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在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。一般對與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過等價轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時要注意根的取值范圍和題目本身條件的限制。
例1.設(shè)：a、b、c∈R，證明：a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0成立，并指出等號何時成立。
解析：令f(a)?a2?(3b?c)a?c2?3b2?3bc
⊿＝(3b?c)2?4(c2?3b2?3bc)??3(b?c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)?0，∴a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0恒成立。
當(dāng)⊿＝0時，b?c?0，此時，f(a)?a2?ac?c2?3ab?(a?c)2?0， ∴a??b?c時，不等式取等號。
?4?例2.已知：a,b,c?R且a?b?c?2,a2?b2?c2?2，求證： a,b,c??0,?。
?3??a?b?c?222解析：?2 消去c得：此方程恒成立， a?(b?2)a?b?2b?1?0，22?a?b?c?2∴⊿＝(b?2)2?4(b2?2b?1)??3b2?4b?0，即：0?b??4?同理可求得a,c??0,?
?3?4。 3② 構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式
對某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造二項平方和函數(shù)：f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2
由f(x)?0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡捷明快的證明。
例3.設(shè)a,b,c,d?R?且a?b?c?d?1， 求證：4a?1?4b?1?4c?1?4d?1﹤6。 解析：構(gòu)造函數(shù)：
f(x)?(4a?1x?1)2?(4b?1x?1)2?(4c?1x?1)2?(4d?1x?1)
2＝8x2?2(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)x?4.(?a?b?c?d?1) 由f(x)?0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)2?128?0.∴4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?42﹤6.例4.設(shè)a,b,c,d?R?且a?b?c?1，求解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)?( ＝(1ax?a)2?(149??的最小值。 abc2bx?b)2?(3cx?c)2
1492??)x?12x?1,(?a?b?c?1) abc111由f(x)?0（當(dāng)且僅當(dāng)a?,b?,c?時取等號），
632149得⊿≤0,即⊿＝144-4（??）≤0
abc111149
∴當(dāng)a?,b?,c?時，(??)min?36 632abc
構(gòu)造函數(shù)證明不等式
1、利用函數(shù)的單調(diào)性
+例
5、巳知a、b、c∈R，且a b?mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數(shù)思想，構(gòu)造出與所證不等式密切相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值而證之，思路則更為清新。
a?x+
，其中x∈R，0
b?xb?x證明：令 f（x）= ∵b-a>0 b?a+ 在R上為減函數(shù) b?xb?a+從而f（x）= 在R上為增函數(shù)
b?x∴y= ∵m>0 ∴f（m）> f（0）
∴a?ma> b?mb例
6、求證：a?b1?a?b≤
a?b1?a?b （a、b∈R）
[分析]本題若直接運用比較法或放縮法，很難尋其線索。若考慮構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的單調(diào)性證明，問題將迎刃而解。
[證明]令 f（x）=
x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略） 1?x 而 0
得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）
即： a?b1?a?b≤
a?b1?a?b
[說明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過來，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。
2、利用函數(shù)的值域
例
7、若x為任意實數(shù)，求證：—
x11≤≤ 221?x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。聯(lián)想到函數(shù)的值域，于是構(gòu)造函數(shù)f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域為[—，]即可。
1?x222x2證明：設(shè) y= ， 則yx-x+y=0 21?x ∵x為任意實數(shù)
22 ∴上式中Δ≥0，即（-1）-4y≥0 1 411得：—≤y≤
22x11 ∴—≤≤
21?x22 ∴y≤2[說明]應(yīng)用判別式說明不等式，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域。
另證：類比萬能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡單。
例
8、求證：必存在常數(shù)a，使得Lg（xy）≤ Lga.lg2x?lg2y
對大于1的任意x與y恒成立。
[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數(shù)，視參數(shù)為變元的函數(shù)，然后根據(jù)變元函數(shù)的值域來求解a，從而說明常數(shù)a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。
22證明：∵lgx?lgy > 0 (x>1,y>1) ∴原不等式可變形為：Lga≥
lgx?lgylgx?lgy22
2（lgx?lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1?222222lgx?lgylgx?lgylgx?lgylgx?lgy
22 而 lgx>0,lgy>0, ∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy > 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx?lgy ∴ 1
從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，
只需Lga≥2即 a≥10
2即可。
故必存在常數(shù)a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。
3、運用函數(shù)的奇偶性
xx
9、證明不等式：
?x?x?x2xx ∵f（-x）=- = x+ ?x1?222?12xxx
[1-(1-2)]+ 1?2x2xx =-x+= f(x) x1?22 = ∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱
x ∵當(dāng)x>0時，1-2
證明數(shù)列收斂
證明函數(shù)fx
凸函數(shù)證明
證明偶函數(shù)
函數(shù)極限證明
