(jià)格預(yù)期都是相同的，且投資者對(duì)組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。

1.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

有財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值和無財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值相等。

第一命題的含義：

即公司的市場(chǎng)價(jià)值（即債權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值+股權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值，不含政府的稅收價(jià)值）與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)，而只與其盈利水平有關(guān)。這說明未來具有完全相同的盈利能力的公司市場(chǎng)價(jià)值相同，但由于其負(fù)債程度不同等因素，故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。

MM定理第一命題證明過程：證明方法是無套利均衡分析法。

基礎(chǔ)假定：我們假定有兩家公司—公司A和公司B，它們的資產(chǎn)性質(zhì)完全相同但資本結(jié)構(gòu)完全不同。A公司沒有負(fù)債（這是一種極端假設(shè)，但作為比較基準(zhǔn)更能說明問題）；B公司的負(fù)債額度是D，假設(shè)該負(fù)債具有永久性質(zhì)，因?yàn)榭沙掷m(xù)盈利的公司總可以用新發(fā)行的債券來償還老債券（這與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的龐茲計(jì)劃完全不同，那是沒有收入來源且信息不對(duì)稱下導(dǎo)致的終生借債消費(fèi)計(jì)劃無效）。

細(xì)節(jié)假設(shè)：

? B公司當(dāng)前債務(wù)利率為r（固定值）； ? A、B兩公司當(dāng)前的股本分別是SA和SB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場(chǎng)的資本化率，也就是其股票的預(yù)期收益率）分別是rA和rB（固定數(shù)值，因?yàn)閮H指當(dāng)前的預(yù)期收益率）；

? A、B兩公司任何年份的息稅前利潤(rùn)（EBIT）相同，數(shù)額都為EBIT（隨機(jī)變量，每年的數(shù)值都是它的一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)）； ? A、B兩公司當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)值分別記為PVA和PVB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前股票的市場(chǎng)價(jià)格與其真實(shí)價(jià)值完全一致，分別為MPA和MPB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前的股東權(quán)益分別記作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值較多是因?yàn)殪o態(tài)考察公司當(dāng)前價(jià)值。

考慮一個(gè)套利策略：賣出A公司1%的股票；同時(shí)買入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定，但必須均為同一值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時(shí)現(xiàn)金流和未來每年的現(xiàn)金流見表1。

表1 上述套利策略的現(xiàn)金流

頭寸

即時(shí)現(xiàn)金流

未來每年現(xiàn)金流

賣出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

買入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r） 買入1%B債券

-0.01*D

-0.01* D*r 凈現(xiàn)金流

NC

0

首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬面的負(fù)債加權(quán)益，A公司無負(fù)債，因此有

PVA?SEA;PVB?D?SEB

其次，任何公司的股票價(jià)格都等于其股東權(quán)益與股本的比值：

MPA?PVA/SA;MPB?(PVB?D)/SB①

再次，市場(chǎng)不應(yīng)該存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，故NC=0，也就是

0.01*PVA?0.01*SB*MPB?0.01*D?0 ?MPB?(PVA?D)/SB②

由①②推得：PVA?PVB③，命題證畢。

MM定理第一命題推論一：

債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價(jià)格也不變。

證明：假設(shè)B公司的債務(wù)權(quán)益比為k，則：

k?D/SEB

1?k?(SEB?D)/SEB?PVB/SEB?PVA/SEB?SA/SB④

將③④代入①得：

MPA?PVA/SA?PVB/(SB(1?k))?(D?SEB)/(SB(1?k))?SEB(1?k)/(SB(1?k))?MPB

證畢。

MM定理第一命題推論二：

股東期望收益率會(huì)隨財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下B公司在債轉(zhuǎn)股之后會(huì)降低其股票的預(yù)期收益率，或者說A公司的股票預(yù)期收益率小于B公司的股票的預(yù)期收益率。

證明：B公司的資產(chǎn)負(fù)債率（RDA）和股東權(quán)益比率（REA）分別為：

RDAB?D/PVB?D/(D?SEB)?k/(1?k) REAB?SEB/PVB?SEB/(D?SE)?1/(1?k)

由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分派股息，而且市場(chǎng)有效性保證了股票的價(jià)格反映股票價(jià)值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期收益率rA和rB分別滿足：

