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第一篇：微分中值定理證明

☆例1 設(shè)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1.試證：必存在??(0,3)，使f?(?)?0

證：∵ f(x)在[0，3]上連續(xù)，∴ f(x)在[0，2]上連續(xù)，且有最大值和最小值.于是

1m?f(0)?M；m?f(1)?M；m?f(2)?M，故m?[f(0)?f(1)?f(2)]?M.由

3連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點c?[0,2]使得f(c)?1[f(0)?f(1)?f(2)]?1，3因此f(c)?f(3)，且f(x)在[，3]上連續(xù)，（，3）內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?0。

☆例2 設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且3?2f(x)dx?f(0)

31求證：存在??(0,1)使f(?)?0

證：由積分中值定理可知，存在c?[,1]，使得

'23?1232f(x)dx?f(c)(1?)

3得到

f(c)?3?123f(x)dx?f(0)

對f(x)在[0，c]上用羅爾定理，（三個條件都滿足）故存在??(0,c)?(0,1)，使f?(?)?0

1k0☆例3 設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，對任意k?1，有f(1)?k?xe1?xf(x)dx，求證存在??(0,1)使f?(?)?(1??)f(?)

1111?x1?c證：由積分中值定理可知存在c?[0,]使得?kxef(x)dx?cef(c)(?0)

0kk?1令F(x)?xe1?xf(x)，可知F(1)?f(1)這樣F(1)?f(1)?k?1k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c)，對F(x)在[c,1]上用羅爾定理（三個條件都滿足）存在??(c,1)?(0,1)，使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x)

1??∴ F?(?)??e1[f?(?)?(1?)f(?)]?0

?又?e1??1?0，則f?(?)?(1?)f(?)

?

在例3的條件和結(jié)論中可以看出不可能對f(x)用羅爾定理，否則結(jié)論只是f?(?)?0，而且條件也不滿足。因此如何構(gòu)造一個函數(shù)F(x)，它與f(x)有關(guān)，而且滿足區(qū)間上羅爾定理的三個條件，從F?(?)?0就能得到結(jié)論成立，于是用羅爾定理的有關(guān)證明命題中，如何根據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造一個合適的F(x)是非常關(guān)鍵，下面的模型Ⅰ，就在這方面提供一些選擇。

模型Ⅰ：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0則下列各結(jié)論皆成立。

（1）存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0（為實常數(shù)）

k?1（2）存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2f(?2)?0（為非零常數(shù)）

（3）存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0（g(x)為連續(xù)函數(shù)）證：（1）令F(x)?ef(x)，在[a,b]上用羅爾定理

∵ F?(x)?lef(x)?ef?(x)

∴ 存在?1?(a,b)使F???1??le

消去因子，即證.（2）令F(x)?exf(x)，在[a,b]上用羅爾定理

F?(x)?kxk?1exfx(?)exf?x()k?1?2

存在?2?(a,b)使F?(?2)?k?2ef(?2)?e?2f?(?2)?0

kkkkklxlxlxl?1f??1??el?1f???1??0

消去因子，即證。（3）令F(x)?eG(x)f(x)，其中G?(x)?g(x)

F?(x)?g(x)e

清去因子eG(?3)G(x)f(?x)G(x)

由e?f(x)F?(?3)?0，即證。

例4 設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，f(0)?f(1)?0，f()?1，試證：

（1）存在??(,1)，使f(?)??。

（2）對任意實數(shù)，存在??(0,?)，使得f?(?)??[f(?)??]?1

證明：（1）令?(x)?f(x)?x，顯然它在[0, 1]上連續(xù)，又12111?(1)??1?0,?()??0，根據(jù)介值定理，存在??(,1)使?(?)?0即f(?)??

222（2）令F(x)?e??x?(x)?e??x[f(x)?x]，它在[0,?]上滿足羅爾定理的條件，故存在??(0,?)，使F?(?)?0，即

e????f???????f???????1??0 f?(?)??] 1從而

f?(?)??[（注：在例4（2）的證明中，相當(dāng)于模型Ⅰ中（1）的情形，其中取為，f(x)取為?(x)?f(x)?x）

模型Ⅱ：設(shè)f(x)，g(x)在[a,b]上皆連續(xù)，（a,b）內(nèi)皆可導(dǎo)，且f(a)?0，g(b)?0，則存在??(a,b)，使

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0

證：令F(x)?f(x)g(x)，則F(a)?F(b)?0，顯然F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理的條件，則存在??(a,b)，使F?(?)?0，即證.例5 設(shè)f(x)在[0, 1]上連續(xù)，（0, 1）內(nèi)可導(dǎo)，f(0)?0，為正整數(shù)。

求證：存在??(0,1)使得?f?(?)?kf(?)?f?(?)

證：令g(x)?(x?1)，a?0,b?1，則f(0)?0，g(1)?0，用模型Ⅱ，存在k??(0,1)使得

f?(?)(??1)k?k(??1)k?1f(?)?0

故f?(?)(??1)?kf(?)?0 則?f?(?)?kf(?)?f?(?)

