千文網(wǎng)小編為你整理了多篇相關(guān)的《函數(shù)極限證明(合集)》，但愿對(duì)你工作學(xué)習(xí)有幫助，當(dāng)然你在千文網(wǎng)還可以找到更多《函數(shù)極限證明(合集)》。
第一篇：函數(shù)極限證明
函數(shù)極限證明
記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無(wú)窮;
下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無(wú)窮。把max{a1,...am}記作a。
不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;
那么存在N1,當(dāng)x>N1,有a/MN2時(shí)，0Ni時(shí)，0
那么當(dāng)x>N,有
(a/M)^n
第二篇：函數(shù)極限
習(xí)題
1.按定義證明下列極限:
(1) limx???6x?5=6 ;(2) lim(x2-6x+10)=2; x?2x
x2?5?1 ;(4) lim?(3) lim2x???x?1x?2
(5) limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;
2.根據(jù)定義2敘述limf (x) ≠ A.x?x0
3.設(shè)limf (x) = A.,證明limf (x0+h) = A.x?x0h?0
4.證明:若limf (x) = A,則lim| f (x)| = |A|.當(dāng)且僅當(dāng)A為何值時(shí)反之也成立? x?x0x?x0
5.證明定理3.1
6.討論下列函數(shù)在x0→0 時(shí)的極限或左、右極限: (1)f(x)=x
x;(2) f(x) = [x]
?2x;x?0.?(3) f (x)=?0;x?0.
?1?x2,x?0.?
7.設(shè) limf (x) = A,證明limf (x???x?x01) = A x
8.證明:對(duì)黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR (x) = 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時(shí),考慮單側(cè)極限).x?x0
習(xí)題
1． 求下列極限：
x2?1 （1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim; ?x?02x2?x?1x?22
x2?1?x?1???1?3x?;
lim(3) lim;(4)
x?12x2?x?1x?0x2?2x3
xn?1(5) limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim
x?1xx?4?1
（7）lim
x?0
?2x?3x?2
70
；
20
a2?x?a?3x?6??8x?5?.
（a>0）;(8) lim
x???x5x?190
2． 利用斂性求極限： (1) lim
x???
x?cosxxsinx
;(2) lim2
x?0xx?4
x?x0
3． 設(shè) limf(x)=A, limg(x)=B.證明：
x?x0
（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;
x?x0
（2）lim[f(x)g(x)]=AB;
x?x0
（3）lim
x?x0
f(x)A
=(當(dāng)B≠0時(shí)) g(x)B
4． 設(shè)
a0xm?a1xm?1???am?1x?am
f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1
b0x?b1x???bn?1x?bn
試求 limf(x)
x???
5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=A.證明
x?x0
x?x0
lim
f(x)=A，
其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0\n
x?0
7.設(shè)limf(x)=A, limg(x)=B.
x?x0
x?x0
(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)
（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x) > g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）： (1) lim ?
x?0
x
x11
lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x
x?x2???xn?n
(3) lim ;(4) lim
x?0x?0x?1
?x?1
x
(5) lim
x??
?x?(提示：參照例1)
x
x?0
x?0
x?0
9．（1）證明：若limf (x3)存在，則limf (x)= lim f (x3)（2）若limf (x2)存在，試問(wèn)是否成立limf (x) =limf (x2) ?
x?0
x?0
x?0
習(xí)題
1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.
n???
n???
2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在
n???
[a,+?)上有上(下)界.
3.(1)敘述極限limf (x)的柯西準(zhǔn)則;
n???
(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf (x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.
n???
n???
4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對(duì)任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都
n??
n??
存在,則所有這極限都相等.
提示: 參見(jiàn)定理3.11充分性的證明.
5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0) =supf(x),f(x0+0)=
0x?u?
?x0?
0x?un(x0)
inff (x)
6.設(shè) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.
x?x0
7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0
x???
8.證明定理3.9
習(xí)題
1.求下列極限
sin2xsinx3
(1) lim;(2) lim
x?0x?0sinx2x
(3) lim
x?
cosxx?
