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第一篇：歐拉定理

歐拉定理

歐拉定理（Euler Theorem），也稱費馬-歐拉定理或歐拉函數(shù)定理

[編輯] 什么是歐拉定理

歐拉定理指出：如果產(chǎn)品市場和要素市場都是完全競爭的，而且廠商生產(chǎn)的規(guī)模報酬不變，那么在市場均衡的條件下，所有生產(chǎn)要素實際所取得的報酬總量正好等于社會所生產(chǎn)的總產(chǎn)品。該定理又叫做邊際生產(chǎn)力分配理論，還被稱為產(chǎn)品分配凈盡定理。如上所述，要素的價格是由于要素的市場供給和市場需求共同決定。在完全競爭的條件下，廠商和消費者都被動地接受市場形成的價格?，F(xiàn)在的問題是：要素所有者按照市場形成的要素價格獲得收入，全部要素收入是否等于社會總產(chǎn)品？

在完全競爭的條件下，廠商使用要素的原則是：要素的邊際產(chǎn)品價值等于要素價格。即：

（9.9）

（9.10）

由式9.9和9.10可得：

（9.11）

（9.12）

P為產(chǎn)品的價格，W/P和r/P分別表示了勞動和資本的實際報酬。因此在完全競爭的條件下，單位勞動、單位資本的實際報酬分別等于勞動、資本的邊際產(chǎn)量。假定整個社會的勞動總量和資本總量為L和K，而社會總產(chǎn)品為Q，那么就有：

（9.13）

式9.13稱為歐拉分配定理。它是由于該定理的證明使用了數(shù)學(xué)上的歐拉定理而得名。

[編輯] 歐拉定理的證明

假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為：Q=f(L.K)

由于規(guī)模報酬不變，所以生產(chǎn)函數(shù)為齊次方程，因此有：

k為人均資本，Q/L為人均產(chǎn)量，人均產(chǎn)量是人均資本k的函數(shù)。

由上面兩式，即可證明歐拉定理：

在規(guī)模報酬遞增情況下，如果按照邊際生產(chǎn)力分配，則產(chǎn)品不夠分配給各個生產(chǎn)要素，即：

（9.14）

在規(guī)模報酬遞減情況下，如果按邊際生產(chǎn)力進行分配，則產(chǎn)品在分配給各個生產(chǎn)要素之后還有剩余，即：

（9.15）

證明如下：

如果生產(chǎn)函數(shù) Q=f(L,K)為r齊次，則有：

因此有：

顯然在規(guī)模報酬遞增時，r>1，所以有：

在規(guī)模報酬遞減時，所以有：

第二篇：歐拉定理

歐拉定理

歐拉定理

認識歐拉

歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家，13歲進巴塞爾大學(xué)讀書，得到著名數(shù)學(xué)家貝努利的精心指導(dǎo)．歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中在世時發(fā)表了700多篇論文。彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，整整用了47年。歐拉著作驚人的高產(chǎn)并不是偶然的。他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學(xué)精神，可以使他在任何不良的環(huán)境中工作：他常常抱著孩子在膝蓋上完成論文。即使在他雙目失明后的17年間，也沒有停止對數(shù)學(xué)的研究，口述了好幾本書和400余

篇的論文。當(dāng)他寫出了計算天王星軌道的計算要領(lǐng)后離開了人世。歐拉永遠是我們可敬的老師。歐拉研究論著幾乎涉及到所有數(shù)學(xué)分支，對物理力學(xué)、天文學(xué)、彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)、音樂都有研究！有許多公式、定理、解法、函數(shù)、方程、常數(shù)等是以歐拉名字命名的。歐拉寫的數(shù)學(xué)教材在當(dāng)時一直被當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)教程。19世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家高斯（Gau，1777-1855）曾說過“研究歐拉的著作永遠是了解數(shù)學(xué)的最好方法”。歐拉還是數(shù)學(xué)符號發(fā)明者，他創(chuàng)設(shè)的許多數(shù)學(xué)符號，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f(x)等等，至今沿用。歐拉不僅解決了彗星軌跡的計算問題，還解決了使牛頓頭痛的月離問題。對著名的“哥尼斯堡七橋問題”的完美解答開創(chuàng)了“圖論”的研究。歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F之間總有關(guān)系V+F-E=2，此式稱為歐拉公式。V+F-E即歐拉示性數(shù)，已成為“拓撲學(xué)”的基礎(chǔ)概念。那么什么是“拓撲學(xué)”？ 歐拉是如何發(fā)現(xiàn)這個關(guān)系的？他是用什么方法研究的？今天讓我們沿著歐拉的足