MPA???EBIT/SAEBIT ?jSA*rAj?1(1?rA)(EBIT?R*D)/SBEBIT?R*D ?j(1?rB)SB*rBj?1?MPB??同時(shí)EBIT>r*PVB，因?yàn)檫@表示即使公司全部舉債經(jīng)營(yíng)，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說股票的收益率大于債券的收益率，由于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益相匹配的結(jié)果導(dǎo)致這個(gè)不等式必然成立。故可推導(dǎo)出：

rB?EBIT?r*DEBIT?r*DEBITEBITEBIT?????rA，證畢。

SEBPVB?DPVBPVASA*MPAMM定理第一命題推論三：

股東每股盈利也會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下，債券轉(zhuǎn)為股票之后，公司股東的每股盈利也會(huì)下降。 證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?EBIT(EBIT?R*D);EB?⑤ SASB將④代入⑤的第二式得： EB?(EBIT?R*D)(1?k)(EBIT?R*D)k*EBIT?(1?k)*R*D⑥ ??EA?SBSASA由于EBIT>r*PVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：

kEBITk*EBIT?(1?k)*R*D?(1?k)(EBIT?R*D)?(1?k)*D(?r)?0⑦

1?kPVB由⑥⑦得：EB?EA，證畢。

注：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常少的人有可能會(huì)覺得上述三個(gè)推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn)實(shí)過程。

1.3

MM定理第二命題：

公司加權(quán)平均資本成本（WACC）與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。

證明：由于公司A僅有股權(quán)融資，故WACCA?rA MM定理第二命題及其推論

WACCB?rBSEBDEBITEBIT?r???rA①，證畢。 PVBPVBPVBPVAMM定理第二命題推論：

有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本等于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無負(fù)債公司的權(quán)益資本成本加上風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)谋壤蜃邮秦?fù)債權(quán)益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價(jià)和單證券定價(jià)模型有點(diǎn)像啊，呵呵）

證明：由①（重新編號(hào)）得：

rB?2 PVBr*DDrA??rA?(rA?r)?rA?k(rA?r)，證畢。 SEBSEBSEB有稅收條件下的MM定理 2.1

假設(shè)條件

考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個(gè)定理，有四個(gè)推論。

2.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

在考慮稅收的情況下，有財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值等于無財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值加上“稅盾”的市場(chǎng)價(jià)值。

證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進(jìn)稅率制等也一樣的），那么兩公司的稅后收益（EAT）分別為：

EATA?(1?T)*EBIT

EATB?(1?T)*(EBIT?r*D)?r*D?(1?T)*EBIT?T*r*D?EATA，證畢。

其中T*r*D即稅盾效應(yīng)，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來的部分，這是由于B公司的財(cái)務(wù)杠桿起作用了：公司價(jià)值是股權(quán)市價(jià)加債權(quán)市價(jià)，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都要交所得稅，而B公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價(jià)值計(jì)入到公司的債權(quán)價(jià)值中?；蛘咭部梢岳斫鉃闆]有負(fù)債的公司舉債時(shí)，政府需要把原來征的稅的一部分退給公司的債主，或者說舉債成本里T*r是政府買單的（機(jī)會(huì)成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1?T)*r，這是從金融的角度或者說機(jī)會(huì)成本的角度講的，就如經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)和會(huì)計(jì)利潤(rùn)的差別一樣，而證券定價(jià)的基準(zhǔn)正是從金融的角度給出才能準(zhǔn)確。

顯然A、B兩公司的稅前價(jià)值仍然一樣，相當(dāng)于不考慮稅收。我們用帶撇號(hào)的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場(chǎng)價(jià)值分別為：

PVA/?PVA(1?T)

(1?T)r*PVBr*D)?D?PVA/?D(1?)?PVA/① EBITEBIT(1?T)r*PVB)叫做稅盾的市場(chǎng)價(jià)值。 其中D(1?EBITPVB/?PVB(1?T)(1?

MM定理第一命題推論一：

在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅收時(shí)MM定理的命題一的推論二仍然成立。

證明：考慮稅收，A公司股票預(yù)期收益率為：

/rA?EBIT(1?T)EBIT(1?T)EBIT(1?T)???rA② //SA*MPAPVA(1?T)PVA由不考慮稅收推論二證明的最后一個(gè)公式和①（重新編號(hào)）得B公司股票的預(yù)期收益率為：

rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD1?TrB/????//(1?T)*rD*PVBrDSB*MPBPVB?DPVA(1?)PVA/?EBITEBITEBIT?rD?//再由②得：rB?rA?rDrDPVA(1?T)(1?)EBIT③，由于EBIT>rD（盈利足夠付利息，保//證不破產(chǎn)），故rB，證畢。 ?rA

MM定理第一命題推論二：

考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍然成立。

證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

/EA?(1?T)EBIT/(1?T)(EBIT?rD)?rD④ ;EB?SASB將第一部分第一命題推論一下面的④代入④得：

/EB?(1?k)?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA?TrD?k?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA

因EBIT>rD，故上不等式成立，證畢。

MM定理第一命題推論三：

在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。（證略）

根據(jù)CAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)?/和無稅收情況下的貝塔系數(shù)?的關(guān)系為?/??(1?(1?T)D)（證明從略），由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計(jì)算出SEWACC，顯然WACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。 MM定理第一命題推論四：