?
tanx?sinxarctanx
lim(5) lim;(6) ; 3x?0x?0xx
sin2x?sin2a1
(7) limxsin ;(8) lim;
x???x?axx?a
;(4) lim
x?0
tanx
; x
?cosx2
(9) lim;(10) lim
x?0x?01?cosxx?1?1
sin4x
2.求下列極限
12?x
(1) lim(1?);(2) lim?1?ax?x(a為給定實(shí)數(shù));
n??x?0x
x
(3) lim?1?tanx?
x?0
cotx
;(4) lim?
?1?x?
?;
x?01?x??
(5) lim(
x???
3x?22x?1?
);(6) lim(1?)?x(?,?為給定實(shí)數(shù))
n???3x?1x
3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計(jì)算下列極限: (1) limnsin
n??
?
x?0n??
??
?
x2
xx???cos?1 2n??22??
?
n
;(2)
習(xí)題
1． 證明下列各式
(1) 2x－x2=O(x) (x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);
+
(3)?x?1?o(1) (x→0);
(4) (1+x)n= 1+ nx+o (x) (x→0)(n 為正整數(shù)) (5) 2x3 + x2=O(x3)(x→∞) ;
(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x→x0)
(7) o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0) 2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：
?x2?1x(1) lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx
x3． 證明定理3.13
4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：
13x3?4
(1) y = ;(2) y = arctan x ;(3)y = 2
xx?2x
5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時(shí)為同階無(wú)窮小量：
(1) sin2x－2sinx ;(2)
－ (1－x); 1?x
(3)?tanx??sinx;(4)
x2?4x3
6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時(shí)為同階無(wú)窮大量：
(1)
x2?x5;(2)x+x2 (2+sinx);
(3) (1+x)(1+x2)…(1+xn).
7． 證明：若S為無(wú)上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)
8． 證明：若f為x→r時(shí)的無(wú)窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r
時(shí)的無(wú)窮大量。
9． 設(shè) f(x)~g(x) (x→x0)，證明：
f ( x )－g ( x ) = o ( f ( x ) )或 f ( x )－g ( x ) = o ( g ( x ) )
總 練 習(xí) 題
1． 求下列極限：
?1
(x?[x])lim([x]?1)(1) lim;(2)??
x?3
x?1
(3) lim(
x???
a?xb?x?a?xb?x)
xx?a
(4) lim
x???
(5)lim
xx?a
x???
(6) lim
?x??x?x??x
x?0
(7) lim?
n??m
,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??
2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：
?x2?1?
(1) lim??ax?b???0 x????x?1??
x(3) limx
(2) lim
x???x???x?2
??x?1?ax?b??0
?x?1?ax?b?0
x?2
3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：
(1) limf(x)?f(2)；(2) limf(x)不存在。
4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點(diǎn)x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的
x?x0
局部保號(hào)性有矛盾嗎？
5． 設(shè)limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出
x?a
g?A
limg(f(x))?B?
x?a
6． 設(shè)f (x)=x cos x。試作數(shù)列
(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0 (n→∞); (2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0 (n→∞); (3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0 (n→∞).
7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無(wú)窮大數(shù)列：
(1) liman?r?1
n??
(2) lim
an?1
?s?1(an≠0,n=1,2,…)
n??an
n2
n2
8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：
(1) lim?1?
?n??
?1??1??(2) lim?1??
n??n??n?
9． 設(shè)liman???，證明
n??
(1) lim
(a1?a2???an)??? n??n
n??
(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：
(1)limn!(2) lim
n??
In(n!)
n??n
11.設(shè)f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得
limf(xn)?A，則有
n??
f (x0－0) =
supf(x)?A
0x?U?(x0)
12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)
x???
13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f (x2) = f (x)，且
f(x)=limf(x)?f(1)lim?
x?0
x???
證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)
14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足
x???
lim(f(x?1)?f(1))?A證明
x???
