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第一篇：導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用舉例

江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 學(xué)士學(xué)位論文

導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用舉例

Examples of applications of the derivative

and differential

姓 名：吳文才

學(xué) 號：0707010193

學(xué) 院：數(shù)信學(xué)院

專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

班 級：07數(shù)學(xué)（3）班

指導(dǎo)老師：桂國祥 (講師）

完成時間：2011年2月22日

導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用

吳文才

【摘要】本文通過對導(dǎo)數(shù)與微分的基本理論來解決數(shù)學(xué)中的相關(guān)問題，通過例題從簡單應(yīng)用和綜合應(yīng)用來說明導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用，如在函數(shù)單調(diào)性、極值，不等式證明、實(shí)際問題應(yīng)用介紹，還有在高等數(shù)學(xué)中運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與微分求不定式極限的介紹。同樣在實(shí)際中利用微分把非線性函數(shù)線性化，復(fù)雜的計(jì)算簡單化，把導(dǎo)數(shù)引入經(jīng)濟(jì)學(xué), 使經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的對象從常量進(jìn)入變量, 可以說運(yùn)動進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)學(xué),, 辯證法進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)學(xué), 這在經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展史上具有重要的意義。來說明導(dǎo)數(shù)與微分的重要性，以及在數(shù)學(xué)生活領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 微分 函數(shù) 極值 近似值

Examples of applications of the derivative and differential

Wu wen cai

【Abstract 】 Based on the basic theories of differential and derivative, this paper aims to solve the questions related in mathematics and make an illustration of the application of derivative and differential through the simple application and comprehensive application by instances, such as introduction of application in functional monotonic, extreme, inequality proof and practical questions, and to introduce the methods of using derivatives and differential in higher mathematics to solve questions of quadrate infinitive limit. As well as mineralizing the nonlinear function and the simplification of complex calculation by differential in practice, introducing derivative into the economics research to turn the objects from constant into variables, thus movements and dialectics entering economics, which is a landmark with a vital significance in the history of Economics. The importance of derivative and differential, along with the wide application in mathematics and daily life will both be illustrated in this paper.

【Keywords 】derivative differentia functions extreme approximation

目錄

1 引言 . ............................................................. 1

2 預(yù)備知識 . ......................................................... 2

3導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用 .................................................. 6

3.1導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用 . .......................................... 6

3.1.1求函數(shù)極值和最值 ....................................... 6

3.1.2求函數(shù)的解析式 ......................................... 8

3.1.3判斷函數(shù)的周期性，奇偶性 ............................... 9

3.1.4求曲線的切線 ........................................... 9

3.1.5導(dǎo)數(shù)的定義求極限 ...................................... 11

3.2導(dǎo)數(shù)解決不等式問題 . ......................................... 12

3.2.1構(gòu)造輔助證明不等式 .................................... 12

3.2.2構(gòu)造輔助求不等式參數(shù)的范圍 ............................ 14

3.2.3微分中值定理解決不等式問題 ............................ 14

3.3 洛必達(dá)法則求未定式的極限 ................................... 16 03.3.1型不定式極限 . ........................................ 16 0

∞3.3.2型不定式極限 ........................................ 17 ∞

3.3.3其他類型不定式極限 .................................... 18

3.4微分在近似值中的應(yīng)用 . ....................................... 19

3.4.1計(jì)算函數(shù)的近似值 ...................................... 19

3.4.2誤差估計(jì) .............................................. 20

3.5導(dǎo)數(shù)與微分證明恒等式 . ....................................... 20

3.6導(dǎo)數(shù)與微分探究方程根的存在性或唯一性 . ....................... 21

3.7導(dǎo)數(shù)與微分的綜合應(yīng)用 . ....................................... 23

3.7.1導(dǎo)數(shù)與微分的實(shí)際問題建模 .............................. 23

3.7.2導(dǎo)數(shù)在微觀經(jīng)濟(jì)中的簡單應(yīng)用 ............................ 26

4小結(jié) ............................................................. 27

參考文獻(xiàn) . .......................................................... 28

1 引言

導(dǎo)數(shù)與微分的知識和方法在數(shù)學(xué)的許多問題上，能起到以簡馭繁的作用，尤其體現(xiàn)在判定函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，曲線的切線，證明不等式，恒等式，研究函數(shù)的變化形態(tài)及函數(shù)作圖上. 導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識, 是研究函數(shù)解析性質(zhì)的重要手段，在求函數(shù)的極值, 最值方面起著“鑰匙”的作用。通過大學(xué)的課程，我們對微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)一些概念，也有了一定的認(rèn)識。由導(dǎo)數(shù)定義

f ' lim (x )=?x →0f (x 0+?x )-f (x 0)?x 利用極限與無窮小量之間的關(guān)系，上式可寫?y =f (x 0+?x )-f (x 0)=f ' (x 0)?x +O(?x ) 即函數(shù)在x 0處的改變量 y 課表示成兩部分： x 的線性部分f ' (x 0)?x 與?x 的高階無窮小部分O(?x )。當(dāng) x 充分小時，函數(shù)的改變量可由第一部分近似代替?y ≈f ' (x 0)?x 而計(jì)算函數(shù)改變量的精確值，微分概念依賴于導(dǎo)數(shù)概念，但它具有獨(dú)立的意義，它是函數(shù)的局部線性化. 在數(shù)學(xué)上最容易處理的函數(shù)是線性函數(shù)，借助微分可使一大批非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)。一般來說是較繁瑣、較困難的，但是計(jì)算它的近似值相對要容易些.

111?s =g(t+?t) 2-gt 2=gt(?t) +g(?t) 2 222

顯然當(dāng)?t →0時，?s 是無窮小量，其中第一部分gt (?t )是同價(jià)無窮小，而第二12部分gt (?t )是比?t 高階的無窮小量，且當(dāng)?t 很小時，它比第一部分要小得多，2

12所以可將第二部分gt (?t )忽略掉，而用第一部分gt (?t )近似地表示?s ，即2

?s ≈gt (?t )。我們將第一部分gt (?t )稱?s 為的主要部分，它是關(guān)于?t 的線性函數(shù)，計(jì)算起來要簡便些。

2 預(yù)備知識

導(dǎo)數(shù)它來源于求曲線在一點(diǎn)處的切線和運(yùn)動物體在某時刻的瞬時速度。因而，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線斜率；

導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 曲線在一點(diǎn)處切線的斜率.

導(dǎo)數(shù)的物理意義： 瞬時速度. 一個變量對另一個變量的變化率..

