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第一篇：弦切角定理

4.2.3-4.2.4圓的切線判定定理與性質(zhì)定理

3.如圖，AB是⊙ O的弦，AD是⊙ O的弦切角定理

考綱要求：會(huì)證明和應(yīng)用以下定理：圓的切線判定定理與性質(zhì)定理和弦切角定理 一：知識(shí)梳理

1.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的__________.推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_______； 推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過______.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線

是圓的________.2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的______________.推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等。

二：基本技能：

1.已知一個(gè)圓的弦切角等于50°，那么這個(gè)弦切角

所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為2.如圖，AB是直徑，點(diǎn)D在AB的延長線上，BD=OB，若CD切⊙O于C點(diǎn)，則∠CAB的度數(shù)為

∠DCB的度數(shù)為，∠ECA的度數(shù)為

切線，C為 ?AB上任一點(diǎn)，∠ACB=1080，變式訓(xùn)練2已知弦AB與⊙O的半徑相等，連接OB并延長使BC＝OB.那么∠BAD =______.(1)問AC與⊙O的位置關(guān)系是怎樣的；(2)試在⊙O上找一點(diǎn)D，使AD＝AC.4.如圖，PA，PB切⊙ O于 A，B兩點(diǎn)，AC⊥PB，且與⊙ O相交于 D，若∠DBC=220

類型二： 弦切角與圓周角定理的應(yīng)用

則∠APB==________.解題準(zhǔn)備:弦切角與圓周角是很重要的與圓相關(guān)的角.其主要功能在于協(xié)調(diào)與圓相關(guān)的各種角(如圓心角?圓周角等),是架設(shè)圓 與三角形全等?三角形相似?與圓相關(guān)的各種直線(如弦?割線?

切線)位置關(guān)系的橋梁,因而弦切角也是確定圓的重要幾何定理的關(guān)鍵環(huán)節(jié)(如證明切割線定理).三：典例分析 例1：(2010年高考課標(biāo)全國卷)

類型一：

圓的切線的性質(zhì)與判定

如圖已知圓上的?。?，過解題準(zhǔn)備:若知圓的切線,C點(diǎn)的圓的切線與BA的延徑,從而得到垂直關(guān)系.長線交于E點(diǎn)，證明： 若已知直線與圓有公共點(diǎn),(1)∠ACE＝∠BCD；

于已知直線即可;(2)BC

2＝BE×CD.圓心到直線的距離等于圓的半徑.例

1、如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圓．

求證：AC是⊙O的切線．

變式訓(xùn)練1:(2010年高考江蘇卷)

如圖，AB是圓O的直徑，D為圓O

交AB的延長線于點(diǎn)C，若DA＝DC

四：能力提升

1．（海淀二模3）如圖，CD是⊙O的直徑，AE切⊙O于點(diǎn)B，連接DB，若?D?20?，則?DBE的大小為

A.20?B.40?C.60?D.70?

2.（西城二模11）如圖，?ABC是圓的內(nèi)接三角形，PA切圓于點(diǎn)A，PB交圓于點(diǎn)D.若?ABC?60?，PD?1，BD?8，則?PAC?________,PA?________.3.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是 半圓上的兩點(diǎn)，半圓O的切線PC

交AB的延長線于點(diǎn)P，∠PCB＝25°，則∠ADC為()

A.105°B.115°

C.120°D.125° 9.圓內(nèi)接四邊形ABCD的頂點(diǎn)C引切線

MN，AB為圓直徑，若∠BCM=380，則∠ABC=()

4.如圖，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O

A.380

B.520

C.680

D.420

于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，則AC的長為()

10．如右圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，A.2B.3C.AC是⊙O的切線，∠B=70°，則

∠BAC等于（）

A

5.如圖，AB是⊙ O的直徑，AC，BC是 A.70° B.35° C.20°D.10°

C

⊙ O的弦，PC是⊙ O的切線，切點(diǎn)為 C∠BAC=350，那么∠ACP等于()11.如圖，AB，AC是⊙O的兩條切線，A.350B.550C.650D.1250

切點(diǎn)分別為 B、C、D是優(yōu)弧BC上的點(diǎn)，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.6.如圖，在⊙ O中，AB是弦，AC是