lim
f(x)
?A x
第三篇：函數(shù)極限
《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
第三章 函數(shù)極限
教學(xué)目的：
1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個(gè)重要極限
和
，并能熟練運(yùn)用；
4.理解無(wú)窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會(huì)利用它們求某些函數(shù)的極限。 教學(xué)重（難）點(diǎn)：
本章的重點(diǎn)是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計(jì)算；難點(diǎn)是海涅定理與柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用。
教學(xué)時(shí)數(shù)：16學(xué)時(shí)
§ 1 函數(shù)極限概念 （3學(xué)時(shí)）
教學(xué)目的：使學(xué)生建立起函數(shù)極限的準(zhǔn)確概念；會(huì)用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關(guān)命題。
教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會(huì)應(yīng)用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關(guān)命題，并能運(yùn)用???語(yǔ)言正確表述函數(shù)不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念。
教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義及其應(yīng)用。
一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等
二、講授新課：
（一） 時(shí)函數(shù)的極限：
- 21 《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
例4 驗(yàn)證
例5 驗(yàn)證
例6 驗(yàn)證
證 由 =
為使
需有
需有
為使
于是, 倘限制 , 就有
例7 驗(yàn)證
例8 驗(yàn)證 ( 類似有
（三）單側(cè)極限:
1．定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法. 幾何意義: 介紹半鄰域
- 23 《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
我們引進(jìn)了六種極限: .以下以極限
,
為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.
二、講授新課：
（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.
1.唯一性:
2.
局部有界性:
3.
局部保號(hào)性:
4.
單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ):
Th 4 若使 ，證 設(shè)
和都有 =
( 現(xiàn)證對(duì) 都存在, 且存在點(diǎn)
的空心鄰域
,
有
註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有
5.6. 以
迫斂性:
”為“ 舉例說(shuō)明.
”, 未必
四則運(yùn)算性質(zhì): ( 只證“+”和“ ”)
（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過(guò)以下幾個(gè)極限：
- 25 《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
例8
例9
例10 已知
求和
補(bǔ)充題:已知
求和 (
) § 3 函數(shù)極限存在的條件（4學(xué)時(shí)）
教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。 教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路。 教學(xué)重點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。 教學(xué)難點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則 運(yùn)用。
教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運(yùn)用。 本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個(gè)充要條件.仍以極限
為例.
一.
Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：
Th 1 設(shè)函數(shù)在,對(duì)任何在點(diǎn)
且
的某空心鄰域
內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.( 證 )
存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具.對(duì)單側(cè)極限,還可加強(qiáng)為
單調(diào)趨于
.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.
- 27 《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)重要極限的證明及運(yùn)用。
教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說(shuō)明應(yīng)用，練習(xí)。 一．
（證） （同理有
）
例1
例2 .例3
例4
例5 證明極限 不存在.二.
證 對(duì)
有
例6
特別當(dāng) 等.例7
例8
- 28
29 《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
三． 等價(jià)無(wú)窮小：
Th 2 ( 等價(jià)關(guān)系的傳遞性 ). 等價(jià)無(wú)窮小在極限計(jì)算中的應(yīng)用: Th 3 ( 等價(jià)無(wú)窮小替換法則 )
幾組常用等價(jià)無(wú)窮小: （見(jiàn)[2]）
例3 時(shí), 無(wú)窮小
與
是否等價(jià)? 例4
四.無(wú)窮大量:
1.定義:
2.性質(zhì):
性質(zhì)1 同號(hào)無(wú)窮大的和是無(wú)窮大.
性質(zhì)2 無(wú)窮大與無(wú)窮大的積是無(wú)窮大. 性質(zhì)3 與無(wú)界量的關(guān)系.
無(wú)窮大的階、等價(jià)關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無(wú)窮小討論, 有平行的結(jié)果.
3.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系:
無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小,非零無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大
習(xí) 題 課（2學(xué)時(shí)）
一、理論概述：
- 31 《數(shù)學(xué)分析》教案
第三章 函數(shù)極限
xbl
例7 .求
.注意 時(shí), 且
.先求
由Heine歸并原則
即求得所求極限
.
例8 求是否存在.
和.并說(shuō)明極限
解 ;
可見(jiàn)極限 不存在.
- - 32
高數(shù)極限證明
重要極限證明
極限證明（共8篇）
證明函數(shù)fx
凸函數(shù)證明
第四篇：函數(shù)極限的定義證明
習(xí)題1?3
1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:
(1)lim(3x?1)?8;x?3
(2)lim(5x?2)?12;x?2
x2?4??4;(3)limx??2x?2
1?4x3
(4)lim?2.
x??2x?12
1證明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3
1證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?3|??時(shí), 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33
1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5
1證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?2|??時(shí), 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25
(3)分析
|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2
x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?2)|??時(shí), 有x??2x?2x?2
(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222
1?4x3111?4x3
?2??, 所以lim證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?)|??時(shí), 有?2.12x?12x?122x??2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:
(1)lim1?x3
2x3
sinxx???1;2(2)limx???x?0.