導(dǎo)數(shù)的概念:設(shè)函數(shù)y =f (x ) 在點(diǎn)x 0的鄰域內(nèi)有定義，若極限

lim f (x ) -f (x 0) 存在則稱函數(shù)f 在點(diǎn)x 0處可導(dǎo)并稱該極限為函數(shù)f 在點(diǎn)x 0處的x -x 0x →x 0

導(dǎo)數(shù)，記作f '(x ) 令x =x 0+?x ?y =f (x 0+?x ) -f (x 0) 則

f ' (x )=lim f (x 0+?x )-f (x 0) ?y =lim ?x →0?x ?x →0?x

微分的概念:引例：一片邊長為x 0的正方形,

它的面積s =x 2其邊長從x 0變化到x 0+?x , 問此正方形的面積改變了多少？

2?s =(x 0+?x ) 2-x 0=2x 0?x +?x 2

定義1[1]：設(shè)函數(shù)y =f (x ) 在 U (x 0, r ) 內(nèi)有定義，且x 0+?x ∈U (x 0, r ) 如果函數(shù)的增量為

?y =f (x 0+?x ) -f (x 0) 可表示為?y =A ?x +o (?x ) , 則稱函數(shù)y =f (x ) 在點(diǎn)x 0是可微的，A ?x 稱為函數(shù)y =f (x ) 在點(diǎn)x 0相應(yīng)于自變量的增量?x 的微分，記為d y ，即d y =A ?x .

微分的幾何意義:微分dy =f ' (x 0)(x -x 0)是曲線y =f (x ) 在點(diǎn)(x 0, f (x 0))的切線在點(diǎn)x 0的縱坐標(biāo)改量, 如圖。

x

極值定義：設(shè)f (x ) 在U(x 0, δ) 內(nèi)有定義，若對任意x ∈u 0(x 0, δ)，恒有f (x ) f (x 0) ) ，則稱f (x 0) 是f (x ) 的一個極大值（極小值），點(diǎn)x 0稱為f (x ) 的一個極大值點(diǎn)（極小值點(diǎn)）。

函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。 函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)。駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)稱為極值的可疑點(diǎn)。

極值的充分條件：

定理[1]（第一充分條件）：設(shè)f (x ) 在U(x 0, δ) ) 內(nèi)連續(xù)，在x ∈u 0(x 0, δ)內(nèi)可導(dǎo)

0，則f (x 0) 為f (x ) 1)若x ∈(x 0-δ, x 0)， f '(x ) > 0，x ∈(x 0, x 0+δ)，f '(x )

的極大值.

2)若x ∈(x 0-δ, x 0)， f '(x ) 0，則f (x 0) 為f (x ) 的極小值.

3)若x ∈(x 0-δ, x 0)，f '(x ) 的符號保留不變，則f (x 0) 不是極值.

[1] 定理（極值的第二充分條件）：設(shè)f (x ) 在x 0具有二階導(dǎo)數(shù)，且f ' (x 0) =0

1)若f '' (x 0)

2)若f '' (x 0) > 0，則f (x 0) 為f (x ) 的極小值.

3)若f '' (x 0) =0，則f (x 0) 可能是也可能不是極值.

導(dǎo)數(shù)求最值問題的方法：解這類實(shí)際問題需要先建立函數(shù)關(guān)系，再求極值點(diǎn)，確定最值點(diǎn)及最值。

設(shè)f (x ) 在閉區(qū)間[a , b ]上連續(xù)，在開區(qū)間(a , b )內(nèi)可導(dǎo)，求f (x ) 在[a, b ]上的最大值與最小值。

(1)求出f (x ) 在(a, b )內(nèi)的極值也就是f ' (x ) =0時所對應(yīng)的值

（2）將的極值與比較，其中最大的一個是最大值，最小的那個是最小值. 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟:

a 求出函數(shù)y =f (x )的導(dǎo)數(shù)f ' (x ) 。

b 在函數(shù)定義域內(nèi)解求出f ' (x ) >0遞增區(qū)間，求出f ' (x )

1羅爾定理[1] ：設(shè)f (x ) 滿足：

1) 在閉區(qū)間 [a , b ]上連續(xù)。

2) 在開區(qū)間(a, b )內(nèi)可導(dǎo)。

3) f (a ) =f (b )

則在(a, b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f ' (ξ) =0.

2拉格朗日中值定理[1]：設(shè)f (x ) 滿足：

1) 在閉區(qū)間[a , b ]上連續(xù)。

2) 在開區(qū)間(a, b )內(nèi)可導(dǎo)。

則在(a, b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f (b ) -f (a ) = f ' (ξ)(b -a ) (ξ∈(a, b )) 若記x =a ，x +?x =b ，則拉格朗日中值定理的結(jié)論可寫為：

f (x +?x )-f (x )=f ' (ξ)?x ξ 位于x 與x +?x 之間。

若記ξ=x +??x (0

?y =f (x +θ?x )?x

常用的拉格朗日中值公式有下列形式：

①f ' (ξ)=f (b )-f (a ) （ξ介于a 與b 之間）； b -a

②f (b )-f (a )=f ' (ξ)(b -a ) （ξ介于a 與b 之間）；

③f (b )-f (a )=f ' (a +θ(b -a ))(b -a ) (0

④f (x +?x )-f (x )=f ' (ξ)?x （ξ介于x 與x +?x 之間）；

⑤f (x +?x )-f (x )=f ' (x +θ(x )?x )?x (0

⑥f (x +h )-f (x )=hf ' (x +θh ) (0

⑦f ' (ξ)=f (x 2)-f (x 1) （ξ介于x 1與x 2之間）。 x 2-x 1

3. 柯西定理[1] ：設(shè)f (x ) ，g (x ) 滿足：

1)在閉區(qū)間[a , b ]上連續(xù)。

2）在開區(qū)間(a , b )內(nèi)可導(dǎo)且g ' (x )=0。

則在(a , b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(ξ∈(a , b ))，使

4. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際與彈性

邊際 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際是變量y 關(guān)于變量x 在x 0附近（邊緣上）的變化情

況，即x 在x 0附近有微小變化時，變量y 的變化。當(dāng)x 的變化單位?x 很小時，由

微分近似計(jì)算公式得，?y |x =x 0≈dy =f '(x 0) ?x |x =x 0=f '(x 0) ， ?x =1?x =1f (b ) -f (a ) f '(ξ) = g (b ) -g (a ) g '(ξ)

因此，邊際值f '(x 0) 是當(dāng)x =x 0，x 改變一個單位，y 改變了f '(x 0) 個單位。

彈性的概念及彈性理論無論在數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究，還是在實(shí)際應(yīng)用都會起到重要作用。在經(jīng)濟(jì)管理中，彈性對分析產(chǎn)品的需求、供給和收益，給決策者提供

有力可靠的理論依據(jù)起到了重要作用。

當(dāng)自變量x 和因變量y 代表不同背景的實(shí)際問題時，其彈性E yx 的意義也不同。如x 代表某種商品的價(jià)格，y 代表顧客對該商品的需求量，那么E yx 表示當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格有1%的變化時，相應(yīng)需求的變化為E yx %。由于需求函數(shù)一般是減函 數(shù)，所以它的邊際函數(shù)f '(x ) 小于零。因此需求價(jià)格彈性E yx 取負(fù)值，經(jīng)濟(jì)學(xué)中常規(guī)定需求價(jià)格彈性為 E yx =-f '(x ) x f (x )

這樣，需求價(jià)格彈性便取正值。即便如此，經(jīng)濟(jì)學(xué)上在對需求價(jià)格彈性做經(jīng)濟(jì)意義的解釋時，也應(yīng)理解為需求量的變化與價(jià)格的變化是反方向的。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中對需求價(jià)格彈性有下述規(guī)定：當(dāng)某商品的需求價(jià)格彈性E DP >1，則稱該商品的需求量對價(jià)格富有彈性；當(dāng)某商品的需求價(jià)格彈性E DP

該商品的需求量對價(jià)格潰乏彈性；當(dāng)E DP =1時，則稱該商品具有單位彈性。

3導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用

3.1導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

3.1.1求函數(shù)極值和最值

1例1：求f (x )＝x 3－x ２－3x ＋１在[-2, 4]點(diǎn)的最大值與最小值 3

解： 由f (x ) 在閉區(qū)間[-2, 4]上連續(xù)則f ' (x ) =x 2-2x -3

令f ' (x ) =0有x 2-2x -3=0即(x +1)(x -3)=0解得

x １=-1,x２=3 而f (x ) 在[-2, 4]內(nèi)無導(dǎo)數(shù)不存的點(diǎn)

1817由f (-2)＝， f (-1) = f (3)=-5 f (14)=- 333

817所以：min =- max = 33

?21?