例6 設(shè)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，求證f(x)在(a,b)內(nèi)任意兩個零點之間至少有一個g(x)的零點

證：反證法：設(shè)a?x1?x2?b，f(x1)?0，f(x2)?0而在(x1,x2)內(nèi)g(x)?0，則令F(x)?f(x)在[x1,x2]上用羅爾定理 g(x)f(x1)f(x2)?0,F(x2)??0] g(x1)g(x2)[f(x1)?f(x2)?0,?F(x1)?（不妨假設(shè)g(x1)?0,g(x2)?0否則結(jié)論已經(jīng)成立）

則存在??(x1,x2)使F?(?)?0，得出f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0與假設(shè)條件矛盾。所以在(x1,x2)內(nèi)g(x)至少有一個零點

例7 設(shè)f(x),g(x)在[a,b]二階可導(dǎo)，且g??(x)?0，又f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0

求證：（1）在（a,b）內(nèi)g(x)?0；

（2）存在??(a,b)，使

f??(?)f(?)? g??(?)g(?)

證：（1）用反證法，如果存在c?(a,b)使g(c)?0，則對g(x)分別在[a,c]和[c,b]上用羅爾定理，存在x1?(a,c)使g?(x1)?0，存在x2?(c,b)使g?(x2)?0，再對g?(x)在[x1,x2]上用羅爾定理存在x3?(x1,x2)使g??(x3)?0與假設(shè)條件g??(x)?0矛盾。所以在(a,b)內(nèi)g(x)?0（2）由結(jié)論可知即f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0，因此 令F(x)?g(x)f'(x)?g'(x)f(x)，可以驗證F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(a)?F(b)?0滿足羅爾定理的三個條件 故存在??(a,b)，使F?(?)?0 于是f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0成立

例8 設(shè)f(x)在?0,3?上連續(xù)，（0，3）內(nèi)二階可導(dǎo)，且2f(0)??f(x)dx?f(2)?f(3)

02（I）證明 存在???0,2? 使f????f?0?

（II）證明 存在???0,3? 使f''????0 證：（I）由積分中值定理，存在???0,2?，使?f?x?dx?f????2?0?

02故存在???0,2?使2f?0??2f即f???

????f?0?

f?2??f?3??f?0?，2（Ⅱ）由2f?0??f?2??f?3?，可知∵f?x?在?2,3?上連續(xù)由價值定理可知存在c??2,3?，使f?c??f?0?，由于f?x?在?0,??上連續(xù)，?0,??內(nèi)可導(dǎo)，且f?0??f根據(jù)羅爾定理存在?1??0,??，使f'??1??0 又f?x?在??,c?上連續(xù)，??,c?內(nèi)可導(dǎo)，且f???

????f?c?根據(jù)羅爾定理存在?2???,c?（可知?2??1）使f'??2??0，最后對f'?x?在???1,?2??上用羅爾定理可知存在???1,?2??0,3?,使f"??

????0

第二篇：積分中值定理

第一章

積分中值定理

一、本章有一個按序排列而成的定理系列，即羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西定理和泰勒定理。由于它們都擁有一個“微分中值點?”，故有時也將其統(tǒng)稱為微分中值定理，該定理系列在微分學(xué)的理論中起著極為重要的作用，故需要大家學(xué)習(xí)時要格外重視。在應(yīng)用這些定理時，要特別注意“點?”，定理只告訴了我們//的存在性，并未指出它的確切位置（實際上，許多情況下我們并不需要知道它的確切位置，只要知道//存在就足夠了），若忽視了這一點，在作題的過程中就容易出錯或無法達(dá)到目的。如設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，證明存在//，使得

a?b(b?a)2)?f(a)?f??(?)。

f(b)?2f(2

4分析：根據(jù)給出的條件以及要證明的表達(dá)式，我們往往聯(lián)想采用如下的方法

a?b)?f(a)2a?ba?b?[f(b)?f()]?[f()?f(a)]

（*）

22b?a

?[f?(?1)?f?(?2)]

2b?a

?(?1??2)f??(?)

2a?b

（a??2?。??1?b,?2????1）

2 f(b)?2f(但是，問題很明顯，由于中值定理沒有確定?1、?2的具體位置，因此不能保證?1??2?b?a，也就達(dá)不到題目的要求。但是，這種嘗試給了我們有益的啟示：我們把2（*）每一個方括號內(nèi)的值看成一個函數(shù)的函數(shù)值，從而（*）表達(dá)式即可視為某函數(shù)在一個區(qū)間的兩個端點的函數(shù)值之差，在此基礎(chǔ)上再使用中值定理，問題就可以解決。

證明：令

則?(x)在區(qū)間[a,?(x)?f(x?b?a)?f(x)，2a?b]上可以使用拉格朗日中值定理，故有 2a?bb?a)??(a)???(?1)22b?ab?a

?[f?(?1?)?f?(?1)]

2 ?((a??1?再在[?1,?1?a?b2??1?b?a2?b)

b?a（因為f(x)在(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)），]上對f?(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理2b?a則存在??(?1,?1?)?(a,b)，使得

2b?ab?a

f?(?1?)?f?(?1)?f??(?)，22從而問題得證。

二、用羅必達(dá)法則求不定式的極限，由于分類清楚、規(guī)律性強且可以連續(xù)進(jìn)行運算，故在求極限時經(jīng)常用到。但需要注意法則的使用需要滿足相應(yīng)的條件，尤其要注意以下幾點：

f?(x)f(x)?L（或?）?L1．羅必達(dá)法則的條件是充分的，也就是說，如果，則g?(x)g(x)（或?）。但是如果例如求 f?(x)f(x)振蕩發(fā)散，仍可以有極限，這一點需要引起大家的注意。?g(x)g(x)1x，limx?0sin2x0這是型未定式，極限明顯存在，但使用一次羅必達(dá)法則后，就會出現(xiàn)振蕩發(fā)散的情形，0x2sin從而問題就變的無法解決。