跡，懷著崇敬的心情和欣賞的態(tài)度探索這個公式......初等數(shù)論中的歐拉定理

定理內(nèi)容

在數(shù)論中，歐拉定理（也稱費馬-歐拉定理）是一個關(guān)于同余的性質(zhì)。歐拉定理表明，若n,a為正整數(shù)，且n,a互素，(a,n)= 1，則

a^φ(n)≡ 1(mod n)

證明

首先證明下面這個命題：

對于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且與n互素的數(shù)，即n的一個化簡剩余系，或稱簡系，或稱縮系)，考慮集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}

則S = Zn

1)由于a,n互質(zhì)，xi也與n互質(zhì)，則a*xi也一定于p互質(zhì)，因此

任意xi，a*xi(mod n)必然是Zn的一個元素

2)對于Zn中兩個元素xi和xj，如果xi ≠ xj

則a*xi(mod n)≠ a*xi(mod n)，這個由a、p互質(zhì)和消去律可以得出。

所以，很明顯，S=Zn

既然這樣，那么

（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)

=（a*x1(mod n)× a*x2(mod n)×...× a*xφ(n)(mod n)）(mod n)

=（x1 × x2 ×...× xφ(n)）(mod n)

考慮上面等式左邊和右邊

左邊等于(a*（x1 × x2 ×...× xφ(n)）)(mod n)

右邊等于x1 × x2 ×...× xφ(n)）(mod n)

而x1 × x2 ×...× xφ(n)(mod n)和n互質(zhì)

根據(jù)消去律，可以從等式兩邊約去，就得到：

a^φ(n)≡ 1(mod n)

推論：對于互質(zhì)的數(shù)a、n，滿足a^(φ(n)+1)≡ a(mod n)

費馬定理:

a是不能被質(zhì)數(shù)p整除的正整數(shù)，則有a^(p-1)≡ 1(mod p)

證明這個定理非常簡單，由于φ(p)= p-1，代入歐拉定理即可證明。

同樣有推論：對于不能被質(zhì)數(shù)p整除的正整數(shù)a，有a^p ≡ a(mod p)

平面幾何里的歐拉定理

定理內(nèi)容

設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d^2=R^2-2Rr．

證明

O、I分別為⊿ABC的外心與內(nèi)心．

連AI并延長交⊙O于點D，由AI平分DBAC，故D為弧BC的中點．

連DO并延長交⊙O于E，則DE為與BC垂直的⊙O的直徑．

由圓冪定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直線OI與⊙O交于兩點，即可用證明）

但DB=DI（可連BI，證明DDBI=DDIB得），故只需證2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．

而這個比例式可由⊿AFI∽⊿EBD證得．故得R2-d2=2Rr，即證．

拓撲學(xué)里的歐拉公式

V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。

如果P可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的拓撲不變量，是拓撲學(xué)研究的范圍。

V+F-E=2的證明

方法1：（利用幾何畫板）

逐步減少多面體的棱數(shù)，分析V+F-E

先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。

去掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點數(shù)V、棱數(shù)E與剩下的面數(shù)F1變形后都沒有變。因此，要研究V、E和F關(guān)系，只需去掉一個面變?yōu)槠矫鎴D形，證V+F1-E=1

