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第一篇：極限的四則運算教案

極限的四則運算教案

教學目標

1．熟練運用極限的四則運算法則，求數(shù)列的極限．

2．理解和掌握三個常用極限及其使用條件．培養(yǎng)學生運用化歸轉(zhuǎn)化和分類討論的思想解決數(shù)列極限問題的能力．

3．正確認識極限思想和方法是從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質(zhì)變的一種辯證唯物主義的思想．

教學重點與難點

使用極限四則運算法則及3個常用極限時的條件． 教學過程設計

（一）運用極限的四則運算法則求數(shù)列的極限

師：高中數(shù)學中的求極限問題，主要是通過極限的四則運算法則，把所求極限轉(zhuǎn)化成三個常用極限：

例1 求下列極限：

師：（1）中的式子如何轉(zhuǎn)化才能求出極限． 生：可以分子、分母同除以n3，就能夠求出極限．

師：（2）中含有冪型數(shù)，應該怎樣轉(zhuǎn)化？

師：分子、分母同時除以3n-1結果如何？ 生：結果應該一樣．

師：分子、分母同時除以2n或2n-1，能否求出極限？

（二）先求和再求極限 例2 求下列極限：

由學生自己先做，教師巡視．

判斷正誤．

生：因為極限的四則運算法則只適用于有限個數(shù)列加、減、乘、除的情況．此題當n→∞，和式成了無限項的和，不能使用運算法則，所以解法1是錯的． 師：解法2先用等差數(shù)列的求和公式，求出分子的和，滿足了極限四則運算法則的條件，從而求出了極限．第（2）題應該怎樣做？

生：用等比數(shù)列的求和公式先求出分母的和．

=12． 師：例2告訴我們不能把處理有限項和問題的思路及方法隨意地搬到無限項和的問題中去，要特別注意極限四則運算法則的適用條件．

例3求下列極限：

師：本例也應該先求出數(shù)列的解析式，然后再求極限，請同學觀察所給數(shù)列的特點，想出對策．

生：（1）題是連乘積的形式，可以進行約分變形．

生：（2）題是分數(shù)和的形式，可以用“裂項法”變形．

例4設首項為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項和為Sn，

師：等比數(shù)列的前n項和Sn怎樣表示？

師：看來此題要分情況討論了．

師：綜合兩位同學的討論結果，解法如下：

師：本例重點體現(xiàn)了分類討論思想的運用能夠使復雜問題條理化．同

（三）公比絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項和的極限

師：利用無窮等比數(shù)列所有各項和的概念以及求極限的知識，我們已經(jīng)得到了公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列各項和的公式：

例5計算：

題目不難，可由學生自己做． 師：（1）中的數(shù)列有什么特點？

師：（2）中求所有奇數(shù)項的和實質(zhì)是求什么？

（1）所給數(shù)列是等比數(shù)列； （2）公比的絕對值小于1；

（四）利用極限的概念求數(shù)的取值范圍

師：（1）中a在一個等式中，如何求出它的值． 生：只要得到一個含有a的方程就可以求出來了．

師：同學能夠想到用方程的思想解決問題非常好，怎樣得到這個方程？ 生：先求極限．

師：（2）中要求m的取值范圍，如何利用所給的等式？

|q|＜1，正好能得到一個含有m的不等式，解不等式就能求出m的范圍．

解得0＜m＜4．

師：請同學歸納一下本課中求極限有哪些類型？ 生：主要有三種類型：

（1）利用極限運算法則和三個常用極限，求數(shù)列的極限； （2）先求數(shù)列的前n項和，再求數(shù)列的極限； （3）求公比絕對值小于1的無窮等比數(shù)列的極限． 師：求數(shù)列極限應注意的問題是什么？ 生甲：要注意公式使用的條件．