正確的解法應(yīng)為

原式=limx111?x?sin?lim?x?sin?0。

x?0sin2xxx?02x2．不是未定式，也去使用羅必達(dá)法則。例如求

Aext?B

lim，A與B是常數(shù)。

x???ext?1這是含參變量的極限，應(yīng)該清楚，這樣的極限往往與參變量是有關(guān)系的。但我們大多數(shù)同學(xué)在處理時會不加區(qū)別的使用羅必達(dá)法則，從而出現(xiàn)如下的錯誤：

Aext?BAtext?lim?A。

limx???ext?1x???text實際上，上面的過程只有在t?0時才是正確的！而t?0及t?0兩種情形未被考慮，因而結(jié)果必然是錯誤的。

3．不能靈活使用羅必達(dá)法則，而是視其為萬能的，以至有時會陷入“泥潭”。例如求

lim11(?cotx)。x?0xx這是一個未定式的極限，可以使用羅必達(dá)法則進(jìn)行計算。但需要注意的是，若不假思索的直接使用羅必達(dá)法則，計算起來就會很繁瑣。比較合理的辦法是先進(jìn)行有理運算，然后進(jìn)行化簡或利用等價無窮小代換，最后再使用羅必達(dá)法則就簡單多了。解法如下：

sinx?xcosxsinx?xcosx ?limx?0x?0x2sinxx3cosx?cosx?xsinx1sinx

1 ?lim?lim?。2x?0x?03x33x

原式?lim教材中有類似的例題及練習(xí)題，希望大家在學(xué)習(xí)是認(rèn)真體會。

三、泰勒公式是本章的一大難點，大家在學(xué)習(xí)時首先要清楚泰勒定理成立的條件，清楚泰勒公式、麥克勞林公式的表達(dá)形式以及常見的麥克勞林展開式。實際上，泰勒公式在證明、極限計算等方面有著廣泛而獨到的應(yīng)用，大家可以通過多做一些相應(yīng)的練習(xí)題來體會。

四、關(guān)于函數(shù)性態(tài)的研究應(yīng)注意以下幾點：

1．若f(x)為(a,b)內(nèi)的嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則必有f?(x)?0。這一結(jié)論是不正確的。例如函數(shù)f(x)?x在區(qū)間(?1,1)內(nèi)的點x?0就不滿足結(jié)論。2．若f?(x)?0，則x0必為f(x)的極值點（或曰駐點一定為極值點）。

此結(jié)論同樣錯誤。當(dāng)然，結(jié)論的逆命題也不正確。教材中有相應(yīng)的例子，相信大家會很容易理解。所以在實際求極值時，除了駐點外還需要格外注意導(dǎo)數(shù)不存在的點。

3．極大值必大于極小值。

由于極值是函數(shù)在某點鄰域內(nèi)的局部性質(zhì)，因而極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系。也就是說，函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的極大值不一定大于其在該區(qū)間內(nèi)的極小值。

五、不等式的證明

本章的內(nèi)容進(jìn)一步豐富了不等式的證明方法。

1．中值定理。由于中值定理中//是存在于區(qū)間之內(nèi)的值，很明顯把//用區(qū)間的兩個不同端點去代換時，必然產(chǎn)生不等式，這就為不等式的證明提供了一種方法，實際上中值定理確

3實是不等式證明的一種有力工具。教材以及課后練習(xí)題中有比較多的題目可以訓(xùn)練，大家自己認(rèn)真做一下，以真正掌握這種方法。

2．泰勒公式。泰勒公式證明不等式一般來說困難一些，但有些時候特別是給定的條件涉及到可導(dǎo)又給出某些具體點的導(dǎo)數(shù)時，嘗試?yán)锰├展揭彩且环N不錯的選擇。例如下題：

設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上有三階導(dǎo)數(shù)，且f(0)?0，f(1)?11，f?()?0，求證存在22??(0,1)，使得f???(?)?12。

證明：由于f(x)在[0,1]上有三階導(dǎo)數(shù)，且f?()?0，故可將f(0)、f(1)在x?展開成至二階帶拉格朗日余項的泰勒公式，即

121處2111111111f(1)?f()?f?()(1?)?f??()(1?)2?f???(?1)(1?)3，??1?1；

2222!223!22111111111 f(0)?f()?f?()(0?)?f??()(0?)2?f???(?2)(0?)3，0??2?。2222!223!22顯然，由f(1)?f(0)得

111?[f???(?1)?f???(?2)]?()3。23!2令??(?2,?1)，且使得f???(?)?max{f???(?1),f???(?2)}，則不等式得證。

3．函數(shù)單調(diào)性（導(dǎo)數(shù)）。這種方法證明不等式理論依據(jù)簡單直接，只是需要大家在構(gòu)造函數(shù)時注意一點：有時函數(shù)的構(gòu)造需要對所證明的不等式進(jìn)行一定的變化之后實施。例如下題：

