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第一篇：《線性代數B》教學大綱

《線性代數B》教學大綱

課程中文名稱：線性代數B

課程性質: 必修 課程英文名稱：Linear Algebra B

總學時：32學時

其中課堂教學32學時 先修課程：初等數學

面向對象：部分工科專業(yè)學生（包括部分文科專業(yè)） 開課系(室)：數學科學系

一.課程性質、目的和要求

線性代數是理工科及財經管理類本科生必需掌握的一門基礎課。通過本課程的學習使學生掌握行列式的計算、矩陣理論、向量組基本概念，會用矩陣理論求解線性方程組、及用線性方程組解的結構理論討論矩陣的對角化，使學生掌握本課程的基本理論和方法，培養(yǎng)和提高邏輯思維和分析問題解決問題的能力，并為學習相關課程與進一步擴大知識面奠定必要的、必需的基礎。

二、課程內容及學時分配 1. 行列式(5學時) 教學要求:了解行列式的定義、掌握行列式的基本性質。會應用行列式性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式。

重點：行列式性質

難點：行列式性質和行列式按行（列）展開定理的應用 2. 矩陣（8學時）

教學要求:理解矩陣的概念、掌握單位矩陣、對角矩陣與對稱矩陣的性質。掌握矩陣的線性運算、乘法、方陣行列式、轉置的定義及其運算規(guī)律。理解逆矩陣的概念及其性質，熟練掌握逆矩陣的求法。熟練掌握矩陣的初等變換及其應用。理解矩陣秩的概念并掌握其求法。了解滿秩矩陣的定義及其性質。了解分塊矩陣及其運算。

重點：矩陣的線性運算、矩陣的乘法、逆矩陣的求法、矩陣的初等變換 難點：矩陣的秩，矩陣的分塊 3. 向量組（6學時）

教學要求:理解n維向量的概念及其運算。理解向量組的線性相關、線性無關和線性表示等概念，了解并會用向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法。了解向量組的極大線性無關組和秩的概念，并會求向量組的秩。了解向量的內積、長度與正交等概念，會用施米特正交化方法把向量組正交規(guī)范化。了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念，以及它們的性質。

重點：n維向量的概念、線性相關、線性無關、極大線性無關組、向量組秩的概念 難點：線性無關的相關證明、向量組秩的概念、施米特正交化。 4. 線性方程組（7學時）

1 教學要求:掌握克萊姆法則。理解非齊次（齊次）線性方程組有解（有非零解）的充分必要條件。理解非齊次（齊次）線性方程組解的結構與通解（基礎解系與通解）等概念。熟練掌握用初等變換法解線性方程組。

重點：初等變換法解線性方程組、解結構理論 難點：解結構理論及應用 5. 相似矩陣（6學時）

教學要求:理解矩陣的特征值與特征向量的概念，會求矩陣的特征值和特征向量；理解相似矩陣的概念、性質與矩陣可相似對角化的條件。了解實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質，掌握用相似變換化實對稱矩陣為對角矩陣的方法。了解正交變換的概念及其性質。

重點：矩陣的特征值、特征向量，方陣的對角化。 難點：方陣的對角化及相關應用。

三、說明

本大綱參照原國家教委頒發(fā)的高等學校線性代數課程教學要求編制，還參考2002年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試線性代數課程考試大綱。根據不同專業(yè)的特點和需要，內容和側重點可有所不同。教學方法以講課為主。課程考試以閉卷考試形式；考查課可選用其它方式。行列式、矩陣、特征值、特征向量都是非常重要的知識，在學時有限的情況下，對這些內容應該重點講解，務使學生理解和掌握。

四、推薦教材及參考書 教材：

《線性代數》（第一版）蘇德礦 裘哲勇主編 高等教育出版 參考書：

《線性代數簡明教程》（第二版）陳維新編著 科學出版社 《線性代數》（第四版）同濟大學數學教研室編 高等教育出版社 《線性代數》 清華大學編 高等教育出版社 《高等代數》 北京大學編 高等教育出版社