⊙ O的切線，A是切點(diǎn)，過 B作BD⊥AC

于D，BD交⊙ O于 E點(diǎn)，若 AE平分∠BAD，則∠BAD=()

12.A.300B.450

C.500D.600

【2012高考遼寧文22】(本小題滿分10分)選修4?1： 幾何證明選講

7.如圖，E是⊙O內(nèi)接四邊形 ABCD兩條對(duì)角線

如圖，⊙O和⊙O/

相交于A,B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分的交點(diǎn)，CD延長線與過 A點(diǎn)的⊙ O的切線交于

F點(diǎn)，若∠ABD=440，∠AED=1000，D兩點(diǎn)，連接DB并延長交⊙O于點(diǎn)E。證明 AD?AB，則∠AFC的度數(shù)為

別交兩圓于C，()

(Ⅰ)AC?BD?AD?AB；

A.780B.920

F

(Ⅱ)AC?AE。

C.560D.1450C

8.過圓內(nèi)接△ABC的頂點(diǎn) A引切線交 BC 延長線于D，若∠B=350，∠ACB=800，則

∠D=()

A.450B.500C.550D．600

第二篇：弦切角定理證明方法

弦切角定理證明方法

(1)連OC、OA，則有OC⊥CD于點(diǎn)C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。進(jìn)而有∠OAC=∠BAC。

由此可知，0A與AB重合，即AB為⊙O的直徑。

(2)連接BC，且作CE⊥AB于點(diǎn)E。立即可得△ABC為Rt△，且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC2=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC2=AB*AD。

第一題重新證明如下：

首先證明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。

連接OA、OC、BC，則有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圓周角等于圓心角的一半)，得∠ACD=∠CBA。

另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，進(jìn)而AB為⊙O的直徑。

2證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半)

∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)

∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)

證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.求證：(弦切角定理)

證明：分三種情況：

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對(duì)的圓周角(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.過A作直徑AD交⊙O于D,若在優(yōu)弧m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)E

那么，連接EC、ED、EA

則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等

應(yīng)用舉例

例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，∠CBA=60°,AB=a求BC長.解：連結(jié)OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半)

例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).求證：EF∥BC.證明：連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.證明：∵AB是⊙O直徑

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，∵M(jìn)N切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

第三篇：弦切角定理

6.6弦切角定理

一、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握弦切角定義，能說出弦切角定理的內(nèi)容，會(huì)直接應(yīng)用這些內(nèi)容解決簡單問題；

2.理解定理的證明，并會(huì)解釋定理的應(yīng)用；

3.能獨(dú)立完成定理證明，并會(huì)靈活運(yùn)用定理解決有關(guān)證明與計(jì)算問題；

4.通過定理教學(xué)，了解數(shù)學(xué)的化歸思想、分類思想以及特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

二、教材分析

重點(diǎn)：弦切角概念的理解，弦切角定理及其推論的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用。

難點(diǎn)：弦切角定理的發(fā)現(xiàn)及證明。

三、教法設(shè)想

利用建鉤主義教學(xué)理論，構(gòu)建“問題——探究——解答——結(jié)論——問題——探究”過程，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)新知。

四、學(xué)法指導(dǎo)

通過創(chuàng)設(shè)情境，留給學(xué)生一席觀察、想象、假設(shè)、驗(yàn)證的空間，指導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索和研究，發(fā)現(xiàn)新知；通過變式訓(xùn)練和開放結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

五、教具選擇

多媒體電腦、投影機(jī)、投影儀各一臺(tái)，弦切角活動(dòng)教具。

六、過程設(shè)計(jì)

1.弦切角課題的引入

——引導(dǎo)學(xué)生親自演示活動(dòng)教具：

移動(dòng)圓周角的一條邊，產(chǎn)生無數(shù)個(gè)圓周角，當(dāng)動(dòng)邊移至與圓相切位置時(shí)，停止移動(dòng)，共同研究這個(gè)角的特性。