證明：0?x??時，sinxx?。2?xx1x1?，則得到f?(x)?cos?。但是這2?22?此題看似簡單，若構(gòu)造函數(shù)f(x)?sin樣以來問題卻變的復(fù)雜了（當(dāng)然，利用二階導(dǎo)數(shù)借助于凹凸性問題仍可得以解決而且比較簡單），可見直接移項構(gòu)造函數(shù)并不總是最好的方法。而利用下面的方法解決起來似乎更好：

xxsin2?1

（因為原不等式可變形為2?1）令f(x)?，則 x?x?xxxcos(?tan)222?0

（0?x??時，x?tanx是我們熟知的結(jié)論）。f?(x)?2x2sin這樣問題就可以比較自然的得到證明。

第三篇：中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

摘 要

本文主要寫在不等式證明過程中常用到的幾種中值定理，其中在拉格朗日中值定理證明不等式的應(yīng)用中講了三種方法：直接公式法、變量取值法、輔助函數(shù)構(gòu)造法.在泰勒中值定理證明不等式的應(yīng)用中，給出了泰勒公式中展開點選取的幾種情況：區(qū)間的中點、已知區(qū)間的兩端點、函數(shù)的極值點或最值點、已知區(qū)間的任意點.同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好的運用泰勒中值定理證明不等式.并對柯西中值定理和積分中值定理在證明不等式過程中的應(yīng)用問題作簡單介紹.關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；積分中值定理；不等式

Abstract

This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function.in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point.And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality.And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application proce to prove the inequality were briefly discued

Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals

目 錄

摘要 ………………………………………………………………………………（I）Abstract …………………………………………………………………………（I）1 引言 ……………………………………………………………………………（1）2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 …………………………………（2）

2.1 拉格朗日中值定理…………………………………………………………（2）2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式………………………………………（2）2.2.1 直接公式法 ???????????????????????（2）2.2.2 變量取值法 ???????????????????????（4）2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法 ………………………………………………………（5）3 泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 ………………………………………（7）3.1 泰勒中值定理…………????????????????????（7）3.2 利用泰勒公式證明不等式???????????????????（7）3.2.1 中點取值法 ???????????????????????（7）3.2.2 端點取值法 ???????????????????????（9）3.2.3 極值取值法 ???????????????????????（9）3.2.4 任意點取值法 ??????????????????????（11）4 柯西中值定理在不等式證明中的應(yīng)用………………………………………（14）

4.1 柯西中值定理………………………………………………………………（14）4.2 利用柯西中值定理證明不等式……………………………………………（14）5 積分中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 ………………………………………（16）

5.1 積分中值定理????????????????????????（16）5.2 利用積分證明不等式………………………………………………………（16）結(jié)束語 ……………………………………………………………………………（18）參考文獻(xiàn) …………………………………………………………………………（19）致謝 ………………………………………………………………………………（20）

1 引言

不等式也是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中重要方法和工具.中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及積分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也稱微分中值定理)為中心，介值定理是中值定理的前奏，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定積分中值定理則是它的推廣.利用中值定理證明不等式，是比較常見和實用的方法.人們對中值定理的研究，從微積分建立之后就開始了以羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，它們建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，中值定理的主要作用在于理論分析和證明；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點等項的重要性態(tài).此外，在極值問題中有重要的實際應(yīng)用.微分中值定理是數(shù)學(xué)分析乃至整個高等數(shù)學(xué)的重要理論，它架起了利用微分研究函數(shù)的橋梁.微分中值定理從誕生到現(xiàn)在的近300年間，對它的研究時有出現(xiàn).特別是近十年來，我國對中值定理的新證明進(jìn)行了研究，僅在國內(nèi)發(fā)表的文章就近60篇.不等式的證明不僅形式多種多樣，而且證明方式多變，常見的方法有：利用函數(shù)的單調(diào)性證明，利用微分中值定理證明，利用函數(shù)的極值或最值證明等，在眾多方法中，利用中值定理證明不等式比較困難，無從下手，探究其原因，一是中值定理的內(nèi)容本身難理解，二是證明不等式，需要因式而變，對中值定理的基礎(chǔ)及靈活性要求較高.我們在日常教學(xué)中常常遇到不等式的證明問題，不等式是初等數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容之一，我們有必要把這類問題單獨拿出來進(jìn)行研究，找出它們的共性，以方便我們?nèi)蘸蟮慕虒W(xué)研究工作的開展.1

2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

2.1 拉格朗日中值定理

拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法國數(shù)學(xué)家，力學(xué)家，文學(xué)家）.拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點x0，使得

f'?x0??f(a)?f(b)(1)

b?a或

f?b??f?a??f'?x0??b?a?.(2)拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，即羅爾定理是拉格朗日定理當(dāng)f?a??f?b?時的特殊情形.拉格朗日定理中，由于a?x0?b，因而可將x0表示為

x0?a??(b?a)，?0???1?.這樣（1）式還可表示為

f?b??f?a??f'?a???b?a??，?0???1?.(3)若令b?a?h，則有

f?a?h??f?a??f'?a??h??h，?0???1?.（4）一般稱式（1）、（2）、（3）、（4）式為拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式 2.2.1 直接公式法

