千文網(wǎng)小編為你整理了多篇相關的《三個正數(shù)的基本不等式(合集)》，但愿對你工作學習有幫助，當然你在千文網(wǎng)還可以找到更多《三個正數(shù)的基本不等式(合集)》。

第一篇：3三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式導學案

蘭州新區(qū)永登縣第五中學高二數(shù)學（文）導學案

班級：小組名稱：姓名：得分：

2．若正數(shù)x,y滿足xy2?4,計算x?2y的最值

三、拓展探究

1．若a?b?0,計算a?

2．若a?2,b?3,求a?b?

3．（參考例6）設0?x?1,求x(1?x)的最大值（思考：根據(jù)此題你能得到什么結論？）

導學案 §1.1.3三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式

設計人：薛東梅審核人：梁國棟、趙珍

學習目標：

1．了解三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式；2．會用平均不等式求一些特定函數(shù)的最大（?。┲怠?/p>

學習重點：三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式及定理3的應用 學習難點：應用不等式解決應用問題

學習方法：六動感悟法（讀，想，記，思，練，悟）

一、自學評價

1．三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式

（1）如果a,b,c?R?,那么a3?b3?c33abc，當且僅當，等號成立。 （2）定理3：

即：2．基本不等式的推廣：

思考：利用平均不等式求最值的要注意條件？

注意：（1）獲得定值需要一定的技巧，如配系數(shù)、拆項、分離常數(shù)、平方變形等； （2）連續(xù)多次使用平均不等式定理時，要注意前后等號成立的條件是否一致； 3．思考并完成例54．如果x?0,如何求2x?

二、檢測交流

1．已知a,b,c?R?,求證(

8

的最值

b(a?b)

的最小值。

(a?2)(b?3)

的最小值？ x2

abcbca??)(??)?9（思考：根據(jù)此題你能得到什么結論？） bcaabc

第二篇：個正數(shù)的均值不等式

三個正數(shù)的均值不等式

一、基礎知識

1、（1）．重要不等式：

如果a,b?R,那么a2?b22ab（當且僅當時取“=”號）

（2）．基本不等式：如果a,b是，那么a?b

2 ab

即（當且僅當時取“=”號）

2、三個正數(shù)的均值不等式：

（1）如果a,bc是，那么

號）

（2）變形形式，。

二、典型例證：

例1：已知0?x?1，求y?x(1?x2)的最大值。

2變式：（1）已知0?x?1，求函數(shù)y?x(1?x)的最大值。 a?b?c33abc（當且僅當時取“=”

2（2）已知0?x?1求函數(shù)x(1?x)的最大值。

例2：若x?0，求函數(shù)f(x)?3x?

12x

的最小值。

練習（1）若正數(shù)x,y滿足xy2?4，求x?2y的最小值。

（2）若實數(shù)x,y滿足x.y?0，且x2y?2，求xy?x2的最小值。

題型二：不等式證明

?

例3：設a,b,c?R求證：（1）(a?b?c)(

1a

?1

1b

??

1c

)?9 1

?

1a?c

)?

92

（2）(a?b?c)(

例4：設a,b,c?R，求證

?

a?bb?c

1a

?

1b

?

1c

?abc?23

第三篇：數(shù)學知識點總結

1、點，線，面

點，線，面：①圖形是由點，線，面構成的。②面與面相交得線，線與線相交得點。③點動成線，線動成面，面動成體。

展開與折疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個面的交線叫做棱，側棱是相鄰兩個側面的交線，棱柱的所有側棱長相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側面的形狀都是長方體。②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱。

截一個幾何體：用一個平面去截一個圖形，截出的面叫做截面。

視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。

弧、扇形：①由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個扇形。

2、角

線：①線段有兩個端點。②將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線只有一個端點。③將線段的兩端無限延長就形成了直線。直線沒有端點。④經(jīng)過兩點有且只有一條直線。

比較長短：①兩點之間的所有連線中，線段最短。②兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。

角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的公共端點是這個角的頂點。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點旋轉而成的。②一條射線繞著他的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。始邊繼續(xù)旋轉，當他又和始邊重合時，所成的角叫做周角。③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

