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第一篇：歐拉公式的證明方法和應(yīng)用

歐拉公式

ei??cos??isin?的證明方法和應(yīng)用

i?摘要：在復(fù)數(shù)域內(nèi)用幾種不同的方法證明歐拉公式e?cos??isin?，舉例說明歐拉公式在數(shù)學(xué)中的幾類應(yīng)用，通過總結(jié)多種方法看問題的思想來解決問題，通過幾種不同種類的問題的解決方案讓讀者更加明白歐拉公式在學(xué)習(xí)中的多方面思想和數(shù)學(xué)中的重要性。關(guān)鍵詞：歐拉公式、微分中值定理、證明、應(yīng)用、三角函數(shù)

1.歐拉公式意義簡說

在我們所學(xué)過的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在實(shí)數(shù)域中幾乎沒有什么聯(lián)系，在復(fù)數(shù)域中卻可以相互轉(zhuǎn)換，被e?cos??isin?這簡單的關(guān)系聯(lián)系在一起，這個一直盤踞在許多研究家心里的歐拉公式，有著很多很多的疑問，特別是當(dāng)???時，有e??1，即e?1?0，這個等式將數(shù)學(xué)中的最富有特色的五個數(shù)0、1、i、e、?聯(lián)系在一起，0，1是實(shí)數(shù)中特殊的數(shù)字，i 是一個很重要的虛數(shù)單位，e是無理數(shù)它取自瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler,1707-1783）的英文開頭[5]。它們在數(shù)學(xué)中各自都有發(fā)展的方面。因?是圓周率在公園前就被定義為“周長與直徑的比”

此e+1=0公式充分揭示了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性、簡潔性和奇異性。了解這些內(nèi)容對于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，對于我們在研究較深的數(shù)學(xué)問題上有很大幫助。

i?i?i?i?

2.歐拉公式的證明簡述

在這里，我把幾種證明歐拉公式的方法總結(jié)在一起，對學(xué)者學(xué)習(xí)歐拉公式提供多方面的題材，并作出知識的一種綜合理解。

2.1冪級數(shù)展開式的證明法

引用三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)“冪級數(shù)展開式”證明歐拉公式e?cos??isin?，2.2復(fù)指數(shù)定義法

用復(fù)指數(shù)定義e?e

2.3類比法求導(dǎo)法

通過實(shí)函數(shù)的性質(zhì)來對復(fù)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算(附件①)，通過構(gòu)造f(x)?

ixzx?iyi??e(cosy?isiny)，證明歐拉公e?cos??isin? xi?ixcosx?isinx，f?(x)?0用lagrange微分中值定理推論[3]，從而證明f(x)?1,使得e?cosx?isinx

2.4分離變量積分法

假設(shè)z?cosx?isinx，求導(dǎo)得dzdz?iz，通過分離變量得?idx,，然后兩邊取積分得dxz

Lnz?ix，所以得e?cosx?isinx.3.歐拉公式的證明方法

3.1冪級數(shù)展開式的證明方法：

3.1.1三角函數(shù)的“麥克勞林級數(shù)”[1] ： ix

sin(z)?z??3!355!

4???(?1)n?12n2n?1(zn?1)!n??, cos(z)?1?22!2?4!???(?1)(2n)!??, 3.1.2指數(shù)函數(shù)的“麥克勞林級數(shù)”：[1]

e

ez?1?z?2!???nn!??, 當(dāng)用iz代替 z時，那么 iz(iz)?1?iz?2!2(iz)???n!n??

?(1?2

2!?4

4!??)?i(z??3!355!??)

?cosz?isinz

當(dāng)z??時，得到e?cos??isin?。

3.2復(fù)指數(shù)定義法：

對于任何復(fù)數(shù)z?x?iy(x,y?R)，有

i?i?（證完）ez?ex?iy?e(cosy?isiny)[2]，當(dāng)x=0時，另xy??,有e?cos??isin?（證完）

3.3類比求導(dǎo)法：

3.3.1構(gòu)造函數(shù)f(x)?

