千文網(wǎng)小編為你整理了多篇相關(guān)的《證明柯西中值定理(推薦4篇)》，但愿對(duì)你工作學(xué)習(xí)有幫助，當(dāng)然你在千文網(wǎng)還可以找到更多《證明柯西中值定理(推薦4篇)》。

第一篇：微分中值定理證明

☆例1 設(shè)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1.試證：必存在??(0,3)，使f?(?)?0

證：∵ f(x)在[0，3]上連續(xù)，∴ f(x)在[0，2]上連續(xù)，且有最大值和最小值.于是

1m?f(0)?M；m?f(1)?M；m?f(2)?M，故m?[f(0)?f(1)?f(2)]?M.由

3連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點(diǎn)c?[0,2]使得f(c)?1[f(0)?f(1)?f(2)]?1，3因此f(c)?f(3)，且f(x)在[，3]上連續(xù)，（，3）內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?0。

☆例2 設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且3?2f(x)dx?f(0)

31求證：存在??(0,1)使f(?)?0

證：由積分中值定理可知，存在c?[,1]，使得

'23?1232f(x)dx?f(c)(1?)

3得到

f(c)?3?123f(x)dx?f(0)

對(duì)f(x)在[0，c]上用羅爾定理，（三個(gè)條件都滿足）故存在??(0,c)?(0,1)，使f?(?)?0

1k0☆例3 設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)任意k?1，有f(1)?k?xe1?xf(x)dx，求證存在??(0,1)使f?(?)?(1??)f(?)

1111?x1?c證：由積分中值定理可知存在c?[0,]使得?kxef(x)dx?cef(c)(?0)

0kk?1令F(x)?xe1?xf(x)，可知F(1)?f(1)這樣F(1)?f(1)?k?1k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c)，對(duì)F(x)在[c,1]上用羅爾定理（三個(gè)條件都滿足）存在??(c,1)?(0,1)，使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x)

1??∴ F?(?)??e1[f?(?)?(1?)f(?)]?0

?又?e1??1?0，則f?(?)?(1?)f(?)

?

在例3的條件和結(jié)論中可以看出不可能對(duì)f(x)用羅爾定理，否則結(jié)論只是f?(?)?0，而且條件也不滿足。因此如何構(gòu)造一個(gè)函數(shù)F(x)，它與f(x)有關(guān)，而且滿足區(qū)間上羅爾定理的三個(gè)條件，從F?(?)?0就能得到結(jié)論成立，于是用羅爾定理的有關(guān)證明命題中，如何根據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造一個(gè)合適的F(x)是非常關(guān)鍵，下面的模型Ⅰ，就在這方面提供一些選擇。

模型Ⅰ：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0則下列各結(jié)論皆成立。

（1）存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0（為實(shí)常數(shù)）

k?1（2）存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2f(?2)?0（為非零常數(shù)）

（3）存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0（g(x)為連續(xù)函數(shù)）證：（1）令F(x)?ef(x)，在[a,b]上用羅爾定理

∵ F?(x)?lef(x)?ef?(x)

∴ 存在?1?(a,b)使F???1??le

消去因子，即證.（2）令F(x)?exf(x)，在[a,b]上用羅爾定理

F?(x)?kxk?1exfx(?)exf?x()k?1?2

存在?2?(a,b)使F?(?2)?k?2ef(?2)?e?2f?(?2)?0

kkkkklxlxlxl?1f??1??el?1f???1??0

消去因子，即證。（3）令F(x)?eG(x)f(x)，其中G?(x)?g(x)

F?(x)?g(x)e

清去因子eG(?3)G(x)f(?x)G(x)

由e?f(x)F?(?3)?0，即證。

例4 設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，f(0)?f(1)?0，f()?1，試證：

（1）存在??(,1)，使f(?)??。

（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，存在??(0,?)，使得f?(?)??[f(?)??]?1

證明：（1）令?(x)?f(x)?x，顯然它在[0, 1]上連續(xù)，又12111?(1)??1?0,?()??0，根據(jù)介值定理，存在??(,1)使?(?)?0即f(?)??

