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第一篇：離散數(shù)學總結

一、課程內容介紹：

1．集合論部分： 離散數(shù)學學習總結

集合論是離散數(shù)學中第一個抽象難關，在老師的生動講解下，深入淺出，使得集合論成了相當有趣的知識。只是對于以后的應用還不是很了解，感覺學好它很重要。直觀地說，把一些事物匯集到一起組成一個整體就叫集合，而這些事物就是這個集合的元素或成員。例如： 方程x2－1＝0的實數(shù)解集合；

26個英文字母的集合；

坐標平面上所有點的集合；

集合通常用大寫的英文字母來標記，例如自然數(shù)集合N(在離散數(shù)學中認為0也是自然數(shù))，整數(shù)集合Z，有理數(shù)集合Q，實數(shù)集合R，復數(shù)集合C等。

表示一個集合的方法有兩種：列元素法和謂詞表示法，如果兩個集合的交集為，則稱這兩個集合是不相交的。例如B和C是不相交的。

兩個集合的并和交運算可以推廣成n個集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An}

2．關系

二元關系也可簡稱為關系。對于二元關系R，如果∈R，可記作xRy；如果R，則記作xy。

例如R1={,}，R2={,a,b}。則R1是二元關系，R2不是二元關系，只是一個集合，除非將a和b定義為有序對。根據(jù)上面的記法可以寫1R12，aR1b，aR1c等。

給出一個關系的方法有三種:集合表達式，關系矩陣和關系圖。 設R是A上的關系，我們希望R具有某些有用的性質，比如說自反性。如果R不具有自反性，我們通過在R中添加一部分有序對來改造R，

得到新的關系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'與R相差太多，換句話說，添加的有序對要盡可能的少。滿足這些要求的R'就稱為R的自反閉包。通過添加有序對來構造的閉包除自反閉保外還有對稱閉包和傳遞閉包。

3．代數(shù)系統(tǒng)

代數(shù)結構也叫做抽象代數(shù)，主要研究抽象的代數(shù)系統(tǒng)。抽象的代數(shù)系統(tǒng)也是一種數(shù)學模型，可以用它表示實際世界中的離散結構。例如在形式語言中常將有窮字符表記為∑，由∑上的有限個字符（包括0個字符）可以構成一個字符串，稱為∑上的字?！粕系娜w字符串構成集合∑*。設α,β是∑*上的兩個字，將β連接在α后面得到∑*上的字αβ。如果將這種連接看作∑*上的一種運算，那么這種運算不可交換，但是可結合。集合∑*關于連接運算就構成了一個代數(shù)系統(tǒng)，它恰好是抽象代數(shù)系統(tǒng)--半群的一個實例。抽象代數(shù)在計算機中有著廣泛的應用，例如自動機理論、編碼理論、形式語義學、代數(shù)規(guī)范、密碼學等等都要用到抽象代數(shù)的知識。代數(shù)結構的主要研究對象就是各種典型的抽象代數(shù)系統(tǒng)。

構成一個抽象代數(shù)系統(tǒng)有三方面的要素：集合、集合上的運算以及說明運算性質或運算之間關系的公理。請看下面的例子。

整數(shù)集合Z和普通加法＋構成了代數(shù)系統(tǒng)〈Z,＋〉，n階實矩陣的集合Mn(R)與矩陣加法＋構成代數(shù)系統(tǒng)〈Mn(R),＋〉。冪集P(B)與集合的對稱差運算也構成了代數(shù)系統(tǒng)

。類似這樣的代數(shù)系統(tǒng)可以列舉出許多許多，他們都是具體的代數(shù)系統(tǒng)?？疾焖麄兊墓残?，不難發(fā)現(xiàn)他們都含有一個集合，一個二元運算，并且這些運算都具有交換性和結合性等性質。為了概括這類代數(shù)系統(tǒng)的共性，我們可以定義一個抽象的代數(shù)系統(tǒng)，其中 A是一個集合，是A上的可交換、可結合的運算，這類代數(shù)系統(tǒng)實際上就是交換半群。

為了研究抽象的代數(shù)系統(tǒng)，我們需要先定義一元和二元代數(shù)運算以及二元運算的性質，并通過選擇不同的運算性質來規(guī)定各種抽象代數(shù)系統(tǒng)的定義。在此基礎上再深入研究這些抽象代數(shù)系統(tǒng)的內在特性和應用。