在考慮稅收情況下，有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本仍然大于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無負(fù)債公司的權(quán)益資本成本，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜（證明如③）。

注：一個(gè)延伸，PV/?PV?(1?(1?Tc)(1?Ts))D，Tc表示企業(yè)所得稅率，Ts表示股票收入的稅

1?Td率，Td表示利息收入的稅率，個(gè)人可試著證明一下子。

公司稅MM定理命題二

在考慮所得稅情況下，負(fù)債企業(yè)的權(quán)益資本成本率(KSL)等于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)中某一無負(fù)債企業(yè)的權(quán)益資本成本率(KSU)加上一定的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率。風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率根據(jù)無負(fù)債企業(yè)的權(quán)益資本成本率和負(fù)債企業(yè)的債務(wù)資本成本率(KD)之差和債務(wù)權(quán)益比所確定。其公式為：

KSL=KSU*(1-T)+(KSU-KD)*(1-T)*D/SL 式中：D — 有負(fù)債企業(yè)的負(fù)債價(jià)值； SL —有負(fù)債企業(yè)的權(quán)益價(jià)值。 T—公司稅率 在命題一的基礎(chǔ)上，風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬考慮了所得稅的影響。因?yàn)?1一T)總是小于l，在D/SL比例不變的情況下，這一風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率總小于無稅條件下命題二中的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率。由于節(jié)稅利益，這時(shí)的股東權(quán)益資本成本率的上升幅度小，或者說，在賦稅條件下，當(dāng)負(fù)債比率增加時(shí)，股東面臨財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)所要求增加的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬的程度小于無稅條件下風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬的增加程度，即在賦稅條件下公司允許更大的負(fù)債規(guī)模。

定理證明

費(fèi)馬定理證明

勾股定理證明

高斯定理證明

中值定理證明

第二篇：MM定理證明過程MM定理證明過程

1 無稅收條件下的MM定理

1.1 假設(shè)條件

假設(shè)1：無摩擦市場(chǎng)假設(shè)

? 不考慮稅收；

? 公司發(fā)行證券無交易成本和交易費(fèi)用，投資者不必為買賣證券支付任何費(fèi)用； ? 無關(guān)聯(lián)交易存在；

? 不管舉債多少，公司和個(gè)人均無破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)；

? 產(chǎn)品市場(chǎng)是有效的：市場(chǎng)參與者是絕對(duì)理性和自私的；市場(chǎng)機(jī)制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對(duì)稱、公共物品等市場(chǎng)失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；

? 資本市場(chǎng)強(qiáng)有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無法套利，沒有無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； ? 投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數(shù)量的資金。

假設(shè)2：一致預(yù)期假設(shè)

? 所有的投資者都是絕對(duì)理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的所有信息，并且對(duì)其進(jìn)行完全理性的前瞻性分析，因此大家對(duì)證券價(jià)格預(yù)期都是相同的，且投資者對(duì)組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。

1.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

有財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值和無財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值相等。

第一命題的含義：

即公司的市場(chǎng)價(jià)值（即債權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值+股權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值，不含政府的稅收價(jià)值）與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)，而只與其盈利水平有關(guān)。這說明未來具有完全相同的盈利能力的公司市場(chǎng)價(jià)值相同，但由于其負(fù)債程度不同等因素，故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。

MM定理第一命題證明過程：證明方法是無套利均衡分析法。

基礎(chǔ)假定：我們假定有兩家公司—公司A和公司B，它們的資產(chǎn)性質(zhì)完全相同但資本結(jié)構(gòu)完全不同。A公司沒有負(fù)債（這是一種極端假設(shè)，但作為比較基準(zhǔn)更能說明問題）；B公司的負(fù)債額度是D，假設(shè)該負(fù)債具有永久性質(zhì)，因?yàn)榭沙掷m(xù)盈利的公司總可以用新發(fā)行的債券來償還老債券（這與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的龐茲計(jì)劃完全不同，那是沒有收入來源且信息不對(duì)稱下導(dǎo)致的終生借債消費(fèi)計(jì)劃無效）。

細(xì)節(jié)假設(shè)：

? B公司當(dāng)前債務(wù)利率為r（固定值）； ? A、B兩公司當(dāng)前的股本分別是SA和SB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場(chǎng)的資本化率，也就是其股票的預(yù)期.