222（2）令F(x)?e??x?(x)?e??x[f(x)?x]，它在[0,?]上滿足羅爾定理的條件，故存在??(0,?)，使F?(?)?0，即

e????f???????f???????1??0 f?(?)??] 1從而

f?(?)??[（注：在例4（2）的證明中，相當(dāng)于模型Ⅰ中（1）的情形，其中取為，f(x)取為?(x)?f(x)?x）

模型Ⅱ：設(shè)f(x)，g(x)在[a,b]上皆連續(xù)，（a,b）內(nèi)皆可導(dǎo)，且f(a)?0，g(b)?0，則存在??(a,b)，使

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0

證：令F(x)?f(x)g(x)，則F(a)?F(b)?0，顯然F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理的條件，則存在??(a,b)，使F?(?)?0，即證.例5 設(shè)f(x)在[0, 1]上連續(xù)，（0, 1）內(nèi)可導(dǎo)，f(0)?0，為正整數(shù)。

求證：存在??(0,1)使得?f?(?)?kf(?)?f?(?)

證：令g(x)?(x?1)，a?0,b?1，則f(0)?0，g(1)?0，用模型Ⅱ，存在k??(0,1)使得

f?(?)(??1)k?k(??1)k?1f(?)?0

故f?(?)(??1)?kf(?)?0 則?f?(?)?kf(?)?f?(?)

例6 設(shè)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，求證f(x)在(a,b)內(nèi)任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)g(x)的零點(diǎn)

證：反證法：設(shè)a?x1?x2?b，f(x1)?0，f(x2)?0而在(x1,x2)內(nèi)g(x)?0，則令F(x)?f(x)在[x1,x2]上用羅爾定理 g(x)f(x1)f(x2)?0,F(x2)??0] g(x1)g(x2)[f(x1)?f(x2)?0,?F(x1)?（不妨假設(shè)g(x1)?0,g(x2)?0否則結(jié)論已經(jīng)成立）

則存在??(x1,x2)使F?(?)?0，得出f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0與假設(shè)條件矛盾。所以在(x1,x2)內(nèi)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)

例7 設(shè)f(x),g(x)在[a,b]二階可導(dǎo)，且g??(x)?0，又f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0

求證：（1）在（a,b）內(nèi)g(x)?0；

（2）存在??(a,b)，使

f??(?)f(?)? g??(?)g(?)

證：（1）用反證法，如果存在c?(a,b)使g(c)?0，則對(duì)g(x)分別在[a,c]和[c,b]上用羅爾定理，存在x1?(a,c)使g?(x1)?0，存在x2?(c,b)使g?(x2)?0，再對(duì)g?(x)在[x1,x2]上用羅爾定理存在x3?(x1,x2)使g??(x3)?0與假設(shè)條件g??(x)?0矛盾。所以在(a,b)內(nèi)g(x)?0（2）由結(jié)論可知即f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0，因此 令F(x)?g(x)f'(x)?g'(x)f(x)，可以驗(yàn)證F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(a)?F(b)?0滿足羅爾定理的三個(gè)條件 故存在??(a,b)，使F?(?)?0 于是f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0成立

例8 設(shè)f(x)在?0,3?上連續(xù)，（0，3）內(nèi)二階可導(dǎo)，且2f(0)??f(x)dx?f(2)?f(3)

02（I）證明 存在???0,2? 使f????f?0?

（II）證明 存在???0,3? 使f''????0 證：（I）由積分中值定理，存在???0,2?，使?f?x?dx?f????2?0?

02故存在???0,2?使2f?0??2f即f???

????f?0?

f?2??f?3??f?0?，2（Ⅱ）由2f?0??f?2??f?3?，可知∵f?x?在?2,3?上連續(xù)由價(jià)值定理可知存在c??2,3?，使f?c??f?0?，由于f?x?在?0,??上連續(xù)，?0,??內(nèi)可導(dǎo)，且f?0??f根據(jù)羅爾定理存在?1??0,??，使f'??1??0 又f?x?在??,c?上連續(xù)，??,c?內(nèi)可導(dǎo)，且f???

????f?c?根據(jù)羅爾定理存在?2???,c?（可知?2??1）使f'??2??0，最后對(duì)f'?x?在???1,?2??上用羅爾定理可知存在???1,?2??0,3?,使f"??

????0