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第一篇：歐拉定理

歐拉定理

歐拉定理（Euler Theorem），也稱費(fèi)馬-歐拉定理或歐拉函數(shù)定理

[編輯] 什么是歐拉定理

歐拉定理指出：如果產(chǎn)品市場和要素市場都是完全競爭的，而且廠商生產(chǎn)的規(guī)模報(bào)酬不變，那么在市場均衡的條件下，所有生產(chǎn)要素實(shí)際所取得的報(bào)酬總量正好等于社會所生產(chǎn)的總產(chǎn)品。該定理又叫做邊際生產(chǎn)力分配理論，還被稱為產(chǎn)品分配凈盡定理。如上所述，要素的價(jià)格是由于要素的市場供給和市場需求共同決定。在完全競爭的條件下，廠商和消費(fèi)者都被動地接受市場形成的價(jià)格?，F(xiàn)在的問題是：要素所有者按照市場形成的要素價(jià)格獲得收入，全部要素收入是否等于社會總產(chǎn)品？

在完全競爭的條件下，廠商使用要素的原則是：要素的邊際產(chǎn)品價(jià)值等于要素價(jià)格。即：

（9.9）

（9.10）

由式9.9和9.10可得：

（9.11）

（9.12）

P為產(chǎn)品的價(jià)格，W/P和r/P分別表示了勞動和資本的實(shí)際報(bào)酬。因此在完全競爭的條件下，單位勞動、單位資本的實(shí)際報(bào)酬分別等于勞動、資本的邊際產(chǎn)量。假定整個(gè)社會的勞動總量和資本總量為L和K，而社會總產(chǎn)品為Q，那么就有：

（9.13）

式9.13稱為歐拉分配定理。它是由于該定理的證明使用了數(shù)學(xué)上的歐拉定理而得名。

[編輯] 歐拉定理的證明

假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為：Q=f(L.K)

由于規(guī)模報(bào)酬不變，所以生產(chǎn)函數(shù)為齊次方程，因此有：

k為人均資本，Q/L為人均產(chǎn)量，人均產(chǎn)量是人均資本k的函數(shù)。

由上面兩式，即可證明歐拉定理：

在規(guī)模報(bào)酬遞增情況下，如果按照邊際生產(chǎn)力分配，則產(chǎn)品不夠分配給各個(gè)生產(chǎn)要素，即：

（9.14）

在規(guī)模報(bào)酬遞減情況下，如果按邊際生產(chǎn)力進(jìn)行分配，則產(chǎn)品在分配給各個(gè)生產(chǎn)要素之后還有剩余，即：

（9.15）

證明如下：

如果生產(chǎn)函數(shù) Q=f(L,K)為r齊次，則有：

因此有：

顯然在規(guī)模報(bào)酬遞增時(shí)，r>1，所以有：

在規(guī)模報(bào)酬遞減時(shí)，所以有：

第二篇：證明歐拉定理

證明：

(1)令 Zn = {x1, x2,..., xφ(n)}，S = {a * x1 mod n, a * x2 mod n,..., a * xφ(n)mod n}，則 Zn = S。

#① 因?yàn)?a 與 n 互質(zhì)，xi(1 ≤ i ≤ φ(n))與 n 互質(zhì)，所以 a * xi 與 n 互質(zhì)，所以 a * xi mod n ∈ Zn。

#② 若 i ≠ j，那么 xi ≠ xj，且由 a, n互質(zhì)可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n（消去律）。

(2)aφ(n)* x1 * x2 *...* xφ(n)mod n

≡(a * x1)*(a * x2)*...*(a * xφ(n))mod n ≡(a * x1 mod n)*(a * x2 mod n)*...*(a * xφ(n)mod n)mod n ≡ x1 * x2 *...* xφ(n)mod n 對比等式的左右兩端，因?yàn)?xi(1 ≤ i ≤ φ(n))與 n 互質(zhì)，所以 aφ(n)

≡ 1 mod n（消去律）。

歐拉函數(shù)是數(shù)論中很重要的一個(gè)函數(shù)，歐拉函數(shù)是指：對于一個(gè)正整數(shù) n，小于 n 且和 n 互質(zhì)的正整數(shù)（包括 1）的個(gè)數(shù)，記作 φ(n)。

完全余數(shù)集合：

定義小于 n 且和 n 互質(zhì)的數(shù)構(gòu)成的集合為 Zn，稱呼這個(gè)集合為 n 的完全余數(shù)集合。顯然 |Zn| ＝φ(n)。