4．圖論部分

圖論是作為我們計算機專業(yè)的一門很有用處的知識，也是新興的一個數(shù)學分支，在計算機迅速發(fā)展的同時，圖論也迅速發(fā)展。因此，圖論給我們以一種神奇的感覺，在學習圖論中，老師總是把圖論分析得很透徹，學起來很有趣，同時也很簡單。圖論在數(shù)據(jù)結構方面的應用極其廣泛，對我們學計算機專業(yè)的人來說，是一門必須要學好的知識。

一個圖可以用一個圖形表示，定義中的結點對可以是有序的，也可以是無序的，若邊所對誤碼的結點對（a,b）是有序的，剛稱L是有向邊，a稱為L的起點，b稱為L的終點，若邊L所對應的結點對（a,b）是無序的，則稱L是無向邊。

5．數(shù)理邏輯部分

數(shù)理邏輯作為離散數(shù)學的最后一部分，充滿著對邏輯思維的挑戰(zhàn)，同時鍛煉了我們思考問題的嚴密性，當然最重要的是學會如何用數(shù)學方法去分析邏輯問題。

數(shù)理邏輯又稱符號邏輯，它是用數(shù)學方法支研究抽象思維的規(guī)律的應用學科，1.命題：把能判斷真假的陳述句稱為命題，作為命題的陳述句表達的判斷結果稱為命題的真值。命題公式、對偶與范式、命題演算的推理等等。

二、學習總結與體會

在本學期一開始學習這門課程時，老師就明確的告訴我們這門課程很重要，是我們大學中專業(yè)課程的核心課程，同時由于難度系數(shù)較高，故本門課程較為難學?？偟膩碚f，一個學期下來，自認為比較好地掌握了離散數(shù)學的基礎知識，并在平時的各方面得到了很好的應用。

對于離散數(shù)學，在剛開始學習的不知道他的重要性，以為他與高等數(shù)學一樣，或者學習的時候的時候，一定要有高等數(shù)學的知道，其實不然，當我開始學習之后才知道，只有掌握了高等數(shù)學以及線性代數(shù)等相關知道才能更好的學習離散數(shù)學。而且，作為計算機科學專業(yè)的學生，離散數(shù)學當中所涉及到相關知道，對于我們是至關重要的。比如，關系、群、路徑、圖的矩陣表示、樹等內容，都是在計算機程序設計以及相關

信息當中要用到的內容。

所以學習了離散數(shù)學課之后，我的收獲是很多的。對于一些數(shù)學相關的知識有了不同的理解，學會了用不同的方法去解決程序設計方法以及將計算機和數(shù)學有機聯(lián)系起來，不過在學習的過程中也遇到了一些難題，最為突出的，就是書本上的和老師講解的都還是比較的簡單，自己在課堂上也能聽懂，但是到具體的應用就很困難了。

特別是不看書，就很多的東西都還給了老師，所以，我會嚴格的要求自己，學過的東西，都要下來練習，盡量的多做一些習題，盡量的把學過的數(shù)學基礎知識練熟悉，這樣才能夠提高自己專業(yè)知識，提高自己解決問題的能力。

有一點讓我遺憾的是沒有學完這門課程，但在這門課程快要結束的時候，我總結了學習中遇到的一些問題，最為突出的是，書本上的知識與老師講的都比較容易懂，可是在真正運到實際生活中時，就不能將老師所講的知識點與書上所羅列的。因此，針對這一情況，在以后的學習中我會嚴格要求自己，多參加實踐，只有這樣，，才能夠提高運用知識，解決問題的能力。

三、教學建議

1.在課程開設方面，對于離散數(shù)學等相關基礎、重要的課程，應當在大一或大二開設，不應放在大三下期，這樣對于我們學習時也有一定的幫助。我希望這一本書上能多一些練習題，以便我們學過了，下課了也有很多的練習題做，來鞏固課堂上的新內容。同時，我也希望在有些程序部分，能給出詳細的注釋語句。