收益率）分別是rA和rB（固定數(shù)值，因?yàn)閮H指當(dāng)前的預(yù)期收益率）；

? A、B兩公司任何年份的息稅前利潤(rùn)（EBIT）相同，數(shù)額都為EBIT（隨機(jī)變量，每年的數(shù)值都是它的一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)）； ? A、B兩公司當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)值分別記為PVA和PVB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前股票的市場(chǎng)價(jià)格與其真實(shí)價(jià)值完全一致，分別為MPA和MPB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前的股東權(quán)益分別記作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值較多是因?yàn)殪o態(tài)考察公司當(dāng)前價(jià)值。

考慮一個(gè)套利策略：賣出A公司1%的股票；同時(shí)買入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定，但必須均為同一值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時(shí)現(xiàn)金流和未來每年的現(xiàn)金流見表1。

表1 上述套利策略的現(xiàn)金流

頭寸

即時(shí)現(xiàn)金流

未來每年現(xiàn)金流

賣出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

買入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r） 買入1%B債券

-0.01*D

-0.01* D*r 凈現(xiàn)金流

NC

0

首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬面的負(fù)債加權(quán)益，A公司無負(fù)債，因此有

PVA?SEA;PVB?D?SEB

其次，任何公司的股票價(jià)格都等于其股東權(quán)益與股本的比值：

MPA?PVA/SA;MPB?(PVB?D)/SB①

再次，市場(chǎng)不應(yīng)該存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，故NC=0，也就是

0.01*PVA?0.01*SB*MPB?0.01*D?0 ?MPB?(PVA?D)/SB②

由①②推得：PVA?PVB③，命題證畢。

MM定理第一命題推論一：

債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價(jià)格也不變。

證明：假設(shè)B公司的債務(wù)權(quán)益比為k，則：

.

k?D/SEB

1?k?(SEB?D)/SEB?PVB/SEB?PVA/SEB?SA/SB④

將③④代入①得：

MPA?PVA/SA?PVB/(SB(1?k))?(D?SEB)/(SB(1?k))?SEB(1?k)/(SB(1?k))?MPB

證畢。

MM定理第一命題推論二：

股東期望收益率會(huì)隨財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下B公司在債轉(zhuǎn)股之后會(huì)降低其股票的預(yù)期收益率，或者說A公司的股票預(yù)期收益率小于B公司的股票的預(yù)期收益率。

證明：B公司的資產(chǎn)負(fù)債率（RDA）和股東權(quán)益比率（REA）分別為：

RDAB?D/PVB?D/(D?SEB)?k/(1?k) REAB?SEB/PVB?SEB/(D?SE)?1/(1?k)

由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分派股息，而且市場(chǎng)有效性保證了股票的價(jià)格反映股票價(jià)值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期收益率rA和rB分別滿足：

MPA??j?1??EBIT/SAEBIT?

(1?rA)jSA*rAMPB??(EBIT?R*D)/SBEBIT?R*D? j(1?rB)SB*rBj?1同時(shí)EBIT>r*PVB，因?yàn)檫@表示即使公司全部舉債經(jīng)營(yíng)，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說股票的收益率大于債券的收益率，由于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益相匹配的結(jié)果導(dǎo)致這個(gè)不等式必然成立。故可推導(dǎo)出：

rB?EBIT?r*DEBIT?r*DEBITEBITEBIT?????rA，證畢。

SEBPVB?DPVBPVASA*MPAMM定理第一命題推論三：

股東每股盈利也會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下，債券轉(zhuǎn)為股票之后，公司股東的每股盈利也會(huì)下降。 證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?EBIT(EBIT?R*D);EB?⑤ SASB將④代入⑤的第二式得：

.

EB?(EBIT?R*D)(1?k)(EBIT?R*D)k*EBIT?(1?k)*R*D??EA?⑥

SBSASA由于EBIT>r*PVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：

k*EBIT?(1?k)*R*D?(1?k)(由⑥⑦得：EB?EA，證畢。

kEBITEBIT?R*D)?(1?k)*D(?r)?0⑦ 1?kPVB注：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常少的人有可能會(huì)覺得上述三個(gè)推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn)實(shí)過程。

1.3

MM定理第二命題：

公司加權(quán)平均資本成本（WACC）與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。

證明：由于公司A僅有股權(quán)融資，故WACCA?rA MM定理第二命題及其推論

WACCB?rBSEBDEBITEBIT?r???rA①，證畢。 PVBPVBPVBPVAMM定理第二命題推論：

有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本等于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無負(fù)債公司的權(quán)益資本成本加上風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)谋壤蜃邮秦?fù)債權(quán)益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價(jià)和單證券定價(jià)模型有點(diǎn)像啊，呵呵）

證明：由①（重新編號(hào)）得：

rB?2 PVBr*DDrA??rA?(rA?r)?rA?k(rA?r)，證畢。 SEBSEBSEB有稅收條件下的MM定理 2.1

假設(shè)條件

考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個(gè)定理，有四個(gè)推論。

2.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

在考慮稅收的情況下，有財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值等于無財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值加上“稅盾”的市場(chǎng)價(jià)值。

.