平行：①同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。②經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足。③平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

垂直平分線：垂直和平分一條線段的直線叫垂直平分線。

垂直平分線垂直平分的一定是線段，不能是射線或直線，這根據(jù)射線和直線可以無限延長有關，再看后面的，垂直平分線是一條直線，所以在畫垂直平分線的時候，確定了2點后(關于畫法，后面會講)一定要把線段穿出2點。

垂直平分線定理：

性質(zhì)定理：在垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等;

判定定理：到線段2端點距離相等的點在這線段的垂直平分線上

角平分線：把一個角平分的射線叫該角的角平分線。

定義中有幾個要點要注意一下的，就是角的角平分線是一條射線，不是線段也不是直線，很多時，在題目中會出現(xiàn)直線，這是角平分線的對稱軸才會用直線的，這也涉及到軌跡的問題，一個角個角平分線就是到角兩邊距離相等的點

性質(zhì)定理：角平分線上的點到該角兩邊的距離相等

判定定理：到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上

正方形：一組鄰邊相等的矩形是正方形

性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì)

判定：1、對角線相等的菱形2、鄰邊相等的矩形

第四篇：數(shù)學知識點總結

圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。

2、圓的方程

（1）標準方程，圓心，半徑為r；

（2）一般方程

當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為

當時，表示一個點；當時，方程不表示任何圖形。

（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。

高中數(shù)學必修二知識點總結：直線與圓的位置關系：

直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況：

（1）設直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；

（2）過圓外一點的切線：①k不存在，驗證是否成立②k存在，設點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】

（3）過圓上一點的切線方程：圓（x―a）2+（y―b）2=r2，圓上一點為（x0，y0），則過此點的切線方程為（x0―a）（x―a）+（y0―b）（y―b）=r2

4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。

設圓，

兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。

當時兩圓外離，此時有公切線四條；

當時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

當時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；

當時，兩圓內(nèi)含；當時，為同心圓。

注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點共線

4、空間點、直線、平面的位置關系

公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。

應用：判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號語言表示公理1：

公理2：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線

符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β=a。

符號語言：

公理2的作用：

①它是判定兩個平面相交的方法。

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。

③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。

公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。

推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。

公理3及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

空間直線與直線之間的位置關系

①異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線

②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：作平行，令兩線相交，所得銳角或直角，即所成角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。

求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。

（8）空間直線與平面之間的位置關系

直線在平面內(nèi)――有無數(shù)個公共點。

三種位置關系的符號表示：aαa∩α=Aa‖α

（9）平面與平面之間的位置關系：平行――沒有公共點；α‖β

相交――有一條公共直線。α∩β=b

5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。

線線平行線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個平面平行的判定定理

（1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

（線面平行→面面平行），

（2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。

（線線平行→面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，

兩個平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）

（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）

7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。

②線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。

（2）垂直關系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。

性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。

9、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為。

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。

②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為。

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。

在“作角”時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線，

在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：

（1）斜線上一點到面的垂線；

（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角

數(shù)學的學習方法

1、養(yǎng)成良好的學習數(shù)學習慣。建立良好的學習數(shù)學習慣，會使自己學習感到有序而輕松。高中數(shù)學的良好習慣應是：多質(zhì)疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在學習數(shù)學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。良好的學習數(shù)學習慣包括課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結和課外學習幾個方面。

2、及時了解、掌握常用的數(shù)學思想和方法，學好高中數(shù)學，需要我們從數(shù)學思想與方法高度來掌握它。中學數(shù)學學習要重點掌握的的數(shù)學思想有以上幾個：集合與對應思想，分類討論思想，數(shù)形結合思想，運動思想，轉化思想，變換思想。

3、逐步形成“以我為主”的學習模式數(shù)學不是靠老師教會的，而是在老師的引導下，靠自己主動的思維活動去獲取的。學習數(shù)學就要積極主動地參與學習過程，養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度，獨立思考、勇于探索的創(chuàng)新精神。