執(zhí)筆：江仁宜

審稿：胡覺亮

審定：浙江理工大學理學院教學委員會

2008.10 2

第二篇：線性代數習題答案

綜合練習一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er?2,s?5,t?8或r?5,s?8,t?2或r?8,s?2,t?5.01Fi?2,j?1.01G?12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序數為k2;當k為偶數時,排列為偶排列,當k為奇數時,排列為奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)?(aa1222a13a1411?a22?a33?a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x?18.01Nf?(x)g?(x)s?(x).01O?1.f??(x)g??(x)s??(x)02AB、D.02B?3.02C6.02Dx?0,?1,?2.02E(?1)n?1(n?1)xn.02F(12?13?????1)n!.02G(?1)n(n?1)2nn?1(n?1)n.2.02H(?1)n?1(na?x)xn?1.02I(?1)n[(??1)n??n].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa?0,b?0.4403G?1,?3.03Ha?bii03If(x)?2x2?3x?1.i?1i?1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1?a?a2)(1?a)3.04Bn?1.04Cx1x2...xn?1(1?a1x1?a2x2?...?anxn).04Dx1x2...xn[1?a(1x?1?...?1.1x2xn)]04E(x?1)n..49.04F1?(?1)a1?(?1)2a2an1?...?(?1)anan?1...a2a1?n04G?(n?1)?當a??,??n?1??n?1?????當a??.05A0.05B?1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H?9,18.06An!(n?1)!(n?2)!...2!1!.06B?(cos?).4ij1i?cos?j07A(1?x)2(10?x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E?2.08Fa?0且b??b/4.08Gf(x)?2x2?3x?1.08H甲、乙、丙三種化肥各需3千克,5千克,15千克.綜合練習二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a?2n).01N(A?B)(A?B).01S(2)A2?49(A2?E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(?1)n?1n?1k2(n?1)!.(2)(?1)n?1n!(k?1,2,?,n).01V兩年后在崗職工668人,培訓人員334人.01W即晴天概率為146256,陰天的概率為6248256,下雨天的概率為256.?xn?x4??260?01X??1??y???023/2??1/200????xn?.???y?n?1??n??y?????zn?1?????01/40?????zn???4??236??z???22?4???01?2102A498?22?42??.02B2n?1??02??42???01?21??.02C???2?22???02?42???22?2??.??1nn(n?1)???2.4n?14n00?02D?2???01n??.02E?n?1n?1?42.400??????001???002nn.2n?1??.?0002n??.50.?100?02FA?????200??6?1?.由于A5?A.?1???1000?03A(1)(?1)n?11(2)???1200??n!A.?0?230?.?00?34??(3)?A?6E.(4)12(E?B).(5)B??(E?2A)?1.?10103BB????5?10??E.03D?1??211??.03C(2)A2?A??5(A?2E).03EA?1?1(A?3E).(A?4E)?1110?6(A?E).03FB?1??114(5A2?3A?E).03G(EA?BA)?1?B(E?AB)?1B?1.03HB?1?110(A2?3A?4E).03I(E?AB)?1?E?A(E?BA)?1B.??1000?1/21/200??03NA?1???????0??03O1?122??????21?2??.??1/2?1/61/39?1/8?5/24?1/121/4????2?21????00?201?00?34??03P??0??0012?3?????3?1000?????52000??03Q?(A1?A2A?41A3)?1?A?11A2(A4?A3A?11A2)?1????A?1?1?1(A?4A3(A1?A2A4A3)4?A3A?11A2)?1?.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)?1/3;(6)576;(7)3.04B10804F??5?2?1??220??????101??.04G??A??0A(b??TA?1?)???,05AD.05C2.05D當a?1且b?2,r(A)?4;當a?1且b?2時,r(A)?2;.51.當a?1,b?2或a?1,b?2時,r(A)?3.05E當c??1,并且a??1或b?0時,r(A)?1;當c??1,a??1且b?0時,r(A)?3;當c??1,但a??1或b?0時,r(A)?3;當c??1,a??1且b?0時,r(A)?2.05F當a?b?0時,r(A)?0;當a?b?0時,r(A)?1;當a?b,且a?(n?1)b?0時,r(A)?n?1;當a?b,且a?