證明 (1)分析
|x|?1
1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.
證明 因?yàn)?? ?0, ?X?(2)分析
sinxx?0?
12?
, 當(dāng)|x|?X時(shí), 有1x
1?x32x311?x31???, 所以lim?.
x??2x322
1x
??, 即x?
sinxx
|sinx|x
?, 要使
sinx
證明 因?yàn)???0, ?X?
?2
, 當(dāng)x?X時(shí), 有
xsinxx
?0??, 只須
?
.
?0??, 所以lim
x???
?0.
3.當(dāng)x?2時(shí),y?x2?4.問(wèn)?等于多少, 使當(dāng)|x?2|\n
解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設(shè)|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要
|x?2|?
0.001
?0.0002, 取??0.0002, 則當(dāng)0?|x?2|??時(shí), 就有|x2?4|?0.001.5
x2?1x?
34.當(dāng)x??時(shí), y?
x2?1x2?3
?1, 問(wèn)X等于多少, 使當(dāng)|x|>X時(shí), |y?1|\n
解 要使?1?
4x2?3
?0.01, 只|x|?
?3?397, X?.0.01
5.證明函數(shù)f(x)?|x| 當(dāng)x?0時(shí)極限為零.
x|x|
6.求f(x)?, ?(x)?當(dāng)x?0時(shí)的左﹑右極限, 并說(shuō)明它們?cè)趚?0時(shí)的極限是否存在.
xx
證明 因?yàn)?/p>
x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??
x?0
x?0
所以極限limf(x)存在.
x?0
因?yàn)?/p>
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
|x|?x
?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
lim?(x)?lim?(x),??
x?0
x?0
所以極限lim?(x)不存在.
x?0
7.證明: 若x???及x???時(shí), 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則limf(x)?A.
x??
證明 因?yàn)閘imf(x)?A, limf(x)?A, 所以??>0,
x???
x???
?X1?0, 使當(dāng)x??X1時(shí), 有|f(x)?A|?? ;?X2?0, 使當(dāng)x?X2時(shí), 有|f(x)?A|?? .
取X?max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|?X時(shí), 有|f(x)?A|?? , 即limf(x)?A.
x??
8.根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0 時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.
證明 先證明必要性.設(shè)f(x)?A(x?x0), 則??>0, ???0, 使當(dāng)0\n
|f(x)?A|\n
因此當(dāng)x0??\n
|f(x)?A|\n
這說(shuō)明f(x)當(dāng)x?x0時(shí)左右極限都存在并且都等于A .再證明充分性.設(shè)f(x0?0)?f(x0?0)?A, 則??>0,??1>0, 使當(dāng)x0??10, 使當(dāng)x0\n
取??min{?1, ?2}, 則當(dāng)0\n
| f(x)?A|\n
即f(x)?A(x?x0).
9.試給出x??時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.
解 x??時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當(dāng)x??時(shí)的極限存在? 則存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時(shí)? |f(x)|?M?
證明 設(shè)f(x)?A(x??)? 則對(duì)于? ?1? ?X?0? 當(dāng)|x|?X時(shí)? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?
這就是說(shuō)存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時(shí)? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|?