4、記數(shù)學筆記，特別是對概念理解的不同側面和數(shù)學規(guī)律，教師在課堂中拓展的課外知識。記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今后將其補上。

高中數(shù)學知識點有哪些

1、混淆命題的否定與否命題

命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個不同的概念，命題p的否定是否定命題所作的判斷，而“否命題”是對“若p，則q”形式的命題而言，既要否定條件也要否定結論。

2、忽視集合元素的三性致誤

集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大，特別是帶有字母參數(shù)的集合，實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。

3、判斷函數(shù)奇偶性忽略定義域致誤

判斷函數(shù)的奇偶性，首先要考慮函數(shù)的定義域，一個函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個函數(shù)的定義域關于原點對稱，如果不具備這個條件，函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。

4、函數(shù)零點定理使用不當致誤

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)的曲線，并且有f（a）f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，但f（a）f（b）>0時，不能否定函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)有零點。函數(shù)的零點有“變號零點”和“不變號零點”，對于“不變號零點”函數(shù)的零點定理是“無能為力”的，在解決函數(shù)的零點問題時要注意這個問題。

5、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不準致誤

在研究函數(shù)問題時要時時刻刻想到“函數(shù)的圖像”，學會從函數(shù)圖像上去分析問題、尋找解決問題的方法。對于函數(shù)的幾個不同的單調(diào)遞增（減）區(qū)間，切忌使用并集，只要指明這幾個區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間即可。

6、三角函數(shù)的單調(diào)性判斷致誤

對于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)性，當ω>0時，由于內(nèi)層函數(shù)u=ωx+φ是單調(diào)遞增的，所以該函數(shù)的單調(diào)性和y=sin x的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)y=sin x的單調(diào)區(qū)間解決；但當ω<0時，內(nèi)層函數(shù)u=ωx+φ是單調(diào)遞減的，此時該函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)y=sinx的單調(diào)性相反，就不能再按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)性解決，一般是根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性將內(nèi)層函數(shù)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再加以解決。對于帶有絕對值的三角函數(shù)應該根據(jù)圖像，從直觀上進行判斷。

7、向量夾角范圍不清致誤

解題時要全面考慮問題。數(shù)學試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時把這些因素考慮到，是解題成功的關鍵，如當a?b<0時，a與b的夾角不一定為鈍角，要注意θ=π的情況。

8、忽視零向量致誤

零向量是向量中最特殊的向量，規(guī)定零向量的長度為0，其方向是任意的，零向量與任意向量都共線。它在向量中的位置正如實數(shù)中0的位置一樣，但有了它容易引起一些混淆，稍微考慮不到就會出錯，考生應給予足夠的重視。

9、對數(shù)列的定義、性質(zhì)理解錯誤

等差數(shù)列的前n項和在公差不為零時是關于n的常數(shù)項為零的二次函數(shù)；一般地，有結論“若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c（a，b，c∈R），則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=0”；在等差數(shù)列中，Sm，S2m―Sm，S3m―S2m（m∈Nx）是等差數(shù)列。

10、an與Sn關系不清致誤

在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項an與其前n項和Sn之間存在下列關系：an=S1，n=1，Sn―Sn―1，n≥2。這個關系對任意數(shù)列都是成立的，但要注意的是這個關系式是分段的，在n=1和n≥2時這個關系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中經(jīng)常出錯的一個地方，在使用這個關系式時要牢牢記住其“分段”的特點。

11、錯位相減求和項處理不當致誤

錯位相減求和法的適用條件：數(shù)列是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積所組成的，求其前n項和?；痉椒ㄊ窃O這個和式為Sn，在這個和式兩端同時乘以等比數(shù)列的公比得到另一個和式，這兩個和式錯一位相減，就把問題轉化為以求一個等比數(shù)列的前n項和或前n―1項和為主的求和問題。這里最容易出現(xiàn)問題的就是錯位相減后對剩余項的處理。

12、不等式性質(zhì)應用不當致誤

在使用不等式的基本性質(zhì)進行推理論證時一定要準確，特別是不等式兩端同時乘以或同時除以一個數(shù)式、兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件，如果忽視了不等式性質(zhì)成立的前提條件就會出現(xiàn)錯誤。