(n?1)b?0時,r(A)?n.05G11?n.05Hr[(A*)*]???n,如果r(A)?n,?0,如果r(A)?n.??1111???1010?05K??11?1?1???05L??010?4??1?11?1??.??1?1?11???0010???.?0002????2?400???1100?05M???2?200???05N???1220??0022??.???00?12???0?233??.?00?34??05OA.?02?111?06A?1??321???.06B???202??.?030???5?2?2??31?1?06C??4?3?2?06D????22?.3???19/21?3/2?.?21?112???300?1?06E??????020??.06F???21????001????.?1?21??01?21???0?30?06G???00?3??????300?.?.52.綜合訓練三01AC.01BB.01CB.01Dt?1.01Ea?2b.01F(1)當t?5時,?1,?2,?3線性相關;(2)當t?5時,?1,?2,?3線性無關;(3)?3???1?2?2.01G(1)當a?1時,?1,?2,?3線性相關;(2)當b?2且a?1時,?可由?i唯一的表出:????1?2?2;當b?2且a?1時,?可由?i線性表出:??(?2t?1)?1?(t?2)?2?t?3,其中t是任意常數.02AB.02BC.02C B.02D D.02E t?5.02F不能.02G (1)能; (2)不能.02I(1)當a??2時,?不能用?1,?2,?3線性表出;(2)當a??2且a?1時,?有唯一的表達式:???a?11(a?1a?2??a?2?)212?a?2?3;當a?1時,??(1?k?l)?1?k?2?l?3,?k,l.02J(1)若??0且???3,?可由?1,?2,?3唯一線性表示;(2)若??0,?可由?1,?2,?3線性表示,但不唯一;(3)若???3,?不能由?1,?2,?3線性表示.02K(1)當b?2時,?不能由?1,?2,?3線性表出;(2)當b?2,a?1時,?可唯一表示為????1?2?2;當b?2,a?1時,?可表示為???(2k?1)?1?(k?2)?2?k?3( )k為任意常數.02L(1)當a??1,b?0時,?不能表示成?1,?2,?3,?4的線性組合;(2)當a??1時,?有唯一表示式:???2ba?1?a?b?1b1?a?1?2?a?1?3?0.?402M(1)當a??4時,?可由?1,?2,?3唯一線性表出..53.(2)當a??4時,?不能由?1,?2,?3線性表示.(3)當a??4且3b?c?1時,?可由?1,?2,?3線性表出,但不唯一:??t?1?(2t?b?1)?2?(2b?1)?3(t為任意常數).02N不等價.03AD.03B1.03C?n.03D(1)R(?1,?2,?3,?4)?2;向量組的一個極大無關組為?2,?4;?1?2(?2??4),?3??2?3?4;(2)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個極大無關組為?1,?3,?5;?2??1?3?5,?4??1??3??5;(3)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個極大無關組為?1,?2,?3;?4??1??2??3,?5??1??2?0.?3.03ER(?1,?2,?3,?4,?5)?3.03Fa?15,b?5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct?1.??x1y11?04D4.04E矩陣?xy??221??????的秩小于3.??xny?n1???1????14????2???22?04F(1)C??????3?,(C?R);(2)k1????7???0??k?0?12?,(k1,k2?R);??2???0?15???????2????3/2????3/4?(3)C??????1??3/2??C2??1???7/4??0?,(C1,C2?R).??0?????1??04G(1)無解;(2)(1/2,2,?1/2,0)T?k(1/2,0,?1/2,1)T,其中k為任意常數;(3)(514,?3314,0,7)T?k(?1,?1,2,0)T.(k為任意常數);.54.(4)C131(?7,177,1,0,0)T?C(10191112?7,7,0,1,0)T?C3(7,?7,0,0,1)T?(2,?3,0,0,0)T,(C1,C2,C3?R).04H(1)?1,?2,?3是所給方程組的基礎解系.(2)?1,?2,?3不是所給方程組的基礎解系.?1?04I當??1時,有解,解為????1????k??1??2??,其中k為任意常數.?0????1??04J(1)當??1且???45時,方程組有唯一解;?1?當??1時,其通解為????1????k?0??1??,其中k?0???為任意實數;?1??當???45時,原方程組無解;(2)當???2且??1時,方程組唯一解;當???2時,方程組無解;當??1時,方程組有無窮多組解.全部解為???2??????1???k??1???1?0??k???0?12?????0???0?1?,其中k1,k2是任意常數.?04K(1)當a?0時,方程組無解;??x1?2/a,當a?0,b?3時,方程組有唯一解:???x2?1,??x3?0;???x1?2/a,當a?0,b?3時,方程組有無窮多解:???x2?1?3t,(t?R).?2??x3?t.(2)當a?0或a?0時b?4,方程組無解;方程組不可能有唯一解;當a?0且b?4時,方程組有無窮多解.通解是.55.(6,?4,0,0,0)T?k1(?2,1,1,0,0)T?k2(?2,1,0,1,0)T?k3(?6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意實數.(3)當a??1,b?36時,方程組無解;當a??1,a?6時,方程組有唯一解,x(b?36)a?1,x??12?(a?4)(b?36)1?6?2a?1,xb?3623?0,x4?a?1;當a??1,b?36時,方程組有無窮多解,通解為(6,?12,0,0)T?k(?2,5,0,1)T.k為任意常數;當a?6時,方程組有無窮多解,通解是(1(114?2b),?1(12?2b),0,1(b?T77736))?k(?2,1,1,0)T.04L(1)當a?b,b?c,c?a時,方程組僅有零解x1?x2?x3?0.(2)當a?b?c時,方程組有無窮多組解,全部解為k1(1,?1,0)T(k1為任意常數).當a?c?b時,方程組有無窮多組解,全部解為k2(1,0,?1)T(k2為任意常數).當b?c?a時,方程組有無窮多組解,全部解為k3(0,1,?1)T(k3為任意常數).