生乙：要注意有限項和與無限項和的區(qū)別與聯(lián)系．

上述問答，教師應根據(jù)學生回答的情況，及時進行引導和必要的補充．

（五）布置作業(yè) 1．填空題：

2．選擇題：

則x的取值范圍是[

]．

的值是[

]．

A．2

B．-2

C．1

D．-1 作業(yè)答案或提示

（7）a． 2．選擇題：

（2）由于所給兩個極限存在，所以an與bn的極限必存在，得方程

以上習題教師可以根據(jù)學生的狀況，酌情選用． 課堂教學設計說明

1．掌握常用方法，深化學生思維．

數(shù)學中對解題的要求，首先是學生能夠按部就班地進行邏輯推理，尋找最常見的解題思路，當問題解決以后，教師要引導學生立即反思，為什么要這么做？對常用方法只停留在會用是不夠的，應該對常用方法所體現(xiàn)的思維方式進行深入探討，內(nèi)化為自身的認知結構，然后把這種思維方式加以運用．例1的設計就是以此為目的的．

2．展示典型錯誤，培養(yǎng)嚴謹思維．

求數(shù)列極限的基本方法，學生并不難掌握，因此，例2采取讓學生自己做的方式，有針對性地展示出此類題目在解題中容易出現(xiàn)的典型錯誤，讓學生從正確與謬誤的對比中，辨明是非、正誤，強化求極限時應注意的條件，培養(yǎng)思維的嚴謹性．這種做法，會給學生留下難忘的印象，收到較好的教學效果．

3．貫穿數(shù)學思想，提高解題能力．

本課從始至終貫穿著轉(zhuǎn)化的思想．而例4中的分類討論思想，例6中的方程思想的應用，都對問題的解決，起到了決定性的作用，使復雜問題條理化，隱藏的問題明朗化．因此，只有培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)，在教學過程中不斷滲透和深化數(shù)學思想方法，才能達到系統(tǒng)概括知識內(nèi)容，溝通各類知識的縱橫聯(lián)系，提高解題能力的要求．

第二篇：函數(shù)極限證明

函數(shù)極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當x>N1,有a/MN2時，0Ni時，0

那么當x>N,有

(a/M)^n

第三篇：函數(shù)極限

習題

1.按定義證明下列極限:

(1) limx???6x?5=6 ;(2) lim(x2-6x+10)=2; x?2x

x2?5?1 ;(4) lim?(3) lim2x???x?1x?2

(5) limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據(jù)定義2敘述limf (x) ≠ A.x?x0

3.設limf (x) = A.,證明limf (x0+h) = A.x?x0h?0

4.證明:若limf (x) = A,則lim| f (x)| = |A|.當且僅當A為何值時反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數(shù)在x0→0 時的極限或左、右極限: (1)f(x)=x

x;(2) f(x) = [x]

?2x;x?0.?(3) f (x)=?0;x?0.

?1?x2,x?0.?

7.設 limf (x) = A,證明limf (x???x?x01) = A x

8.證明:對黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR (x) = 0 , x0∈[0,1](當x0=0或1時,考慮單側極限).x?x0

習題

1． 求下列極限：

x2?1 （1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim; ?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3) lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5) limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70

；

20

a2?x?a?3x?6??8x?5?.

（a>0）;(8) lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限： (1) lim

x???

x?cosxxsinx

;(2) lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設 limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當B≠0時) g(x)B

4． 設

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，

其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0\n

x?0

7.設limf(x)=A, limg(x)=B.

x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x) > g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）： (1) lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3) lim ;(4) lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5) lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf (x3)存在，則limf (x)= lim f (x3)（2）若limf (x2)存在，試問是否成立limf (x) =limf (x2) ?

x?0

x?0

x?0

習題

1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結原則,并應用它證明limcos x不存在.

n???

n???

2.設f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在

n???

[a,+?)上有上(下)界.

3.(1)敘述極限limf (x)的柯西準則;

n???

(2)根據(jù)柯西準則敘述limf (x)不存在的充要條件,并應用它證明limsin x不存在.

n???

n???

4.設f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.

提示: 參見定理3.11充分性的證明.