第五篇：元函數(shù)極限證明
二元函數(shù)極限證明
二元函數(shù)極限證明
設(shè)p=f(x,y),p0=(a,b)，當(dāng)p→p0時(shí)f(x,y)的極限是x,y同時(shí)趨向于a,b時(shí)所得到的稱為二重極限。
此外，我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時(shí)的極限,稱為二次極限。
我們必須注意有以下幾種情形：’
(1)兩個(gè)二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在 (2)兩個(gè)二次極限存在而不相等
(3)兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在 2 函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在，不妨設(shè)：limf(x)=a(x→x0) 根據(jù)定義:對(duì)任意ε>0,存在δ>0,使當(dāng)|x-x0|
而|x-x0|
又因?yàn)棣庞腥我庑?故可取ε=1,則有:|f(x)-a|0,當(dāng)任意x屬于x0的某個(gè)鄰域u(x0;δ)時(shí),有|f(x)| 證畢
3首先，我的方法不正規(guī)，其次，正確不正確有待考察。
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二元函數(shù)極限證明
1，y以y=x^2-x的路徑趨于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨于0結(jié)果是無(wú)窮大。
2，3可以用類似的方法，貌似同濟(jì)書上是這么說(shuō)的，二元函數(shù)在該點(diǎn)極限存在，是p(x,y)以任何方式趨向于該點(diǎn)。
4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在
當(dāng)x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動(dòng)的所以不存在
而當(dāng)x->0,y->0時(shí)
由|sin(1/x)|0,y->0時(shí)，f的極限就為0 這個(gè)就是你說(shuō)的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說(shuō)的
正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮或無(wú)窮，我想這個(gè)就可以了 就我這個(gè)我就線了好久了 5
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二元函數(shù)極限證明
(一)時(shí)函數(shù)的極限： 以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.) 幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語(yǔ)言介紹幾何意義.例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證…… (二)時(shí)函數(shù)的極限： 由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有
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二元函數(shù)極限證明
=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí)) 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。
教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。 教學(xué)方法：講練結(jié)合。 一、組織教學(xué)：
我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：
(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號(hào)性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有) 註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說(shuō)明.5.迫斂性: 6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)
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二元函數(shù)極限證明
(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過(guò)以下幾個(gè)極限： (注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值) 這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過(guò)有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.例1(利用極限和) 例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4 例5例6例7 §2二元函數(shù)的極限 (一)教學(xué)目的：
掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．
(二)教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的極限的定義；累次極限． 基本要求：
(1)掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法．
(2)較高要求：掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，能用來(lái)處理極限存在性問(wèn)題．
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二元函數(shù)極限證明
(三)教學(xué)建議：
(1)要求學(xué)生弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會(huì)他們求多元函數(shù)極
限的方法．
(2)對(duì)較好學(xué)生講清重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，通過(guò)舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法．
一二元函數(shù)的極限
先回憶一下一元函數(shù)的極限：limf(x)?a的“???”定義(c31)： x?x0 0設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一空心鄰域u(x0,?1)內(nèi)由定義，如果對(duì) ???0,當(dāng)
x?u(x0,?)
，
即
|x?x0|??
時(shí)
，
都
有|f(x)?a|??，???0,???1，
則稱x?x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a.類似的，我們也可以定義二元函數(shù)的極限如下：
設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為定義在d?r2上的二元函數(shù)，在點(diǎn)p0(x0,y0)為d的一個(gè)聚點(diǎn)，
a是一個(gè)確定的常數(shù)，如果對(duì)???0,???0，使得當(dāng)p(x,y)?u(p0,?)?d時(shí)，0都有|f(p)?a|??，則稱f在d上當(dāng)p?p0時(shí)，以a為極限。記作
p?p0p?dlimf(p)?a
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二元函數(shù)極限證明
也可簡(jiǎn)寫為limf(p)?a或 p?p0(x,y)?(x0,y0) 2limf(x,y)?a例1用定義驗(yàn)證 2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1| ?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1| 限制在（2，1）的鄰域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1} |x?3|?6, |x?y?1|?6 取??min{1,?/6}，則有 |x?xy?y|?? 由二元函數(shù)極限定義lim (x,y)?(2,1) (x?xy?y)?7 22 22 ?x?y ,(x,y)?(0,0)?xy22 例2f(x,y)??x?y， ?0,(x,y)?(0,0)?