——全體學(xué)生共同分析，并仿照?qǐng)A心角、圓周角給這個(gè)特殊角命名。

——學(xué)生猜出這樣的角叫弦切角后，教師板書課題：6.6弦切角定理。

2.弦切角概念的定義

——教師操縱計(jì)算機(jī)，進(jìn)入圓周角變成弦切角的程序。

——學(xué)生動(dòng)手，將觀察與感知到的圖形畫到紙上。

——全體學(xué)生對(duì)自己畫出的弦切角進(jìn)行研究。

——啟發(fā)學(xué)習(xí)上有困難的學(xué)生歸納總結(jié)，得出弦切角概念的內(nèi)涵：①頂點(diǎn)在圓周上；②一邊與圓相交（弦）③另一邊與圓相切。

——提問中等生用數(shù)學(xué)語言給弦切角概念下定義。

——要求全體學(xué)生會(huì)解釋弦切角定義，明確構(gòu)成弦切角的三個(gè)必要條件。

——以反例鞏固定義：

說明弦切角定義中的三個(gè)條件缺一不可。

這一段的教學(xué)結(jié)構(gòu)是：觀察現(xiàn)象——畫出圖形——揭示屬性——通過反例——鞏固屬性，突出了事實(shí)形成的過程。

3.概念分類

——

一個(gè)圓的弦切角有無數(shù)多個(gè)，我們不可能也不必要對(duì)這無數(shù)多個(gè)弦切角逐一研

究，只要進(jìn)行分類即可。結(jié)合證明圓周角定理的分類，你能把弦切角分類嗎？ ——請(qǐng)一位基礎(chǔ)較好的學(xué)生說出分類的初步想法。

——全體學(xué)生根據(jù)這種想法分類，畫出弦切角的分類圖。

——全體學(xué)生分組討論分類標(biāo)準(zhǔn)。

——由基礎(chǔ)較好的學(xué)生總結(jié)分類標(biāo)準(zhǔn)：即以圓心與弦切角的位置關(guān)系決定：在角的一邊（弦）上，還是在角的外部或內(nèi)部。

通過類比遷移，新知轉(zhuǎn)化為舊知。

4.對(duì)弦切角定理的探索

——投影儀顯示弦切角的特殊情況，如圖

——學(xué)生觀察圖形特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)此時(shí)弦切角是直角，與其所夾

弧的度數(shù)為180°。

——由一名中等生解釋為什么。

全體學(xué)生書面證明圓心在弦切角一條邊（直徑）上時(shí)，得到

弦切角等于它所夾弧度數(shù)的一半的結(jié)論。

——由特殊猜出結(jié)論后，教師提出質(zhì)疑：特殊情況成立能否推斷一般情況也成立，我們下一步應(yīng)該研究什么？

——由定義和圓周角定理的證明，聯(lián)想下一步的教學(xué)應(yīng)考慮圓心不在弦切角一條邊上的情況。

——計(jì)算機(jī)顯示圓心在弦切角外部和圓心在弦切角內(nèi)部的兩種圖形。

——學(xué)生分組討論：怎樣實(shí)現(xiàn)將一般情況的證明轉(zhuǎn)化為特殊情況。

將知識(shí)的形成過程由學(xué)生自己給出，使他們具有成就感。

在討論的過程中既含有分類的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也體現(xiàn)了證明數(shù)學(xué)命題由特殊到一般的思想方法。

5.弦切角定理的推廣

問題：從弦切角概念產(chǎn)生的過程，你能說明與弦切角所夾的弧對(duì)著的圓周角之間的關(guān)系嗎？比較說明他們的異同點(diǎn)。

推論：弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角。

6.概念與定理的應(yīng)用 ——投影屏幕顯示一組判斷題：判斷正誤

⑴圓心角與它的夾弧所對(duì)的弦切角相等； ⑵所有的弦切角都小于180°；

——投影屏幕顯示圖形

⑴圖中有幾個(gè)弦切角？

⑵圖中有幾個(gè)圓周角？

⑶找出具有相等關(guān)系的角，并說明理由；

⑷如果∠ABC=40°，求∠BAC、∠BCM、∠CAN、∠BCN和弧BC、AC的度數(shù)； ⑸你能根據(jù)這個(gè)圖形自編一道題嗎？

在題目的設(shè)計(jì)上分層次要求，⑸是開放性題目，有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。題目的內(nèi)容，使新舊知識(shí)建立了聯(lián)系，是對(duì)本節(jié)教學(xué)目標(biāo)的檢查與評(píng)價(jià)。