（1）去掉一條棱，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹渲π巍薄?/p>

（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。

以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E =2。

對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。

方法2：計算多面體各面內(nèi)角和

設(shè)多面體頂點數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E。剪掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開圖）,求所有面內(nèi)角總和Σα

一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。

設(shè)有F個面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nF，各面內(nèi)角總和為：

Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2)·180度]

=(n1+n2+…+nF-2F)·180度

=(2E-2F)·180度 =(E-F)·360度（1）

另一方面，在拉開圖中利用頂點求內(nèi)角總和。

設(shè)剪去的一個面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)·180角，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內(nèi)角和為(V-n)·360度，邊上的n個頂點處的內(nèi)角和(n-2)·180度。

所以，多面體各面的內(nèi)角總和：

Σα =(V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度

=（V-2）·360度（2）

由(1)(2)得：(E-F)·360度=（V-2）·360度

所以 V+F-E=2.方法3 用拓樸學(xué)方法證明歐拉公式

圖

嘗試一下用拓樸學(xué)方法證明關(guān)于多面體的面、棱、頂點數(shù)的歐拉公式。

歐拉公式：對于任意多面體（即各面都是平面多邊形并且沒有洞的立體），假設(shè)F，E和V分別表示面，棱（或邊），角（或頂）的個數(shù)，那末

F-E+V=2。

證明 如圖（圖是立方體，但證明是一般的，是“拓樸”的）：

（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。

（2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設(shè)F′，E′和V′分別表示這

個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數(shù)，我們只須證明F′-E′+V′=1。

（3）對于這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，F(xiàn)′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當(dāng)完全分割成三角形的時候，F(xiàn)′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。

（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。

（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。

（6）這樣繼續(xù)進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

（7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。

（8）如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此F′-E′+V′仍然沒有變。

即F′-E′+V′=1

成立，于是歐拉公式：

F-E+V=2

得證。

復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式

定理內(nèi)容

e^ix=cosx+isinx

e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。

它將三角函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。

將公式里的x換成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。

“上帝創(chuàng)造的公式”

將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

e^i∏+1=0.這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個數(shù)學(xué)聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率∏，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。數(shù)學(xué)家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。

歐拉定理的運用方法

（1）分式：

a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b)

當(dāng)r=0,1時式子的值為0

當(dāng)r=2時值為1

當(dāng)r=3時值為a+b+c

（2）復(fù)數(shù)

由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

（3）三角形

設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面體

設(shè)v為頂點數(shù)，e為棱數(shù)，f是面數(shù)，則

v-e+f=2-2p

p為歐拉示性數(shù)，例如

p=0 的多面體叫第零類多面體

p=1 的多面體叫第一類多面體

(5)多邊形

設(shè)一個二維幾何圖形的頂點數(shù)為V，劃分區(qū)域數(shù)為Ar，一筆畫筆數(shù)為B,則有：

V+Ar-B=1

(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)

(6).歐拉定理

在同一個三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。

其實歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。

使用歐拉定理計算足球五邊形和六邊形數(shù)

問：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型？

答：足球是多面體，滿足歐拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分別表示面,棱,頂點的個數(shù)

設(shè)足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個和y個，那么

面數(shù)F＝x＋y

棱數(shù)E＝(5x+6y)/2（每條棱由兩塊皮子共用）

頂點數(shù)V＝(5x+6y)/3（每個頂點由三塊皮子共用）

由歐拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，解得x＝12。所以，共有12塊黑皮子

所以，黑皮子一共有12×5＝60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的對于白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。

所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的那么白皮子就應(yīng)該一共有60×2＝120條邊，120÷6＝20

所以共有20塊白皮子

（或者，每一個六邊形的六條邊都與其它的三個六邊形的三條邊和三個五邊形的三條邊連接；每一個五邊形的五條邊都與其它的五個六邊形的五條邊連接

所以，五邊形的個數(shù)x=3y/5。

之前求得x=12，所以y=20）

經(jīng)濟學(xué)中的“歐拉定理”