例2：已知f (x )=x 3+ax 2++x +1，a ∈R 設(shè)函數(shù)f (x ) 在區(qū)間 -, -?內(nèi)是減函

?33?

數(shù)求a 的取值范圍

解：f (x )=x 3+ax 2++x +1 則f ' (x )=3x 2+2ax +1

?21?

∵函數(shù)f (x ) 在區(qū)間 -, -?內(nèi)是減函數(shù)

?33?

722?2?

∴f ' -?≤0即3×（-）2+2a ×（-）+1≤0 a≥

433?3?11?1?

f ' -?≤0 即3×（-）2+2a×(-)+1≤0 a≥2

33?3?綜上可知a ≥2

(2) 若f '(-1) =0，例3：已知a 為實(shí)數(shù)，函數(shù)f (x ) =(x 2-4)(x -a ) . (1) 求導(dǎo)數(shù)f '(x ) ；

求f (x ) 在[-2, 2]上的最大值和最小值.

解：(1) 由原式得f (x ) =x 3-ax 2-4x +4a 則 f '(x ) =3x 2-2ax -4 (2) 由 f '(-1) =0 得a =

f '(x ) =3x 2-x -4

11

，此時 f (x ) =(x 2-4)(x -) 22

44509

或x =-1，又 f () =-f (-1) =, f (-2) =0, f (2) =0，33272

950

所以f (x ) 在[-2, 2]上的最大值為，最小值為-.

227

由 f '(x ) =0 得 x =

例4： 已知函數(shù)f (x )=x 2+2x tan θ-1，x ∈[-1, ],其中θ∈(-的取值范圍，使f (x )在區(qū)間[-1, 3]上是單調(diào)函數(shù).

解：f '(x ) =2x +2tan θ，它在[-1, ]上是單調(diào)函數(shù)，

f '(x )m in =-2+2tan θ，f '(x )max =23+2tan θ，

ππ

, ) ，求θ

22

ππ

當(dāng)-2+2tan θ≥0， 即θ∈[, ) 時，

42

f ' (x )≥0，f (x )為單調(diào)遞增函數(shù)；

當(dāng)2+2tan θ≤0， 即θ∈(-

π

, -]時， 23

π

f ' (x )≤0，故f (x )為單調(diào)遞減函數(shù)；

ππππ

綜上所述，當(dāng)θ∈[, ) ?(-, -]時，f (x )在區(qū)間[-1, 3]上是單調(diào)函

4223數(shù).

3.1.2求函數(shù)的解析式

例5[6]：設(shè)函數(shù)y =f (x ) 為三次函數(shù)，其圖像與y 軸的交點(diǎn)為P ，且曲線在P 點(diǎn)

處的切線方程為24x +y -12=0，若函數(shù)在x =2處取得極值-16，求函數(shù)的解析式.

解：設(shè)f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) ，則f '(x ) =3ax 2+2bx +c ，依題意有

f '(0) =c . 因?yàn)榍芯€24x +y -12=0的斜率為k =-24，所以c =-24.

把x =0代入24x +y -12=0，得y =12.

所以P 點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 12) ，即求得d =12，此時f (x ) =ax 3+bx 2-24x +12. 由函數(shù)f (x ) 在x =2處取得極值-16，

?a =1?-16=8a +4b -36

則得 ?， 解得 ?，

b =30=12a +4b -24??

所以 f (x ) =x 3+3x 2-24x +12

例6： 設(shè)y =f (x ) 為三次函數(shù)，且圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)x =值為，求函數(shù)f (x ) 的解析式.

解：設(shè)f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (d ≠0) ， 因?yàn)槠鋱D像關(guān)于原點(diǎn)對稱，即 f (-x ) =-f (x ) ， 所以 ax 3+bx 2+cx +d =ax 3-bx 2+cx -d ，

則 b =0, d =0, 即 f (x ) =ax 3+cx ，所以 f '(x ) =3ax 2+c .

1

時，f (x ) 的極小2

1311c

依題意 f '() =a +c =0，f () =a +=-1，解得 a =4, c =-3, 故

24282f (x ) =4x 3-3x .

3.1.3判斷函數(shù)的周期性，奇偶性

例7：若所給的偶函數(shù)可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

f (-x +?x )-f (-x )

?x →0?x

f (x -?x )-f (x ) ＝ lim ?x →0?x

f (x +(-?x ))-f (x ) ＝lim =-f ' (x ) -?x →0-?x

證明：設(shè)f (x )為偶函數(shù) 則f ' (-x )=lim

例8：周期函數(shù)若可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)仍為周期函數(shù)。 證明： 設(shè)f (x )為周期是T 的函數(shù)

f ' (x +T )=lim

f (x +T +?X )-f (x +T )f (x +?x )-f (x )=lim =f ' (x ) ?x →0?X ?x

?x →0

3.1.4求曲線的切線

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線在P （x 0 y0）處的切線方程和法線方程 在求過點(diǎn)P (x 0, y 0) 所作函數(shù)y =f (x )對應(yīng)曲線的切線方程時應(yīng)先判斷該點(diǎn)是否在曲線上.

(1) 當(dāng)點(diǎn)P (x 0, y 0) 在曲線上，即點(diǎn)P (x 0, y 0) 為切點(diǎn)時，則切線方程為

y -y 0=f '(x 0)(x -x 0).

?y 1=f (x 1)

?

(2) 當(dāng)點(diǎn)P (x 0, y 0) 不在曲線上時，則設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x ', y ')，由?y 0-y 1

'()f x =1?x 0-x 1?

先求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后進(jìn)一步求切線方程.

例9：已知拋物線C 1:y =x 2+2x 和拋物線C 2:y =-x 2+a ，當(dāng)a 取什么值時，C 1和C 2有且僅有一條公切線？寫出公切線的方程.

分析：傳統(tǒng)的處理方法來解決，但計(jì)算量大，容易出錯，如能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去解，則思路清晰，解法簡單.

解：設(shè)A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)分別是直線l 與C 1、C 2的兩個切點(diǎn). 又C 1:y =x 2+2x ，C 2:y =-x 2+a 的導(dǎo)數(shù)分別為：

y '=2x +2，y '=-2x ，所以 2x 1+2=-x 2，即 x 1+x 2=-1

又C 1、C 2有且只有一條公切線，則點(diǎn)A 與點(diǎn)B 重合，x 1=x 2，

111?13?