證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進(jìn)稅率制等也一樣的），那么兩公司的稅后收益（EAT）分別為：

EATA?(1?T)*EBIT

EATB?(1?T)*(EBIT?r*D)?r*D?(1?T)*EBIT?T*r*D?EATA，證畢。

其中T*r*D即稅盾效應(yīng)，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來的部分，這是由于B公司的財(cái)務(wù)杠桿起作用了：公司價(jià)值是股權(quán)市價(jià)加債權(quán)市價(jià)，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都要交所得稅，而B公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價(jià)值計(jì)入到公司的債權(quán)價(jià)值中?；蛘咭部梢岳斫鉃闆]有負(fù)債的公司舉債時(shí)，政府需要把原來征的稅的一部分退給公司的債主，或者說舉債成本里T*r是政府買單的（機(jī)會(huì)成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1?T)*r，這是從金融的角度或者說機(jī)會(huì)成本的角度講的，就如經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)和會(huì)計(jì)利潤(rùn)的差別一樣，而證券定價(jià)的基準(zhǔn)正是從金融的角度給出才能準(zhǔn)確。

顯然A、B兩公司的稅前價(jià)值仍然一樣，相當(dāng)于不考慮稅收。我們用帶撇號(hào)的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場(chǎng)價(jià)值分別為：

PVA/?PVA(1?T)

(1?T)r*PVBr*D)?D?PVA/?D(1?)?PVA/① EBITEBIT(1?T)r*PVB其中D(1?)叫做稅盾的市場(chǎng)價(jià)值。

EBITPVB/?PVB(1?T)(1?

MM定理第一命題推論一：

在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅收時(shí)MM定理的命題一的推論二仍然成立。

證明：考慮稅收，A公司股票預(yù)期收益率為：

/rA?EBIT(1?T)EBIT(1?T)EBIT(1?T)???rA② //SA*MPAPVA(1?T)PVA由不考慮稅收推論二證明的最后一個(gè)公式和①（重新編號(hào)）得B公司股票的預(yù)期收益率為：

rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD1?TrB/????//(1?T)*rD*PVBrDSB*MPBPVB?DPVA(1?)PVA/?EBITEBITEBIT?rD?再由②得：rB?rA?//rDrDPVA(1?T)(1?)EBIT③，由于EBIT>rD（盈利足夠付利息，保//證不破產(chǎn)），故rB?rA，證畢。

.

MM定理第一命題推論二：

考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍然成立。

證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

/EA?(1?T)EBIT/(1?T)(EBIT?rD)?rD;EB?④

SASB將第一部分第一命題推論一下面的④代入④得：

/EB?(1?k)?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA?TrD?k?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA

因EBIT>rD，故上不等式成立，證畢。

MM定理第一命題推論三：

在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。（證略）

根據(jù)CAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)?和無稅收情況下的貝塔系數(shù)?的關(guān)系為

/?/??(1?(1?T)D，由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計(jì)算出)（證明從略）SEWACC，顯然WACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。 MM定理第一命題推論四：

在考慮稅收情況下，有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本仍然大于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無負(fù)債公司的權(quán)益資本成本，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜（證明如③）。

注：一個(gè)延伸，PV/?PV?(1?(1?Tc)(1?Ts))D，Tc表示企業(yè)所得稅率，Ts表示股票收入的稅

1?Td率，Td表示利息收入的稅率，個(gè)人可試著證明一下子。

3 MM定理的缺陷

主要是假設(shè)不合理導(dǎo)致的缺陷

? 假設(shè)沒有破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)不符合實(shí)際?？紤]稅收的話，按照MM定理所有都是債權(quán)融資則公司價(jià)值最大化，但考慮到實(shí)際的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，杠桿增加降低了融資成本W(wǎng)ACC，但增加了公司的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，故存在最優(yōu)的資本結(jié)構(gòu)使得公司達(dá)到價(jià)值最大化。 ? MM定理忽略了交易成本和信息不對(duì)稱性等，顯然不符合事實(shí)。 ? 以上僅是兩個(gè)例子，其他的大家可以想想。

撰寫人：小秋

.

第三篇：羅爾定理問題的證明方法

羅爾定理的應(yīng)用題：

1.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，f?(a)?f?(b)?0.又g(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且g(x)?0,g??(x)(b)?0，證明：???(a,b)，使得

f??(?)f(?).=g??(?)g(?)證明：構(gòu)造輔助函數(shù) F(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)。由于g(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且g(x)?0,

所以g(x)在(a,b)上恒正或恒負(fù)，不妨假設(shè)g(x)?0,?x?(a,b).由于f?(a)?f?(b)?0，不妨假設(shè)f?(a)?0，f?(b)?0, 則F(a)=f?(a)g(a)>0,F(b)?f?(b)g(b)?0 因?yàn)閒?(a)?0?lim?x?af(x)?f(a)f(x)?f(b)?0，f?(b)?0?lim?0，由極限的保號(hào)性，

x?b?x?ax?b存在x1?(a,a??),使得f(x1)?f(a)?0，存在x2?(b??,b),使得f(x2)?f(b)?0.顯然有x1?x2(因?yàn)榭梢匀?足夠小).

