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第一篇：函數(shù)極限

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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第三章 函數(shù)極限

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和

，并能熟練運用；

4.理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會利用它們求某些函數(shù)的極限。 教學(xué)重（難）點：

本章的重點是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計算；難點是海涅定理與柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用。

教學(xué)時數(shù)：16學(xué)時

§ 1 函數(shù)極限概念 （3學(xué)時）

教學(xué)目的：使學(xué)生建立起函數(shù)極限的準(zhǔn)確概念；會用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關(guān)命題。

教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會應(yīng)用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關(guān)命題，并能運用???語言正確表述函數(shù)不以某實數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的概念。

教學(xué)難點：函數(shù)極限的???定義及其應(yīng)用。

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等

二、講授新課：

（一） 時函數(shù)的極限：

- 21 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例4 驗證

例5 驗證

例6 驗證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗證

例8 驗證 ( 類似有

（三）單側(cè)極限:

1．定義：單側(cè)極限的定義及記法. 幾何意義: 介紹半鄰域

- 23 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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我們引進(jìn)了六種極限: .以下以極限

,

為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.

二、講授新課：

（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.

局部有界性:

3.

局部保號性:

4.

單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ):

Th 4 若使 ，證 設(shè)

和都有 =

( 現(xiàn)證對 都存在, 且存在點

的空心鄰域

,

有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6. 以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.

”, 未必

四則運算性質(zhì): ( 只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個極限：

- 25 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例8

例9

例10 已知

求和

補充題:已知

求和 (

) § 3 函數(shù)極限存在的條件（4學(xué)時）

教學(xué)目的：理解并運用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。 教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會其實質(zhì)以及證明的基本思路。 教學(xué)重點：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。 教學(xué)難點：海涅定理及柯西準(zhǔn)則 運用。

教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運用。 本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.

一.

Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：

Th 1 設(shè)函數(shù)在,對任何在點

且

的某空心鄰域

內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.( 證 )

存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具.對單側(cè)極限,還可加強為

單調(diào)趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.

- 27 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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教學(xué)難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說明應(yīng)用，練習(xí)。 一．

（證） （同理有

）

例1

例2 .例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.

證 對

有

例6

特別當(dāng) 等.例7

例8

- 28

29 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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三． 等價無窮?。?/p>

Th 2 ( 等價關(guān)系的傳遞性 ). 等價無窮小在極限計算中的應(yīng)用: Th 3 ( 等價無窮小替換法則 )

幾組常用等價無窮小: （見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質(zhì):

性質(zhì)1 同號無窮大的和是無窮大.

性質(zhì)2 無窮大與無窮大的積是無窮大. 性質(zhì)3 與無界量的關(guān)系.

無窮大的階、等價關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無窮小討論, 有平行的結(jié)果.

3.無窮小與無窮大的關(guān)系:

無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大

習(xí) 題 課（2學(xué)時）

一、理論概述：

- 31 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例7 .求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.

例8 求是否存在.

和.并說明極限

解 ;

可見極限 不存在.

- - 32

高數(shù)極限證明

重要極限證明

極限證明（共8篇）

證明函數(shù)fx

凸函數(shù)證明

第二篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限 求極限我會

|Xn+1-A|

|X2-A|

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②證明{x(n)}有上界。 x(1)=1

x(k+1)=√[2+3x(k)]1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分別求導(dǎo)) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0 4 用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞

(3)lim[根號(n+1)-根號(n)]=0 n→∞

(4)lim0.999…9=1 n→∞ n個9 5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。。Lim就省略不打了。。。

第三篇：函數(shù)極限的定義證明

習(xí)題1?3

1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim(3x?1)?8;x?3

(2)lim(5x?2)?12;x?2

x2?4??4;(3)limx??2x?2

1?4x3

(4)lim?2.

x??2x?12

1證明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3

1證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33

1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5

1證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25

(3)分析

|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2

x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2

(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222

1?4x3111?4x3

?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim1?x3

2x3

sinxx???1;2(2)limx???x?0.