2.相互學習，教師應當努力使現(xiàn)代教學手段與傳統(tǒng)教學手段有機結合，相互取長補短。在教學實施中既能發(fā)揮教學手段的優(yōu)勢，又能善于運用傳統(tǒng)方式，使教學效果達到最佳。建議能給一些學生練習的時間，這樣我們才能對學過的新內容有一個鞏固的時間，其實這樣更有助于以后的教學，前面的基礎知識打牢了，后面的學習更愉快。

3.提升技能：教師應重新認識離散數(shù)學與計算機聯(lián)系。同時，要始終把學生放在講課對象的中心位置，特別是在課余時間，建議由老師組

織學生進行分組，大家共同學習，由于現(xiàn)今的大學學習較為分散，很多時候同學們都不同在課堂上完成任務，只能下來之后繼續(xù)完成，所以組建學習小組后，通過完成任務等方式，讓學生學習到更多的知識點。學會更多的內容。

4.任務引領：充分調動學習學習積極性讓學習在完成任務的過程當中，充分學習到多媒體課件的制作以及多媒體信息的處理等等。

第二篇：趣味離散數(shù)學學后總結

《趣味離散數(shù)學》學后總結

0921111028王蓉

數(shù)學與應用數(shù)學學習過程是一個扎扎實實積累的過程，不能打馬虎眼。離散數(shù)學是理論性較強的學科，學習離散數(shù)學的關鍵是對離散數(shù)學有關基本概念，如集合論、數(shù)理邏輯和圖論的準確掌握，對基本原理及基本運算的運用，并要多做練習。

《離散數(shù)學》的特點如下：

1、知識點集中，概念和定理多：《離散數(shù)學》是建立在大量概念之上的邏輯推理學科，概念的理解是我們學習這門學科的核心。不管哪本離散數(shù)學教材，都會在每一章節(jié)列出若干定義和定理，接著就是這些定義定理的直接應用。掌握、理解和運用這些概念和定理是學好這門課的關鍵。要特別注意概念之間的聯(lián)系，而描述這些聯(lián)系的則是定理和性質。

2、方法性強：離散數(shù)學的特點是抽象思維能力的要求較高。通過對它的學習，能大大提高我們本身的邏輯推理能力、抽象思維能力和形式化思維能力，從而今后在學習任何一門計算機科學的專業(yè)主干課程時，都不會遇上任何思維理解上的困難?！峨x散數(shù)學》的證明題多，不同的題型會需要不同的證明方法（如直接證明法、反證法、歸納法、構造性證明法），同一個題也可能有幾種方法。但是《離散數(shù)學》證明 題的方法性是很強的，如果知道一道題用什么方法講明，則很容易可以證出來，否則就會事倍功半。因此在平時的學習中，要勤于思考，對于同一個問題，盡可能多探討幾種證明方法，從而學會熟練運用這些證明方法。同時要善于總結，

在學習《離散數(shù)學》的過程，對概念的理解是學習的重中之重。一般來說，由于這些概念（定義）非常抽象（學習《線性代數(shù)》時會有這樣的經歷），初學者往往不能在腦海中建立起它們與現(xiàn)實世界中客觀事物的聯(lián)系。這往往是《離散數(shù)學》學習過程中初學者要面臨的第一個困難，他們覺得不容易進入學習的狀態(tài)。因此一開始必須準確、 全面、完整地記住并理解所有的定義和定理。具體做法是在進行完一章的學習后，用專門的時間對該章包括的定義與定理實施強記。只有這樣才可能本課程的抽象能夠適應，并為后續(xù)學習打下良好的基礎。

學數(shù)學就要做數(shù)學，《離散數(shù)學》的學習也不例外。學習數(shù)學不僅限于學習數(shù)學知識，更重要的還在于學習數(shù)學思維方法。要做到這一點，學習者將要面臨的第二個困難是需要花費大量的時間做課后習題。但是切記離散數(shù)學的題目數(shù)量自然是無窮無盡的，但題目的種類卻很有限。尤其是在命題證明的過程中，最重要的是要掌握證明的思路和方法。解離散數(shù)學的題，方法是非常重要的，如果拿到一道題，立即能夠看出它所屬的類型及關聯(lián)的知 識點，就不難選用正確的方法將其解決，反之則事倍功半。例如在命題邏輯部分，無非是這么幾種題目：將自然語言表述的命題符號化，等價命題的相互轉化（包括化為主合取范式與主析取范式），以給出的若干命題為前提進行推理和證明。相應的對策也馬上就可以提出來。以推理題為例，主要是利用P、T規(guī)則，加上蘊涵和等價公式表，由給定的前提出發(fā)進行推演，或根據(jù)題目特點采用真值表法、CP規(guī)則和反證法。由此可見，在平常學習中，要善于總結和歸納，仔細體會題目類型和此類題目的解題套路。如此多作練習，則即使遇到比較陌生的題也可以較快地領悟其本質，從而輕松解出。