當a?b?c時,方程組有無窮多組解,全部解為k4(?1,1,0)T?k5(?1,0,1)T(k4,k5為任意常數).??2????104M(1)方程組有無窮多組解,通解為??4???????1??k?(k為任意常數?5?0????2?).?1??(2)當m?2,n?4,t?6時,方程組(I),(II)同解.04Na?2,t?4.04O非零公共解為t(?1,1,1,1)T.(t為任意常數)04P原來至少要有3121個桃子,最后還剩下1020個桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G??1.05H1..56.05I(1,2,3,4)T?k(1,1,1,1)T,其中k是任意實數.05J(?3,2,0)T?k(?1,1,1)T.(k為任意常數)05K通解為(?9,1,2,11)T?k1(?10,6,?11,11)T?k2(8,4,?11,?11)T05L3m?2n.05M?2.??1/2??0?05N通解為?1/2???1????k???,其中k為任意常數.?0??1????1??1???05O(1)?1可由?2,?3,?4線性表出.(2)?4不能用?1,?2,?3線性表出.?x1??k2t,06A(2)通解是??x2?k2,其中t是任意實數.??x3?t,06B通解是(a8,4,?2,1)T1?2a2?4a3,a2?2a3,a3,0)T?k(?,其中k是任意實數.06E方程組的唯一解為(ATA)?1ATb.06L(II)的通解為c1(a11,a12,...,a1,2n)T?c2(a21,a22,...,a2,2n)T?...?cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn為任意常數.綜合練習四??1/2???1/6????1/(23)?01A?45.01B?1???1/2???2????1/6????;?3??1/(23)??.?0?;?0???2/6??0???1/(23)??3/2??02A(1)?1?0,?2?2,?3?3,???1/2??k???1?0對應特征向量為1??1/2??,?1??.57.??1???1?2?2對應特征向量為k2???,?0???1???3對應特征向量為k??33?1?.??1??(2)?1?8,?2??3??1,?2??1?8對應特向量為k1???1??,其中k1為任意非零常數.?2???1???2??3??1對應特征向量為k2???0?1???k3???2??,其中k2,k3是不全為??1????0??零的實數.?(3)??1????0??1??2??3?2全部特征向量為k1?2???k2?0?,(k1,k2不全為零).?0????1??02BA的特征值是1,2,2a?1,?a?2??2??1?對應的特征向量依次是k??????1?3??,k2?2?,k3?1?.(k1,k2,k3全不為0).?0????1????a?1??02CA的特征值??2(二重)及??0,??2對應特征向量為k1(0,1,0)T?k2(1,0,1)T.??0對應特征向量為k3(1,0,?1)T.02D(1)當b?0時,A的特征值為?1??2????n?a,則任一非零向量均為其特征向量.(2)當b?0時,A的特征值為?1??2????n?1?a?b,?n?a?(n?1)b當?1????n?1?a?b對應特征向量為??1?1????1??1k1??0??0??0??????k2??1???kn?1??0??????0?,?0???????1??.58.??1???a?(n?1)b對應特征向量為k?1??nn??,(kn?0).?????1??02Ea?2,b??3,c?2,?0?1.??2n?2?1??1?02F1??12n?2??1??2n2?3n?1??????.???1?1?2n?2???02GA與B特征值相同但不相似.?02Ha?7,b??2,P???1?5??11??22?02I?1???10?2??.?0?.1????013??02Ja??1,b?8,c??10.02K(1)|?E?A|??4?a34??a23??a2??a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k?(2)?2i(i?1,2,?,n);i(i?1,2,?,n);(3)?ki?i(i?1,2,?,n);(4)?i(i?1,2,?,n);(5)1?(i?1,2,?,n);(6)|A|1,2,?,n);i?(i?i(7)f(?i),(i?1,2,?,n).03E?|A|???2??1.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全為零.??0對應特征向量為k1?1?k1?1?...?kn?1?n?1(k1,k2,...,k3不全為零的任意常數).03L3,2,?2.03M(1)P?1AP全部特征值是?1,??12,?,?n.P?i是P?1AP的屬于?i的特征向量..59.(2)(P?1AP)T全部特征值是??11,?2,?,?n.PT?i是(PAP)T的屬于?i的特征向量.03P??1(n?1重),??3,??1對應特征向量為k1(?y2,y1,0,?,0)T?k2(?y3,0,y1,?,0)T???kn?1(?yn,0,0,?,y1)T,k1,k2,?,kn?1不全為0,??3對應特征向量為kn(x1,x2,?,xn)T,kn?0.??04AD.04B?54?6??3?33??.??7?68??04C(1)a??3,b?0,???1.(2)A不能相似于對角陣.?4?04D當a?1時,A?1?116?114???.?44?2??當a?11???14?1022?2時,A?30??10?55???.?22519???13?25?04E(1)?3?k(1,0,1)T(2)A?1??6??2102?.(k);?為任意非零常數?5213????011?04F??1/20?1/2??000?04G???.?10?1???1/20?1/2????.?1?10???111?04H??111??.04IA?P?P?1?P(2E)P?1?2E.??111????54?04J?6??3?33???.?7?68??04OA的特征值是2與1(n?1重)..60.X1?(1,1,?,1)T是A屬于??2的特征向量,X2?(?1,1,0,?,0)T,X3?(?1,0,1,?,0)T,?,Xn?