有關(guān)性質(zhì)： 對于素?cái)?shù) p，φ(p)= p-1。

對于兩個(gè)不同素?cái)?shù) p，q，它們的乘積 n = p * q 滿足 φ(n)=(p-1)*(q-1)。

這是因?yàn)?Zn = {1, 2, 3,..., n{p, 2p,...,(q{q, 2q,...,(p1)1)1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)* φ(q)。

消去律：如果 gcd(c,p)= 1，則 ac ≡ bc mod p ? a ≡ b mod p

第三篇：歐拉定理

歐拉定理

歐拉定理

認(rèn)識歐拉

歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家，13歲進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，得到著名數(shù)學(xué)家貝努利的精心指導(dǎo)．歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中在世時(shí)發(fā)表了700多篇論文。彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，整整用了47年。歐拉著作驚人的高產(chǎn)并不是偶然的。他那頑強(qiáng)的毅力和孜孜不倦的治學(xué)精神，可以使他在任何不良的環(huán)境中工作：他常常抱著孩子在膝蓋上完成論文。即使在他雙目失明后的17年間，也沒有停止對數(shù)學(xué)的研究，口述了好幾本書和400余

篇的論文。當(dāng)他寫出了計(jì)算天王星軌道的計(jì)算要領(lǐng)后離開了人世。歐拉永遠(yuǎn)是我們可敬的老師。歐拉研究論著幾乎涉及到所有數(shù)學(xué)分支，對物理力學(xué)、天文學(xué)、彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)、音樂都有研究！有許多公式、定理、解法、函數(shù)、方程、常數(shù)等是以歐拉名字命名的。歐拉寫的數(shù)學(xué)教材在當(dāng)時(shí)一直被當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)教程。19世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家高斯（Gau，1777-1855）曾說過“研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法”。歐拉還是數(shù)學(xué)符號發(fā)明者，他創(chuàng)設(shè)的許多數(shù)學(xué)符號，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f(x)等等，至今沿用。歐拉不僅解決了彗星軌跡的計(jì)算問題，還解決了使牛頓頭痛的月離問題。對著名的“哥尼斯堡七橋問題”的完美解答開創(chuàng)了“圖論”的研究。歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F之間總有關(guān)系V+F-E=2，此式稱為歐拉公式。V+F-E即歐拉示性數(shù)，已成為“拓?fù)鋵W(xué)”的基礎(chǔ)概念。那么什么是“拓?fù)鋵W(xué)”？ 歐拉是如何發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系的？他是用什么方法研究的？今天讓我們沿著歐拉的足

跡，懷著崇敬的心情和欣賞的態(tài)度探索這個(gè)公式......初等數(shù)論中的歐拉定理

定理內(nèi)容

在數(shù)論中，歐拉定理（也稱費(fèi)馬-歐拉定理）是一個(gè)關(guān)于同余的性質(zhì)。歐拉定理表明，若n,a為正整數(shù)，且n,a互素，(a,n)= 1，則

a^φ(n)≡ 1(mod n)

證明

首先證明下面這個(gè)命題：

對于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且與n互素的數(shù)，即n的一個(gè)化簡剩余系，或稱簡系，或稱縮系)，考慮集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}

則S = Zn

1)由于a,n互質(zhì)，xi也與n互質(zhì)，則a*xi也一定于p互質(zhì)，因此

任意xi，a*xi(mod n)必然是Zn的一個(gè)元素

2)對于Zn中兩個(gè)元素xi和xj，如果xi ≠ xj

則a*xi(mod n)≠ a*xi(mod n)，這個(gè)由a、p互質(zhì)和消去律可以得出。

所以，很明顯，S=Zn

既然這樣，那么

（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)

=（a*x1(mod n)× a*x2(mod n)×...× a*xφ(n)(mod n)）(mod n)

=（x1 × x2 ×...× xφ(n)）(mod n)

考慮上面等式左邊和右邊

左邊等于(a*（x1 × x2 ×...× xφ(n)）)(mod n)

右邊等于x1 × x2 ×...× xφ(n)）(mod n)

而x1 × x2 ×...× xφ(n)(mod n)和n互質(zhì)

根據(jù)消去律，可以從等式兩邊約去，就得到：

a^φ(n)≡ 1(mod n)

推論：對于互質(zhì)的數(shù)a、n，滿足a^(φ(n)+1)≡ a(mod n)