——書本例2及改編

如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn)。求證：①EF∥BC

②若AD與EF交于點(diǎn)G，求證：AF·FC=GF·DC（2001年河南省中考題）（設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力）

7.應(yīng)用知識(shí)促鞏固（練習(xí)見課本P.66-67）

8.小結(jié)全文構(gòu)體系

這節(jié)課研究了弦切角的有關(guān)知識(shí)，通過學(xué)習(xí)，我們知道在圓中研究角的相互關(guān)系時(shí)，若有切線的條件，就可考慮應(yīng)用弦切角定理，為我們解決問題提供了方便。9.布置作業(yè)

（1）作業(yè)本（全班做）

（2）將例2改編為

③求證：AB·DC=AC·BD

④若FD、AB延長線交于M。求證：DM2?BM?AM

⑤若DE=32，DC+CF=6，AE∶AF=3∶2，求EG的長。（學(xué)有余力的同學(xué)做）王松萍

2002.5

第四篇：弦切角定理的證明

弦切角定理的證明

弦切角定理：定義弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.(弦切角就是切線與弦所夾的角)弦切角定理證明

證明：設(shè)圓心為O，連接OC，OB，OA。過點(diǎn)A作Tp的平行線交BC于D，則∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

證明：分三種情況：

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.過A作直徑AD交⊙O于D,那么

.(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D

那么

2連接并延長TO交圓O于點(diǎn)D，連接BD因?yàn)門D為切線，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因?yàn)門D為直徑，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

3編輯本段弦切角定義頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）如右圖所示，直線pT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB，∠TCA，∠pCA，∠pCB都為弦切角。編輯本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明：證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半）∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角）證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.求證：(弦切角定理)證明：分三種情況：(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對(duì)的圓周角B點(diǎn)應(yīng)在A點(diǎn)左側(cè)(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.過A作直徑AD交⊙O于D,若在優(yōu)弧m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)E那么，連接EC、ED、EA則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴(弦切角定理)(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)編輯本段弦切角推論推論內(nèi)容若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等應(yīng)用舉例例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，∠CBA=60°,AB=a求BC長.解：連結(jié)OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半)例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).求證：EF∥BC.證明：連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.證明：∵AB是⊙O直徑∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵M(jìn)N切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

第五篇：弦切角定理證明

弦切角定理證明

弦切角定理

編輯本段弦切角定義

頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另 一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）

如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都為弦切角。

編輯本段弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明：

證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半）

∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)

∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的'弧的圓周角）

證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.

求證：(弦切角定理)

證明：分三種情況：

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,

∴∠CAB=90=弦CA所對(duì)的圓周角 (2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.

過A作直徑AD交⊙O于D,

若在優(yōu)弧m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)E

那么，連接EC、ED、EA

則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴ ∠CEA=∠CAB

∴ (弦切角定理)

(3)圓心O在∠BAC的外部,

過A作直徑AD交⊙O于D

那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等

應(yīng)用舉例

例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，∠CBA=60° , AB=a 求BC長.

解：連結(jié)OA，OB.

∵在Rt△ABC中, ∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半)

例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).

求證：EF∥BC.

證明：連DF.

AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

證明：∵AB是⊙O直徑

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，

∵M(jìn)N切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，

∴∠MCA=∠ACD，

即AC平分∠MCD，

同理：BC平分∠NCD.