例2.1 證明不等式sinx1-sinx2?x1-x2成立.分析 首先要構(gòu)造一個輔助函數(shù)f?x?；a 由欲證形式構(gòu)成“形似”的函數(shù)區(qū)間.b 運用拉格朗日公式來判斷.證明 設(shè)f?x??sinx,x??x1,x2?.由拉格朗日公式（2）可得

sinx1-sinx2?f'????x1?x2?，???x1,x2?.等式兩邊同取絕對值，則有

sinx1?sinx2?f'????x1-x2.而

f????sin'xx???cos?.2

又因為 0?cos??1.因此，就得到

sinx1-sinx2?x1-x2.證畢.評注 此題如果單純地應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的方法來證明，會難以得出結(jié)論，而應(yīng)用了拉格朗日公式，再利用三角函數(shù)的簡單知識，問題就游刃而解了.例2.2 證明不等式arctanx2?arctanx1?x2-x1，（x2?x1）成立.分析 此題利用反三角函數(shù)的有關(guān)知識，構(gòu)造一個輔助函數(shù)f?x??arctanx，再利用拉格朗日中值定理就可以輕輕松松地解出此題.證明 設(shè)f?x??arctanx,f?x?在?x1,x2?上滿足拉格朗日定理的全部條件，因此有

arctanx2?arctanx1?1（x2?x1），x0??x1,x2?.21?x0因為1?1，可得 21?x0arctanx2?arctanx1?x2?x1.例2.3[3] 證明pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1?a?b?,(p?1,a?b?0).證明 設(shè)函數(shù)，f(x)?xp，則，f(a)?f(b)?ap?bp．不難看出f(x)在區(qū)間?b,a?上滿足拉格朗日定理條件，于是存在???b,a?，使

f(a)?f(b)?(a?b)f'(?).由于f'?x??pxp?1，所以f'(?)?p?p-1，上式為

ap?bp?(a?b)p?p?1.因為xp當(dāng)p?1時為單調(diào)增函數(shù)，b???a，所以

bp-1??p-1?ap-1.兩邊同時乘以p?a?b?，則得

pbp?1(a?b)?p?p?1(a?b)?pap?1(a?b)，即

pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1(a?b)，證畢.2.2.2 變量取值法

例2.4 證明不等式

b?abb-a?ln? 成立，其中?b?a?0?.baa分析（1）根據(jù)題中式子構(gòu)造一個相似函數(shù)，f?x??lnx和定義區(qū)間?a,b?.（2）利用對數(shù)的四則運算法則，將對數(shù)式整理成拉格朗日中值定理所滿足的形式，從而得出結(jié)論.證明 設(shè)f?x??lnx，x??a,b?.由拉格朗日公式（3），則有

lnbb-a?lnb-lna?.（1）aa??b-a??由不等式0???1，可推得

a?a??b-a????b及代入（1），即

b?abb-a?ln?.證畢.baab評注 解此題關(guān)健在于觀察要證明的不等式中把對數(shù)式ln拆開成ab-ab?ab-a??.ba?(b?a)?alnb-lna，再利用拉格朗日的公式來輕松地得出結(jié)論.例2.4 證明不等式

h?ln?1?h??h，對一切h?-1，h?0成立.1?h分析 此題首先利用對數(shù)的有關(guān)知識，構(gòu)造了一個輔助函數(shù)lnx，再利用拉格朗日中值定理解出此題.證明 由拉格朗日公式（4），令a?1，f(x)?lnx.則有

ln?1?h??ln?1?h?-ln1?h1???h0???1.，（1）

當(dāng)h?0時，由不等式 0???1，可推得

1?1???h?1?h及

hh??h.（2）1?h1???h當(dāng)-1?h?0時，由不等式0???1，可知

1?1???h?1?h?0.由于h?0，可推（2）式成立，將（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.評注 證明此種不等式的關(guān)健是構(gòu)造一個輔助函數(shù)，再利用初等數(shù)學(xué)的有關(guān)知識來證明不等式.例2.5 證明若x?0，則ex?1?x.證明 令f(x)?ex，則f(x)在R上連續(xù)、可導(dǎo)，且f'(x)?ex.（0,x）情形一 當(dāng)x?0時，由拉格朗日定理知???使

ex?e0?e?(x?0).整理有ex?e?x.因為e??1，所以有ex?x.（x,0）情形二 當(dāng)x?0時，由拉格朗日中值定理知???，使

e0?ex?e?(0?x).整理有ex?xe?.因為此時0?e??1，三邊同時乘以x，0?xe??x 所以ex?x成立.綜上所述，當(dāng)x?0時，ex?x成立.從以上例題可以發(fā)現(xiàn)：靈活構(gòu)造“a,b”的取值，不僅可使證明過程簡單，有時甚至是解題的關(guān)鍵.2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法

例2.6[4] 設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，又f(x)不為形如，使f'(?)?Ax?B的函數(shù)．證明至少存在一點?（a???b）證明 做輔導(dǎo)函數(shù)

g(x)?f(a)?則g?x?為形如Ax?B的函數(shù)．

因為f(x)不為形如Ax?B的函數(shù)，所以至少存在一點c?(a,b)，使

f(b)?f(a)(x?a)，b?af(b)?f(a).b?a

f(c)?g(c),但f(a)?g(a)，f(b)?g(b).情形一 f(c)?g(c)，此時

f(b)?f(a)??f(a)?(c?a)?f(a)?f(c)?f(a)g(c)?g(a)?f(b)?f(a)b?a?????