費(fèi)馬定理:

a是不能被質(zhì)數(shù)p整除的正整數(shù)，則有a^(p-1)≡ 1(mod p)

證明這個(gè)定理非常簡單，由于φ(p)= p-1，代入歐拉定理即可證明。

同樣有推論：對于不能被質(zhì)數(shù)p整除的正整數(shù)a，有a^p ≡ a(mod p)

平面幾何里的歐拉定理

定理內(nèi)容

設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d^2=R^2-2Rr．

證明

O、I分別為⊿ABC的外心與內(nèi)心．

連AI并延長交⊙O于點(diǎn)D，由AI平分DBAC，故D為弧BC的中點(diǎn)．

連DO并延長交⊙O于E，則DE為與BC垂直的⊙O的直徑．

由圓冪定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直線OI與⊙O交于兩點(diǎn)，即可用證明）

但DB=DI（可連BI，證明DDBI=DDIB得），故只需證2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．

而這個(gè)比例式可由⊿AFI∽⊿EBD證得．故得R2-d2=2Rr，即證．

拓?fù)鋵W(xué)里的歐拉公式

V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。

如果P可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個(gè)球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的拓?fù)洳蛔兞浚峭負(fù)鋵W(xué)研究的范圍。

V+F-E=2的證明

方法1：（利用幾何畫板）

逐步減少多面體的棱數(shù)，分析V+F-E

先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。

去掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E與剩下的面數(shù)F1變形后都沒有變。因此，要研究V、E和F關(guān)系，只需去掉一個(gè)面變?yōu)槠矫鎴D形，證V+F1-E=1

（1）去掉一條棱，就減少一個(gè)面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹渲π巍薄?/p>

（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個(gè)頂點(diǎn)，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。

以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個(gè)面，V+F-E =2。

對任意的簡單多面體，運(yùn)用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。

方法2：計(jì)算多面體各面內(nèi)角和

設(shè)多面體頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E。剪掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開圖）,求所有面內(nèi)角總和Σα

一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。

設(shè)有F個(gè)面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nF，各面內(nèi)角總和為：

Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2)·180度]

=(n1+n2+…+nF-2F)·180度

=(2E-2F)·180度 =(E-F)·360度（1）

另一方面，在拉開圖中利用頂點(diǎn)求內(nèi)角總和。

設(shè)剪去的一個(gè)面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)·180角，則所有V個(gè)頂點(diǎn)中，有n個(gè)頂點(diǎn)在邊上，V-n個(gè)頂點(diǎn)在中間。中間V-n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和為(V-n)·360度，邊上的n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和(n-2)·180度。

所以，多面體各面的內(nèi)角總和：

Σα =(V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度

=（V-2）·360度（2）

由(1)(2)得：(E-F)·360度=（V-2）·360度

所以 V+F-E=2.方法3 用拓樸學(xué)方法證明歐拉公式

圖

嘗試一下用拓樸學(xué)方法證明關(guān)于多面體的面、棱、頂點(diǎn)數(shù)的歐拉公式。

歐拉公式：對于任意多面體（即各面都是平面多邊形并且沒有洞的立體），假設(shè)F，E和V分別表示面，棱（或邊），角（或頂）的個(gè)數(shù)，那末

F-E+V=2。

證明 如圖（圖是立方體，但證明是一般的，是“拓樸”的）：

（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。

（2）去掉多面體的一個(gè)面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個(gè)平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設(shè)F′，E′和V′分別表示這

個(gè)平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，我們只須證明F′-E′+V′=1。

（3）對于這個(gè)平面圖形，進(jìn)行三角形分割，也就是說，對于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進(jìn)對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進(jìn)一條對角線，F(xiàn)′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當(dāng)完全分割成三角形的時(shí)候，F(xiàn)′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。

（4）如果某一個(gè)三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。

（5）如果某一個(gè)三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。

（6）這樣繼續(xù)進(jìn)行，直到只剩下一個(gè)三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時(shí)F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

（7）因?yàn)樵瓉韴D形是連在一起的，中間引進(jìn)的各種變化也不破壞這事實(shí)，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會是分散在向外的幾個(gè)三角形，像圖中⑦那樣。

（8）如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個(gè)三角形，也就是去掉1個(gè)三角形，3個(gè)邊和2個(gè)頂點(diǎn)。因此F′-E′+V′仍然沒有變。