13、數(shù)列中的最值錯誤

數(shù)列問題中其通項公式、前n項和公式都是關于正整數(shù)n的函數(shù)，要善于從函數(shù)的觀點認識和理解數(shù)列問題。數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系是高考的命題重點，解題時要注意把n=1和n≥2分開討論，再看能不能統(tǒng)一。在關于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸的遠近而定。

14、不等式恒成立問題致誤

解決不等式恒成立問題的常規(guī)求法是：借助相應函數(shù)的單調(diào)性求解，其中的主要方法有數(shù)形結合法、變量分離法、主元法。通過最值產(chǎn)生結論。應注意恒成立與存在性問題的區(qū)別，如對任意x∈[a，b]都有f（x）≤g（x）成立，即f（x）―g（x）≤0的恒成立問題，但對存在x∈[a，b]，使f（x）≤g（x）成立，則為存在性問題，即f（x）min≤g（x）max，應特別注意兩函數(shù)中的最大值與最小值的關系。

15、忽視三視圖中的實、虛線致誤

三視圖是根據(jù)正投影原理進行繪制，嚴格按照“長對正，高平齊，寬相等”的規(guī)則去畫，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的原分界線，且分界線和可視輪廓線都用實線畫出，不可見的輪廓線用虛線畫出，這一點很容易疏忽。

16、面積體積計算轉化不靈活致誤

面積、體積的計算既需要學生有扎實的基礎知識，又要用到一些重要的思想方法，是高考考查的重要題型。因此要熟練掌握以下幾種常用的思想方法。

（1）還臺為錐的思想：這是處理臺體時常用的思想方法。

（2）割補法：求不規(guī)則圖形面積或幾何體體積時常用。

（3）等積變換法：充分利用三棱錐的任意一個面都可作為底面的特點，靈活求解三棱錐的體積。

（4）截面法：尤其是關于旋轉體及與旋轉體有關的組合問題，常畫出軸截面進行分析求解。

17、忽視基本不等式應用條件致誤

利用基本不等式a+b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時，務必注意a，b為正數(shù)（或a，b非負），ab或a+b其中之一應是定值，特別要注意等號成立的條件。對形如y=ax+bx（a，b>0）的函數(shù)，在應用基本不等式求函數(shù)最值時，一定要注意ax，bx的符號，必要時要進行分類討論，另外要注意自變量x的取值范圍，在此范圍內(nèi)等號能否取到。

第五篇：數(shù)學知識點總結

一、認知離散數(shù)學

離散數(shù)學是計算機科學基礎理論的核心課程之一，是計算機及應用、通信等專業(yè)的一門重要的基礎課。它以研究量的結構和相互關系為主要目標，其研究對象一般是有限個或可數(shù)個元素，充分體現(xiàn)了計算機科學離散性的特點。學習離散數(shù)學的目的是為學習計算機、通信等專業(yè)各后續(xù)課程做好必要的知識準備，進一步提高抽象思維和邏輯推理的能力，為計算機的應用提供必要的描述工具和理論基礎。

1．定義和定理多

離散數(shù)學是建立在大量定義、定理之上的邏輯推理學科，因此對概念的理解是學習這門課程的核心。在學習這些概念的基礎上，要特別注意概念之間的聯(lián)系，而描述這些聯(lián)系的實體則是大量的定理和性質(zhì)。在考試中有一部分內(nèi)容是考查學生對定義和定理的識記、理解和運用，因此要真正理解離散數(shù)學中所給出的每個基本概念的真正的含義。比如，命題的定義、五個基本聯(lián)結詞、公式的主析取范式和主合取范式、三個推理規(guī)則以及反證法；集合的五種運算的定義；關系的定義和關系的四個性質(zhì)；函數(shù)（映射）和幾種特殊函數(shù)（映射）的定義；圖、完全圖、簡單圖、子圖、補圖的定義；圖中簡單路、基本路的定義以及兩個圖同構的定義；樹與最小生成樹的定義。掌握和理解這些概念對于學好離散數(shù)學是至關重要的。