c?ac?ac?ab?a即

f(c)?f(a)f(b)?f(a)?.c?ab?a（a,c）因為?a,c???a,b?，所以由中值定理知??1?，使

f(c)?f(a)，c?af(b)?f(a)從而有 f'(?1)?.b?a f'(?1)?情形二 f(c)?g(c)，此時

f(b)?f(a)??f(b)??f(a)?(c?a)?f(b)?f(c)g(b)?g(c)b?a???f(b)?f(a)，??b?cb?cb?ab?a即

f(b)?f(c)f(b)?f(a)?.b?cb?a因為?c,b???a,b?，所以由拉格朗日中值定理，??2?(c,b)使得

f'??2??從而有

f'??2??f?b??f?c?，b?cf?b??f?a?.b?a綜上所述，在?a,b?內(nèi)至少有一點?使原式成立.證畢.許多證明題都不能直接應(yīng)用定理進(jìn)行證明．利用拉格朗日中值定理證明問題時，如何構(gòu)造輔助函數(shù)，是證明的關(guān)鍵.6

3 泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

3.1 泰勒中值定理

泰勒中值定理 如果函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間?a,b?內(nèi)有直到n?1階導(dǎo)數(shù)，則對任一點x0?(a,b)，有

f''(x0)f(n)(x0)f(n?1)(?)2nf(x)?f(xo)?f'(xo)(x?x0)?(x?x0)?????(x?xo)?(x?x0)n?12!n!(n?1)!其中?是x0與x之間的某個值，上式稱為f(x)按(x?x0)的冪展開的n階泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函數(shù)展開點x?(a,b)的不同情況來證明不等式.3.2 利用泰勒公式證明不等式 3.2.1 中點取值法

選區(qū)間中點展開是較常見的一種情況，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹担ㄟ^兩式相加，并對某些項進(jìn)行放縮，便可將多余的項去掉而得所要的不等式.下面以實例說明.例3.1[5] 設(shè)在區(qū)間?a,b?內(nèi)，f''(x)> 0，試證：對于?a,b?內(nèi)的任意兩個不同點x1和x2，有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.22f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是x0與x之間的某個值.上式中分別取x?x1及x2，f''??1??x1?x0?2,???x1,x0?； 2!f''??2??x2?x0?2,???x0,x2?.f?x2??f?x0??f'?x0??x2?x0??2!f?x1??f?x0??f'?x1?x0??上面兩式相加，得

f?x1??f?x2??2f?x0??f''??1??x1?x0?2?f''??2??x2?x0?2.2!2!因為f''(x)?0，所以，f?x1??f?x2??2f?x0?，即

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?注(1)若題中條件“f''(x)?0”改為“f''(x)?0”，而其余條件不變，則結(jié)論改為

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?(2)若例1的條件不變，則結(jié)論可推廣如下：

對?a,b?內(nèi)任意n個不同點x1,x2???xn及?1，?2，???,?n?(0,1)且??1?1，有

i?1n?n?n f???ixi????if?xi?.?i?1?i?1例3.2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(a?b)?0，證明 2?abM?b?a?f?x?dx?,其中M?maxf''?x?.a?x?b243證明 將f(x)在x0?a?b處展開，得 2 f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是 x0與x之間的某個值.因為f(f''????x?x0?2.2!a?b)?0，所以有 2 f?x??f'?x0??x?x0??上式在?a,b?作定積分，然后取絕對值

f''????x?x0?2，2!?abf?x?dx?f''????2???????f'xx?x?x?x000?dx ?a?2!??b1 ?2?baf''????x-x0?2Mdx?2M3????x-xdx?b-a.0?ab224 即

?baf?x?dx?M?b?a?3.2

3.2.2 端點取值法

當(dāng)條件中出現(xiàn)f'(a)?f'(b)?0，而欲證式中出現(xiàn)廠f(a),f(b),f''(?)，展開點常選為區(qū)間兩端點a,b,然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，消去多余的項，可得待證的不等式.例3.3 函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)，且f'(a)?f'(b)?0，證明：在?a,b?內(nèi)至少存在一點?，使得f''????4f?b??f?a??b?a?2.證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f''??1??x?a?2,?1??a,x?； 2!f''??2??x?b?2,?2??x,b?.f?x??f?b??f'?b??x?b??2!a?b上面兩式中取x?，2 f?x??f?a??f'?a??x?a??b?af''??1??b?a??a?b? f????f?a??f'?a????；

22!?2??2?2b?af''??2??b?a??b?a? f????f?b??f'?b????.222!2????2上面兩式相減，并由f'(a)?f'(b)?0，得

2?b?a?f?b??f?a??8(b?a)2?f''??2??f''??1??.f''??2??f''??1??8 記

f''????max?f''??1??f''??2??.其中，???1或?2.于是，有

2?b?a?f?b??f?a??4f''???,即f''????4f?b??f?a??b?a?2.3.2.3 極值取值法

當(dāng)題中不等式出現(xiàn)函數(shù)的極值或最值項，展開點常選為該函數(shù)的極值點或最

值點.例3.4[6] 設(shè)函數(shù)f(x))在區(qū)間?a,b?內(nèi)二階可導(dǎo)，且存在極值f(c)及點p?(a,b)，使f(c)f(p)?0，試證：至少存在一點??(a,b)，使f'(c)f''(?)?0.證明 將f(x)在x0?c處展開，得

f?x??f?c??f'?c??x?c??其中，? 介于c與x之間.上式取x?p，并由f'(c)?0，得

f?p??f?c??f''????p?c?2，2!f''????p?c?2，2！其中?介于c與p之間.兩邊同乘以f(c)，得

f?p?f?c??f2?c??f''???2f?c??p?c?，2!?a?b?（1）當(dāng)x0??a,?時，上式取x?a，得

2??f?x0?即

f''????a?x0?2??b?a?f''???,???a,x0?.?2!82f''????8?b?a?2f?x0?.?a?b?（2）當(dāng)x0??a,?時，上式取x?b，同理可得

2??f''????8?b?a?2f?x0?,???x0,b?.由(1)及(2)得，存在??(a,b)，使得

f''????8maxf?x?.?b?a?2x??a,b?再由f''(x)的連續(xù)性，得

maxf''?x??x??a,b?8?b?a?2x??a,b?maxf?x?