所以x 1=x 2=-，即A -, -?，有點(diǎn)B 在C 2上，可知a =-，此時l :y =x -.

224?24?

例10： 已知曲線C :y =x 3-3x 2+2x ，直線l :y =kx ，且l 與C 切與點(diǎn)

(x 0, y 0)(x 0≠0) ，求直線l 的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).

解：由l 過原點(diǎn)，知k =

y 0

(x ≠0) ，點(diǎn)(x 0, y 0) 在曲線C 上，x 0

y 02

=x 0-3x 0+2 x 0

2

∴y 0=x 0-3x 0+2x 0∴

32

又∵y '=3x 2-6x +2∴k =3x 0-6x 0+2，又 k =∴3x 0-6x 0+2=x 0-3x 0+2∴2x 0-3x 0=0, x 0=

-

2

2

y 0

x 0

2

3

（x 0=0不符合題意） 2

3y 33331

∴y 0=() 3-3?() 2+2?=-∴k =0==-

x 042228

2

133

所以l 的方程為y =-x ，切點(diǎn)為(, -) .

284

例11：x 2+5xy +y 2+5=0在處切線的斜率。 （1，-2）

解：2x +5(y +xy ' ) +2yy ' =0

(5x +2y )y ' =-5y -2x y ' =-

k

x =1y =-2

5y +2x

5x +2y

=

5?(-2)+25?1+2?-2=8

x 2y 2

=1的一個焦點(diǎn)(1,0)發(fā)出的任意光線，經(jīng)過橢圓反射后， 例12：從橢圓+

43

反射光必經(jīng)過它的另一個焦點(diǎn)(-1,0)。

證明：假設(shè)(x 0, y 0)為橢圓上的任意一點(diǎn)當(dāng)y 0=0時的結(jié)論顯然成立設(shè)

y 0≠0，則過此點(diǎn)的切線斜率為tan θ=-

3x 0

y 0

y 0

，此連線與切線夾角的正切為 x 0+1

(x 0, y 0)與焦點(diǎn)(-1,0)的連線的斜率為tan θ1=

y 03x

+0

x +14y 0tan θ1-tan θ3=0K==

1+tan θ1tan θ1-00y 0

x 0+14y 0

(x 0, y 0)與另一焦點(diǎn)(1,0)連線的斜率為tan θ2=

-

y 0

此連線與切線夾角的正切為x 0-1

3x 0y

-0

4y 0x 0-13x 0-123tan θ-tan θ2

==K ∴兩個夾角的正切相等即兩==

x 0y 0-4y 0y 01+tan θtan θ21-004y 0x 0-1

個夾角相等

3.1.5導(dǎo)數(shù)的定義求極限

導(dǎo)數(shù)的定義多題目中出現(xiàn)的形式靈活多樣，較為簡單的類型是直接用導(dǎo)數(shù)的定義是作適當(dāng)?shù)淖冃渭茨芙鉀Q問題，導(dǎo)數(shù)是由極限定義，所以就能利用導(dǎo)數(shù)來求極限

x sin x -

.

例13

：lim

x →

π

4

x -

4

解：令f (x ) =x sin x ，由導(dǎo)數(shù)定義可得

x sin x lim

x →

π

4

=f '(π) =(sinx +x cos x ) |=2(1+π).

πx =2444x -

4

例14：f '(x 0) 存在，證明lim

h →0

f (x 0+mh ) -f (x 0+nh ) m -n

=f '(x 0) ，其中m , n , p 為

ph p

常數(shù).

證明：左=lim

h →0

f (x 0+mh ) -f (x 0) +f (x 0) -f (x 0+nh )

ph

=lim

[f (x 0+mh ) -f (x 0)]-[f (x 0+nh ) -f (x 0)]

h →0ph f (x 0+mh ) -f (x 0) n f (x 0+nh ) -f (x 0) m

lim -lim

mh →0nh →0p mh p nh n m -n m

f '(x 0) -f '(x 0) =f '(x 0) .

p p p

=

=

3.2導(dǎo)數(shù)解決不等式問題

3.2.1構(gòu)造輔助證明不等式

利用數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式，根據(jù)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)

證明函數(shù)得到單調(diào)性，從而達(dá)到證明不等式的目的。

12

x -x +1 21

證明：設(shè)g (x ) ＝e x -x 2+x -1

2

例15：x ＞0時 求證e x >

g ' (x )=e x -x +1 g '' (x )=e x -1

'

＞g ' (0)=e 0-0+1=2＞0 當(dāng)x ＞0時g '' (x )>0 g ' (x )單調(diào)遞增 g(x)

∴g (x ) 也為單調(diào)遞增函數(shù) g (x ) ＞g (0)= e0-0-1=0 ∴e x >

12

x -x +1 2

例16：證明在(0,1)上成立 (1+x )ln 2(x +1)

證明：令f (x )=x 2-(1+x )ln 2(1+x ) f ' (x )=2x -ln 2(1+x )-2ln (1+x )

f '' (x )=2-2

ln (1+x )1+x

-2 1+x

＝

2?x -ln (1+x )?1+x

>0 x ∈(0,1)

f ' (0)=0可知f ' (x )>0 ∵f (0)=0得f (x )>0 ∴(1+x )ln 2(x +1)

例17：證明：當(dāng)0＜x ＜

π2

時，有不等式x ＜sin x ＜x 2π

證明：令f (x )=x -sin x f ' (x )=1-cos x 當(dāng)0＜x ＜

π

時 0＜cos x ＜1 ∴f ' (x )＞0 f (x )單調(diào)遞增 2

2

f (x )＞f (0)=0 得證 sin x ＜x 為證明x ＜sin x

π

'

'

(sin x )x -sin x (x )=x cos x -sin x sin x

設(shè)g (x )= g ' (x )=

x x 2x 2

令t (x )=x cos x -sin x

t ' (x )=(x cos x )-(sin x )=cos x +x (-sin x )-cos x =-x sin x ＜0 t (x )為單調(diào)遞減 當(dāng)0＜x ＜

'

'

π?π?

時 t ?＜t (x )＜t (0) ∴t (x )＜0 即t (x )=x cos x -sin x ＜0 2?2?

?π??π?

從而g ' (x )＜0 ∴g (x )在x ∈ 0, ?上單調(diào)遞減 g ?＜g (x )＜g (0)

?2??2?

sin x =2 所以得證2x ＜sin x ＜x ＞

πx π2

例18：證明不等式x ?≤1-?+?x （x >0, 0

證明：令f (x )=x ?-?x +?-1

f ' (x )=?x ?-1-?=?(x ?-1-1) 令f ' (x )=0得證唯一駐點(diǎn)x ＝１

sin

π

f ' (x )x =1=?(?-1)x ?-2=?(?-1)＜0 ∴f (1)=0為極大值

從而是在點(diǎn)(0, +∞)內(nèi)的最大值

∴x >0 f (x ) ≤f (1)＝0即x ?≤1-?+?x 其中等號僅在x ＝１

時成立。

3.2.2構(gòu)造輔助求不等式參數(shù)的范圍

例19[4]：已知a ≥0，函數(shù)f (x ) =(x 2-2ax ) e x 在[-1, 1]上是單調(diào)函數(shù)，求a 的取值范圍.