3.3.2計(jì)算導(dǎo)數(shù)

f?(x)?

?i(cosx?isinx)?(?sinx?icosx)(cosx?isinx)2ixixixcosx?isinx x?R,i為虛數(shù) ix(icosx?sinx?sinx?icosx)

cos2x?isin2x

3.3.3lagrange微分中值定理的推論 ?0

若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f(x)的導(dǎo)數(shù)恒等于0，x屬于I，則f(x)為I上的一個常量函數(shù)[3]。根據(jù)這推論，所以有f(x)?c,c為常量，又因?yàn)閒(0)?1, 所以f(x)?1,有

eix?cosx?isinx.（附件②）（證完）

3.4分離變量積分法

dz?icosx?sinx?i(cosx?isinx)?iz，分離變量得： dx

dz1?idx, 所以兩邊同時積分得??i?dx，即Lnz?ix?c，當(dāng)取x=0時，zz假設(shè)z?cosx?isinx, 難么

z?co0s?isin0?1，Lz?l1?i0?c?0nn，所以c?0,所以Lz?ixn，Lnz?z?cosx?isinx?ix，所以ix?cosx?isinx。（證完）eee

4.歐拉公式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在對一些較難以證明和計(jì)算的題上，直接使用歐拉公式很容易就證明了，在高等數(shù)學(xué)中很廣泛的應(yīng)用，比如棣莫弗公式的證明，復(fù)變函數(shù)的求解等。

4.1公式證明和應(yīng)用

4.1.1 證明棣莫弗（de Moivre）公式[4]cosnx?isinnx?(cosx?isin

證明：由歐拉公式e?cosx?isinx可知：ixx)n； ??ix?(cosx?isinenx)即n

einx?cosnx?isinnx，所以有cosnx?isinnx?(cosx?isinx)n

4.2.2用歐拉公式和棣弗公式證明[4]：e

e

zxcosacos(xsina)??cosna;n?0n!?nxcosasin(xsina)??sinnan?on!?n； 證明：令z?cosa?isina,由歐拉公式可知 e?e

xz(cosa?isina)?ecosaeisina?ecosa(cos(sina)?isin(sina))xcosa即e?e

?ex(cosa?isina)?excosaeixsina?e(cos(xsina)?isin(xsina))xcosacos(xsina)?e

nnxcosaisin(xsina))又由于：

exz??n?0?(xz)n!(cosna?isinna)???

n?0

?n!cosnansinnan?i?n!xn!xn?0n?0

比較實(shí)部和虛部的到 ???

e

excosacos(xsina)??cosna;n?0n!??nn

sin(xsina)??sinna

n?on!

4.2定義證明和應(yīng)用

4.2.1證明復(fù)數(shù)z 的正弦函數(shù)和余弦函數(shù) xcosa

sinz?iz?2i?iz,cosz?ixiz?2i?iz.[2] 證明：由歐拉公式eix??e?cosx?isinx?cosx?isinx可得，?，?ix??e?cosx?isinx

ix?ix???cosx??2從而得到?.對于任意的實(shí)數(shù)x成立，這兩個公式中的x代以任意復(fù)數(shù)z后，ix?ix??sinx??2i?

由e?ezx?iy?e(cosy?isiny)，右端有意義，而左端尚無意義，因而有：

?izx

sinz?iz?2i,cosz?iz?2i?iz.4.2.2求sin(1?2i)的值[2]：

解：

sin(1?2i)?

?

