千文網(wǎng)小編為你整理了多篇相關(guān)的《歐拉定理 證明》，但愿對(duì)你工作學(xué)習(xí)有幫助，當(dāng)然你在千文網(wǎng)還可以找到更多《歐拉定理 證明》。

歐拉定理

歐拉定理（Euler Theorem），也稱費(fèi)馬-歐拉定理或歐拉函數(shù)定理

[編輯] 什么是歐拉定理

歐拉定理指出：如果產(chǎn)品市場(chǎng)和要素市場(chǎng)都是完全競(jìng)爭(zhēng)的，而且廠商生產(chǎn)的規(guī)模報(bào)酬不變，那么在市場(chǎng)均衡的條件下，所有生產(chǎn)要素實(shí)際所取得的報(bào)酬總量正好等于社會(huì)所生產(chǎn)的總產(chǎn)品。該定理又叫做邊際生產(chǎn)力分配理論，還被稱為產(chǎn)品分配凈盡定理。如上所述，要素的價(jià)格是由于要素的市場(chǎng)供給和市場(chǎng)需求共同決定。在完全競(jìng)爭(zhēng)的條件下，廠商和消費(fèi)者都被動(dòng)地接受市場(chǎng)形成的價(jià)格。現(xiàn)在的問題是：要素所有者按照市場(chǎng)形成的要素價(jià)格獲得收入，全部要素收入是否等于社會(huì)總產(chǎn)品？

在完全競(jìng)爭(zhēng)的條件下，廠商使用要素的原則是：要素的邊際產(chǎn)品價(jià)值等于要素價(jià)格。即：

（9.9）

（9.10）

由式9.9和9.10可得：

（9.11）

（9.12）

P為產(chǎn)品的價(jià)格，W/P和r/P分別表示了勞動(dòng)和資本的實(shí)際報(bào)酬。因此在完全競(jìng)爭(zhēng)的條件下，單位勞動(dòng)、單位資本的實(shí)際報(bào)酬分別等于勞動(dòng)、資本的邊際產(chǎn)量。假定整個(gè)社會(huì)的勞動(dòng)總量和資本總量為L(zhǎng)和K，而社會(huì)總產(chǎn)品為Q，那么就有：

（9.13）

式9.13稱為歐拉分配定理。它是由于該定理的證明使用了數(shù)學(xué)上的歐拉定理而得名。

[編輯] 歐拉定理的證明

假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為：Q=f(L.K)

由于規(guī)模報(bào)酬不變，所以生產(chǎn)函數(shù)為齊次方程，因此有：

k為人均資本，Q/L為人均產(chǎn)量，人均產(chǎn)量是人均資本k的函數(shù)。

由上面兩式，即可證明歐拉定理：

在規(guī)模報(bào)酬遞增情況下，如果按照邊際生產(chǎn)力分配，則產(chǎn)品不夠分配給各個(gè)生產(chǎn)要素，即：

（9.14）

在規(guī)模報(bào)酬遞減情況下，如果按邊際生產(chǎn)力進(jìn)行分配，則產(chǎn)品在分配給各個(gè)生產(chǎn)要素之后還有剩余，即：

（9.15）

證明如下：

如果生產(chǎn)函數(shù) Q=f(L,K)為r齊次，則有：

因此有：

顯然在規(guī)模報(bào)酬遞增時(shí)，r>1，所以有：

在規(guī)模報(bào)酬遞減時(shí)，所以有：