解：f '(x ) =[x 2+2(1-a ) x -2a ]e x ，由 f '(x ) =0， 即 [x 2+2(1-a ) x -2a ]e x =0，解得 x 1, 2=a -1±+a 2(x 1

當(dāng)a ≥0時， x 1

f (x ) 在(x 1, x 2) 上是減函數(shù)，在(x 2, +∞) 上是增函數(shù)，所以f (x ) 在[-1, 1]上是單調(diào)

函數(shù)的充要條件是x 2≥1, ， 即 a -1++a 2≥1，解得 a ≥

33

. 所以a 的取值范圍為[, +∞) 44

例20：求出a 的范圍，使不等式x 4-4x 3>2-a 對任意的x 都成立.

分析: 將含參數(shù)的不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題, 利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最小值, 方可確定出參數(shù)的范圍.

解：令f (x ) =x 4-4x 3，則 f '(x ) =4x 3-12x 2， 再設(shè)f '(x ) =0，可求得 x =0或x =3，

當(dāng)x

當(dāng)x >3時，f '(x )>0. 所以x =3時，f (x ) 取得極小值為-27， 從而f (x ) 有最小值為-27，則f (x ) |m in =-27>2-a ， 故有a >29. 解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極小值的位置. 3.2.3微分中值定理解決不等式問題 例21：證明：當(dāng)x >0時，成立不等式

111

證明; 令f (t ) =ln t ，則f (t ) 在[x , 1+x ](x >0) 上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，從而有

f (1+x ) -f (x ) =f '(ξ)(1+x -x ) (0

即 ln(1+x ) -ln x =

1

ξ

.

因?yàn)?

11111

0) x +1x x

即

例22： 設(shè)f (0) =0且在[0, +∞) 上f '(x ) 單調(diào)遞減，證明對任意a >0，b >0，成立不等式 f (a +b )

證明 :不妨設(shè)0

f (a ) -f (0) =f '(ξ1)(a -0) ， f (a +b ) -f (b ) =f '(ξ2)(a +b -b ) 成立，從而有

f (a ) f (a +b ) -f (b )

=f '(ξ1) 所以ξ1又因?yàn)閒 '(x ) 單調(diào)遞減，從而f '(ξ1) >f '(ξ2) ，于是

f (a +b ) -f (b ) f (a )

，

a a

再由a >0得f (a +b )

例23：設(shè)f (x ) 在[0, 1]上連續(xù)，在(0, 1) 內(nèi)可導(dǎo)且f (0) =0，對任意x ∈(0, 1]有

f '(x ) ≤f (x ) ，則在[0, 1]上恒有f (x ) =0.

證明:在區(qū)間(0, 1]上任取一點(diǎn)x ，則f (x ) 在[0, x ]上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，故存在ξ1∈(0, x ), 使f (x ) -f (0) =f '(ξ) x ,

所以 f (x ) =x f '(ξ1) =x f '(ξ1) ≤x f (ξ1) (0

又f (x ) 在[0, ξ1]上也滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，故

f (ξ1) -f (0) =f '(ξ2) ξ1 (0

f (x ) ≤x ξ1ξ2 ξn f (ξn +1) (0

n n

因?yàn)閘im ξ1=0，且由f (x ) 在[0, 1]上連續(xù)知f (ξn +1) 有界，所以lim ξ1f (ξn +1) =0，

n →∞

n →∞

由夾逼準(zhǔn)則知f (x ) ≡0.

3.3 洛必達(dá)法則求未定式的極限

求未定式極限的洛必達(dá)法則是柯西中值定理的一個應(yīng)用，它是求極限的一個

0∞重要方法，應(yīng)注意只有“”型、“”型的極限才可以直接用洛必達(dá)法則，而

0∞

對“0?∞，∞-∞，00”型等其他未定式極限，必須通過通分、取對數(shù)等變形方

0∞

法將其轉(zhuǎn)化為“”型或“”型后，才能使用洛必達(dá)法則。

0∞

3.3.1型不定式極限

1.

型不定式極限 0

若函數(shù)f 和g 滿足

（I ）lim

x →x 0

f (x )=lim g (x )=0

x →x 0

（II ）在點(diǎn)

x 0的某空心鄰域U 0x 內(nèi)兩者都可導(dǎo)且g ' x ≠0

(0)()

f ' (x )g ' x =A 則lim

f (x )g x =lim

x →x 0

（III ）

x →x 0

lim

f ' (x )g ' x x →X 0

=A

“”型不定式

e x -1

例24：lim

x →0x

e x -1e x

解：lim =lim =1

x →0x →01x

例25：lim

sin ax

x →0sin bx

解：lim

sin ax a cos ax a

=lim =

x →0sin bx x →0b cos bx b

x 3-12x +16

例26：lim 3

x →2x -2x 2-4x +8

x 3-12x +163x 2-126x 3

解:lim 3 =lim =lim =

x →2x -2x 2-4x +8x →23x 2-4x -4x →26x -42

π

例27:lim x →+∞

-arctan x 1

x

π

解 :x lim →+∞

-arctan x 1x

-=lim

x →+∞

1

2

1+x 2=lim x =1

x →+∞1+x 2-2x

3.3.2

∞

型不定式極限 ∞

若函數(shù)f 和g 滿足

（I ）

x →x +0

lim f (x )=lim g (x )=∞ +

x →x

（II ）在

x 0的某右鄰域U 0

f ' (x )g x '

+

(x 0)內(nèi)兩者到可導(dǎo)且g ' (x )≠0

f (x )

（III)

x →x +0

lim

=A 則lim +

x →X

g x =lim +

x →x

f ' (x )g x '

=A

例28:lim

ln x

(α>0)

x →+∞x α

1

ln x =lim 1=0 =lim 解 ：x lim →+∞x αx →+∞αx α-1x →+∞αx α

x n

例29: lim x (n >0) 。

x →+∞e

x n n (n -1) x n -2nx n -1n !

解：lim x =lim x =lim = =lim x =0 x x →+∞e x →+∞x →+∞e x →+∞e e

3.3.3其他類型不定式極限

0∞

其他類型不定式極限，經(jīng)過簡單變換吧它們化成或型的極限

0∞1??1-例30:lim ? x →1ln x x -1??

解 ：這是“∞-∞”型的極限，求解方法是通分或有理化因式將其化為“型或“

”0

0∞

”型極限后用洛必達(dá)法則。對本題，通分后化為“”型可兩次使用

0∞

洛必達(dá)法則。

1

1?x -1-ln x ?1-=lim lim ?=lim

x →1ln x x →1x →1x -1x -1ln x x -1??ln x +

x

x -111

=lim =lim =

x →1x ln x +x -1x →1ln x +1+12

1-

sin x ln x 例31:lim +

x →0

這是“0?∞”型的極限，求這類極限的方法是將部分函數(shù)取倒數(shù)變形為 “

1

ln x x 型極限后用洛必達(dá)法則， lim +sin x ln x =lim + =lim +

x →0x →0csc x x →0-csc x cot x

-sin 2x x 2

=-lim +=0. =lim +

x →0x cos x x →0x cos x

例32:lim

x →+∞

∞”∞

?π?-arctan x ??2?