(?1,0,0,?,1)TA屬于??1的特征向量.??1?1?1??1??2n2n2n??A?1????11?1??1??2n2n2n??????.??????12n?112n?1?2n??05A0.05BA能對角化.05CA能對角化.???1??1?05D(1)??1???2?(2)???;?1??;(3)???3????1??1????;??2???1????(4)???1?(5)A?2?.??;不能對角化;(6)?2??0?????4???05E令P???212??100???,則????1??1????.?011????0??21?005F(1)T?1???2?40?3??212??,T?1AT???010???1?22?????00?2?.????1?11??263??(2)T???1?11???1??3??3???263?,TAT??.????011??6???63????111???236?05GP???12???0??0??36?,P?1AP??1??.??111????4???236??.61.??221???5353??05HQ???142???5353?,QTAQ??2???2???.??7??05?2????353??05Ia??1,b??3.A能對角化.05J?0??1,a??3,b?0.A不能相似于對角陣.??1????1????05Kx?y?0.05L?111??111??.05MA~???????111???1?.??0????????????9?05N????1?05PA~B.?0?.??001?05Q(1)x?0,y??2;(2)P???210??.???11?1??06An!.06B?6.06C?(2n?3)!!.06Dk(k?2)2.06FO.06EE.?3n?13n?106G(1)??(2)6n?1???3?1??2?3n?12?3n?1???;??93??;???(3)?100??1?3n?1?2?3n1?3n??.??1?3n?2?2?3n2?3n??06Hx100?5100?1.06Ix5100?3?2100?13.n06Ja?1?n??5?6??3??,nlim??an??5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是綜合練習五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.??00101F??010??.01Gy2?1?y22?y23.100???01H(1)f?z21?z22,相應的線性變換為z?Py?(P?1112P1)x.P1????010???,P?1002??013??,?001?????001????x1??(2)z2?z22???11?1/2??z1?12?z3.相應的線性變換??x2????x3???1?1?2????z2??.?001/2????z3???100(3)f??12y222?2y3相應的線性變換x????????110???1/21/21??y,??x1?01I??x?1??21?2????y1???2?01Jc?3,4y21?9y22.???3??122??y2?x3??2?21????y?3??111???263?01Ka??2,b??3.x?Cy,C????111???263?,???21??0??63?01Lf(x)?x2221,x2,x31?2x2?x3?2x1x2?2x2x3?4x1x3.切平面方程為2x1?x2?x3?1.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(?2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)??2;(2)???1.??101??22??411?02I????0,P???010??02NB?1??3???141?????11?.?114?.??0?22??.63.綜合練習六01A(1)V1是向量空間.(2)V2是向量空間.01B(1)W1不是子空間.(2)W2是子空間.dimW2?2.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一組基.(3)W3是子空間,dimW3?2.(?1,1,0),(2,0,1)是W3的一組基.(4)W4不是子空間.(5)W5不是子空間.01CW1?W2是V的子空間,W1?W2不一定是V的子空間.T02B??511??4,14,?4,?4??.?02C坐標變換公式為?x1??1?1?1??x1???x1???21?2??x1???x2??????102????x?2??或??x???????3??2???00?1??x2?x??0?10????x?3????x?3????11?1????x3???在所給定的兩組基下具有相同坐標的全部向量為k??3????2??,k??3?為任意實數.?T02D(1)(3,4,4)T;(2)??11?2,?5,13?2??.?02E(???5/21/2??1,?2)?(?1,?2,?3)????3/23/2??.?5/25/2??02F??(1,?2,?2)T時,?坐標乘積的極大值是18.?002G(1)A?1??100???1100????0?110??.?10?11??(2)所求非零向量??0??1?0??2?0??3?k?4?k?4(k為非零任意常數).02H(1)??111???011??;(2)??001??1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T,?3?(0,0,1)T;(3)A???1?1????.02I(1,1,?,1).??3??.64.a11?a12??03A?a21?a22?a11?a12?a31?a32??a2203C(1)??a12?a?32a21a11a31a23?a13??;a33??a12a22?a12a32a13?a23?a13??.a33???0?11??03B??020?.?2?10????a11?a21(2)??k?a?31ka12a22ka32a13?a23??;k?a33???a11?a21a11?a12?a21?a22(3)??a21?a31a21?a22?a31?a32?aa31?a32?31a11?a12?a13?a21?a22?a23?a21?a22?a23?a31?a32?a33???a31?a32?a33?.65.

