千文網(wǎng)小編為你整理了多篇相關(guān)的《柯西中值定理證明過(guò)程》，但愿對(duì)你工作學(xué)習(xí)有幫助，當(dāng)然你在千文網(wǎng)還可以找到更多《柯西中值定理證明過(guò)程》。

第一篇：大中值定理

中值定理 函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)不同的的函數(shù)；而導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特征；如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，微分中值定理就是這種作用。微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。拉格朗日中值定理，建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過(guò)導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的性態(tài)；中值定理的主要作用在于理論分析和證明；同時(shí)由柯西中值定理還可導(dǎo)出一個(gè)求極限的洛必達(dá)法則。中值定理的應(yīng)用主要是以中值定理為基礎(chǔ)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上升，下降，取極值，凹形，凸形和拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要性態(tài)。從而能把握住函數(shù)圖象的各種幾何特征。在極值問(wèn)題上也有重要的實(shí)際應(yīng)用。

微積分學(xué)基本定理指出，求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運(yùn)算[把上下限代入不定積分即得到積分值，而微分則是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積]。

微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無(wú)限細(xì)分’就是微分，‘無(wú)限求和’就是積分。

代數(shù)無(wú)法處理“無(wú)限”的概念。所以為了要利用代數(shù)處理代表無(wú)限的量，於是精心構(gòu)造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，我們可以知道，這個(gè)概念繞過(guò)了用一個(gè)數(shù)除以0的麻煩，而引入了一個(gè)過(guò)程任意小量。就是說(shuō)，除數(shù)不是零，所以有意義，同時(shí)，這個(gè)過(guò)程小量可以取任意小，只要滿足在Δ的區(qū)間內(nèi)，都小于該任意小量，我們就說(shuō)他的極限為該數(shù)——你可以認(rèn)為這是投機(jī)取巧，但是，他的實(shí)用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能。這個(gè)概念是成功的。

定理證明

正弦定理證明

羅爾定理證明

費(fèi)馬定理證明

費(fèi)馬大定理證明

第二篇：微分中值定理證明

☆例1 設(shè)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1.試證：必存在??(0,3)，使f?(?)?0

證：∵ f(x)在[0，3]上連續(xù)，∴ f(x)在[0，2]上連續(xù)，且有最大值和最小值.于是

1m?f(0)?M；m?f(1)?M；m?f(2)?M，故m?[f(0)?f(1)?f(2)]?M.由

3連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點(diǎn)c?[0,2]使得f(c)?1[f(0)?f(1)?f(2)]?1，3因此f(c)?f(3)，且f(x)在[，3]上連續(xù)，（，3）內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?0。

☆例2 設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且3?2f(x)dx?f(0)

31求證：存在??(0,1)使f(?)?0

證：由積分中值定理可知，存在c?[,1]，使得

'23?1232f(x)dx?f(c)(1?)

3得到

f(c)?3?123f(x)dx?f(0)

對(duì)f(x)在[0，c]上用羅爾定理，（三個(gè)條件都滿足）故存在??(0,c)?(0,1)，使f?(?)?0

1k0☆例3 設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)任意k?1，有f(1)?k?xe1?xf(x)dx，求證存在??(0,1)使f?(?)?(1??)f(?)

1111?x1?c證：由積分中值定理可知存在c?[0,]使得?kxef(x)dx?cef(c)(?0)

0kk?1令F(x)?xe1?xf(x)，可知F(1)?f(1)這樣F(1)?f(1)?k?1k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c)，對(duì)F(x)在[c,1]上用羅爾定理（三個(gè)條件都滿足）存在??(c,1)?(0,1)，使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x)

1??∴ F?(?)??e1[f?(?)?(1?)f(?)]?0

?又?e1??1?0，則f?(?)?(1?)f(?)

?