證明 (1)分析

|x|?1

1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.

證明 因為?? ?0, ?X?(2)分析

sinxx?0?

12?

, 當(dāng)|x|?X時, 有1x

1?x32x311?x31???, 所以lim?.

x??2x322

1x

??, 即x?

sinxx

|sinx|x

?, 要使

sinx

證明 因為???0, ?X?

?2

, 當(dāng)x?X時, 有

xsinxx

?0??, 只須

?

.

?0??, 所以lim

x???

?0.

3.當(dāng)x?2時,y?x2?4.問?等于多少, 使當(dāng)|x?2|\n

解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設(shè)|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要

|x?2|?

0.001

?0.0002, 取??0.0002, 則當(dāng)0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0.001.5

x2?1x?

34.當(dāng)x??時, y?

x2?1x2?3

?1, 問X等于多少, 使當(dāng)|x|>X時, |y?1|\n

解 要使?1?

4x2?3

?0.01, 只|x|?

?3?397, X?.0.01

5.證明函數(shù)f(x)?|x| 當(dāng)x?0時極限為零.

x|x|

6.求f(x)?, ?(x)?當(dāng)x?0時的左﹑右極限, 并說明它們在x?0時的極限是否存在.

xx

證明 因為

x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??

x?0

x?0

所以極限limf(x)存在.

x?0

因為

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

|x|?x

?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

lim?(x)?lim?(x),??

x?0

x?0

所以極限lim?(x)不存在.

x?0

7.證明: 若x???及x???時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則limf(x)?A.

x??

證明 因為limf(x)?A, limf(x)?A, 所以??>0,

x???

x???

?X1?0, 使當(dāng)x??X1時, 有|f(x)?A|?? ;?X2?0, 使當(dāng)x?X2時, 有|f(x)?A|?? .

取X?max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|?X時, 有|f(x)?A|?? , 即limf(x)?A.

x??

8.根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.

證明 先證明必要性.設(shè)f(x)?A(x?x0), 則??>0, ???0, 使當(dāng)0\n

|f(x)?A|\n

因此當(dāng)x0??\n

|f(x)?A|\n

這說明f(x)當(dāng)x?x0時左右極限都存在并且都等于A .再證明充分性.設(shè)f(x0?0)?f(x0?0)?A, 則??>0,??1>0, 使當(dāng)x0??10, 使當(dāng)x0\n

取??min{?1, ?2}, 則當(dāng)0\n

| f(x)?A|\n

即f(x)?A(x?x0).

9.試給出x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.

解 x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當(dāng)x??時的極限存在? 則存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時? |f(x)|?M?

證明 設(shè)f(x)?A(x??)? 則對于? ?1? ?X?0? 當(dāng)|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?

這就是說存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|?

第四篇：元函數(shù)極限證明

二元函數(shù)極限證明

二元函數(shù)極限證明

設(shè)p=f(x,y),p0=(a,b)，當(dāng)p→p0時f(x,y)的極限是x,y同時趨向于a,b時所得到的稱為二重極限。

此外，我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時的極限,稱為二次極限。

我們必須注意有以下幾種情形：’

(1)兩個二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在 (2)兩個二次極限存在而不相等

(3)兩個二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在 2 函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時極限存在，不妨設(shè)：limf(x)=a(x→x0) 根據(jù)定義:對任意ε>0,存在δ>0,使當(dāng)|x-x0|

而|x-x0|

又因為ε有任意性,故可取ε=1,則有:|f(x)-a|0,當(dāng)任意x屬于x0的某個鄰域u(x0;δ)時,有|f(x)| 證畢

3首先，我的方法不正規(guī)，其次，正確不正確有待考察。

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二元函數(shù)極限證明

1，y以y=x^2-x的路徑趨于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨于0結(jié)果是無窮大。