1

ln x

v (x )

這是“0”型極限，利用對數(shù)性質(zhì)有l(wèi)im u (x )

x →+∞

=e

x →+∞

lim v (x )ln u (x )

，問題歸結(jié)

為求“0?∞”型極限。本題變形后為“

∞

”型極限，則 ∞

?π?lim -arctan x ?x →+∞2??

1

ln x

?1?π??=ex p ?lim ln -arctan x ??

???x →+∞ln x ?2

??????-11????

÷?? =exp ?lim ?

x →+∞?πx ???2??-arctan x 1+x )?? ?(??2??????

??x 0?π???

÷-arctan x =exp ?-lim ?（“? ??2

0????x →+∞?1+x ?2

????22

1+x -2x -1? =exp ?-lim ? ??÷2?x →+∞?221+x ????(1+x )???

”

?1-x 2

=exp 2 x lim

?→+∞1+x ?-1?=e ??

3.4微分在近似值中的應(yīng)用

在工程問題中，常會遇到一些復(fù)雜的計(jì)算公式，如果直接用這些公式進(jìn)行計(jì)算，往往會費(fèi)時費(fèi)力而利用微分則可把一些復(fù)雜性的計(jì)算公式用簡單的近似公式來代替

3.4.1計(jì)算函數(shù)的近似值

f (x 0+?x ) -f (x 0) ?y

由極=lim

?x →o ?x ?x →0?x ?y f (x 0+?x ) -f (x 0)

≈f '(x 0) ，所以=限的定義知，當(dāng)?x 充分小時，

?x ?x

函數(shù)y =f (x ) 在x =x 0處的導(dǎo)數(shù)f '(x 0) =lim

f (x 0+?x ) ≈f (x 0) +f '(x 0) ??x ，利用這個公式可求的函數(shù)的近似值.

例33.：計(jì)算(1.04)

2.02

的近似值

解 ：設(shè)函數(shù).f (x , y )=x y 顯然, 要計(jì)算的值就是函數(shù)在x =1.04,y=2.02, 時的函數(shù)值 f (1.04, 2.02)取, x =1, y =2,?x =0.04, ?y =0.02 由于,

f (x +?x , y +?y )≈f (x , y )+f x (x , y )?x +f y (x , y )?y

=

x y +yx y -1?x +x y ln x ?y

(1.04)

2.02

≈12+2?12-1?0.04+12?ln1?0.02=1.08

例34： 不查表，求sin 46?的值.

解：令y =sin x ，由導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系得

sin x ≈sin x 0+(cosx 0) ?(x -x 0) ，

πππππ

因 46?=45?+1?=(+， ) rad ，取x 0=，x =+

441804180于是 x -x 0= =

3.4.2. 誤差估計(jì)

若精確度值為A ，近似值為A, 近似值為a, 那么A -a 稱為絕對誤差，稱為相對誤差。

例35： 測量直徑為4m 的球時有1%的相對誤差，利用公式V=時，相對誤差有多大？

解：絕對誤差：δd =4×1%=4%

1

絕對誤差 δv ＝πd 2. d . 1%

21

＝π×64%=32π%

2δv 32π%

相對誤差 ＝＝3%

1v π. 646

，代入上式得 sin 46?=+ ) =sin +(cos) ?[1**********]0

ππππππ

22π

. +?=0. 707+10. 0123=0. 7194

22180

A -a a

π

6

d 3計(jì)算球的體積

答：相對誤差是3%

3.5導(dǎo)數(shù)與微分證明恒等式

12x π

例36：證明：當(dāng)x >1時，arctan x -arccos =. 2

21+x 412x π

分析 令f (x ) =arctan x -arccos -. 當(dāng)x >1時只要f '(x ) =0，便有2

21+x 4f (x ) =C . 注意到f (1) =0且lim +f (x ) =f (1) ，所以有C =lim +f (x ) =f (1) =0.

x →1

x →1

12x π

證明： 令f (x ) =arctan x -arccos -. 當(dāng)x >1時有 2

21+x 4

f '(x ) =

11

-1+x 22

-12x

() ' 21+x 2x 2

-() 2

1+x

111+x 22(1+x 2) -4x 2

+? = 1+x 22(1+x 2) 2-4x 2(1+x 2) 2

1x 2-111-x 2

+=-2=0， =2222221+x (x -1)(x +1) (1-x ) (1+x ) 1+x

所以f (x ) =C . 因?yàn)閒 (x ) 在x ≥1時連續(xù)，從而

12x π

C =lim +f (x ) =lim +[arctanx -arccos -]=0 2

x →1x →121+x 4

12x π

故f (x ) =C 即arctan x -arccos =. 2

21+x 4

3.6導(dǎo)數(shù)與微分探究方程根的存在性或唯一性

例37： 若a >3，則方程x 3-ax 2+1=0在[0, 2]上有多少個根？

解：設(shè)f (x ) =x 3-ax 2+1，則f '(x ) =3x 2-2ax ，

當(dāng)a >0，x ∈(0, 2) 時，f '(x )

而f (x ) 在x =0與x =2處都連續(xù)，且f (0) =1>0, f (2) =9-4a

例38：a 取何值時, 關(guān)于x 的方程x 2+ax +2=0在(0, 1]上有解？

分析：本題亦可結(jié)合二次函數(shù)f (x ) =x 2+ax +2的圖象, 使得問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間根分布問題, 但是要分在(0, 1]上有兩解和一解兩種情況. 采用轉(zhuǎn)化思想將a 與

x 分離開, 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域, 使得運(yùn)算量大大減少.

2

解：因?yàn)?x 2+ax +2=0，所以 a =-(x +) ，將a 看成x 的函數(shù)，

x

2

因?yàn)?x ∈(0, 1]， a '=-(1-2)

x

22

所以函數(shù)a =-(x +) 在(0, 1]上是增函數(shù)， 故a ≤-(1+) =-3.

x 1

例39：設(shè)函數(shù)f (x ) 在[1, 2]上二階可導(dǎo)且f (1) =f (2) =0, F (x )=(x -1)f (x ),

2

（1，2）則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使F ''(ξ) =0.

證明： 由題設(shè)可知，F(xiàn) '(x ) =2(x -1) f (x ) +(x -1) f '(x ) 在[1, 2]上可導(dǎo)，從而

（1，2）F '(x ) 在[1, 2]上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且F '(1) =0，但F '(2) =f '(1) 與F '(1) 是否相等（1，2）未知。注意到F (1) =F (2) =0，且F (x ) 在[1, 2]上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，故F (x ) 在[1, 2]上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理可知，存在η∈使F '(η) =0，即（1，2）

F '(η) =2(η-1) f (η) +(η-1) 2f '(η) =0. 于是F '(x ) 在區(qū)間[1, η]上滿足羅爾定理的

條件，故由羅爾定理可知，存在ξ∈(1, η) ?(1, 2) ，使F ''(ξ) =0.