第三篇：線性代數復習題B包含答案

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分） 在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

a11a12a22a32a13a333a113a213a123a323a223a133a333a231．設行列式a21a31a23?4，則3a31 等于

( B ) A．102 B．-108 C．36 D．-144

?0?0?2．若三階方陣A等價于矩陣??02000??0?，則A的秩是1??（ C ） A．0 C．2

3．設A為n階方陣，且A=E，則以下結論一定正確的是（ D ） A．A=E

C．A可逆，且A=A

4．A是n階方陣，且A的第一行可由其余n-1個行向量線性表示，則下列結論中錯誤的是（ D ） ．．

-

13B．1 D．3

B．A不可逆 D．A可逆，且A=A-1

2 A．r(A)≤n-1

B．A有一個列向量可由其余列向量線性表示

C．|A|=0

D．A的n-1階余子式全為零

5．若α1，α2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同解，則Ax=b必有一個解是（ D ） A．α1＋α2

B．α1－α2

2 C．α1－2α

D．2α1－α

2 6．設齊次線性方程組Ax=0的基礎解系含有一個解向量，當A是3階方陣時，（ C ）

A．r(A)=0

B．r(A)=1 C．r(A)=2

D．r(A)=3

7．設3階矩陣A的特征值為1，3，5，則A的行列式|A|等于（ D ） A．3 C．9

B．4 D．15

0?200??0?相似，則A2=?2??

??2?08．已知方陣A與對角陣B=???0（

C ） A．-64E C．4E

B．-E D．64E 9．二次型f(x1, x2)=是（ B ）

x21?6x1x2?4x?1B．?3??1D．?1?3?

? 4?5?? 4?22的矩陣?1A．?4?2?? 4??1?C．?0 6??4?

?aA??10．已知矩陣

?b?k12aB??矩陣?k2k1bb??c?正定，k1和k2都是正常數，則

k1k2b??( D )。 2k2c?A. 不是對稱矩陣

B. 是正定矩陣 C. 必是正交矩陣

D. 是奇異矩陣

二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。 a1b111．行列式

a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3=___0_______. a2b1a3b112．排列12453的逆序數為_____-2________. ?5???013．???0?10320???1???1???1?1?5?0??0?= ?01?2?0??1??3??? . 14．設?=（1，2，4），?=(-1,-2,y)且?與?線性相關，

212則y=____-4 ______。 15．二次型f(x1,x2)?2x1?2x2?2x1x2經正交

y1?3y22222變換化成的標準形是__

三、計算題

__.

ab16．（6分）計算行列式

ba?baa?bab的值.

a?b?a?解：b???a?bba?ba2a?b??1??a?2(a?b)0???b???0baa?ba?b???b??a???2(a?b)[?a?b(a?b)]?2(a?b)[?a2?b2?ab]??2(a3?b3)??0?1．（6分）設A=???133?10??23??且AB=A+2B，求B。

解：?AB?A?2BA3?123??0?1??（A?2E)B??A?2E??2??1????1且det(A?2E)?2?(A?2E)的逆存在??1?求的(A?2E)??1???1?B?(A?2E)??1?得B??1???1?0?得B??2???2311642-311??3??1??3A??3??1??6??6?0??3?0?1????13123??0?3??

18．（8分）已知a1?(?2求一個與a1

10)a2?(201)，

a2都正交的單位向量a3。 解：令a3?(x1 x2 x3)根據題意（a1,a3)??2x1?x2?0（a2,a3)?2x2?x3?0求??2x1?x2?0??2x1?x3?0得x?k(1 2 -2), k?R令k?1得Ca3?(1 2 -3)單位化得a3?13(1 2 -2）

19．（10）求下列齊次線性方程組的一個基礎解系，并以此寫出其結構式通解. ?x1?x2?5x3?x4?0??x1?x2?2x3?3x4?0? ?3x1?x2?8x3?x4?0

??x1?3x2?9x3?7x4?0

解：系系矩陣?1?1?A??3??1?11?13A為5?28?9?1?r4?r1?r3?3r132?r1??r???1??7??1?0??0??0?12245?7?7?141??4?4??8??1?15?1???1021??3?????02?74?????0000?????01?722???0000????0000????0000???x1 x2為約束變量，x4為自由變量得x71??32x3?x4 x2?2x3?2x4令（xTTT3,x4)分別為(2 0）和（0 1）得?1?（?3 7 2 0）T ?T2?（?1 -2 0）?x?k1?1?k2?2 , k

1、k2?R

20．（10分）已知向量組

a1?(135?1),a2?(2?1?3a3?(51?17),a4?(?3?31

（1） 判斷向量組a1,a2,a3,a4是否線性相關? （2）求此向量組a1,a2,a3,a4的一個極大無關組.