2. 方法性強

在離散數(shù)學的學習過程中，一定要注重和掌握離散數(shù)學處理問題的方法，在做題時，找到一個合適的解題思路和方法是極為重要的。如果知道了一道題用怎樣的方法去做或證明，就能很容易地做或證出來。反之，則事倍功半。在離散數(shù)學中，雖然各種各樣的題種類繁多，但每類題的解法均有規(guī)律可循。所以在聽課和平時的復習中，要善于總結和歸納具有規(guī)律性的內(nèi)容。在平時的講課和復習中，老師會總結各類解題思路和方法。作為學生，首先應該熟悉并且會用這些方法，同時，還要勤于思考，對于一道題，進可能地多探討幾種解法。

3. 抽象性強

離散數(shù)學的特點是知識點集中，對抽象思維能力的要求較高。由于這些定義的抽象性，使初學者往往不能在腦海中直接建立起它們與現(xiàn)實世界中客觀事物的聯(lián)系。不管是哪本離散數(shù)學教材，都會在每一章中首先列出若干個定義和定理，接著就是這些定義和定理的直接應用，如果沒有較好的抽象思維能力，學習離散數(shù)學確實具有一定的困難。因此，在離散數(shù)學的學習中，要注重抽象思維能力、邏輯推理能力的培養(yǎng)和訓練，這種能力的培養(yǎng)對今后從事各種工作都是極其重要的。

在學習離散數(shù)學中所遇到的這些困難，可以通過多學、多看、認真分析講課中所給出的典型例題的解題過程，再加上多練，從而逐步得到解決。在此特別強調(diào)一點：深入地理解和掌握離散數(shù)學的基本概念、基本定理和結論，是學好離散數(shù)學的重要前提之一。所以，同學們要準確、全面、完整地記憶和理解所有這些基本定義和定理。

4. 內(nèi)在聯(lián)系性

離散數(shù)學的三大體系雖然來自于不同的學科，但是這三大體系前后貫通，形成一個有機的整體。通過認真的分析可尋找出三大部分之間知識的內(nèi)在聯(lián)系性和規(guī)律性。如：集合論、函數(shù)、關系和圖論，其解題思路和證明方法均有相同或相似之處。

如何應對考試:一般來說，離散數(shù)學的考試要求分為了解、理解和掌握。了解是能正確判別有關概念和方法；理解是能正確表達有關概念和方法的含義；掌握是在理解的基礎上加以靈活應用。為了考核學生對這三部分的理解和掌握的程度，試題類型一般可分為：判斷題、填空題、選擇題、計算題和證明題。判斷題、填空題、選擇題主要涉及基本概念、基本理論、重要性質(zhì)和結論、公式及其簡單計算；計算題主要考核學生的基本運用技能和速度，要求寫出完整的計算過程和步驟；證明題主要考查應用概念、性質(zhì)、定理及重要結論進行邏輯推理的能力，要求寫出嚴格的推理和論證過程。

學習離散數(shù)學的最大困難是它的抽象性和邏輯推理的嚴密性。在離散數(shù)學中，假設讓你解一道題或證明一個命題，你應首先讀懂題意，然后尋找解題或證明的思路和方法，當你相信已找到了解題或證明的思路和方法，你必須把它嚴格地寫出來。一個寫得很好的解題過程或證明是一系列的陳述，其中每一條陳述都是前面的陳述經(jīng)過簡單的推理而得到的。仔細地寫解題過程或證明是很重要的，既能讓讀者理解它，又能保證解題過程或證明準確無誤。一個好的解題過程或證明應該是條理清楚、論據(jù)充分、表述簡潔的。針對這一要求，在講課中老師會提供大量的典型例題供同學們參考和學習。

通過離散數(shù)學的學習和訓練，能使同學們學會在離散數(shù)學中處理問題的一般性的規(guī)律和方法，一旦掌握了離散數(shù)學中這種處理問題的思想方法，學習和掌握離散數(shù)學的知識就不再是一件難事了。