2，3可以用類似的方法，貌似同濟書上是這么說的，二元函數(shù)在該點極限存在，是p(x,y)以任何方式趨向于該點。

4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在

當(dāng)x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動的所以不存在

而當(dāng)x->0,y->0時

由|sin(1/x)|0,y->0時，f的極限就為0 這個就是你說的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說的

正無窮或負(fù)無窮或無窮，我想這個就可以了 就我這個我就線了好久了 5

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二元函數(shù)極限證明

(一)時函數(shù)的極限： 以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.) 幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證…… (二)時函數(shù)的極限： 由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

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二元函數(shù)極限證明

=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時) 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。 教學(xué)難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。 教學(xué)方法：講練結(jié)合。 一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有) 註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性: 6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)

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二元函數(shù)極限證明

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限： (注意前四個極限中極限就是函數(shù)值) 這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和) 例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.例4 例5例6例7 §2二元函數(shù)的極限 (一)教學(xué)目的：

掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．

(二)教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的極限的定義；累次極限． 基本要求：

(1)掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法．

(2)較高要求：掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，能用來處理極限存在性問題．

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二元函數(shù)極限證明

(三)教學(xué)建議：

(1)要求學(xué)生弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會他們求多元函數(shù)極

限的方法．

(2)對較好學(xué)生講清重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，通過舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法．

一二元函數(shù)的極限

先回憶一下一元函數(shù)的極限：limf(x)?a的“???”定義(c31)： x?x0 0設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一空心鄰域u(x0,?1)內(nèi)由定義，如果對 ???0,當(dāng)

x?u(x0,?)

，

即

|x?x0|??

時

，

都

有|f(x)?a|??，???0,???1，

則稱x?x0時，函數(shù)f(x)的極限是a.類似的，我們也可以定義二元函數(shù)的極限如下：

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為定義在d?r2上的二元函數(shù)，在點p0(x0,y0)為d的一個聚點，

a是一個確定的常數(shù)，如果對???0,???0，使得當(dāng)p(x,y)?u(p0,?)?d時，0都有|f(p)?a|??，則稱f在d上當(dāng)p?p0時，以a為極限。記作

p?p0p?dlimf(p)?a

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二元函數(shù)極限證明

也可簡寫為limf(p)?a或 p?p0(x,y)?(x0,y0) 2limf(x,y)?a例1用定義驗證 2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1| ?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1| 限制在（2，1）的鄰域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1} |x?3|?6, |x?y?1|?6 取??min{1,?/6}，則有 |x?xy?y|?? 由二元函數(shù)極限定義lim (x,y)?(2,1) (x?xy?y)?7 22 22 ?x?y ,(x,y)?(0,0)?xy22 例2f(x,y)??x?y， ?0,(x,y)?(0,0)?

證

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二元函數(shù)極限證明

證明lim (x,y)?(0,0) f(x,y)?0 x?yx?y 22 22 證|f(x,y)|?|xy 所以 lim (x,y)?(0,0) |?|xy| lim (x,y)?(0,0) |f(x,y)|?lim (x,y)?(0,0) |xy|?0 |f(x,y)|?0 對于二元函數(shù)的極限的定義，要注意下面一點： p?p0

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二元函數(shù)極限證明

limf(p)?a是指：p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)，包括沿任何直線，沿任

何曲線趨于p0(x0,y0)時，f(x,y)必須趨于同一確定的常數(shù)。 對于一元函數(shù)，x僅需沿x軸從x0的左右兩個方向趨于x0，但是對于二元函數(shù)，p趨于p0的路線有無窮多條，只要有兩條路線，p趨于p0時，函數(shù)f(x,y)的值趨于不同的常數(shù)，二元函數(shù)在p0點極限就不存在。