4),1)解：令向量組?1?3?即A??5???12?1A?（a1 a2 a3 a4)51?172?706514012?3??1r?r?r54?51r1??302?3r1??r?????01???1??00??1??00??????01???0??001002?7?13612000??0?1??0?5?14?2612?3??6?16???2?TTTT?34?1?0r3?r2?r4???????0??0?r(A)?3?4?a1 a2 a3 a4線性相關，且a1 a2 a4為一個極大線性無關組

?2?5?21．（10分）已知A=

???1?

?1ab2??3?的一個特征向量是??2?=(1，1，-1) T（1）確定a,b以及?的特征值。 （2）求r(A)。

??1??1?????解：?A??2?a??1???????1?b????1??????1,且2?b??1 1?b?1?a??3 b?0?2??A?5????1?r(A)?3

?1?302??3??2??

22．(10

22分

2) 設二次型f?x1,x2,x3??2x1?3x2?3x3?2ax1x2?2bx2x3x?Qy經正交變換

222化為標準形f?y1?2y2?5y3，求a，b的值. 解：f的矩陣A和標準型矩陣?2?A?a???0a3bD為???5??0??1??b D????3???QAQ?Q-T2根據題意為AQ?D?A相似于D，切?1?1，?2?2，?3?5為A的特征值將??1帶入det(?E?A)?0??1?det?a???0?a?2?b0??22?b??4?2a?b?0??2??將??2帶入det(?E?A)?0?0?det?a???0?a?1?b0??2?b??a?0??1???a?0 b??2易證??5時,det(?E?A)?0

第四篇：線性代數C答案

線性代數模擬題

一．單選題.

1. 設五階行列式aij?m，依下列次序對aij進行變換后，其結果是（ A ）． 交換第一行與第五行，再轉置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．

（A）8m；

(B)?3m；

(C)?8m；

(D)

1m． 4?3x?ky?z?0?4y?z?0有非零解，則（D ）2. 如果方程組?． ?kx?5y?z?0?（A）k?0或k?1；（B）k?1或k?2；（C）k??1或k?1；（D）k??1或k??3． 3. 設A，B，C，I為同階矩陣，若ABC?I，則下列各式中總是成立的有（

A

）． （A） BCA?I；

(B) ACB?I；

(C) BAC?I；

(D) CBA?I． 4. 設A，B，C為同階矩陣，且A可逆，下式（

A

）必成立． （A）若AB?AC，則B?C；

(B) 若AB?CB，則A?C；

(C) 若AC?BC，則A?B；

(D) 若BC?O，則B?O． 5. 若向量組?1,?2,....,?s的秩為r，則（ D ） （A）必定r

(D)向量組中任意個r?1向量必定線性相關

6. 設向量組?1,?2,?3線性無關，則下列向量組線性相關的是（C ）

(A) ?1??2,?2??3,?3??1 ;

(B) ?1,?1??2,?3??2??1 ; ?1??2,?2??3,?3??1 ; (D) ?1??2,2?2??3,3?3??1 .

(C)

7. 設A、B為n階矩陣，且A與B相似，I為n階單位矩陣，則（D ） (a)λI-A＝λI-B (b)A與B有相同的特征值和特征向量

(c)A與B都相似于一個對角矩陣 (d)kI-A與kI-B相似（k是常數）

8. 當（ C ）時，A為正交矩陣，其中 A????ab?? ??0c?(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 . 9. 已知向量組?1,?2,?3,?4線性無關，則向量組（ A

） (A) (B) ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1線性無關; ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1線性無關;

(C) ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1線性無關; ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1線性無關. ?a1?A?b1?c?1a2b2c2a3??a1?3c1??b3???b1?c3???c1a2?3c2b2c2a3?3c3??b3?． c3??(D) 10. 當A?（

B

）時，有

?100??10?3??00?3??100?????????（A）?010?；（B）?010?；（C）?010?；（D）?010?．

??301??001??101??0?31?????????二．計算題或證明題

1. 設A～B,試證明

－－(1)Am～Bm(m為正整數)（2）如A可逆，則B也可逆，且A1～B1

-1參考答案：（1）因為A～B，則存在B=PAP。

（PAP）?（PAP）（PAP）…（PAP）=PAP 所以B?得到Am～Bm

-1（2）因為A～B，則存在B=PAP。 所以B?1－m?1m?1?1?1?1m-11-1?（P?1AP）?P?1A?（P?1）

－得到A1～B1

22. 如n階矩陣A滿足A=A，證明：A的特征值只能為0或-1。 參考答案：

設Ax??x,則有Ax??x,兩式相減得到，（A?A）x?(???)x。 2222因為A2?A，因此?2??=0，得到：?=0,1（題目好像有問題）

3. 當a、b取何值時，下列線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解？有解時，求其解．

?x1?2x2?2x3?2x4?1?x2?x3?x4?1?