在例3的條件和結(jié)論中可以看出不可能對(duì)f(x)用羅爾定理，否則結(jié)論只是f?(?)?0，而且條件也不滿足。因此如何構(gòu)造一個(gè)函數(shù)F(x)，它與f(x)有關(guān)，而且滿足區(qū)間上羅爾定理的三個(gè)條件，從F?(?)?0就能得到結(jié)論成立，于是用羅爾定理的有關(guān)證明命題中，如何根據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造一個(gè)合適的F(x)是非常關(guān)鍵，下面的模型Ⅰ，就在這方面提供一些選擇。

模型Ⅰ：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0則下列各結(jié)論皆成立。

（1）存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0（為實(shí)常數(shù)）

k?1（2）存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2f(?2)?0（為非零常數(shù)）

（3）存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0（g(x)為連續(xù)函數(shù)）證：（1）令F(x)?ef(x)，在[a,b]上用羅爾定理

∵ F?(x)?lef(x)?ef?(x)

∴ 存在?1?(a,b)使F???1??le

消去因子，即證.（2）令F(x)?exf(x)，在[a,b]上用羅爾定理

F?(x)?kxk?1exfx(?)exf?x()k?1?2

存在?2?(a,b)使F?(?2)?k?2ef(?2)?e?2f?(?2)?0

kkkkklxlxlxl?1f??1??el?1f???1??0

消去因子，即證。（3）令F(x)?eG(x)f(x)，其中G?(x)?g(x)

F?(x)?g(x)e

清去因子eG(?3)G(x)f(?x)G(x)

由e?f(x)F?(?3)?0，即證。

例4 設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，f(0)?f(1)?0，f()?1，試證：

（1）存在??(,1)，使f(?)??。

（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，存在??(0,?)，使得f?(?)??[f(?)??]?1

證明：（1）令?(x)?f(x)?x，顯然它在[0, 1]上連續(xù)，又12111?(1)??1?0,?()??0，根據(jù)介值定理，存在??(,1)使?(?)?0即f(?)??

222（2）令F(x)?e??x?(x)?e??x[f(x)?x]，它在[0,?]上滿足羅爾定理的條件，故存在??(0,?)，使F?(?)?0，即

e????f???????f???????1??0 f?(?)??] 1從而

f?(?)??[（注：在例4（2）的證明中，相當(dāng)于模型Ⅰ中（1）的情形，其中取為，f(x)取為?(x)?f(x)?x）

模型Ⅱ：設(shè)f(x)，g(x)在[a,b]上皆連續(xù)，（a,b）內(nèi)皆可導(dǎo)，且f(a)?0，g(b)?0，則存在??(a,b)，使

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0

證：令F(x)?f(x)g(x)，則F(a)?F(b)?0，顯然F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理的條件，則存在??(a,b)，使F?(?)?0，即證.例5 設(shè)f(x)在[0, 1]上連續(xù)，（0, 1）內(nèi)可導(dǎo)，f(0)?0，為正整數(shù)。

求證：存在??(0,1)使得?f?(?)?kf(?)?f?(?)

證：令g(x)?(x?1)，a?0,b?1，則f(0)?0，g(1)?0，用模型Ⅱ，存在k??(0,1)使得

f?(?)(??1)k?k(??1)k?1f(?)?0

故f?(?)(??1)?kf(?)?0 則?f?(?)?kf(?)?f?(?)

例6 設(shè)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，求證f(x)在(a,b)內(nèi)任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)g(x)的零點(diǎn)

證：反證法：設(shè)a?x1?x2?b，f(x1)?0，f(x2)?0而在(x1,x2)內(nèi)g(x)?0，則令F(x)?f(x)在[x1,x2]上用羅爾定理 g(x)f(x1)f(x2)?0,F(x2)??0] g(x1)g(x2)[f(x1)?f(x2)?0,?F(x1)?（不妨假設(shè)g(x1)?0,g(x2)?0否則結(jié)論已經(jīng)成立）

則存在??(x1,x2)使F?(?)?0，得出f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0與假設(shè)條件矛盾。所以在(x1,x2)內(nèi)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)

例7 設(shè)f(x),g(x)在[a,b]二階可導(dǎo)，且g??(x)?0，又f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0

求證：（1）在（a,b）內(nèi)g(x)?0；

（2）存在??(a,b)，使

f??(?)f(?)? g??(?)g(?)

