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第一篇：歐拉定理

歐拉定理

歐拉定理（Euler Theorem），也稱(chēng)費(fèi)馬-歐拉定理或歐拉函數(shù)定理

[編輯] 什么是歐拉定理

歐拉定理指出：如果產(chǎn)品市場(chǎng)和要素市場(chǎng)都是完全競(jìng)爭(zhēng)的，而且廠商生產(chǎn)的規(guī)模報(bào)酬不變，那么在市場(chǎng)均衡的條件下，所有生產(chǎn)要素實(shí)際所取得的報(bào)酬總量正好等于社會(huì)所生產(chǎn)的總產(chǎn)品。該定理又叫做邊際生產(chǎn)力分配理論，還被稱(chēng)為產(chǎn)品分配凈盡定理。如上所述，要素的價(jià)格是由于要素的市場(chǎng)供給和市場(chǎng)需求共同決定。在完全競(jìng)爭(zhēng)的條件下，廠商和消費(fèi)者都被動(dòng)地接受市場(chǎng)形成的價(jià)格?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：要素所有者按照市場(chǎng)形成的要素價(jià)格獲得收入，全部要素收入是否等于社會(huì)總產(chǎn)品？

在完全競(jìng)爭(zhēng)的條件下，廠商使用要素的原則是：要素的邊際產(chǎn)品價(jià)值等于要素價(jià)格。即：

（9.9）

（9.10）

由式9.9和9.10可得：

（9.11）

（9.12）

P為產(chǎn)品的價(jià)格，W/P和r/P分別表示了勞動(dòng)和資本的實(shí)際報(bào)酬。因此在完全競(jìng)爭(zhēng)的條件下，單位勞動(dòng)、單位資本的實(shí)際報(bào)酬分別等于勞動(dòng)、資本的邊際產(chǎn)量。假定整個(gè)社會(huì)的勞動(dòng)總量和資本總量為L(zhǎng)和K，而社會(huì)總產(chǎn)品為Q，那么就有：

（9.13）

式9.13稱(chēng)為歐拉分配定理。它是由于該定理的證明使用了數(shù)學(xué)上的歐拉定理而得名。

[編輯] 歐拉定理的證明

假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為：Q=f(L.K)

由于規(guī)模報(bào)酬不變，所以生產(chǎn)函數(shù)為齊次方程，因此有：

k為人均資本，Q/L為人均產(chǎn)量，人均產(chǎn)量是人均資本k的函數(shù)。

由上面兩式，即可證明歐拉定理：

在規(guī)模報(bào)酬遞增情況下，如果按照邊際生產(chǎn)力分配，則產(chǎn)品不夠分配給各個(gè)生產(chǎn)要素，即：

（9.14）

在規(guī)模報(bào)酬遞減情況下，如果按邊際生產(chǎn)力進(jìn)行分配，則產(chǎn)品在分配給各個(gè)生產(chǎn)要素之后還有剩余，即：

（9.15）

證明如下：

如果生產(chǎn)函數(shù) Q=f(L,K)為r齊次，則有：

因此有：

顯然在規(guī)模報(bào)酬遞增時(shí)，r>1，所以有：

在規(guī)模報(bào)酬遞減時(shí)，所以有：

第二篇：歐拉常數(shù)的證明本站推薦

調(diào)和級(jí)數(shù)S=1+1/2+1/3+……是發(fā)散的，證明如下：

由于ln(1+1/n)

于是調(diào)和級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和滿足

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞

所以Sn的極限不存在，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。

但極限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）卻存在，因?yàn)镾n=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0

因此Sn有下界

而

Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)

將ln(1+1/n)展開(kāi)，取其前兩項(xiàng)，由于舍棄的項(xiàng)之和大于0，故

ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0

即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn單調(diào)遞減。由單調(diào)有界數(shù)列極限定理，可知Sn必有極限，因此

S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

于是設(shè)這個(gè)數(shù)為γ，這個(gè)數(shù)就叫作歐拉常數(shù)，他的近似值約為0.5772***86060651209，目前還不知道它是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)。在微積分學(xué)中，歐拉常數(shù)γ有許多應(yīng)用，如求某些數(shù)列的極限，某些收斂數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和等。例如求

lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以這樣做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）

=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）

-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

歐拉常數(shù)發(fā)現(xiàn)的歷史

著名數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉(1707-1783)該常數(shù)最先由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)在1735年發(fā)表的文章 De

Progressionibus harmonicus observationes 中定義。歐拉曾經(jīng)使用C作為它的符號(hào)，并計(jì)算出了它的前6位小數(shù)。