證
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二元函數(shù)極限證明
證明lim (x,y)?(0,0) f(x,y)?0 x?yx?y 22 22 證|f(x,y)|?|xy 所以 lim (x,y)?(0,0) |?|xy| lim (x,y)?(0,0) |f(x,y)|?lim (x,y)?(0,0) |xy|?0 |f(x,y)|?0 對(duì)于二元函數(shù)的極限的定義，要注意下面一點(diǎn)： p?p0
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二元函數(shù)極限證明
limf(p)?a是指：p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)，包括沿任何直線，沿任
何曲線趨于p0(x0,y0)時(shí)，f(x,y)必須趨于同一確定的常數(shù)。 對(duì)于一元函數(shù)，x僅需沿x軸從x0的左右兩個(gè)方向趨于x0，但是對(duì)于二元函數(shù)，p趨于p0的路線有無(wú)窮多條，只要有兩條路線，p趨于p0時(shí)，函數(shù)f(x,y)的值趨于不同的常數(shù)，二元函數(shù)在p0點(diǎn)極限就不存在。
?1,0?y?x2 例1二元函數(shù)f(x,y)?? ?0,rest 請(qǐng)看圖像（x62），盡管p(x,y)沿任何直線趨于原點(diǎn)時(shí)f(x,y)都趨于零，但也不能說(shuō)該函數(shù)在原點(diǎn)的極限就是零，因?yàn)楫?dāng)p(x,y)沿拋物線y?kx,0?k?1時(shí)，f(x,y)的值趨于１而不趨于零，所以極限不存在。
(考慮沿直線y?kx的方向極限).?x2y ,? 例2設(shè)函數(shù)f(x,y)??x2?y2 ?0,? (x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) 求證limf(x,y)?0
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二元函數(shù)極限證明
x?0 y?0 證明因?yàn)閨f(x,y)?0|? x|y|x?y ? x|y|x ?|y| 所以，當(dāng)(x,y)?(0,0)時(shí)，f(x,y)?0。
請(qǐng)看它的圖像，不管p(x,y)沿任何方向趨于原點(diǎn)，f(x,y)的值都趨于零。
通常為證明極限limf(p)不存在,可證明沿某個(gè)方向的極限不存在,或證明沿某兩
p?p0 個(gè)方向的極限不相等,或證明方向極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意,沿任何方向的極限存在且相等??全面極限存在.例3 設(shè)函數(shù)
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) ?xy ,?22 f(x,y)??x?y
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二元函數(shù)極限證明
?0,? 證明函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)處極限不存在。 證明盡管p(x,y)沿ｘ軸和ｙ軸
趨于原點(diǎn)時(shí)(f(x,y)的值都趨于零，但沿直線y?mx趨于原點(diǎn)時(shí) x?mxx?(mx) f(x,y)?? mx 22 (1?m)x ? m1?m 沿斜率不同的直線趨于原點(diǎn)時(shí)極限不一樣，請(qǐng)看它的圖象,例１沿任何路線趨于原點(diǎn)時(shí)，
極
限都是0，但例２沿不同的路線趨于原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，所以其極限不存在。
例4 非正常極限極限 lim (x,y)?(x0,y0)
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二元函數(shù)極限證明
判別函數(shù)f(x,y)? xy?1?1x?y 在原點(diǎn)是否存在極限.f(x,y)???的定義: 12x?3y 例1設(shè)函數(shù)f(x,y)?證明limf(x,y)?? x?0y?0 證| 12x?3y |?| 13(x?y) | 只要取?? 16m |x?0|??,|y?0|??時(shí)，都有 | 12x?3y16? 22 |?| 13(x?y)
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二元函數(shù)極限證明
| ??m 12x?3y 請(qǐng)看它的圖象，因此是無(wú)窮大量。 例2求下列極限:i) lim xyx?y 22 ;ii) (x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0) lim sinxyy ; iii) (x,y)?(0,0) lim xy?1?1xy ;iv) (x,y)?(0,0) lim
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二元函數(shù)極限證明
ln(1?x?y) x?y 22 .二.累次極限:累次極限
前面講了p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)時(shí)的極限，我們稱它為二重極限，對(duì)于兩個(gè)自變量x,y依一定次序趨于x0,y0時(shí)f(x,y)的極限，稱為累次極限。對(duì)于二元函數(shù)f(x,y)在p0(x0,y0)的累次極限由兩個(gè)
limlimf(x,y)和limlimf(x,y) y?y0x?x0 x?x0y?y0 例1 f(x,y)? xyx?yx?yx?y 222 ,求在點(diǎn)(0,0)的兩個(gè)累次極限.22 例2f(x,y)?,求在點(diǎn)(0,0)的兩個(gè)累次極限.例3f(x,y)?xs(請(qǐng)你支持：)in
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二元函數(shù)極限證明
1y ?ysin 1x ,求在點(diǎn)(0,0)的兩個(gè)累次極限.二重極限與累次極限的關(guān)系: （１）兩個(gè)累次極限可以相等也可以不相等，所以計(jì)算累次極限
例函數(shù)f(x,y)? x?y?x?y x?y 22 的兩個(gè)累次極限是y?yyx?xx 22 limlim x?y?x?y x?yx?y?x?y x?y y?0x?0 ?lim y?0
15 / 29 時(shí)一定要注意不能隨意改變它們的次序。二元函數(shù)極限證明
?lim(y?1)??1 y?0 ?lim(x?1)?1 x?0 limlim x?0y?0 ?lim x?0 （２）兩個(gè)累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在例f(x,y)? xyx?y xyx?y ，兩個(gè)累次極限都存在 limlim y?0x?0 ?0,limlim xyx?y x?0y?0 ?0