5設f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0) =supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff (x)

6.設 D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.

x?x0

7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1) lim;(2) lim

x?0x?0sinx2x

(3) lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5) lim;(6) ; 3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7) limxsin ;(8) lim;

x???x?axx?a

;(4) lim

x?0

tanx

; x

?cosx2

(9) lim;(10) lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1) lim(1?);(2) lim?1?ax?x(a為給定實數(shù));

n??x?0x

x

(3) lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4) lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5) lim(

x???

3x?22x?1?

);(6) lim(1?)?x(?,?為給定實數(shù))

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結原則計算下列極限: (1) limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習題

1． 證明下列各式

(1) 2x－x2=O(x) (x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1) (x→0);

(4) (1+x)n= 1+ nx+o (x) (x→0)(n 為正整數(shù)) (5) 2x3 + x2=O(x3)(x→∞) ;

(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x→x0)

(7) o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0) 2． 應用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1) lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1) y = ;(2) y = arctan x ;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當x→0時為同階無窮小量：

(1) sin2x－2sinx ;(2)

－ (1－x); 1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當x→∞時為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2 (2+sinx);

(3) (1+x)(1+x2)…(1+xn).

7． 證明：若S為無上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時的無窮大量。

9． 設 f(x)~g(x) (x→x0)，證明：

f ( x )－g ( x ) = o ( f ( x ) )或 f ( x )－g ( x ) = o ( g ( x ) )

總 練 習 題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1) lim;(2)??

x?3

x?1

(3) lim(

x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4) lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6) lim

?x??x?x??x

x?0

(7) lim?

n??m

,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：

?x2?1?

(1) lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3) limx

(2) lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：

(1) limf(x)?f(2)；(2) limf(x)不存在。

4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的

x?x0

局部保號性有矛盾嗎？

5． 設limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設f (x)=x cos x。試作數(shù)列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0 (n→∞); (2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0 (n→∞); (3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0 (n→∞).

7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數(shù)列：

(1) liman?r?1

n??

(2) lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結論求極限：

(1) lim?1?

?n??

?1??1??(2) lim?1??

n??n??n?

9． 設liman???，證明

n??

(1) lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結果求極限：

(1)limn!(2) lim

n??

In(n!)

n??n

11.設f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f (x0－0) =

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f (x2) = f (x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x

第四篇：1利用極限的四則運算法則

極限四則運算法則的條件是充分而非必要的 ，因此，利用極限四則運算法則求函數(shù)極限時，必須對所給的函數(shù)逐一進行驗證它是否滿足極限四則運算法則條件 ，滿足條件者。方能利用極限四則運算法則進行求之。不滿足條件者 ，不能直接利用極限四則運算法則求之。但是，井非不滿足極限四則運算法則條件的函數(shù)就沒有極限 ，而是需將函數(shù)進行恒等變形 ，使其符合條件后 ，再利用極限四則運算法則求之。而對函數(shù)進行恒等變形時，通常運用一些技巧如拆項、分子分母同時約去零因子、分子分母有理化、通分、變量替換等等。 例 1

求 lim( x 2 3x + 5).

x→ 2

解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5

= (lim x) 2 3 lim x + lim 5

= 2 2 3 2 + 5 = 3.

x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2

第五篇：函數(shù)極限的四則運算法則學案

課題：§13-3函數(shù)極限的四則運算法則

（一）

學習目標：掌握函數(shù)極限的運算法則，并會求簡單的函數(shù)的極限

學習重點：運用函數(shù)極限的運算法則求極限

學習難點：函數(shù)極限法則的運用

學習過程

一、知識復習

1．復習數(shù)列極限的四則運算法則(包括乘方的極限的法則)．

2．復習幾個簡單函數(shù)的極限．即：

二、課堂學習

1．指導

對上述定理的證明作簡要說明．

2.探究

問題1 根據(jù)函數(shù)極限定義和函數(shù)的圖象，說出下列極限，并驗證所給結論．

(其中f(x)為有理分函數(shù))．

所以，若f(x)為有理整函數(shù)，則有

解：因為當x→x0時，分子、分母皆有極限且分母的極限不為零，因此有

判斷下列各極限是否存在？如果存在，求其極限；如果不存在，說明理由．

三、檢測

1．求下列極限：

2．求下列極限：

四、學習小結