首先要明確的是，由于《離散數(shù)學》是一門數(shù)學課，且是由幾個數(shù)學分支綜合在一起的，內(nèi)容繁多，非常抽象，因此即使是數(shù)學系的學生學起來都會倍感困難，對計算 科學專業(yè)的學生來說就更是如此。大家普遍反映這是大學四年最難學的一門課之一。但鑒于《離散數(shù)學》在計算科學中的重要性，這是一門必須牢牢掌握的課程。既 然如此，在學習《離散數(shù)學》時，大家最應該牢記的是唐詩“熟讀唐詩三百首，不會做詩也會吟?！睂W習過程是一個扎扎實實積累的過程，不能打馬虎眼。離散數(shù)學是理論性較強的學科，學習離散數(shù)學的關鍵是對離散數(shù)學(集合論、數(shù)理邏輯和圖論)有關基本概念的準確掌握，對基本原理及基本運算的運用，并要多做練習。

《離散數(shù)學》的特點是：

1、知識點集中，概念和定理多：《離散數(shù)學》是建立在大量概念之上的邏輯推理學科，概念的理解是我們學習這門學科的核心。不管哪本離散數(shù)學教材，都會在每一章節(jié)列出若干定義和定理，接著就是這些定義定理的直接應用。掌握、理解和運用這些概念和定理是學好這門課的關鍵。要特別注意概念之間的聯(lián)系，而描述這些聯(lián)系的則是定理和性質(zhì)。

2、方法性強：離散數(shù)學的特點是抽象思維能力的要求較高。通過對它的學習，能大大提高我們本身的邏輯推理能力、抽象思維能力和形式化思維能力，從而今后在學習任何一門計算機科學的專業(yè)主干課程時，都不會遇上任何思維理解上的困難?！峨x 散數(shù)學》的證明題多，不同的題型會需要不同的證明方法（如直接證明法、反證法、歸納法、構造性證明法），同一個題也可能有幾種方法。但是《離散數(shù)學》證明 題的方法性是很強的，如果知道一道題用什么方法講明，則很容易可以證出來，否則就會事倍功半。因此在平時的學習中，要勤于思考，對于同一個問題，盡可能多 探討幾種證明方法，從而學會熟練運用這些證明方法。一般來說，由于這些概念（定義）非常抽象（學習《線性代數(shù)》時會有這樣的經(jīng)歷），初學者往往不能在腦海中 建立起它們與現(xiàn)實世界中客觀事物的聯(lián)系。這往往是《離散數(shù)學》學習過程中初學者要面臨的第一個困難，他們覺得不容易進入學習的狀態(tài)。因此一開始必須準確、 全面、完整地記住并理解所有的定義和定理。具體做法是在進行完一章的學習后，用專門的時間對該章包括的定義與定理實施強記。只有這樣才可能本課程的抽象能 夠適應，并為后續(xù)學習打下良好的基礎。

第六篇：個數(shù)的均值不等式

高二數(shù)學組編寫人 郭 偉

平均值不等式導學案

2☆學習目標： 1.理解并掌握重要的基本不等式;

2.理解從兩個正數(shù)的基本不等式到三個正數(shù)基本不等式的推廣;

3.一、課前準備（請在上課之前自主完成）

1．定理1如果a,b?R, 那么a?b?2ab.當且僅當a?b時, 等號成立.

2. 定理2(基本不等式) 如果a,b?R?, 那么.

2

2當且僅當時, 等號成立.

利用基本不等式求最值的三個條件

推論10. 兩個正數(shù)的算術平均數(shù), 幾何平均數(shù),平方平均數(shù)， 從小到大的排列是:

☆課前熱身：

(1) 某汽車運輸公司,購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析每輛客車營運的總利潤y（單位：10萬元）與營運年數(shù)x的函數(shù)關系為y??(x?6)2?11(x?N?),則每輛客車營運多少年，其運 營的年平均利潤最大（）

A．3B．4C．5D．6

(2) 在算式“4???1???30”中的△，〇中，分別填入兩個正整數(shù)，使它們的倒數(shù)和最步，則這兩個數(shù)構成的數(shù)對（△，〇）應為 .

