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第一篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會

|Xn+1-A|

以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|Xn-A|

|Xn-1-A|

……

|X2-A|

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|

2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1

設(shè)x(k)

x(k+1)=√

3當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0

4

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。。Lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實質(zhì)就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進(jìn)去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會學(xué)的)

第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第二篇：函數(shù)極限的定義證明

習(xí)題1?3

1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim(3x?1)?8;x?3

(2)lim(5x?2)?12;x?2

x2?4??4;(3)limx??2x?2

1?4x3

(4)lim?2.

x??2x?12

1證明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3

1證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33

1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5

1證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25

(3)分析

|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2

x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2

(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222

1?4x3111?4x3

?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim1?x3

2x3

sinxx???1;2(2)limx???x?0.

證明 (1)分析

|x|?1

1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.

證明 因為?? ?0, ?X?(2)分析

sinxx?0?

12?

, 當(dāng)|x|?X時, 有1x

1?x32x311?x31???, 所以lim?.

x??2x322

1x

??, 即x?

sinxx

|sinx|x

?, 要使

sinx

證明 因為???0, ?X?

?2

, 當(dāng)x?X時, 有

xsinxx

?0??, 只須

?

.

?0??, 所以lim

x???

?0.

3.當(dāng)x?2時,y?x2?4.問?等于多少, 使當(dāng)|x?2|\n

解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設(shè)|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要

|x?2|?

0.001

?0.0002, 取??0.0002, 則當(dāng)0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0.001.5

x2?1x?

34.當(dāng)x??時, y?

x2?1x2?3

?1, 問X等于多少, 使當(dāng)|x|>X時, |y?1|\n

解 要使?1?

4x2?3

?0.01, 只|x|?

?3?397, X?.0.01

5.證明函數(shù)f(x)?|x| 當(dāng)x?0時極限為零.

x|x|

6.求f(x)?, ?(x)?當(dāng)x?0時的左﹑右極限, 并說明它們在x?0時的極限是否存在.

xx

證明 因為

x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??

x?0

x?0

所以極限limf(x)存在.

x?0

因為

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

|x|?x

?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

lim?(x)?lim?(x),??

x?0

x?0

所以極限lim?(x)不存在.

x?0

7.證明: 若x???及x???時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則limf(x)?A.

x??

證明 因為limf(x)?A, limf(x)?A, 所以??>0,

x???

x???

?X1?0, 使當(dāng)x??X1時, 有|f(x)?A|?? ;?X2?0, 使當(dāng)x?X2時, 有|f(x)?A|?? .

取X?max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|?X時, 有|f(x)?A|?? , 即limf(x)?A.

x??

8.根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.

證明 先證明必要性.設(shè)f(x)?A(x?x0), 則??>0, ???0, 使當(dāng)0\n

|f(x)?A|\n

因此當(dāng)x0??\n

|f(x)?A|\n

這說明f(x)當(dāng)x?x0時左右極限都存在并且都等于A .再證明充分性.設(shè)f(x0?0)?f(x0?0)?A, 則??>0,??1>0, 使當(dāng)x0??10, 使當(dāng)x0\n

取??min{?1, ?2}, 則當(dāng)0\n

| f(x)?A|\n

即f(x)?A(x?x0).

9.試給出x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.

解 x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當(dāng)x??時的極限存在? 則存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時? |f(x)|?M?

證明 設(shè)f(x)?A(x??)? 則對于? ?1? ?X?0? 當(dāng)|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?

這就是說存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|?