在閉區(qū)間[x1,x2]上應(yīng)用區(qū)間套定理，可得 x0?(x1,x2)，使得f(x0)?0,f?(x0)?0 --- 從而 F(x0)?f?(x0)g(x0)?0，

i) 若F(x0)?0，因?yàn)镕(a)>0，由零點(diǎn)定理得 ??1?(a,x0)，使F(?1)?0，

又因?yàn)镕(b)>0，由零點(diǎn)定理得 ??2?(x0,b)，使F(?2)?0，

1 最后在[?1,?2]上對(duì)函數(shù)F(x)應(yīng)用羅爾定理，即存在???(a,b)，使得F?(?)=0，從而得到

f??(?)f(?).=g??(?)g(?)ii) 若F(x0)=0，因?yàn)镕(x)在[a,b]上連續(xù)，且F(a)>0，F(xiàn)(b)>0，由連續(xù)函數(shù)的最值定理，必

???(a,b)，使得F(?)=minF(x)，即F(x)在[a,b]內(nèi)部取到最小值，由費(fèi)馬定理得F?(?)=0，

x?[a,b]因而得到 f??(?)f(?).

證畢！ =??g(?)g(?)點(diǎn)評(píng)：在證明形如 “存在某一中值??(a,b)，使其滿足方程?[f(x),f?(x)]=0”，這一類問題中，

基本的思路：1）構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)，x?[a,b]，（借助微分運(yùn)算的方法， k值法等）；

2）驗(yàn)證F(x)滿足羅爾定理的三個(gè)條件，若滿足，則存在??(a,b)，使得

F?(?)=0，命題得到證明。

一般羅爾定理的前兩個(gè)條件往往容易滿足，端點(diǎn)值相等這個(gè)條件有時(shí)不易滿足，此時(shí)就要通過 題設(shè)條件，找到一個(gè)子區(qū)間[x1,x2]?[a,b]，使其滿足F(x1)?F(x2)，然后在閉區(qū)間[x1,x2] 上應(yīng)用羅爾定理。

若利用題設(shè)條件不易找到子區(qū)間[x1,x2]?[a,b]，那么證明的思路就要轉(zhuǎn)向去尋找(a,b)內(nèi) 部的極值點(diǎn)（最值點(diǎn)），（其中要用到連續(xù)函數(shù)的最值定理），再由費(fèi)馬定理得到存在??(a,b)， 使得F?(?)=0，命題得到證明。

2

第四篇：MM定理證明過程MM定理證明過程

1 無稅收條件下的MM定理 1.1 假設(shè)條件

假設(shè)1：無摩擦市場(chǎng)假設(shè)

? 不考慮稅收；

? 公司發(fā)行證券無交易成本和交易費(fèi)用，投資者不必為買賣證券支付任何費(fèi)用； ? 無關(guān)聯(lián)交易存在；

? 不管舉債多少，公司和個(gè)人均無破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)；

? 產(chǎn)品市場(chǎng)是有效的：市場(chǎng)參與者是絕對(duì)理性和自私的；市場(chǎng)機(jī)制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對(duì)稱、公共物品等市場(chǎng)失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；

? 資本市場(chǎng)強(qiáng)有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無法套利，沒有無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； ? 投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數(shù)量的資金。

假設(shè)2：一致預(yù)期假設(shè)

? 所有的投資者都是絕對(duì)理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的所有信息，并且對(duì)其進(jìn)行完全理性的前瞻性分析，因此大家對(duì)證券價(jià)格預(yù)期都是相同的，且投資者對(duì)組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。

1.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

有財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值和無財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值相等。

第一命題的含義：

即公司的市場(chǎng)價(jià)值（即債權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值+股權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值，不含政府的稅收價(jià)值）與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)，而只與其盈利水平有關(guān)。這說明未來具有完全相同的盈利能力的公司市場(chǎng)價(jià)值相同，但由于其負(fù)債程度不同等因素，故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。

MM定理第一命題證明過程：證明方法是無套利均衡分析法。

基礎(chǔ)假定：我們假定有兩家公司—公司A和公司B，它們的資產(chǎn)性質(zhì)完全相同但資本結(jié)構(gòu)完全不同。A公司沒有負(fù)債（這是一種極端假設(shè)，但作為比較基準(zhǔn)更能說明問題）；B公司的負(fù)債額度是D，假設(shè)該負(fù)債具有永久性質(zhì)，因?yàn)榭沙掷m(xù)盈利的公司總可以用新發(fā)行的債券來償還老債券（這與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的龐茲計(jì)劃完全不同，那是沒有收入來源且信息不對(duì)稱下導(dǎo)致的終生借債消費(fèi)計(jì)劃無效）。 細(xì)節(jié)假設(shè)：