?

x?x?x?3x?a234?1??x1?x2?x3?5x4?b參考答案：

對增廣矩陣B=（A，b）作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，有

?12?22?01?1?1?B??11?13??1?1151??12?221??1????1??01?1?11??0~~a??0?111a?1??0????b??0?333b?1??02?221??1?1?11?

000a??000b?2?所以當a?0或b?-2時，方程組無解。不存在唯一解的情況。

?x1??1?k2?x?1?k?k?當a=0, b = －2時有無窮解解?212k

?x3?1??x4?k24. 判斷向量?能否被?1,?2,?3線性表出，若能寫出它的一種表示法．

???8?????2???3???5?????3??，???7??,???5?????6?? ??7?1??2???,?3??????10???1??0??3????3?????2?????1??參考答案：

???23?5?8??031?2?2?01?(??7?5?6?3??0?5?274?6?0?51,?2,3,??)???~??~???103?7??3?2?1?1???0?103??7?0?2?101???1?10?0?2???01?9?11?03?7?~?00?72?9??1?9?11????1???103?7?~00?72?9?

?00?28?11????0?00?28?11??得到R(?1,?2,?3)?3，而R(?1,?2,?3,?)?4 所以?不能被?1,?2,?3線性表示。

5. 若方陣A可逆，則A的伴隨矩陣A*也可逆，并求出A*的逆矩陣． 參考答案：

證明：（1）方陣A可逆，得到A?0，

由AA*?AE?A*?AA?1?A*?An?1?0，得到A*可逆。

（2）A*?AA?1??A*??1??AA?1??1?1AA

9?273?10?11?46

??7??11

第五篇：線性代數試題B

(101) 北京理工大學遠程教育學院2007-2008學年第一學期

《線性代數》期末試卷(A卷)

教學站 學號 姓名 成績

一．填空題（每小題4分，共20分）

?x1??2?1?1．已知A??，則XTAX?_______； ,X??????13??x2?2．設向量?1?(0,1,1),?2?(0,t,2)線性相關，則t? _____；

3．設A是秩為1的3階矩陣，則齊次線性方程組AX=0 的基礎解系含_____個解；

?111???4．已知矩陣?001?，則其秩為__________；

?001???5．已知2是矩陣A的一個特征值，則 |2E?A|? __________。

二．選擇題（每小題4分，共20分）

1．設A與B是兩個同階可逆矩陣，則（ ）；

A．(A?B)?1?A?1?B?1

B．|A||B|?|B||A|

C．|A?B|?|A|?|B| D．AB?BA

2．設A是1?2矩陣，B是2階方陣，C是2?1矩陣，則（

） A．ABC是1階方陣

B．ABC是2?1階矩陣

C．ABC是2階方陣

D．ABC是1?2階矩陣

3．已知向量組?1,?2,?3滿足?3?k1?1?k2?2，則（

） A．k1,k2不全為零

B．?1,?2線性無關 C．?3?0

D．?1,?2,?3線性相關

4．設?1,?2是非齊次線性方程組AX?b的兩個解，則下述說法不正確的是（

）； A．?1??2是導出組AX?0的1解

B．(?1??2)是AX?0的解

21C．?1??2是AX?b的解

D．(?1??2)是AX?b的解

5．設A是一個方陣，則（

）；

A．由| A | = 0可得 A = 0

B．由| A | = 0可得 0是A的一個特征值

C．由| A | = 1可得 A = E

D．由| A | = 1可得 1是A的一個特征值

三．計算題（每小題10分，共50分）

131．計算行列式

33

3233333333

342．求解下列線性方程組

? x1?5x2?2x3??3???3x1? x2?4x3?2

? 5x?3x?6x??1123?用導出組的基礎解系表示通解。

?011?????120?3．解矩陣方程 X?101??? ??110??02?1???

??110???4．已知矩陣A??1?10?，求A的特征值和特征向量。

?00?2???

5．求非退化線性替換，把實二次型

f(x1,x2,x3)??4x1x3?2x2x3

化為規(guī)范形。

四．其它（每小題5分，共10分）

1．設同階方陣A與B滿足AB?E，證明：|A||B|?1；

2．舉例說明：由|A||B|?1不能導出AB?E。