因此，只要肯下功夫，人人都能有扎實的基礎，擁有足夠的數(shù)學知識，特別是能大大提高本身的邏輯推理能力、抽象思維能力和形式化思維能力，從而今后在學習任何一門數(shù)學科學的專業(yè)主干課程時，都不會遇上任何思維理解上的困難。

第三篇：離散數(shù)學復習題

邏輯

1、給出的真值表

2、證明為永真式 謂詞量詞和推理

1、使用量詞和謂詞表達不存在這一事實

2、證明前提“在這個班上的某個學生沒有讀過書”和班上的每個學生都通過了第一門考試蘊含結論“通過考試的某個人沒有讀過書” 集合、函數(shù)、數(shù)列與求和

1、全集為，求集合A=的位串？它的補集的位串是什么？寫出集合A=的所有子集，寫出集合

2、從集合到集合能定義多少個函數(shù)？下面給出的函數(shù)其定義為：該函數(shù)是雙射嗎？是滿射嗎？該函數(shù)是否存在逆函數(shù)？如果存在請給出其逆函數(shù)。 計數(shù)

1、計算機系統(tǒng)的美國用戶有一個6～8個字符構成的密碼，其中每個字符是一個大寫字母或數(shù)字，且每個密碼必須至少包含一個數(shù)字，問總共有多少個合適的密碼？

2、在30天的一個月里，某棒球隊一天至少打一場比賽，但最多打45場。證明一定有連續(xù)的若干天內這個球隊恰好打了14場比賽

3、證明n個元素的集合中允許重復的r組合數(shù)等于

4、按照字典順序生成整數(shù)1，2，3的所有排列（不允許重復），在362541后面按照字典順序的下一個最大排列是什么？找出在1000100111后面的下一個最大的二進制串。 關系

1、求下面給出關系R的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包的0-1關系矩陣，其中

2、S是所有比特串的集合，關系定義為當s=t或者s和t的長度至少是3，且前3個比特相同時具有關系，例如0101，0011100101，但01010，0101101110。證明是S上的等價關系，由產生的S的等價類是那些集合？

3、偏序集（{2,4,5,10,12,20,25},|）的那些元素是極大的，那些元素是極小的？ 圖與樹

1、在下圖所示的圖中，從a 到d的長度為4的通路有幾條？該圖是否是Euler圖，是否是Hamilton圖，該圖的度序列是什么？該圖是否可平面，如果是請給出平面畫圖，該圖的點色數(shù)和邊色數(shù)等于多少？給出該圖的一個生成樹，

2、求下面賦權圖從a到z的最短距離是多少？最短路徑是什么？（畫圖給出標號過程）

3、用哈夫曼編碼方法來編碼下列符號，這些符號具有下列頻率：A:0.08，B:0.10，C:0.12，D:0.15，E:0.20，F(xiàn):0.35,該編碼方法編碼一個字符的平均位數(shù)是多少？

4、下面樹的高度是多少？那些節(jié)點是內部節(jié)點，那些節(jié)點是葉子節(jié)點，該樹是否是3元正則樹？分別給出該樹節(jié)點的前序、中序、后序遍歷的節(jié)點訪問次序

第四篇：離散數(shù)學練習題

1、下列句子是簡單命題的是（ ）

A)3是素數(shù)。B) 2x+3

5C)張三跟李四是同學嗎？D) 我在說謊。

2、下列公式不是永真式的是（ ） ．．

A)((p∧q))→p)∨rB)p→(p∨q∨r)

C)┓(q→r) ∧rD)(p→q)→(┓q→┓p)

3、設命題公式G┓(p→q)，Hp→(q →┓p)，則G與H的關系是( ) 。

A) GHB) H→GC) H => GD) G => H

4、下列命題不為真的是（ ） ．

A)Φ ? ΦB)Φ∈Φ

C){a,b}∈{a,b,c,{a,b}}}D){a,b}?{a,b,c,{a,b}}

5、1到300之間（包含1 和1000）不能被

3、5和7整除的數(shù)有（ ）個。

13、下列運算在指定集合上不符合交換律的是（）。

A)復數(shù)C集合上的普通加法B) n階實矩陣上的乘法 C)集合S的冪集上的∪D) 集合S的冪集上的?