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二元函數(shù)極限證明
但二重極限卻不存在，事實(shí)上若點(diǎn)p(x,)沿直線y?kx趨于原點(diǎn)時(shí)，
kx f(x,y)? x?(kx) ? k1?k 二重極限存在也不能保證累次極限存在
二重極限存在時(shí),兩個(gè)累次極限可以不存在.例函數(shù)f(x,y)?xsin 1y?ysin 1x 由|f(x,y)|?|x|?|y|?0,(x,y)?(0,0).可見(jiàn)二重極限存在,但 1x limsin x?0 和limsin y?0 1y 不存在，從而兩個(gè)累次極限不存在。 （4）二重極限極限lim
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二元函數(shù)極限證明
(x,y)?(x0,y0) f(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存 x?x0y?y0 在,則必相等.(證) （5）累次極限與二重極限的關(guān)系
若累次極限和二重極限都存在，則它們必相等 二元函數(shù)極限的研究 作者：鄭露遙指導(dǎo)教師：楊翠
摘要函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，本文討論了二元函數(shù)極限的定義、二元函數(shù)極限存在或不存在的判定方法、求二元函數(shù)極限的方法、簡(jiǎn)單討論二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的關(guān)系以及二元函數(shù)極限復(fù)雜的原因、最后討論二重極限與累次極限的關(guān)系。
關(guān)鍵詞二元函數(shù)極限、累次極限、二重極限、連續(xù)性、判別法、洛必達(dá)法則、運(yùn)算定理
1引言
函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容,關(guān)于一元函數(shù)的極限及其求法,各種教材中都有詳盡的說(shuō)明。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如,在極運(yùn)算法則上,它們是一致的,但隨著變量個(gè)數(shù)的增加,二元函數(shù)極限比一元函數(shù)
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二元函數(shù)極限證明
極限變得復(fù)雜得多,但目前的各類教材、教學(xué)參考書中有關(guān)二元函數(shù)極限的求法介紹不夠詳二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個(gè)基本概念,它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個(gè)定值時(shí),函數(shù)值的變化趨勢(shì)。是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的問(wèn)題。但是,一般來(lái)說(shuō),二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限,無(wú)論從計(jì)算還是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問(wèn)題作如下探討求一元函數(shù)的極限問(wèn)題,主要困難多數(shù)集中于求未定型極限問(wèn)題,而所有未定型的極限又總可轉(zhuǎn)化為兩類基本型即00與∞∞型,解決這兩類基本未定型的有力工具是洛泌達(dá)(lhospital)法則。類似地,二元函數(shù)基本未定型的極限問(wèn)題也有相似的洛泌達(dá)法則。為了敘述上的方便,對(duì)它的特殊情形(即(x0,y0)=(0,0))作出如下研究,并得到相應(yīng)的法則與定理。二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個(gè)基本概念,它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個(gè)定值時(shí),函數(shù)
值的變化趨勢(shì)。是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的問(wèn)題。但是,一 般來(lái)說(shuō),二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限,無(wú)論從計(jì)算還 是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問(wèn)題作如 下探討。
§2.3二元函數(shù)的極限與連續(xù) 定義
設(shè)二元函數(shù)有意義,若存在
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二元函數(shù)極限證明
常數(shù)a, 都有
則稱a是函數(shù)當(dāng)點(diǎn)趨于點(diǎn) 或 或
趨于點(diǎn)時(shí)的極限,記作 。
的方式無(wú)關(guān),即不,當(dāng)（即）時(shí)，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)或 必須注意這個(gè)極限值與點(diǎn) 論p以什么方
向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向
分接近,就能使。只要p與充與a接近到預(yù)先任意指定的程度。注意：點(diǎn)p趨于點(diǎn)點(diǎn)方式可有無(wú)窮多
種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個(gè)單側(cè)極限要復(fù)雜的多（圖8-7）。 圖8-7 同樣我們可用歸結(jié)原則,若發(fā)現(xiàn)點(diǎn)p按兩個(gè)特殊的路徑趨于點(diǎn)時(shí), 極限 在該點(diǎn)
存在,但不相等,則可以判定元函數(shù)極限不存在的重要方法之一。 極限不存在。這是判斷多
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二元函數(shù)極限證明
一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論,在二元函數(shù)極
限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。例如若 有 ,其中 。
求多元函數(shù)的極限,一般都是轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來(lái)求,或利用夾逼定理
來(lái)計(jì)算。例4求。解由于 , 而