即F′-E′+V′=1

成立，于是歐拉公式：

F-E+V=2

得證。

復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式

定理內(nèi)容

e^ix=cosx+isinx

e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。

它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。

將公式里的x換成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個(gè)也叫做歐拉公式。

“上帝創(chuàng)造的公式”

將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

e^i∏+1=0.這個(gè)恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)學(xué)聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率∏，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。數(shù)學(xué)家們評價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。

歐拉定理的運(yùn)用方法

（1）分式：

a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b)

當(dāng)r=0,1時(shí)式子的值為0

當(dāng)r=2時(shí)值為1

當(dāng)r=3時(shí)值為a+b+c

（2）復(fù)數(shù)

由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

（3）三角形

設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面體

設(shè)v為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，f是面數(shù)，則

v-e+f=2-2p

p為歐拉示性數(shù)，例如

p=0 的多面體叫第零類多面體

p=1 的多面體叫第一類多面體

(5)多邊形

設(shè)一個(gè)二維幾何圖形的頂點(diǎn)數(shù)為V，劃分區(qū)域數(shù)為Ar，一筆畫筆數(shù)為B,則有：

V+Ar-B=1

(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)

(6).歐拉定理

在同一個(gè)三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點(diǎn)圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。

其實(shí)歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個(gè)常用的。

使用歐拉定理計(jì)算足球五邊形和六邊形數(shù)

問：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計(jì)算一共有多少個(gè)這樣的五邊型和六邊型？

答：足球是多面體，滿足歐拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分別表示面,棱,頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)

設(shè)足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個(gè)和y個(gè)，那么

面數(shù)F＝x＋y

棱數(shù)E＝(5x+6y)/2（每條棱由兩塊皮子共用）

頂點(diǎn)數(shù)V＝(5x+6y)/3（每個(gè)頂點(diǎn)由三塊皮子共用）

由歐拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，解得x＝12。所以，共有12塊黑皮子

所以，黑皮子一共有12×5＝60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的對于白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。

所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的那么白皮子就應(yīng)該一共有60×2＝120條邊，120÷6＝20

所以共有20塊白皮子

（或者，每一個(gè)六邊形的六條邊都與其它的三個(gè)六邊形的三條邊和三個(gè)五邊形的三條邊連接；每一個(gè)五邊形的五條邊都與其它的五個(gè)六邊形的五條邊連接

所以，五邊形的個(gè)數(shù)x=3y/5。

之前求得x=12，所以y=20）

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“歐拉定理”

在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)里，產(chǎn)量和生產(chǎn)要素L、K的關(guān)系表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函數(shù)形式是一次齊次的，那么就有：Q＝L(eQ/eL)＋K(eQ/eK)，換句話說，產(chǎn)

品分配凈盡取決于Q能否表示為一個(gè)一次齊次函數(shù)形式。

因?yàn)閑Q/eL＝MPL＝w/P被視為勞動對產(chǎn)量的貢獻(xiàn)，eQ/eK＝MPK＝r/P被視為資本對產(chǎn)量的貢獻(xiàn)，因此，此式被解釋為“產(chǎn)品分配凈盡定理”，也就是所有產(chǎn)品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩余。因?yàn)樾问缴戏蠑?shù)學(xué)歐拉定理，所以稱為歐拉定理。

【同余理論中的"歐拉定理"】

設(shè)a,m∈N,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(mod m)

(注:f(m)指模m的簡系個(gè)數(shù))

歐拉定理的意義

（1）數(shù)學(xué)規(guī)律：公式描述了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)律

（2）思想方法創(chuàng)新：定理發(fā)現(xiàn)證明過程中，觀念上，假設(shè)它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。

（3）引入拓?fù)鋵W(xué)：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，而頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)等不變。

定理引導(dǎo)我們進(jìn)入一個(gè)新幾何學(xué)領(lǐng)域：拓?fù)鋵W(xué)。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓?fù)鋵W(xué)就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質(zhì)。

（4）提出多面體分類方法：

在歐拉公式中，f(p)=V+F-E 叫做歐拉示性數(shù)。歐拉定理告訴我們，簡單多面體f(p)=2。

除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個(gè)洞，連結(jié)底面相應(yīng)頂點(diǎn)得到的多面體。它的表面不能經(jīng)過連續(xù)變形變?yōu)橐粋€(gè)球面，而能變?yōu)橐粋€(gè)環(huán)面。其歐拉示性數(shù)f(p)=16+16-32=0，即帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數(shù)為0。