在西方經(jīng)濟學(xué)里，產(chǎn)量和生產(chǎn)要素L、K的關(guān)系表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函數(shù)形式是一次齊次的，那么就有：Q＝L(eQ/eL)＋K(eQ/eK)，換句話說，產(chǎn)

品分配凈盡取決于Q能否表示為一個一次齊次函數(shù)形式。

因為eQ/eL＝MPL＝w/P被視為勞動對產(chǎn)量的貢獻，eQ/eK＝MPK＝r/P被視為資本對產(chǎn)量的貢獻，因此，此式被解釋為“產(chǎn)品分配凈盡定理”，也就是所有產(chǎn)品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩余。因為形式上符合數(shù)學(xué)歐拉定理，所以稱為歐拉定理。

【同余理論中的"歐拉定理"】

設(shè)a,m∈N,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(mod m)

(注:f(m)指模m的簡系個數(shù))

歐拉定理的意義

（1）數(shù)學(xué)規(guī)律：公式描述了簡單多面體中頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)律

（2）思想方法創(chuàng)新：定理發(fā)現(xiàn)證明過程中，觀念上，假設(shè)它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。

（3）引入拓撲學(xué)：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，而頂點數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)等不變。

定理引導(dǎo)我們進入一個新幾何學(xué)領(lǐng)域：拓撲學(xué)。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學(xué)就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質(zhì)。

（4）提出多面體分類方法：

在歐拉公式中，f(p)=V+F-E 叫做歐拉示性數(shù)。歐拉定理告訴我們，簡單多面體f(p)=2。

除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結(jié)底面相應(yīng)頂點得到的多面體。它的表面不能經(jīng)過連續(xù)變形變?yōu)橐粋€球面，而能變?yōu)橐粋€環(huán)面。其歐拉示性數(shù)f(p)=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的歐拉示性數(shù)為0。

（5）利用歐拉定理可解決一些實際問題

如：為什么正多面體只有5種？ 足球與C60的關(guān)系？否有棱數(shù)為7的正多面體？等

第三篇：證明歐拉定理

證明：

(1)令 Zn = {x1, x2,..., xφ(n)}，S = {a * x1 mod n, a * x2 mod n,..., a * xφ(n)mod n}，則 Zn = S。

#① 因為 a 與 n 互質(zhì)，xi(1 ≤ i ≤ φ(n))與 n 互質(zhì)，所以 a * xi 與 n 互質(zhì)，所以 a * xi mod n ∈ Zn。

#② 若 i ≠ j，那么 xi ≠ xj，且由 a, n互質(zhì)可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n（消去律）。

(2)aφ(n)* x1 * x2 *...* xφ(n)mod n

≡(a * x1)*(a * x2)*...*(a * xφ(n))mod n ≡(a * x1 mod n)*(a * x2 mod n)*...*(a * xφ(n)mod n)mod n ≡ x1 * x2 *...* xφ(n)mod n 對比等式的左右兩端，因為 xi(1 ≤ i ≤ φ(n))與 n 互質(zhì)，所以 aφ(n)

≡ 1 mod n（消去律）。

歐拉函數(shù)是數(shù)論中很重要的一個函數(shù)，歐拉函數(shù)是指：對于一個正整數(shù) n，小于 n 且和 n 互質(zhì)的正整數(shù)（包括 1）的個數(shù)，記作 φ(n)。

完全余數(shù)集合：

定義小于 n 且和 n 互質(zhì)的數(shù)構(gòu)成的集合為 Zn，稱呼這個集合為 n 的完全余數(shù)集合。顯然 |Zn| ＝φ(n)。

有關(guān)性質(zhì)： 對于素數(shù) p，φ(p)= p-1。

對于兩個不同素數(shù) p，q，它們的乘積 n = p * q 滿足 φ(n)=(p-1)*(q-1)。

這是因為 Zn = {1, 2, 3,..., n{p, 2p,...,(q{q, 2q,...,(p1)1)1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)* φ(q)。

消去律：如果 gcd(c,p)= 1，則 ac ≡ bc mod p ? a ≡ b mod p