14、下列集合對所給的二元運算封閉的是（）

A) 正實數(shù)集合R+和。運算，其中。運算定義如下：?a,b∈R+，a。b=ab-a-b B) n∈Z+，nZ={nZ|z∈Z}，nZ關于普通的加法運算 C) S={2x-1|x∈Z+}關于普通的加法運算

D) S={x|x=2n, n∈Z+}，S關于普通的加法運算

15、設V=,其中*定義如下：?a，b∈Z, a*b=a+b-2 ,則能構成的代數(shù)系統(tǒng)是（）。

A)半群、獨異點、群B) 半群、獨異點C)半群D) 二元運算

16

上有○

A)138B)120C)68D)12

46、設A, C, B, D為任意集合，以下命題一定為真的是（ ）

A)A∪B= A∪C =>B=C B)A×C= A×B =>B= C

C)A∪(B×C) = (A∪B)×(A∪C)D)存在集合A,使得A ? A ×A

7、設A={1,2,3,4}，R={,,,,} 是A上的關系，則R的性質是（ ）

A)既是對稱的也是反對稱的 B)既不是對稱的也不是反對稱的 C)是對稱的但不是反對稱的D)不是對稱的但是反對稱的

8、設R是A上的關系，則R在A上是傳遞的當且僅當（ ）

則這4個運算中滿足冪等律的是（ ）

17、在上述四個運算中有單位元的是（ ）

18、在上述四個運算中有零元的是（ ）

19、與命題公式P?（Q?R）等值的公式是()

A) (P?Q)?RB) (P?Q)?RC) (P?Q)?RD) P?(Q?R)

20、下列集合都是N的子集，能夠構成代數(shù)系統(tǒng)V=的子代數(shù)的是（ ）

A)｛x| x∈N∧x與5互為素數(shù)｝B) ｛x| x∈N∧x是30的因子｝ C) {x| x∈N∧x是30的倍數(shù)}D) {x|x=2k+1, k∈N }

二、填空題(1分/空，共20分。請將正確答案填在相應的橫線上。)

1、公式┓(p∨q) →p的成假賦值為00__,公式┓(q→p) ∧p的成真賦值為。

2、設Ａ，Ｂ為任意命題公式，Ｃ為重言式，若Ａ∧ＣＢ∧Ｃ，那么ＡＢ是重言式（重言式、矛盾式或可滿足式）。

3、f：N->N×N，f(x)=,A={5},B={,},則f(x)是A)IA ? RB)R=R-1C)R∩IA ?ΦD)R。R?R

9、設A={1,2,3,4,5,6,7,8},R為A上的等價關系R={|x,y ∈ A ∧ x=y(mod 3)}

其中， x=y(mod 3)叫做x與y模3相等，即x除以3的余數(shù)與y除以3的余數(shù)相等。則1的等價類，即[1]，為（ ）

A) {1,4,7}B) {2,5,8}C) {3,6}D) {1,2,3,4,5,6,7,8}

10、當集合A=Φ且B≠Φ時，則BA結果為（ ）

A)ΦB){Φ} C){Φ, {Φ}}D)錯誤運算

11、函數(shù)f:R→R,f(x)= x2-2x+1,則f(x)是（）函數(shù)。

A)單射B)滿射C)雙射D)不是單射，也不是滿射

12、設X={a,b,c,d},Y={1,2,3}，f={,,}，則以下命題正確的是()

A) f是從X到Y的二元關系，但不是從X到Y的函數(shù) B) f是從X到Y的函數(shù)，但不是滿射的，也不是單射的 C) f是從X到Y的滿射，但不是單射 D) f是從X到Y的雙射

雙射）函數(shù)，A在f下的像f(A)＝_{}_，B在f下的完全原像f-1(B)=____。

4、已知公式A中含有3個命題變項p,q,r，并且它的成真賦值為000，011，110，則A的主合取范式為（用極大項表示）__M∧_M∧_M∧_M∧_M，主析取范式為（用極小項表示）