?1,0?y?x2 例1二元函數(shù)f(x,y)?? ?0,rest 請看圖像（x62），盡管p(x,y)沿任何直線趨于原點時f(x,y)都趨于零，但也不能說該函數(shù)在原點的極限就是零，因為當(dāng)p(x,y)沿拋物線y?kx,0?k?1時，f(x,y)的值趨于１而不趨于零，所以極限不存在。

(考慮沿直線y?kx的方向極限).?x2y ,? 例2設(shè)函數(shù)f(x,y)??x2?y2 ?0,? (x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) 求證limf(x,y)?0

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二元函數(shù)極限證明

x?0 y?0 證明因為|f(x,y)?0|? x|y|x?y ? x|y|x ?|y| 所以，當(dāng)(x,y)?(0,0)時，f(x,y)?0。

請看它的圖像，不管p(x,y)沿任何方向趨于原點，f(x,y)的值都趨于零。

通常為證明極限limf(p)不存在,可證明沿某個方向的極限不存在,或證明沿某兩

p?p0 個方向的極限不相等,或證明方向極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意,沿任何方向的極限存在且相等??全面極限存在.例3 設(shè)函數(shù)

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) ?xy ,?22 f(x,y)??x?y

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二元函數(shù)極限證明

?0,? 證明函數(shù)f(x,y)在原點處極限不存在。 證明盡管p(x,y)沿ｘ軸和ｙ軸

趨于原點時(f(x,y)的值都趨于零，但沿直線y?mx趨于原點時 x?mxx?(mx) f(x,y)?? mx 22 (1?m)x ? m1?m 沿斜率不同的直線趨于原點時極限不一樣，請看它的圖象,例１沿任何路線趨于原點時，

極

限都是0，但例２沿不同的路線趨于原點時，函數(shù)趨于不同的值，所以其極限不存在。

例4 非正常極限極限 lim (x,y)?(x0,y0)

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二元函數(shù)極限證明

判別函數(shù)f(x,y)? xy?1?1x?y 在原點是否存在極限.f(x,y)???的定義: 12x?3y 例1設(shè)函數(shù)f(x,y)?證明limf(x,y)?? x?0y?0 證| 12x?3y |?| 13(x?y) | 只要取?? 16m |x?0|??,|y?0|??時，都有 | 12x?3y16? 22 |?| 13(x?y)

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二元函數(shù)極限證明

| ??m 12x?3y 請看它的圖象，因此是無窮大量。 例2求下列極限:i) lim xyx?y 22 ;ii) (x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0) lim sinxyy ; iii) (x,y)?(0,0) lim xy?1?1xy ;iv) (x,y)?(0,0) lim

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二元函數(shù)極限證明

ln(1?x?y) x?y 22 .二.累次極限:累次極限

前面講了p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)時的極限，我們稱它為二重極限，對于兩個自變量x,y依一定次序趨于x0,y0時f(x,y)的極限，稱為累次極限。對于二元函數(shù)f(x,y)在p0(x0,y0)的累次極限由兩個

limlimf(x,y)和limlimf(x,y) y?y0x?x0 x?x0y?y0 例1 f(x,y)? xyx?yx?yx?y 222 ,求在點(0,0)的兩個累次極限.22 例2f(x,y)?,求在點(0,0)的兩個累次極限.例3f(x,y)?xs(請你支持：)in

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二元函數(shù)極限證明

1y ?ysin 1x ,求在點(0,0)的兩個累次極限.二重極限與累次極限的關(guān)系: （１）兩個累次極限可以相等也可以不相等，所以計算累次極限

例函數(shù)f(x,y)? x?y?x?y x?y 22 的兩個累次極限是y?yyx?xx 22 limlim x?y?x?y x?yx?y?x?y x?y y?0x?0 ?lim y?0

15 / 29 時一定要注意不能隨意改變它們的次序。二元函數(shù)極限證明

?lim(y?1)??1 y?0 ?lim(x?1)?1 x?0 limlim x?0y?0 ?lim x?0 （２）兩個累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在例f(x,y)? xyx?y xyx?y ，兩個累次極限都存在 limlim y?0x?0 ?0,limlim xyx?y x?0y?0 ?0