?i(1?2i)?2i?i(1?2i)?2(cos1?isin1)?(cos1?isin1)2i

?22 2?22

?cosh2sin1?isinh2cos1

此式為復(fù)數(shù)解正弦函數(shù)（附件③）sin1?i2??2cos1

5.綜合總結(jié)

ix對于歐拉公式e?cosx?isinx，在這里用了四種不同的方法證明其的成立，也舉了幾個

列子說明了歐拉公式在高等數(shù)學(xué)中的重要性，在這里，主要是提供給學(xué)生一種多方面學(xué)習(xí)和看問題的思想，比如在證明歐拉公式的方法中，都還有許多不同的證明方法，我所列舉的這幾種方法中，類比求導(dǎo)法是一種很好的證明方法，其的構(gòu)造思想很巧妙，對于冪級數(shù)的展開證明方法，較容易弄懂，并且在實(shí)際的題目中，冪級數(shù)的展開用得比較多。我在下面所舉的兩類應(yīng)用中，都是用到歐拉公式，且歐拉定理在這當(dāng)中就像橋梁一樣，如果不用到歐拉公式，這類問題也能求，但不是那么容易了。通過對歐拉公式的證明和應(yīng)用的了解，我們對于e??1i?

也就不那么陌生了。

6.考文獻(xiàn)

[1] 數(shù)學(xué)分析 下冊 第三版 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 第十四章 冪級數(shù) 2001

[2] 復(fù)變函數(shù)論 第三版 鐘玉泉 編 第二章 解析函數(shù) 2004

[3] 數(shù)學(xué)分析 上冊 第三版 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 第六章微分中值定理及應(yīng)用 2001

[4] 數(shù)學(xué)分析 下冊 華東師大第三版 同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解 2006

[5] 生活與科學(xué)文庫 e的奧秘 1991

7.附件

7.1附件① 因?yàn)閷τ趯?shí)函數(shù)?ae，dxaxaxd(cosx?asinx)??sinx?acosxdxa為常數(shù)，所以對于復(fù)函數(shù)有?ie,dxixixd(cosx?isinx)?i(cosx?isinx)dx

7.2附件②對于構(gòu)造的函數(shù)f(x)?ix

cosx?isinx是有意義的，因?yàn)?/p>

|cosx?isinx|?

有意義的。因?yàn)閒(x)?

ixcos2x?sinx?1所以cosx?isinx?0。因此，函數(shù)f(x)?2ixcosx?isinx是ixcosx?isinx所以 ix

f?(x)?

?i(cosx?isinx)?(?sinx?icosx)(cosx?isinx)2ix(icosx?sinx?sinx?icosx)

cos2x?isin2x?0

又根據(jù)lagrange中值定理可得 f(x)?cc 為實(shí)常數(shù)，又因?yàn)閒(0)?i0

cos0?isin0=1則有

f(x)?1，所以有f(x)?ix

cosx?isinx?1，所以e?cosx?isinx

7.3附件③復(fù)函中規(guī)定：sinhz?

zix?2?z,coshz?z?2?z

第二篇：歐拉常數(shù)的證明

調(diào)和級數(shù)S=1+1/2+1/3+……是發(fā)散的，證明如下：

由于ln(1+1/n)

于是調(diào)和級數(shù)的前n項(xiàng)部分和滿足

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞

所以Sn的極限不存在，調(diào)和級數(shù)發(fā)散。

但極限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）卻存在，因?yàn)镾n=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0

因此Sn有下界

而

Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)

將ln(1+1/n)展開，取其前兩項(xiàng)，由于舍棄的項(xiàng)之和大于0，故

ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0

即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn單調(diào)遞減。由單調(diào)有界數(shù)列極限定理，可知Sn必有極限，因此

S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

于是設(shè)這個數(shù)為γ，這個數(shù)就叫作歐拉常數(shù)，他的近似值約為0.5772***86060651209，目前還不知道它是有理數(shù)還是無理數(shù)。在微積分學(xué)中，歐拉常數(shù)γ有許多應(yīng)用，如求某些數(shù)列的極限，某些收斂數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和等。例如求

lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以這樣做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）

=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）

-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

歐拉常數(shù)發(fā)現(xiàn)的歷史

著名數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉(1707-1783)該常數(shù)最先由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)在1735年發(fā)表的文章 De

Progreionibus harmonicus observationes 中定義。歐拉曾經(jīng)使用C作為它的符號，并計(jì)算出了它的前6位小數(shù)。