（5）利用歐拉定理可解決一些實(shí)際問題

如：為什么正多面體只有5種？ 足球與C60的關(guān)系？否有棱數(shù)為7的正多面體？等

第四篇：歐拉常數(shù)的證明

調(diào)和級數(shù)S=1+1/2+1/3+……是發(fā)散的，證明如下：

由于ln(1+1/n)

于是調(diào)和級數(shù)的前n項(xiàng)部分和滿足

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞

所以Sn的極限不存在，調(diào)和級數(shù)發(fā)散。

但極限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）卻存在，因?yàn)镾n=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0

因此Sn有下界

而

Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)

將ln(1+1/n)展開，取其前兩項(xiàng)，由于舍棄的項(xiàng)之和大于0，故

ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0

即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn單調(diào)遞減。由單調(diào)有界數(shù)列極限定理，可知Sn必有極限，因此

S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

于是設(shè)這個(gè)數(shù)為γ，這個(gè)數(shù)就叫作歐拉常數(shù)，他的近似值約為0.5772***86060651209，目前還不知道它是有理數(shù)還是無理數(shù)。在微積分學(xué)中，歐拉常數(shù)γ有許多應(yīng)用，如求某些數(shù)列的極限，某些收斂數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和等。例如求

lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以這樣做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）

=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）

-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

歐拉常數(shù)發(fā)現(xiàn)的歷史

著名數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉(1707-1783)該常數(shù)最先由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)在1735年發(fā)表的文章 De

Progreionibus harmonicus observationes 中定義。歐拉曾經(jīng)使用C作為它的符號，并計(jì)算出了它的前6位小數(shù)。

第五篇：歐拉公式的證明

,.歐拉公式的證明

著名的歐拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人們公認(rèn)的優(yōu)美公式。原因是指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在實(shí)數(shù)域中幾乎沒有什么聯(lián)系，而在復(fù)數(shù)域中卻發(fā)現(xiàn)了他們可以相互轉(zhuǎn)化，并被一個(gè)非常簡單的關(guān)系式聯(lián)系在一起。特別是當(dāng)θ=π時(shí)，歐拉公式便寫成了e^(iπ)+1=0,就這個(gè)等式將數(shù)中最富有特色的五個(gè)數(shù)0，1，i , e , π ,絕妙地聯(lián)系在一起

方法一：用冪級數(shù)展開形式證明，但這只是形式證明（嚴(yán)格的說，在實(shí)函數(shù)域帶著i只是形式上的）

再抄一遍：

設(shè)z = x+iy 這樣 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy)用牛頓冪級數(shù)展開式

e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+......把 e^(iy)展開，就得到 e^z/e^x = e^(iy)=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)+i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny)即 e^(iy)=(cosy+isiny)

方法二：見復(fù)變函數(shù)第2章，在整個(gè)負(fù)數(shù)域內(nèi)重新定義了sinz cosz而后根據(jù)關(guān)系推導(dǎo)出了歐拉公式。著個(gè)才是根基。由來緣于此。

方法一是不嚴(yán)格的。

再 請看這2個(gè)積分

∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;上式左邊相當(dāng)于下式左邊乘以i 于是上式右邊相當(dāng)于下式右邊乘以i 然后化簡就得到歐拉公式

這個(gè)證明方法不太嚴(yán)密

但很有啟發(fā)性

歷史上先是有人用上述方法得到了對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)的關(guān)系

然后被歐拉看到了,才得到了歐拉公式 設(shè)a t θ ?R,ρ?R+,a^(it)?z有: a^(it)=ρ(cosθ+isinθ)1

因共軛解適合方程,用-i替換i有: a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ)2

;..,.由1,2得ρ=1,點(diǎn)P[a^(it)]在單位圓上,a^(it)可表達(dá)為: a^(it)=cosθ+isinθ 3 設(shè)t=u(θ),對3微商有:

[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=-sinθ+icosθ 整理有:

[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=(cosθ+isinθ)(cosπ/2+isinπ/2)約去a^(it)有: u'(θ)=logae 4 4取積分有: T=(logae)*θ+Ψ 5

θ→0時(shí),t=limt=Ψ,帶入3有: a^(iΨ)=1 即: Ψ=0 6

6代入5有: T=(logae)*θ 7 7代入3有:

[a^(logae)]^(iθ)=cosθ+isinθ 化簡得歐拉公式: e^(iθ)=cosθ+isinθ

（后兩者才是真正讓我震驚的！！）

;..