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二元函數(shù)極限證明

但二重極限卻不存在，事實上若點p(x,)沿直線y?kx趨于原點時，

kx f(x,y)? x?(kx) ? k1?k 二重極限存在也不能保證累次極限存在

二重極限存在時,兩個累次極限可以不存在.例函數(shù)f(x,y)?xsin 1y?ysin 1x 由|f(x,y)|?|x|?|y|?0,(x,y)?(0,0).可見二重極限存在,但 1x limsin x?0 和limsin y?0 1y 不存在，從而兩個累次極限不存在。 （4）二重極限極限lim

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二元函數(shù)極限證明

(x,y)?(x0,y0) f(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存 x?x0y?y0 在,則必相等.(證) （5）累次極限與二重極限的關(guān)系

若累次極限和二重極限都存在，則它們必相等 二元函數(shù)極限的研究 作者：鄭露遙指導(dǎo)教師：楊翠

摘要函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，本文討論了二元函數(shù)極限的定義、二元函數(shù)極限存在或不存在的判定方法、求二元函數(shù)極限的方法、簡單討論二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的關(guān)系以及二元函數(shù)極限復(fù)雜的原因、最后討論二重極限與累次極限的關(guān)系。

關(guān)鍵詞二元函數(shù)極限、累次極限、二重極限、連續(xù)性、判別法、洛必達(dá)法則、運算定理

1引言

函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容,關(guān)于一元函數(shù)的極限及其求法,各種教材中都有詳盡的說明。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如,在極運算法則上,它們是一致的,但隨著變量個數(shù)的增加,二元函數(shù)極限比一元函數(shù)

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二元函數(shù)極限證明

極限變得復(fù)雜得多,但目前的各類教材、教學(xué)參考書中有關(guān)二元函數(shù)極限的求法介紹不夠詳二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個基本概念,它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個定值時,函數(shù)值的變化趨勢。是高等數(shù)學(xué)中一個極其重要的問題。但是,一般來說,二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限,無論從計算還是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如下探討求一元函數(shù)的極限問題,主要困難多數(shù)集中于求未定型極限問題,而所有未定型的極限又總可轉(zhuǎn)化為兩類基本型即00與∞∞型,解決這兩類基本未定型的有力工具是洛泌達(dá)(lhospital)法則。類似地,二元函數(shù)基本未定型的極限問題也有相似的洛泌達(dá)法則。為了敘述上的方便,對它的特殊情形(即(x0,y0)=(0,0))作出如下研究,并得到相應(yīng)的法則與定理。二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個基本概念,它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個定值時,函數(shù)

值的變化趨勢。是高等數(shù)學(xué)中一個極其重要的問題。但是,一 般來說,二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限,無論從計算還 是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如 下探討。

§2.3二元函數(shù)的極限與連續(xù) 定義

設(shè)二元函數(shù)有意義,若存在

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二元函數(shù)極限證明

常數(shù)a, 都有

則稱a是函數(shù)當(dāng)點趨于點 或 或

趨于點時的極限,記作 。

的方式無關(guān),即不,當(dāng)（即）時，在點的某鄰域內(nèi)或 必須注意這個極限值與點 論p以什么方

向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向

分接近,就能使。只要p與充與a接近到預(yù)先任意指定的程度。注意：點p趨于點點方式可有無窮多

種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個單側(cè)極限要復(fù)雜的多（圖8-7）。 圖8-7 同樣我們可用歸結(jié)原則,若發(fā)現(xiàn)點p按兩個特殊的路徑趨于點時, 極限 在該點

存在,但不相等,則可以判定元函數(shù)極限不存在的重要方法之一。 極限不存在。這是判斷多

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二元函數(shù)極限證明

一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論,在二元函數(shù)極

限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。例如若 有 ,其中 。

求多元函數(shù)的極限,一般都是轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來求,或利用夾逼定理