證：（1）用反證法，如果存在c?(a,b)使g(c)?0，則對(duì)g(x)分別在[a,c]和[c,b]上用羅爾定理，存在x1?(a,c)使g?(x1)?0，存在x2?(c,b)使g?(x2)?0，再對(duì)g?(x)在[x1,x2]上用羅爾定理存在x3?(x1,x2)使g??(x3)?0與假設(shè)條件g??(x)?0矛盾。所以在(a,b)內(nèi)g(x)?0（2）由結(jié)論可知即f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0，因此 令F(x)?g(x)f'(x)?g'(x)f(x)，可以驗(yàn)證F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(a)?F(b)?0滿足羅爾定理的三個(gè)條件 故存在??(a,b)，使F?(?)?0 于是f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0成立

例8 設(shè)f(x)在?0,3?上連續(xù)，（0，3）內(nèi)二階可導(dǎo)，且2f(0)??f(x)dx?f(2)?f(3)

02（I）證明 存在???0,2? 使f????f?0?

（II）證明 存在???0,3? 使f''????0 證：（I）由積分中值定理，存在???0,2?，使?f?x?dx?f????2?0?

02故存在???0,2?使2f?0??2f即f???

????f?0?

f?2??f?3??f?0?，2（Ⅱ）由2f?0??f?2??f?3?，可知∵f?x?在?2,3?上連續(xù)由價(jià)值定理可知存在c??2,3?，使f?c??f?0?，由于f?x?在?0,??上連續(xù)，?0,??內(nèi)可導(dǎo)，且f?0??f根據(jù)羅爾定理存在?1??0,??，使f'??1??0 又f?x?在??,c?上連續(xù)，??,c?內(nèi)可導(dǎo)，且f???

????f?c?根據(jù)羅爾定理存在?2???,c?（可知?2??1）使f'??2??0，最后對(duì)f'?x?在???1,?2??上用羅爾定理可知存在???1,?2??0,3?,使f"??

????0

第三篇：積分中值定理

第一章

積分中值定理

一、本章有一個(gè)按序排列而成的定理系列，即羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西定理和泰勒定理。由于它們都擁有一個(gè)“微分中值點(diǎn)?”，故有時(shí)也將其統(tǒng)稱為微分中值定理，該定理系列在微分學(xué)的理論中起著極為重要的作用，故需要大家學(xué)習(xí)時(shí)要格外重視。在應(yīng)用這些定理時(shí)，要特別注意“點(diǎn)?”，定理只告訴了我們//的存在性，并未指出它的確切位置（實(shí)際上，許多情況下我們并不需要知道它的確切位置，只要知道//存在就足夠了），若忽視了這一點(diǎn)，在作題的過(guò)程中就容易出錯(cuò)或無(wú)法達(dá)到目的。如設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，證明存在//，使得

a?b(b?a)2)?f(a)?f??(?)。

f(b)?2f(2

4分析：根據(jù)給出的條件以及要證明的表達(dá)式，我們往往聯(lián)想采用如下的方法

a?b)?f(a)2a?ba?b?[f(b)?f()]?[f()?f(a)]

（*）

22b?a

?[f?(?1)?f?(?2)]

2b?a

?(?1??2)f??(?)