第六篇：弦切角定理

高二數(shù)學(xué)（文）選修4-1編寫：楊社鋒編號(hào)：07-08

教研組長：賈敏 教研室主任：田土娟校審：王宏奇

弦切角定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解弦切角定理的推導(dǎo)過程，掌握切線長定理、弦切角定理的內(nèi)容及其推論 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：切線長定理及弦切角定理

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：切線長定理、弦切角定理及其推論的應(yīng)用

一、基礎(chǔ)知識(shí)回顧:

1切線的判定定理及性質(zhì)：

2.切線長定理

切線長：我們把圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長

以上結(jié)論叫做切線長定理：_______________________________________________________ ____________________________________________________

注意：切線長與切線的區(qū)別：

______________________________________________________

______________________________________________________

________________________

(1)寫出圖中所有的垂直關(guān)系:

(2)寫出圖中所有的全等三角形:

(3)寫出圖中所有的相似三角形:

(4)寫出圖中所有的等腰三角形：

2弦切角定理及其推論

圓周角∠CAB，讓射線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生無數(shù)個(gè)圓周角，當(dāng)AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至與圓相切時(shí)，停止旋轉(zhuǎn)，得∠BAE

問：這時(shí)∠BAE還是圓周角嗎？為

什么？

像∠BAE這樣的角叫做弦切角，請(qǐng)你仿照?qǐng)A周角的定義，給出弦切角的定義：______________ __________________________________________________________________________________ 問題： 以下各圖中的角哪個(gè)是弦切角？

思考：(1)弦切角的三要素是什么？

(2)弦切角相對(duì)于圓心的位置，分為哪幾類？請(qǐng)?jiān)谟疑戏疆嫵鰣D。

問題:已知如圖，AB是⊙O的一條切線，A為切點(diǎn)，AC是⊙O的一條弦，則∠ADC與∠BAC有什么關(guān)系?請(qǐng)給出證明。（提示：類比圓周角定理的證明方法）

結(jié)論：弦切角定理：________________________________________________________ 問題：若兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角相等嗎？為什么？

結(jié)論：弦切角定理的推論：___________________________________________________ 三質(zhì)疑互探

例5已知如圖?1??2，EF切圓與點(diǎn)D。求證：

EF // BC

例6 已知：如圖PA，PB分別與圓O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，AC是圓O的直徑。求證：

?APB?2?BAC

四、當(dāng)堂檢測(cè)

1.如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，直線EF也是⊙O的切線，切點(diǎn)為Q，交PA、PB為E、F點(diǎn)，已知PA?12cm，求△PEF的周長.2.如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交

于E，F(xiàn).求證：EF∥BC.3.已知：如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA，PB為⊙O的切線，A和B是切點(diǎn)，BC是直徑．求證：AC∥OP．

課時(shí)作業(yè)

1.在△ABC中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O與BC、AC、AB分別相切于 D、E、F，則 AF=_____, BD=_______、CF=________

2.已知PA、PB切⊙O于A、PA=4，則⊙O的半徑為。

3.已知⊙O的半徑為3，點(diǎn)P到圓心O的距離為23，則過點(diǎn)P的兩條切線的夾角為度，切線長為。

4.BC是⊙O的弦，P是BC延長線上一點(diǎn)，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC=25°，∠ACB=80，則∠P的度數(shù)為_______．

★5.已知⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)B，PB是兩圓公切線，PA、PB分別與⊙O1、⊙O2相切于A、C，如果AP=2X-3,PC=X+3，則x=。

6.已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，過A點(diǎn)作⊙O的切線交BC的延長線于P，則∠APB等于()A．62.5°B．55°C．50°D．40°． 7.已知：如圖 7－149，PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，AC為直徑，則圖中與∠PAB相等的角的個(gè)

數(shù)為()A．1 個(gè)；B．2個(gè)；C．4個(gè)；D．5個(gè)． 8.已知如圖7－150，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AB是直徑，MN切⊙O于C點(diǎn)，∠BCM=38°，那么∠ABC的度數(shù)是（）A．38°；B．52°；C．68°；D．42°． 9.已知：如圖6，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和⊙O分別相切于點(diǎn)L、M、N、P.想一想： AB+CD與AD+BC之間有什么關(guān)系？說明你結(jié)論的正確性。

B，∠APB=60o，DA

O L

C M B

10.如圖，AB是⊙O的弦，CD是經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)M的切線.求證： ⑴ 如果AB//CD，那么AM=MB； ⑵ 如果AM=BM，那么AB//CD.★11.如下圖，△ABC的∠BAC的平分線交外接圓于D，交圓的切線BE于E． 求證：（1)．∠EBD=∠DBC；（2）．AB·BE=AE·DC．