? B公司當(dāng)前債務(wù)利率為r（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前的股本分別是SA和SB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場(chǎng)的資本化率，也就是其股票的預(yù)期收益率）分別是rA和rB（固定數(shù)值，因?yàn)閮H指當(dāng)前的預(yù)期收益率）；

? A、B兩公司任何年份的息稅前利潤(rùn)（EBIT）相同，數(shù)額都為EBIT（隨機(jī)變量，每年的數(shù)值都是它的一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)）； ? A、B兩公司當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)值分別記為PVA和PVB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前股票的市場(chǎng)價(jià)格與其真實(shí)價(jià)值完全一致，分別為MPA和MPB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前的股東權(quán)益分別記作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值較多是因?yàn)殪o態(tài)考察公司當(dāng)前價(jià)值。

考慮一個(gè)套利策略：賣出A公司1%的股票；同時(shí)買入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定，但必須均為同一值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時(shí)現(xiàn)金流和未來每年的現(xiàn)金流見表1。

表1 上述套利策略的現(xiàn)金流

頭寸

即時(shí)現(xiàn)金流

未來每年現(xiàn)金流

賣出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

買入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r） 買入1%B債券

-0.01*D

-0.01* D*r 凈現(xiàn)金流

NC

0

首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬面的負(fù)債加權(quán)益，A公司無負(fù)債，因此有

PVA?SEA;PVB?D?SEB

其次，任何公司的股票價(jià)格都等于其股東權(quán)益與股本的比值：

MPA?PVA/SA;MPB?(PVB?D)/SB①

再次，市場(chǎng)不應(yīng)該存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，故NC=0，也就是

0.01*PVA?0.01*SB*MPB?0.01*D?0 ?MPB?(PVA?D)/SB②

由①②推得：PVA?PVB③，命題證畢。

MM定理第一命題推論一：

債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價(jià)格也不變。

證明：假設(shè)B公司的債務(wù)權(quán)益比為k，則：

k?D/SEB

1?k?(SEB?D)/SEB?PVB/SEB?PVA/SEB?SA/SB④

將③④代入①得：

MPA?PVA/SA?PVB/(SB(1?k))?(D?SEB)/(SB(1?k))?SEB(1?k)/(SB(1?k))?MPB

證畢。

MM定理第一命題推論二：

股東期望收益率會(huì)隨財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下B公司在債轉(zhuǎn)股之后會(huì)降低其股票的預(yù)期收益率，或者說A公司的股票預(yù)期收益率小于B公司的股票的預(yù)期收益率。

證明：B公司的資產(chǎn)負(fù)債率（RDA）和股東權(quán)益比率（REA）分別為：

RDAB?D/PVB?D/(D?SEB)?k/(1?k) REAB?SEB/PVB?SEB/(D?SE)?1/(1?k)

由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分派股息，而且市場(chǎng)有效性保證了股票的價(jià)格反映股票價(jià)值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期收益率rA和rB分別滿足：

?MPA??j?1?EBIT/SA(1?rA)j?EBITSA*rA

MPB??j?1(EBIT?R*D)/SB(1?rB)j?EBIT?R*DSB*rB

同時(shí)EBIT>r*PVB，因?yàn)檫@表示即使公司全部舉債經(jīng)營(yíng)，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說股票的收益率大于債券的收益率，由于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益相匹配的結(jié)果導(dǎo)致這個(gè)不等式必然成立。故可推導(dǎo)出：

rB?EBIT?r*DSEB?EBIT?r*DPVB?D?EBITPVB?EBITPVA?EBITSA*MPA?rA，證畢。

MM定理第一命題推論三：

股東每股盈利也會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下，債券轉(zhuǎn)為股票之后，公司股東的每股盈利也會(huì)下降。 證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?EBITSA;EB?(EBIT?R*D)SB⑤

將④代入⑤的第二式得： EB?(EBIT?R*D)SB?(1?k)(EBIT?R*D)SA?EA?k*EBIT?(1?k)*R*DSA⑥

由于EBIT>r*PVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：

k*EBIT?(1?k)*R*D?(1?k)(k1?kEBIT?R*D)?(1?k)*D(EBITPVB?r)?0⑦

由⑥⑦得：EB?EA，證畢。

注：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常少的人有可能會(huì)覺得上述三個(gè)推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn)實(shí)過程。

1.3

MM定理第二命題：

公司加權(quán)平均資本成本（WACC）與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。

證明：由于公司A僅有股權(quán)融資，故WACCA?rA

WACCB?rBSEBPVB?rDPVB?EBITPVB?EBITPVA?rA①，證畢。 MM定理第二命題及其推論

MM定理第二命題推論：

有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本等于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無負(fù)債公司的權(quán)益資本成本加上風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)谋壤蜃邮秦?fù)債權(quán)益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價(jià)和單證券定價(jià)模型有點(diǎn)像啊，呵呵）