注(1)當(dāng)題中條件“連續(xù)”去掉，而其他條件不變時，結(jié)論可改為在?a,b?內(nèi)至少存在一點，使得

f''????8?b?a?2x??a,b?maxf?x?成立

(2)當(dāng)題中條件添加maxf(x)?0時，結(jié)論可改為：在?a,b?內(nèi)至少存在一點

x??a,b??，使得f''(?)?8maxf(x)成立.2x??a,b?(b?a)3.2.4 任意點取值法

當(dāng)題中結(jié)論考察f(x),f'(x),f''(x)的關(guān)系時，展開點常選為該區(qū)間內(nèi)的任意點，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹担δ承╉椬鞣趴s處理，得所要的不等式.例3.5[7] 函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上二階可導(dǎo)，且f(x)≤A，f''(x)≤ B，其中A，B為非負(fù)常數(shù)，試證：f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)在x0?(a,b)處展開，f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?介于x0與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?x0??f'?x0??x?x0??f?b??f?x0??f'?x0??x?x0??f''??1??a?x0?2,?1??a,x0?； 2!f''??2??b?x0?2,?2??x0,b?.2!上面兩式相減，得

f?b??f?a??f'?x0??b?a??122f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.2??

即

f'?x0??f?b??f?a?122?f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.b?a2?b?a???故

f'?x0??1?f?b??f?a???1f''??2??b?x0?2?f''??1??a?x0?2 b?a2?b?a?2AB?b?x0?2??x0?a?2 ?b?a2?b?a??? ??? ?2A?B?b-a?.b-a22AB即f'?x????b?a?，再由x0的任意性，b?a2故有

f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2例3.6 函數(shù)f(x)在區(qū)問?a,b?上二階可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，M?maxf''(x)，試證x?[a,b]?baM?b?a?f?x?dx?.123證明 將f(x)在t??a,b?處展開，f?x??f?t??f'?t??x?t??其中車?于t與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?t??f'?t??x?t??f''??1??a?t?2,?1??a,t?； 2!f''??2??b?t?2,?2??t,b?.f?b??f?t??f'?t??x?t??2!f''????x?t?2，2!

上邊兩式相加，得

f?t???1122f'?t??a?b?2t??f''??1??a?t??f''??2??b?t?.24??上式兩端在?a,b?上對t作積分，12

b?a1b1b22f?t?dt???f'?t??a?b?2t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt

2a4ab1b22???f?t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt.a4a????于是有

?ba1b22f?t?dt???f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt，8a???ba1b2f?t?dt????af''??1??a?t?dt?8?b??2? ????[f''?b?t]dt?2?a?bMb2 ????a?a?t?dt?8?即

??M?b?a?.??b?tdt??a12?32?baM?b?a?f?x?dx?.123注 從不等式的特點出發(fā)，應(yīng)用實際范例給出了泰勒公式中展開點選取的幾種情況：區(qū)間的中點，已知區(qū)間的兩端點，函數(shù)的極值點或最值點，已知區(qū)間的任意點.同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好地運用泰勒中值定理證明不等式.13

4 柯西中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

4.1 柯西中值定理

柯西中值定理 設(shè)函數(shù)f?x?，g?x?滿足

（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)；

（3）對任一x??a,b?有g(shù)?x??0，則存在???a,b?，使得?f?b??f?a??/?g?b??g?a??=f'???/g'???.4.2 利用柯西中值定理證明不等式

例4.1 設(shè)函數(shù)f?x?在?-1,1?內(nèi)可微，f?0??0,f'?x??1，證明：在?-1,1?內(nèi)，f?x??1.證明 引入輔助函數(shù)g?x??x,在?0,x??或?x,o??上?x???1,1??應(yīng)用柯西中值定理，得

f?x?-f?0?f'?????f'???.g?x?-g?0?1

因為f?0??0,g?0??0,且f??x??1,所以

f?x??f?????1?f?x??x?1.g?x?例4.2[8] 證明不等式1?xlnx?1?x2?1?x2?x?0?.證明 令f?x??xlnx?1?x2,g?x??1?x2?1,則上式轉(zhuǎn)化為f?x??g?x??x?0?.由于上應(yīng)用柯西中值定理，得

????

f?x?f?x??f?0?f??????,g?x?g?x??g?0?g????于是f?x??g?x?又轉(zhuǎn)化為f'????g'???.14

因為

2ln????1???f????g?????1??2??1??2?1?1??2ln??1??2???

1而當(dāng)x???0時，1??2ln??1??2?0,所以

???f?????1?f?????g?????f?x??g?x?, ?g???即

1?xlnx?1?x2?1?x2.例4.3[9]

若0?x1?x2?x2x1??