例39：設(shè)函數(shù)f (x ) =x (x +1)(2x +1)(3x -1) ，試確定方程f '(x ) =0實(shí)根的個數(shù)。

解：顯然函數(shù)f (x ) 在(-∞, +∞) 可導(dǎo)，且易知f (x ) 有4個零點(diǎn)x 1=-1，

11111

，x 3=0，x 4=，故f (x ) 在區(qū)間[-1, -]，[-, 0]，[0, ]上滿足羅爾定22332

111

理的條件，由羅爾定理知，至少存在ξ1∈(-1, -) ，ξ2∈(-, 0) ，ξ3∈(0, ) ，使

223x 2=-

f '(ξ1) =f '(ξ2) =f '(ξ3) =0，即f '(x ) 至少有3個零點(diǎn)。

又因?yàn)閒 (x ) 是四次多項(xiàng)式，所以f '(x ) 是三次多項(xiàng)式，故f '(x ) 至多有3個零點(diǎn)。 綜上可得，方程f '(x ) =0恰有3個實(shí)根

[2]

例40： 設(shè)函數(shù)f (x ) 在[1，e ]上可導(dǎo)，且f (1) =0，f (e ) =1，試證：方程f '(x ) =

1

x

在(1, e ) 內(nèi)至少有一個實(shí)根。

證明：作函數(shù)F (x ) =f (x ) -ln x ，則F (x ) 在區(qū)間[1，e ]上連續(xù)，在(1, e ) 內(nèi)可導(dǎo)，且由f (1) =0及f (e ) =1有

F (1) =f (1) -ln 1=0， F (e ) =f (e ) -ln e =0

所以F (x ) 在區(qū)間[1，e ]上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)

ξ∈(1, e ) ，使

F '(ξ) =[f (x ) -ln x ]'x =ξ=f '(ξ) -

1

ξ

=0，即x =ξ是方程f '(x ) =

1

的一個根。 x

3.7導(dǎo)數(shù)與微分的綜合應(yīng)用

3.7．1導(dǎo)數(shù)與微分的實(shí)際問題建模

例41： 正方形的棱長從4cm 增加到4. 01cm ，它的體積大約增加多少？ 解：設(shè)正方形的體積為V ，它放入棱長為L , 則V =L 3, V '(L ) =3L 2， 取L 0=4, ?L =0. 01, 則

?V ≈V '(L 0) ??L =3?42?0. 01=0. 48(cm 3)

例42：有一圓柱體, 受壓后發(fā)生形變, 它的半徑由20cm 增大到20.05cm 高度由

100c m 減少到99cm . 求此圓柱體體積變化的近似值.

解 設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r , h 和v , 則有 v =πr 2h 已知r =20, h =100,?r =0.05, ?h =-1. 根據(jù)近似公式, 有 ?v ≈dv =v r ?r +v h h ?h =2πrh ?r+πr 2?h

=2π?20?100?0.05+π?202?(-1)=-200π(cm 3). 即此圓柱體在受壓后體積約減少了200π(cm 3)

例43 :長14. 8m 的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0. 5m ，那么高為多少時容器的容積最大? 并求出它的最大容積.

解：設(shè)容器底面短邊為xm , 則另一邊長為(x +0. 5) m ，高為

1

[14. 8-4x -4(x +0. 5)]=(3. 2-2x ) m . 4

由 3. 2-2x >0且x >0，得0

設(shè)容器的容積為ym 3，則有

y =x (x +0. 5)(3. 2-2x ) =-2x 3+2. 2x 2+1. 6x , (0

所以 y '=-6x 2+4. 4x +1. 6, 令 -6x 2+4. 4x +1. 6=0，即15x 2-11x -4=0，

解得 x 1=1, x 2=-

4

（不合題意，舍去）. 15

當(dāng)x ∈(0, 1) 時，y '>0；當(dāng)x ∈(1, 1. 6) 時，y '

所以函數(shù)y =-2x 3+2. 2x 2+1. 6x 在(0, 1]上單調(diào)遞增，在[1, 1. 6) 上單調(diào)遞減. 因此，當(dāng)x =1時，y m ax =-2+2. 2+1. 6=1. 8，這時，高為3. 2-2?1=1. 2，

故高為1. 2m 時容器的容積最大，最大容積為1. 8m 3

例44:鐵路上AB 段的距離為100Km ，工廠C 與A 相距40Km ，AC 垂直于AB ，今要在AB 之間一點(diǎn)D 向工廠C 修一條公路，使原料供應(yīng)站B 運(yùn)貨到工廠C 所用運(yùn)費(fèi)最少，問D 點(diǎn)應(yīng)該設(shè)在何處? 已知每公里的鐵路運(yùn)費(fèi)和公路運(yùn)費(fèi)之比3：5

解：設(shè)BD=x （0≤x ≤100）

∵每公里的鐵路運(yùn)費(fèi)和公路的運(yùn)費(fèi)之比是3：5 假設(shè)鐵路的運(yùn)費(fèi)為3元, 公路的運(yùn)費(fèi)是5元

則

y =3x +

12

y =3+5??1600+(100-x )?2?2(100-x )?(-1)

?2?

'

-1

=3-5(

100-x =

35100-x 當(dāng)y ' ＞0 時 3

5100-x ∴70＜x ＜130

∴當(dāng)0≤x ≤70時y ' ＜0 單調(diào)遞減

當(dāng)70≤x ≤100時y ' ＞0 單調(diào)遞增

∴當(dāng)x =70時y 最小 則D 點(diǎn)應(yīng)設(shè)在離A 處30Km 處的位置

例45:從南至北的鐵路經(jīng)過B 城, 某工廠A 距此鐵路的最短距離為aKm ，距北面之B 城b Km, 為了從A 到B 運(yùn)輸貨物最經(jīng)濟(jì), 從工廠建設(shè)一條側(cè)軌，若每噸貨物沿側(cè)軌運(yùn)輸?shù)膬r(jià)格是P 元/Km而沿鐵路q 元/Km 問測軌應(yīng)向鐵路取怎樣的角度?？ 解：AD=a BC=b ∠ACD =?

ap (b sin ?-a cos ?)q ap +bq sin ?-aq cos ?

+=

sin ?sin ?sin ?

(ap +bq sin ?-aq cos ?)sin ?-(ap +bq sin ?-aq cos ?)(sin ?)y ' =

sin ?

2

' '

= =

(bq cos ?+aq sin ?)sin ?-cos ?(ap +bq sin ?-aq cos ?)

sin 2?

aq -ap cos ?