5、公式?x(F(x,y)→?yG(x,y,z))的前束范式為_

6、列出從集合A={1,2}到B={1}的所有二元關系。

7、設A為集合且∣A∣=n，則A共有nP(A)有n

8、設 f，g，h ∈RR 且f(x)=x+3, g(x)=2x+1, h(x)=x/2, 則復合函數(shù)

⑦ ?x (F(x)∧G(x)→H(x))前提引入 ⑧ F(a)∧G(a)→H(a)T ⑦UI⑨ F(a)∧G(a)T ③ ⑥合取 (10)H(a)T ⑧ ⑨ 假言推理

f。g。h(x)=__，f。g。h (x)=_____。

9、含有n個命題變項的公式共有_____個不同的賦值，最多可以生成___個不同的真值表；n個命題變項共可產生___n_____個極小項（極大項）；含n個命題變項的所有有窮多個合式公式中，與它們等值的主析取范式（主合取范式）共有___2^2___種不同的情況。

10、已知集合A={?,{?}}，則A的冪集P(A)＝_____。

n

n

n

五、設A={1,2,3,4}，在A×A上定義二元關系R，?，∈A×A，

Ru+y=x+v

(1) 證明R是A×A上的等價關系

(2) 確定由R引起的對A×A的劃分。(5分)

三、利用公式的主合取范式判斷下列公式是否等值。（5分）

p→(q→r)與? (p∧q) ∨r p→(q→r)

?p∨(?q∨r) ?p∨?q∨r M6

?(p∧q)∨r

(?p∨?q) ∨r ?p∨?q)∨r M6

(1)證明: ? ∈ A×A => x+y=y+x=> ∈ R∴R是自反的 ? ∈ A×A ,

R => x+v=y+u=> R∴R是對稱的 ? ,∈ A×A ,

R ∧ R=> x+v=y+u ∧ u+n=v+m

=> x+v+u+n=y+u+v+m => x+n=y+m => R ∧∴R是傳遞的

(2)

解:{{,,,},{,,},{,},{,},{,},{,,}}

四、符號化命題，并推理證明(給出每個符號的準確含義，及每一步推理的根據(jù))。（5分）

每個科學工作者都是刻苦鉆研的。每個刻苦鉆研而又聰明的人在他的事業(yè)中都將獲得成功。華有為是科學工作者并且是聰明的，所以華有為在他的事業(yè)中將獲得成功。

六、A= {1,2,3,4,6,8,12}，R是A上的整除關系，請作出偏序集的哈斯圖，給出關系矩陣，并

求出A的極大元、極小元、最大元和最小元。若B={2,3,4}，求出B的上界，下界，最小上界，最大下界。（5分）

解:

首先符號化：M(x)：x是科學工作者；F(x)：x是刻苦鉆研的；G(x)：x是聰明的；H(x)：x

在事業(yè)中獲得成功；a：華有為。

前提： ?x(M(x)→F(x)）， ?x (F(x)∧G(x)→H(x)),M(a) ∧ G(a)

結論：H(a)

證明：① M(a) ∧ G(a)前提引入 ② M(a)T ①化簡規(guī)則 ③ G(a)T ①化簡規(guī)則 ④ ?x(M(x)→F(x)）前提引入 ⑤ M(a)→F(a)T ④

⑥ F(a)T ② ⑤ 假言推理

解:A的極大元為

8、12,極小元為1， 無最大元，最小元為1。

B的上界為12，下界為1，

最小上界為12，最大下界為1。

七、在自然推理系統(tǒng)P中構造下面推理的證明。（5分） (1) 前提：(p∨q) →(r∧s),(s∨t) →u

結論：p→u (2) 前提：?x(F(x) →(G(a) ∧ R(x)))，?x F(x).九、證明下列恒等式 A-(B∪C) = (A-B)∩(A-C)。（5分） 證明：A-(B∪C)

結論： ?x (F(x) ∧ R(x)).(1)證明：① p附加前提引入規(guī)則② p ∨ q①附加規(guī)則③ (p ∨ q) →( r ∧ s)前提引入