2y2(3) 設x?R且x??1，求x?y的最大值. 2

二、新課導學 ?

2請你類比兩個數(shù)的基本不等式得出三個數(shù)的基本不等式：

如果a,b?R?a?b,

那么2?

?當且僅當a?b時, 等號成立.如果a,b,c?R,那么.當且僅當時, 等號成立.?建構新知：

? 問題：已知a,b,c?R, 求證：a?b?c?3abc.當且僅當a?b?c時, 等號成立. 33

3證明: ∵a?b?c?3abc?

定理3如果a,b,c?R,

那么?333a?b?c?當且僅當a?b?c時, 等號成立. 3

語言表述：3個數(shù)的

推論 對于n個正數(shù)a1,a2,?,an, 它們的

- 1 -

即當且僅當a?b?c時, 等號成立.

語言表述：n個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的平均數(shù)

☆案例學習：

例1已知x,y,z?R?, 求證：

xyzyzx(1)(x?y?z)3?27xyz;(2)(??)(??)?9;(3)(x?y?z)(x2?y2?z2)?9xyz． yzxxyz

例2用一塊邊長為a的正方形白鐵皮，在它的四個角各剪去一個小正方形，制成一個無蓋的盒子．要使制成的盒子的容積最大，應當剪去多大的小正方形？

例3求函數(shù)y?2x?

解一:y?2x2?23,(x?0)的最大值，指出下列解法的錯誤,并給出正確解法. x31112?2x2???332x2???34.∴ymin?34． xxxxx

33232解二:y?2x??22x??2x當2x?即x?時, ymin?26??2?2． xxx222

正解:

例

4、已知0

三、當堂檢測

1、已知a、b、c都是正數(shù)，求證：(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9abc

2、已知a、b、c都是正數(shù)，且abc=1.求證：a3+b3+c3≥

33、已知x>0，當x取什么值時？2x?1的值最?。孔钚≈凳嵌嗌伲?x

2四、課堂小結

2個數(shù)的均值不等式等號成立的條件

3個數(shù)的均值不等式等號成立的條件n個數(shù)的均值不等式等號成立的條件

五課后作業(yè)基本不等式2 姓名日期年月日

1(?1)(?1)的最小值是（） 1.若a?0,b?0,a?b?1，則a2b

2A.6B.7C.8D.9

2.若a,b,c＞0且a (a+b+c)+bc=4-2,則2a+b+c的最小值為（）

A．3-1B．

4+1C．2+2D． 23-23.若關于x的不等式(1?k2)x≤k＋4的解集是M，則對任意實常數(shù)k，總有（）

A.2∈M，0∈M； B.2?M，0?M； C.2∈M，0?M； D.2?M，0∈M

x2?2x?24. 若?4?x?1，則的最小值為（） 2x?2

7C.?1D.

15. 函數(shù)y?2x2?4,(x?R?)的最小值為（） x

A.6B.7C.8D.9

xy 6.已知x?3y?2?0,則3?27?1的最小值是（）A.B. 1?22C.6D.7

7. 求下列函數(shù)的最值

6y??3x的最小值． 2 1?、x?0時,求x

2?、設x?[,27]，求y?log

3423?、若0?x?1, 求y?x(1?x)的最大值． 19x?log3(3x)的最大值． 27

4?、若a?b?0，求a?

28某單位建造一間地面面積為12m的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面

的長 度x不得超過a米，房屋正面的造價為400元/m2,房屋側面的造價為150元/m2，屋頂 1的最小值為. b(a?b) 和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3m，且不計房屋背面的費用．

（1）把房屋總造價y表示成x的函數(shù)，并寫出該函數(shù)的定義域；

（2）當側面的長度為多少時，總造價最底？最低總造價是多少？

9制作一個容積為16?m的圓柱形容器(有底有蓋)，問圓柱底半徑和高各取多少時，用料最省？（不計加工時的損耗及接縫用料）