2a?b

（a??2?。??1?b,?2????1）

2 f(b)?2f(但是，問(wèn)題很明顯，由于中值定理沒(méi)有確定?1、?2的具體位置，因此不能保證?1??2?b?a，也就達(dá)不到題目的要求。但是，這種嘗試給了我們有益的啟示：我們把2（*）每一個(gè)方括號(hào)內(nèi)的值看成一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值，從而（*）表達(dá)式即可視為某函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值之差，在此基礎(chǔ)上再使用中值定理，問(wèn)題就可以解決。

證明：令

則?(x)在區(qū)間[a,?(x)?f(x?b?a)?f(x)，2a?b]上可以使用拉格朗日中值定理，故有 2a?bb?a)??(a)???(?1)22b?ab?a

?[f?(?1?)?f?(?1)]

2 ?((a??1?再在[?1,?1?a?b2??1?b?a2?b)

b?a（因?yàn)閒(x)在(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)），]上對(duì)f?(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理2b?a則存在??(?1,?1?)?(a,b)，使得

2b?ab?a

f?(?1?)?f?(?1)?f??(?)，22從而問(wèn)題得證。

二、用羅必達(dá)法則求不定式的極限，由于分類清楚、規(guī)律性強(qiáng)且可以連續(xù)進(jìn)行運(yùn)算，故在求極限時(shí)經(jīng)常用到。但需要注意法則的使用需要滿足相應(yīng)的條件，尤其要注意以下幾點(diǎn)：

f?(x)f(x)?L（或?）?L1．羅必達(dá)法則的條件是充分的，也就是說(shuō)，如果，則g?(x)g(x)（或?）。但是如果例如求 f?(x)f(x)振蕩發(fā)散，仍可以有極限，這一點(diǎn)需要引起大家的注意。?g(x)g(x)1x，limx?0sin2x0這是型未定式，極限明顯存在，但使用一次羅必達(dá)法則后，就會(huì)出現(xiàn)振蕩發(fā)散的情形，0x2sin從而問(wèn)題就變的無(wú)法解決。

正確的解法應(yīng)為

原式=limx111?x?sin?lim?x?sin?0。

x?0sin2xxx?02x2．不是未定式，也去使用羅必達(dá)法則。例如求

Aext?B

lim，A與B是常數(shù)。

x???ext?1這是含參變量的極限，應(yīng)該清楚，這樣的極限往往與參變量是有關(guān)系的。但我們大多數(shù)同學(xué)在處理時(shí)會(huì)不加區(qū)別的使用羅必達(dá)法則，從而出現(xiàn)如下的錯(cuò)誤：

Aext?BAtext?lim?A。

limx???ext?1x???text實(shí)際上，上面的過(guò)程只有在t?0時(shí)才是正確的！而t?0及t?0兩種情形未被考慮，因而結(jié)果必然是錯(cuò)誤的。

3．不能靈活使用羅必達(dá)法則，而是視其為萬(wàn)能的，以至有時(shí)會(huì)陷入“泥潭”。例如求

lim11(?cotx)。x?0xx這是一個(gè)未定式的極限，可以使用羅必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算。但需要注意的是，若不假思索的直接使用羅必達(dá)法則，計(jì)算起來(lái)就會(huì)很繁瑣。比較合理的辦法是先進(jìn)行有理運(yùn)算，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)或利用等價(jià)無(wú)窮小代換，最后再使用羅必達(dá)法則就簡(jiǎn)單多了。解法如下：

sinx?xcosxsinx?xcosx ?limx?0x?0x2sinxx3cosx?cosx?xsinx1sinx

1 ?lim?lim?。2x?0x?03x33x

原式?lim教材中有類似的例題及練習(xí)題，希望大家在學(xué)習(xí)是認(rèn)真體會(huì)。

三、泰勒公式是本章的一大難點(diǎn)，大家在學(xué)習(xí)時(shí)首先要清楚泰勒定理成立的條件，清楚泰勒公式、麥克勞林公式的表達(dá)形式以及常見(jiàn)的麥克勞林展開(kāi)式。實(shí)際上，泰勒公式在證明、極限計(jì)算等方面有著廣泛而獨(dú)到的應(yīng)用，大家可以通過(guò)多做一些相應(yīng)的練習(xí)題來(lái)體會(huì)。