④ r ∧ s②③ 假言推理⑤ s④化簡規(guī)則⑥ s ∨ t⑤附加規(guī)則⑦ (s ∨ t) → u前提引入

⑧ u⑥ ⑦假言推理

(2)證明：① ?x F(x)前提引入② F(b)① EI③ ?x(F(x) →(G(a) ∧ R(x)))前提引入④ F(b) →(G(a) ∧ R(b))③ UI

⑤ G(a) ∧ R(b)② ④假言推理⑥ R(b)⑤化簡⑦ F(b) ∧ R(b)②⑥合?、?x (F(x) ∧ R(x))⑦EG

八、設有理數(shù)集合Q上的 * 運算定義如下：?a，b∈Q, a*b=a+b-ab 。請指出該運算的性質，并求出其單位元、零元及所有可能的逆元。（5分）

解：(1)因為a*b=a+b-ab =b+a-ba=b*a，所以運算滿足交換律。

(2)因為(a*b)*c=( a+b-ab)*c= a+b-ab+c-( a+b-ab)c=a+b+c-ab-bc-ac+abca*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+b+c-bc- a(b+c-bc)= a+b+c-ab-bc-ac+abc故運算滿足結合律。

(3)任意x∈Q，因為x*x=x+x-xx=2x+x2≠x，故不滿足冪等律(4)因為對?a∈Q，有a*0=a+0-a0=a，所以0是單位元。(5) 因為對?a∈Q，有a*1=a+1-a=1，所以1是零元。

(6) 對?a∈Q，令a*x=a+x-ax=0，則有x=a/(a-1)。所以當a≠1時，其逆元為a=a/(a-1)，1沒有逆元。

-

1＝A∩～(B∪C) ＝A∩～B∩～C = A∩A∩～B∩～C ＝(A∩～B)∩(A∩～C) =(A-B)∩(A-C)

十、設A,B為任意集合，證明：A?BP(A) ?P(B)。（5分） 證明：先證明充分性（=>）

?X∈P(A)=> X?A=> X?B=> X∈P(B) 再證明必要性（

?x∈A=> {x}?A=> {x}∈P(A)=> {x}∈P(B)=> {x}?B=>x∈B 綜上所述，A?BP(A) ?P(B)

第五篇：離散數(shù)學試卷1范文

離散數(shù)學試題（1）

一、單項選擇題（本大題共15小題，每小題1分，共15分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1．下列是兩個命題變元p，q的小項是（）

A．p∧┐p∧qB．┐p∨q

C．┐p∧qD．┐p∨p∨q

2．令p：今天下雪了，q：路滑，則命題“雖然今天下雪了，但是路不滑”可符號化為（）

A．p→┐q

C．p∧q

B．p∨┐q D．p∧┐q B．x+y=10 D．x mod 3=2 3．下列語句中是命題的只有（） A．1+1=10C．sinx+siny

4．下列等值式不正確的是（）

A．┐(?x)A?(?x)┐A

B．(?x)(B→A(x))?B→(?x)A(x)

C．(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x)

D．(?x)(?y)(A(x)→B(y))?(?x)A(x)→(?y)B(y)

5．謂詞公式(?x)P(x,y)∧(?x)(Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)中量詞?x的轄域是（）

A．(?x)Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z))

B．Q(x,z)→(?y)R(x,y,z)

C．Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)

D．Q(x,z)

6．設R為實數(shù)集，函數(shù)f：R→R，f(x)=2x，則f是（）

A．滿射函數(shù)

C．雙射函數(shù)B．入射函數(shù) D．非入射非滿射

7．設A={a,b,c,d}，A上的等價關系R={,,,}∪IA，則對應于R的A的劃

分是（）

A．{{a},{b,c},isacoaq}B．{{a,b},{c},q82s6ye}

C．{{a},,{c},qmwowme}D．{{a,b},{c,d}}

8．設A={?}，B=P(P(A))，以下正確的式子是（）

A．{?,{?}}∈B

C．{{?},{{?}}}∈BB．{{?,?}}∈B D．{?,{{?}}}∈B

9．設X，Y，Z是集合，一是集合相對補運算，下列等式不正確的是（）

A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)

B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y

C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)

D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)