2

sin ?

q a q ≥arctan 時?=arccos p b p

當(dāng)arccos

當(dāng)arccos

a q a

≤arctan 時?=arctan 相應(yīng)的運(yùn)費(fèi)所需p b b

M=(

b -a cot ?)q

3.7.2導(dǎo)數(shù)在微觀經(jīng)濟(jì)中的簡單應(yīng)用

例46： 供給函數(shù)為Q =2P 2+3P +1，問當(dāng)價(jià)格P =2時，價(jià)格改變一個單位（增

加或減少一個單位），供給量Q 改變多少個單位？ 解：因?yàn)?/p>

dQ

=11，所以當(dāng)價(jià)格改變一個單位（增加或減少一個單位） dP P =2

供給量Q （增加或減少一個11個單位）。 例47：設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q =100-5P , （1）求需求量對價(jià)格的彈性E QP (E QP >0) ； （2）推導(dǎo)

dR

=Q (1-E QP ) ，其中R 為收益，并用彈性E QP 說明在何范圍內(nèi)變化dP

P ∈(0, 20) ，其中Q 為需求量。

時，降價(jià)反而使收益增加。

解：（1）E QP =

Q '(P ) 5P P P P

，所以E QP =| P =-=|=

Q (P ) 100-5P P -20P -2020-P

（2）R =PQ =100P -5P 2?

dR

=100-10P =(100-5P ) -5P dP

=Q -5P =(Q -QE QP ) +(QE QP -5P ) 。

而(QE QP -5P ) =(100-5P )

P

-5P =5P -5P =0， 20-P

令E QP =1，解得P =10。當(dāng)10

1，降價(jià)反而使收益增加。

4小結(jié)

導(dǎo)數(shù)和微分的應(yīng)用是非常豐富，這里只列出了一部分。本文利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間; 研究函數(shù)極值與最值; 研究曲線的切線問題; 研究不等式的證明問題; 研究函數(shù)的零點(diǎn)。在這里我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的理論推出一種既簡便又重

0∞要的不定式極限的計(jì)算方法---洛必達(dá)法則，洛必達(dá)法則適用于或，對于叫0∞

0復(fù)雜的1∞，00，∞0型不定式極限一般在求冪指函數(shù)的極限時出現(xiàn)，這類題0

0∞型可以通過對數(shù)公式及指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性轉(zhuǎn)化為型或型不定式，再利用洛必0∞

達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算。 洛必達(dá)法則是求不定式極限行之有效的一種方法。利用微分來求函數(shù)在一點(diǎn)增量的近似值；求函數(shù)在一點(diǎn)的近似值; 在局部范圍內(nèi)用線性函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)。經(jīng)濟(jì)和數(shù)學(xué)是緊密相連的，經(jīng)濟(jì)到數(shù)學(xué)其實(shí)就是一個建模抽象的過程，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的很多領(lǐng)域都必然涉及數(shù)學(xué), 物理中的很多也涉及到數(shù)學(xué)，特別是數(shù)學(xué)中的一些思維方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，物理學(xué)中應(yīng)用很廣。

參考文獻(xiàn)

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 數(shù)學(xué)分析[M] 高等教育出版社

[2]數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書[M] 高等教育出版社〔劉玉璉 王奎元 劉偉 呂鳳編〕

[3]竇寶泉，導(dǎo)數(shù)在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊,2003(12),12-13.

[4]徐智愚, 用導(dǎo)數(shù)解初等數(shù)學(xué)題[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2000(10),35.

[5]高群安, 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)巧解題[J].2005(4),22-23.

[6]李紹平. 高考對導(dǎo)數(shù)問題考查的五大熱點(diǎn). 中學(xué)數(shù)學(xué)研究[J].2004(5)

[7]徐永忠, 例談導(dǎo)數(shù)法證明不等式[J].中學(xué)教學(xué),2003(9),32-33.〕

[8]錢吉林. 數(shù)學(xué)分析題解精粹[M].武漢:崇文書局,2003.

[9]高鴻業(yè)，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)（微觀部分）[M]，2006

[10]微積分題型精講 [M](李正元 周民強(qiáng))

[11]Lu Jiaxi On Large sets of disjoint Steiner triple

systems ,I-III.Combinat.Theory(A）34（1983），pp.140—182，136—192

第二篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會

|Xn+1-A|

以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|Xn-A|

|Xn-1-A|

……

|X2-A|

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|

2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1

設(shè)x(k)

x(k+1)=√

3當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0

4

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。。Lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實(shí)質(zhì)就是計(jì)算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進(jìn)去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會學(xué)的)

第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第三篇：函數(shù)極限

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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第三章 函數(shù)極限

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和

，并能熟練運(yùn)用；

4.理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會利用它們求某些函數(shù)的極限。 教學(xué)重（難）點(diǎn)：

本章的重點(diǎn)是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計(jì)算；難點(diǎn)是海涅定理與柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用。

教學(xué)時數(shù)：16學(xué)時

§ 1 函數(shù)極限概念 （3學(xué)時）

教學(xué)目的：使學(xué)生建立起函數(shù)極限的準(zhǔn)確概念；會用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關(guān)命題。

教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會應(yīng)用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關(guān)命題，并能運(yùn)用???語言正確表述函數(shù)不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義及其應(yīng)用。

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等

二、講授新課：

（一） 時函數(shù)的極限：

- 21 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例4 驗(yàn)證

例5 驗(yàn)證

例6 驗(yàn)證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗(yàn)證

例8 驗(yàn)證 ( 類似有

（三）單側(cè)極限:

1．定義：單側(cè)極限的定義及記法. 幾何意義: 介紹半鄰域

- 23 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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我們引進(jìn)了六種極限: .以下以極限

,

為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.

二、講授新課：

（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.

局部有界性:

3.

局部保號性:

4.

單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ):

Th 4 若使 ，證 設(shè)

和都有 =

( 現(xiàn)證對 都存在, 且存在點(diǎn)

的空心鄰域

,

有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6. 以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.

”, 未必

四則運(yùn)算性質(zhì): ( 只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個極限：

- 25 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例8

例9

例10 已知

求和

補(bǔ)充題:已知

求和 (

) § 3 函數(shù)極限存在的條件（4學(xué)時）

教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。 教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路。 教學(xué)重點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。 教學(xué)難點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則 運(yùn)用。

教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運(yùn)用。 本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.

一.

Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：

Th 1 設(shè)函數(shù)在,對任何在點(diǎn)

且

的某空心鄰域

內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.( 證 )

存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具.對單側(cè)極限,還可加強(qiáng)為

單調(diào)趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.

- 27 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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教學(xué)難點(diǎn)：兩個重要極限的證明及運(yùn)用。

教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說明應(yīng)用，練習(xí)。 一．

（證） （同理有

）

例1

例2 .例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.

證 對

有

例6

特別當(dāng) 等.例7

例8

- 28

29 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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三． 等價(jià)無窮?。?/p>

Th 2 ( 等價(jià)關(guān)系的傳遞性 ). 等價(jià)無窮小在極限計(jì)算中的應(yīng)用: Th 3 ( 等價(jià)無窮小替換法則 )

幾組常用等價(jià)無窮小: （見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價(jià)? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質(zhì):

性質(zhì)1 同號無窮大的和是無窮大.

性質(zhì)2 無窮大與無窮大的積是無窮大. 性質(zhì)3 與無界量的關(guān)系.

無窮大的階、等價(jià)關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無窮小討論, 有平行的結(jié)果.

3.無窮小與無窮大的關(guān)系:

無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大

習(xí) 題 課（2學(xué)時）

一、理論概述：

- 31 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例7 .求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.

例8 求是否存在.

和.并說明極限

解 ;

可見極限 不存在.

- - 32

高數(shù)極限證明

重要極限證明

極限證明（共8篇）

證明函數(shù)fx

凸函數(shù)證明