四、關(guān)于函數(shù)性態(tài)的研究應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1．若f(x)為(a,b)內(nèi)的嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則必有f?(x)?0。這一結(jié)論是不正確的。例如函數(shù)f(x)?x在區(qū)間(?1,1)內(nèi)的點(diǎn)x?0就不滿足結(jié)論。2．若f?(x)?0，則x0必為f(x)的極值點(diǎn)（或曰駐點(diǎn)一定為極值點(diǎn)）。

此結(jié)論同樣錯(cuò)誤。當(dāng)然，結(jié)論的逆命題也不正確。教材中有相應(yīng)的例子，相信大家會(huì)很容易理解。所以在實(shí)際求極值時(shí)，除了駐點(diǎn)外還需要格外注意導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。

3．極大值必大于極小值。

由于極值是函數(shù)在某點(diǎn)鄰域內(nèi)的局部性質(zhì)，因而極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系。也就是說(shuō)，函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的極大值不一定大于其在該區(qū)間內(nèi)的極小值。

五、不等式的證明

本章的內(nèi)容進(jìn)一步豐富了不等式的證明方法。

1．中值定理。由于中值定理中//是存在于區(qū)間之內(nèi)的值，很明顯把//用區(qū)間的兩個(gè)不同端點(diǎn)去代換時(shí)，必然產(chǎn)生不等式，這就為不等式的證明提供了一種方法，實(shí)際上中值定理確

3實(shí)是不等式證明的一種有力工具。教材以及課后練習(xí)題中有比較多的題目可以訓(xùn)練，大家自己認(rèn)真做一下，以真正掌握這種方法。

2．泰勒公式。泰勒公式證明不等式一般來(lái)說(shuō)困難一些，但有些時(shí)候特別是給定的條件涉及到可導(dǎo)又給出某些具體點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，嘗試?yán)锰├展揭彩且环N不錯(cuò)的選擇。例如下題：

設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上有三階導(dǎo)數(shù)，且f(0)?0，f(1)?11，f?()?0，求證存在22??(0,1)，使得f???(?)?12。

證明：由于f(x)在[0,1]上有三階導(dǎo)數(shù)，且f?()?0，故可將f(0)、f(1)在x?展開(kāi)成至二階帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式，即

121處2111111111f(1)?f()?f?()(1?)?f??()(1?)2?f???(?1)(1?)3，??1?1；

2222!223!22111111111 f(0)?f()?f?()(0?)?f??()(0?)2?f???(?2)(0?)3，0??2?。2222!223!22顯然，由f(1)?f(0)得

111?[f???(?1)?f???(?2)]?()3。23!2令??(?2,?1)，且使得f???(?)?max{f???(?1),f???(?2)}，則不等式得證。

3．函數(shù)單調(diào)性（導(dǎo)數(shù)）。這種方法證明不等式理論依據(jù)簡(jiǎn)單直接，只是需要大家在構(gòu)造函數(shù)時(shí)注意一點(diǎn)：有時(shí)函數(shù)的構(gòu)造需要對(duì)所證明的不等式進(jìn)行一定的變化之后實(shí)施。例如下題：

證明：0?x??時(shí)，sinxx?。2?xx1x1?，則得到f?(x)?cos?。但是這2?22?此題看似簡(jiǎn)單，若構(gòu)造函數(shù)f(x)?sin樣以來(lái)問(wèn)題卻變的復(fù)雜了（當(dāng)然，利用二階導(dǎo)數(shù)借助于凹凸性問(wèn)題仍可得以解決而且比較簡(jiǎn)單），可見(jiàn)直接移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)并不總是最好的方法。而利用下面的方法解決起來(lái)似乎更好：

xxsin2?1

（因?yàn)樵坏仁娇勺冃螢??1）令f(x)?，則 x?x?xxxcos(?tan)222?0

（0?x??時(shí)，x?tanx是我們熟知的結(jié)論）。f?(x)?2x2sin這樣問(wèn)題就可以比較自然的得到證明。