10．設*是集合A上的二元運算，稱Z是A上關于運算*的零元，若（）

A．?x?A,有x*Z=Z*x=Z

B．Z?A，且?x?A有x*Z=Z*x=Z

C．Z?A，且?x?A有x*Z=Z*x=x

D．Z?A，且?x?A有x*Z=Z*x=Z

離散數(shù)學試題（1）

11．在自然數(shù)集N上，下列定義的運算中不可結合的只有（）

A．a*b=min(a,b)

B．a*b=a+b

C．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公約數(shù))

D．a*b=a(mod b)

12．設R為實數(shù)集，R={x|x∈R∧x>0}，*是數(shù)的乘法運算，是一個群，則下列集

合關于數(shù)的乘法運算構成該群的子群的是（）

A．{R中的有理數(shù)}

+C．{R中的自然數(shù)}

A．是交換群 +++

B．{R中的無理數(shù)} D．{1，2，3} B．是加法群 D．*對?是可分配的 +13．設是環(huán)，則下列正確的是（） C．?對*是可分配的

14．下列各圖不是歐拉圖的是（）

15．設G是連通平面圖，G中有6個頂點8條邊，則G的面的數(shù)目是（）

A．2個面B．3個面

C．4個面D．5個面

第二部分非選擇題（共85分）

二、填空題（本大題共10小題，每空1分，共20分）

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

16．一公式為之充分必要條件是其析取范式之每一析取項中均必同時包含一命題變元及其否定；一公式為之充分必要條件是其合取范式之每一合取項中均必同時包含 一命題變元及其否定。

17．前束范式具有形式(Q1V1)(Q2V2)?(QnVn)A，其中Qi(1≤i≤n)為，A為的

謂詞公式。

18．設論域是{a,b,c}，則(?x)S(x)等價于命題公式；(?x)S(x)等價于命題公式。

19．設R為A上的關系，則R的自反閉包。

20．某集合A上的二元關系R具有對稱性，反對稱性，自反性和傳遞性，此關系R，

其關系矩陣是。

21．設是一個偏序集，如果S中的任意兩個元素都有和，則稱S關于≤

構成一個格。

22．設Z是整數(shù)集，在Z上定義二元運算*為a*b=a+b+a·b，其中+和·是數(shù)的加法和乘法，

則代數(shù)系統(tǒng)的幺元是，零元是。

23．如下平面圖有2個面R1和R2，其中deg(R1)=，deg(R2)=。

24．無向圖G具有一條歐拉回路，當且僅當G是，。

25．在下圖中，結點v2的度數(shù)是，結點v5的度數(shù)是。

三、計算題（本大題共6小題，第26—27小題每小題4分，第

28、30小題每小題5分，

第

29、31小題每小題6分，共30分）

26．（4分）求出從A={1,2}到B={x,y}的所有函數(shù)，并指出哪些是雙射函數(shù)，哪些是滿射函

數(shù)。

27．（4分）如果論域是集合{a,b,c}，試消去給定公式中的量詞：(?y)(?x)(x?y?0)。

28．（5分）設A={a,b,c }，P（A）是A的冪集，?是集合對稱差運算。已知

是群。

在群

中，①找出其幺元。②找出任一元素的逆元。③求元素x使?jié)M足{a}?x=。

29．（6分）用等值演算法求公式┐(p→q)?

?(p→┐q)的主合取范式

30．（5分）畫出5個具有5個結點5條邊的非同構的無向連通簡單圖。

31．（6分）在偏序集中，其中Z={1,2,3,4,6,8,12,14}，≤是Z中的整除關系，求集合

D={2,3,4,6}的極大元，極小元，最大元，最小元，最小上界和最大下界。

四、證明題（本大題共3小題，第32~33小題每小題6分，第34小題8分，共20分）

32．（6分）用等值演算法證明((q∧s)→r)∧(s→(p∨r))?(s∧(p→q))→r

33．（6分）設n階無向樹G=中有m條邊，證明m=n-1。

34．（8分）設P={?,{1},{1,2},{1,2,3}}，?是集合P上的包含關系。

（1）證明：

是偏序集。

（2）在（1）的基礎上證明

是全序集

五、應用題(15分）

35．（9分）在謂詞邏輯中構造下面推理的證明：每個在學校讀書的人都獲得知識。所以如

果沒有人獲得知識就沒有人在學校讀書。（個體域：所有人的集合）