證明：由①（重新編號(hào)）得：

rB?PVBSEBrA?r*DSEB?rA?DSEB(rA?r)?rA?k(rA?r)，證畢。

2 有稅收條件下的MM定理 2.1 假設(shè)條件

考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個(gè)定理，有四個(gè)推論。

2.2

MM定理第一命題：

在考慮稅收的情況下，有財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值等于無財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值加上“稅盾”的市場(chǎng)價(jià)值。 MM定理第一命題及其推論

證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進(jìn)稅率制等也一樣的），那么兩公司的稅后收益（EAT）分別為：

EATA?(1?T)*EBIT

EATB?(1?T)*(EBIT?r*D)?r*D?(1?T)*EBIT?T*r*D?EATA，證畢。

其中T*r*D即稅盾效應(yīng)，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來的部分，這是由于B公司的財(cái)務(wù)杠桿起作用了：公司價(jià)值是股權(quán)市價(jià)加債權(quán)市價(jià)，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都要交所得稅，而B公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價(jià)值計(jì)入到公司的債權(quán)價(jià)值中?；蛘咭部梢岳斫鉃闆]有負(fù)債的公司舉債時(shí)，政府需要把原來征的稅的一部分退給公司的債主，或者說舉債成本里T*r是政府買單的（機(jī)會(huì)成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1?T)*r，這是從金融的角度或者說機(jī)會(huì)成本的角度講的，就如經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)和會(huì)計(jì)利潤(rùn)的差別一樣，而證券定價(jià)的基準(zhǔn)正是從金融的角度給出才能準(zhǔn)確。

顯然A、B兩公司的稅前價(jià)值仍然一樣，相當(dāng)于不考慮稅收。我們用帶撇號(hào)的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場(chǎng)價(jià)值分別為：

PVA?PVA(1?T)

/EBIT(1?T)r*PVB)叫做稅盾的市場(chǎng)價(jià)值。 其中D(1?EBITPVB?PVB(1?T)(1?/r*D)?D?PVA?D(1?/(1?T)r*PVBEBIT)?PVA①

/

MM定理第一命題推論一：

在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅收時(shí)MM定理的命題一的推論二仍然成立。

證明：考慮稅收，A公司股票預(yù)期收益率為：

rA?/EBIT(1?T)SA*MPA/?EBIT(1?T)PVA/?EBIT(1?T)(1?T)PVA?rA②

由不考慮稅收推論二證明的最后一個(gè)公式和①（重新編號(hào)）得B公司股票的預(yù)期收益率為：

(EBIT?rD)(1?T)?rDSB*MP/BrB?/?(EBIT?rD)(1?T)?rDPV?D/B?(EBIT?rD)(1?T)?rDPVA?/EBIT?rD??rD(1?T)*rD*PVBEBIT1?TrDPVA(1?)EBIT再由②得：rB?rA?//rDPVA(1?T)(1?rDEBIT)③，由于EBIT>rD（盈利足夠付利息，保//證不破產(chǎn)），故rB?rA，證畢。

MM定理第一命題推論二：

考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍然成立。

證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?/(1?T)EBITSA;EB?/(1?T)(EBIT?rD)?rDSB④

將第一部分第一命題推論一下面的④代入④得：

EB?/(1?k)?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA?EA?/TrD?k?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA?EA/

因EBIT>rD，故上不等式成立，證畢。

MM定理第一命題推論三：

在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。（證略）

根據(jù)CAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)?/和無稅收情況下的貝塔系數(shù)?的關(guān)系為???(1?(1?T)/DSE)（證明從略），由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計(jì)算出WACC，顯然WACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。

MM定理第一命題推論四：

在考慮稅收情況下，有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本仍然大于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無負(fù)債公司的權(quán)益資本成本，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜（證明如③）。

注：一個(gè)延伸，PV/?PV?(1?(1?Tc)(1?Ts)1?Td)D，Tc表示企業(yè)所得稅率，Ts表示股票收入的稅率，Td表示利息收入的稅率，個(gè)人可試著證明一下子。

3 MM定理的缺陷

主要是假設(shè)不合理導(dǎo)致的缺陷

? 假設(shè)沒有破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)不符合實(shí)際?？紤]稅收的話，按照MM定理所有都是債權(quán)融資則公司價(jià)值最大化，但考慮到實(shí)際的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，杠桿增加降低了融資成本W(wǎng)ACC，但增加了公司的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，故存在最優(yōu)的資本結(jié)構(gòu)使得公司達(dá)到價(jià)值最大化。 ? MM定理忽略了交易成本和信息不對(duì)稱性等，顯然不符合事實(shí)。 ? 以上僅是兩個(gè)例子，其他的大家可以想想。

撰寫人：小秋