,根據(jù)夾逼定理知 ,所以。 a≠0) 。 解 例 求 （
。例6求。解
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由于理知
且,所以根據(jù)夾逼定 .例7 研究函數(shù) 在點(diǎn)
處極限是否存在。解當(dāng)x2 +y2≠0時(shí)，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于 （0，0 ）的極限，有值，可得到不同的極限值,所以極限 不存在,但
,。很顯然，對(duì)于不同的k 。
注意：極限方式的 的區(qū)別,前面兩個(gè)求
本質(zhì)是兩次求一元函數(shù)的極限,我們稱為累次極限,而最后一個(gè)是求二元函數(shù)的
極限,我們稱為求二重極限。 例8 設(shè)函數(shù)極限都不存在,因 為對(duì)任何
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,當(dāng) 時(shí) , 。它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次 的第二項(xiàng)不存在極限；同理對(duì)任何 時(shí),的第一項(xiàng)也不存在極限, 但是因此 。
由例7知,兩次累次極限存在,但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存
在,但二個(gè)累次極限不存在。我們有下面的結(jié)果:定理1若累次極限
都存在,則
三者相等（證明略）。推論 若但不相等, 則二重極限 不 存在 和二重極 限
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, 由于 , 存在。定義設(shè)
在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有意義, 且稱 函 數(shù) ,則 在 點(diǎn) 處 連 續(xù) , 記
上式稱為函數(shù)(值)的全增量 。 則。
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定義 增量。
為函數(shù)(值)對(duì)x的偏 二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為 偏增量。 若 斷點(diǎn),若 在點(diǎn)
為函數(shù)（值）對(duì)y的 處不連續(xù), 則稱點(diǎn) 是 的間 在某區(qū)域
在區(qū)域g上連續(xù)。若 在閉區(qū)域g g上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱的每一內(nèi)點(diǎn)都連續(xù),并在g的連界點(diǎn) 處成立 , 則稱
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為連續(xù)曲面。
在閉域g上連續(xù)。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱
關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì),如最值定理、介值定理、cantor 定理,對(duì)于
二元函數(shù)也相應(yīng)成立?？梢宰C明如下的重要結(jié)果：定理2設(shè) 在平面有界閉區(qū)域g上連續(xù),則
（1）必在g上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2 ） ,當(dāng) 時(shí),都有
。以上關(guān)于二元函數(shù)的 在g上一致連續(xù),即
極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。 函數(shù)極限的證明 (一)時(shí)函數(shù)的極限： 以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.) 幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語(yǔ)言介紹幾何意義.
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二元函數(shù)極限證明
例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證…… (二)時(shí)函數(shù)的極限： 由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有 =§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí)) 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。
教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。
27 / 29 等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。二元函數(shù)極限證明
教學(xué)方法：講練結(jié)合。 一、組織教學(xué)：
我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：
(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號(hào)性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有) 註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說(shuō)明.5.迫斂性: 6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)
(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過(guò)以下幾個(gè)極限： (注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值) 這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過(guò)有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.
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例1(利用極限和) 例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4 例5例6例7 函數(shù)極限證明 函數(shù)極限的性質(zhì)證明 函數(shù)極限的定義證明 利用函數(shù)極限定義證明11 用定義證明函數(shù)極限方法總結(jié)
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