?2，求證：ex2?ex1??cosx1?cosx2?ex1.x1ex2?ex1?ex1，證明 證明e?e??cosx1?cosx2?e，實際上只需證

cosx1?cosx2設(shè)f?t??et,g?t??cost,則f?t?,g?t?在?x1,x2?上，滿足柯西中值定理條件，所以

f?x2??f?x1?f'?c? c??x1,x2?.?g?x2??g?x1?g'?c?ex2?ex1ee?即

0?x1?c?x2?.?cosx2?cosx1?sinc2ex2?ex1??cosx1?cosx2?ec1??cosx1?cosx2?ec??cosx1?cosx2?ex1.sinc其中用到1?1及ex是單調(diào)增加函數(shù).sinc

5 積分中值定理證明不等式

5.1積分中值定理

定理5.1(積分第一中值定理)若f?x?在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一點?使得

f?x?dx?f????b?a?,a???b.?

ab 定理5.2(推廣的積分第一中值定理)若f?x?,g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且g?x?在?a,b?上不變號，則在?a,b?至少存在一點?，使得

?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx,a???b.aabb5.2 利用積分中值定理證明不等式

例5.1[11]

11x91??dx?.證明

1010201?xb 證明 估計積分?f?x?g?x?dx的一般的方法是:求f?x?在?a,b?的最大值Ma和最小值m，又若g?x??0，則

m?g?x?dx??f?x?g?x?dx?M?g?x?dx.aaabbb本題中令

f?x??因為

11??1，x??0,1?.21?x1?0?x?1?.,g?x??x9?0，1?x所以

111119x919dx??xdx?dx?x.???0001010221?x例5.2 證明2e?14??ex2?xdx?2e2.02 證明 在區(qū)間?0,2?上求函數(shù)f?x??ex2?x的最大值M和最小值m.16

f??x???2x?1?ex2?x，令f??x??0，得駐點x?1.2?1??1??12?上的最小值，而f?2??e2為比較f??，f?0?，f?2?知f???e4為f?x?在?0，?2??2?2?上的最大值.由積分中值定理得 f?x?在?0，e即

?14?2?0???0ex?xdx?e2?2?0?，222e??ex2?xdx?2e2.0?142注 由于積分具有許多特殊的運算性質(zhì)，故積分不等式的證明往往富有很強的技巧性.在證明含有定積分的不等式時，也?？紤]用積分中值定理，以便去掉積分符號，若被積函數(shù)是兩個函數(shù)之積時，可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如1和2例題時，可以根據(jù)估計定積分的值在證明比較簡單方便.17

結(jié)束語

深入挖掘滲透在這一定理中的數(shù)學(xué)思想，對于啟迪思維，培養(yǎng)創(chuàng)造能力具有重要 意義.偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特說“數(shù)學(xué)的生命力在于聯(lián)系” ．?dāng)?shù)學(xué)中存在著概念之間的親緣關(guān)系，存在著理論結(jié)構(gòu)各要素之間的聯(lián)系，存在著方法和理論之間的聯(lián)系，存在著這一分支鄰域與那一分支鄰域等各種各樣的聯(lián)系，因此探索數(shù)學(xué)中各種各樣的聯(lián)系乃是指導(dǎo)數(shù)學(xué)研究的一個重要思想．實際上，具體地分析事物的具體聯(lián)系，是正確認(rèn)識和改造客觀世界必不可少的思維方式在一定的意義上說，數(shù)學(xué)的真正任務(wù)就在于揭示數(shù)學(xué)對象之間、數(shù)學(xué)方法之間的內(nèi)在固有聯(lián)系，這一任務(wù)的解決不斷推動數(shù)學(xué)科學(xué)向前發(fā)展．

中值定理在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對于原來的式子要從哪去證明，很不容易去聯(lián)系其它，只從式子本身所表達(dá)的意思去證明.今后應(yīng)當(dāng)注重研究中值定理各定理之間的聯(lián)系，更好的應(yīng)用中值定理解決不等式的證明.中值定理是一條重要定理，它在微積分中占有重要的地位，起著重要的作用，18

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致謝

從2008年9月到現(xiàn)在，我在黃淮學(xué)院已經(jīng)渡過接近四年的時光．在論文即將完成之際，回想起大學(xué)生活的日日夜夜，百感交集.在大學(xué)學(xué)習(xí)的四年時間里，正是老師們的悉心指導(dǎo)、同學(xué)們的熱情關(guān)照、家人的理解支持，給了我力量，從而得以順利完成學(xué)業(yè)．在此對他們表示誠摯的謝意!本論文是在導(dǎo)師鐘銘的悉心指導(dǎo)下完成的.導(dǎo)師淵博的專業(yè)知識，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠(yuǎn).他對數(shù)學(xué)理論在經(jīng)濟(jì)，金融領(lǐng)域中的應(yīng)用的想法和建議，使學(xué)生受益匪淺、銘刻終生.本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血.在此，謹(jǐn)向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！

感謝數(shù)學(xué)科學(xué)系其他老師講授的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，為我夯實了數(shù)學(xué)研究的理論基礎(chǔ)，他們是李東亞老師、魏本成老師、龐留勇老師、侯亞林老師等．感謝數(shù)學(xué)系全體領(lǐng)導(dǎo)、老師、同學(xué)創(chuàng)造了一個寬松，自由的學(xué)習(xí)環(huán)境.此外我還感謝室友馮克飛、王寧對我的論文完成過程中給我的指導(dǎo)，她們深厚的數(shù)學(xué)功底以及對數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件操作等方面的知識給了我很大的幫助．

最后深深地感謝我的父母，把最誠摯的感謝送給他們，感謝他們無微不至的關(guān)心和支持，感謝他們的無私奉獻(xiàn)以及為我所做的一切．