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弦切角定義

頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另

圖示

一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角） 如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都為弦切角。

弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半. 弦切角定理證明： 證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,。 ∵∠TCB=90-∠OCB ∵∠BOC=180-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠

TCB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半） ∵∠BOC=2∠CAB（圓心角等于圓周角的兩倍） ∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角） 證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，弧是弦切角∠BAC所夾的弧. 求證：（弦切角定理） 證明：分三種情況：

（1） 圓心O在∠BAC的一邊AC上 ∵AC為直徑，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵為半圓, ∴∠CAB=90=弦CA所對(duì)的圓周角

B點(diǎn)應(yīng)在A點(diǎn)左側(cè)

（2） 圓心O在∠BAC的內(nèi)部. 過(guò)A作直徑AD交⊙O于D, 若在優(yōu)弧m所對(duì)的

劣弧上有一點(diǎn)E 那么，連接EC、ED、EA 則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴ ∠CEA=∠CAB ∴ （弦切角定理）

（3） 圓心O在∠BAC的外部, 過(guò)A作直徑AD交⊙O于D 那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴（弦切角定理）

弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等

應(yīng)用舉例

例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，∠CBA=60° , AB=a 求BC長(zhǎng). 解：連結(jié)OA，OB. ∵在Rt△ABC中, ∠C=90 ∴∠BAC=30° ∴BC=1/2a(RT△中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半）

例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn). 求證：EF∥BC. 證明：連DF. AD是∠BAC的平分線 ∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC

例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C， 求

證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 證明：∵AB是⊙O直徑 ∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B， ∵M(jìn)N切⊙O于C ∴∠MCA=∠B， ∴∠MCA=∠ACD， 即AC平分∠MCD， 同理：BC平分∠NCD.