來計算。例4求。解由于 , 而

,根據(jù)夾逼定理知 ,所以。 a≠0) 。 解 例 求 （

。例6求。解

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二元函數(shù)極限證明

由于理知

且,所以根據(jù)夾逼定 .例7 研究函數(shù) 在點

處極限是否存在。解當(dāng)x2 +y2≠0時，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于 （0，0 ）的極限，有值，可得到不同的極限值,所以極限 不存在,但

,。很顯然，對于不同的k 。

注意：極限方式的 的區(qū)別,前面兩個求

本質(zhì)是兩次求一元函數(shù)的極限,我們稱為累次極限,而最后一個是求二元函數(shù)的

極限,我們稱為求二重極限。 例8 設(shè)函數(shù)極限都不存在,因 為對任何

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二元函數(shù)極限證明

,當(dāng) 時 , 。它關(guān)于原點的兩個累次 的第二項不存在極限；同理對任何 時,的第一項也不存在極限, 但是因此 。

由例7知,兩次累次極限存在,但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存

在,但二個累次極限不存在。我們有下面的結(jié)果:定理1若累次極限

都存在,則

三者相等（證明略）。推論 若但不相等, 則二重極限 不 存在 和二重極 限

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二元函數(shù)極限證明

, 由于 , 存在。定義設(shè)

在點的某鄰域內(nèi)有意義, 且稱 函 數(shù) ,則 在 點 處 連 續(xù) , 記

上式稱為函數(shù)(值)的全增量 。 則。

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二元函數(shù)極限證明

定義 增量。

為函數(shù)(值)對x的偏 二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為 偏增量。 若 斷點,若 在點

為函數(shù)（值）對y的 處不連續(xù), 則稱點 是 的間 在某區(qū)域

在區(qū)域g上連續(xù)。若 在閉區(qū)域g g上每一點都連續(xù),則稱的每一內(nèi)點都連續(xù),并在g的連界點 處成立 , 則稱

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二元函數(shù)極限證明

為連續(xù)曲面。

在閉域g上連續(xù)。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱

關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì),如最值定理、介值定理、cantor 定理,對于

二元函數(shù)也相應(yīng)成立。可以證明如下的重要結(jié)果：定理2設(shè) 在平面有界閉區(qū)域g上連續(xù),則

（1）必在g上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2 ） ,當(dāng) 時,都有

。以上關(guān)于二元函數(shù)的 在g上一致連續(xù),即

極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。 函數(shù)極限的證明 (一)時函數(shù)的極限： 以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.) 幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.

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二元函數(shù)極限證明

例1驗證例2驗證例3驗證證…… (二)時函數(shù)的極限： 由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有 =§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時) 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不

教學(xué)重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。 教學(xué)難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

27 / 29 等式性質(zhì)以及有理運算性等。二元函數(shù)極限證明

教學(xué)方法：講練結(jié)合。 一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有) 註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性: 6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限： (注意前四個極限中極限就是函數(shù)值) 這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.

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二元函數(shù)極限證明

例1(利用極限和) 例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.例4 例5例6例7 函數(shù)極限證明 函數(shù)極限的性質(zhì)證明 函數(shù)極限的定義證明 利用函數(shù)極限定義證明11 用定義證明函數(shù)極限方法總結(jié)

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第五篇：函數(shù)極限證明

函數(shù)極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當(dāng)x>N1,有a/MN2時，0Ni時，0

那么當(dāng)x>N,有

(a/M)^n

第六篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會

|Xn+1-A|

以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|Xn-A|

|Xn-1-A|

……

|X2-A|

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|

2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1

設(shè)x(k)

x(k+1)=√

3當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0

4

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。。Lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實質(zhì)就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進(jìn)去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會學(xué)的)

第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0