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第一篇：6利用函數(shù)連續(xù)性
（就是直接將趨向值帶出函數(shù)自變量中，此時(shí)要要求分母不能為0）
描述函數(shù)的一種連綿不斷變化的狀態(tài)，即自變量的微小變動(dòng)只會(huì)引起函數(shù)值的微小變動(dòng)的情況。確切說來，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是指：當(dāng)自變量趨于該點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值的極限與函數(shù)在該點(diǎn)所取的值一致。
例1
設(shè) f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，試求：
當(dāng)a，b為何值時(shí)，f（x）在x=0處的極限存在？
當(dāng)a，b為何值時(shí)，f（x）在x=0處連續(xù)？
注：f（x）=xsin 1/x +a, x< 0
b+1, x=0
X^2-1, x>0
解：f(0)＝b+1
左極限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a
左極限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1
f(x)在x＝0處連續(xù)，則lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，
所以a＝-1＝b+1，
所以a＝-1，b＝-2
第二篇：函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則學(xué)案
課題：§13-3函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則
（一）
學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則，并會(huì)求簡(jiǎn)單的函數(shù)的極限
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：運(yùn)用函數(shù)極限的運(yùn)算法則求極限
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：函數(shù)極限法則的運(yùn)用
學(xué)習(xí)過程
一、知識(shí)復(fù)習(xí)
1．復(fù)習(xí)數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則(包括乘方的極限的法則)．
2．復(fù)習(xí)幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的極限．即：
二、課堂學(xué)習(xí)
1．指導(dǎo)
對(duì)上述定理的證明作簡(jiǎn)要說明．
2.探究
問題1 根據(jù)函數(shù)極限定義和函數(shù)的圖象，說出下列極限，并驗(yàn)證所給結(jié)論．
(其中f(x)為有理分函數(shù))．
所以，若f(x)為有理整函數(shù)，則有
解：因?yàn)楫?dāng)x→x0時(shí)，分子、分母皆有極限且分母的極限不為零，因此有
判斷下列各極限是否存在？如果存在，求其極限；如果不存在，說明理由．
三、檢測(cè)
1．求下列極限：
2．求下列極限：
四、學(xué)習(xí)小結(jié)
第三篇：2利用洛必達(dá)法則
洛必達(dá)(L Hopital)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.簡(jiǎn)單講就是，在求一個(gè)含分式的函數(shù)的極限時(shí)，分別對(duì)分子和分母求導(dǎo)，在求極限，和原函數(shù)的極限是一樣的。一般用在求導(dǎo)后為零比零或無窮比無窮的類型。
利用洛必達(dá)求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
設(shè)函數(shù)f(x)和F(x)滿足下列條件：
（1）x→a時(shí),lim f(x)=0,lim F(x)=0;
（2）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)f(x)與F(x)都可導(dǎo),且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于0;
（3）x→a時(shí),lim(f(x)/F(x))存在或?yàn)闊o窮大
則 x→a時(shí),lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))
例1：
1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2
xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)
原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x
對(duì)分子分母同時(shí)求導(dǎo)（洛必達(dá)法則）
(tgx) = 1 / (cosx)^2
(x) = 1
原式 = lim 1/(cosx)^2
當(dāng) x --> 0 時(shí),cosx ---> 1
原式 = 1
第四篇：5柯西收斂準(zhǔn)則
數(shù)列{Xn}收斂的充分必要條件是對(duì)于任意給定的正數(shù)ε存在著這樣的正整數(shù)N使得當(dāng)m>N,n>N時(shí)就有|Xn-Xm|<ε這個(gè)準(zhǔn)則的幾何意義表示，數(shù)列{Xn}收斂的充分必要條件是：該數(shù)列中足夠靠后的任意兩項(xiàng)都無限接近。
例1
證明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有極限
證：
對(duì)于任意的m,n屬于正整數(shù)，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
當(dāng)m-n為奇數(shù)時(shí) |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=(1/n-1/m)→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
當(dāng)m-n為偶數(shù)時(shí) |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
綜上{xn}收斂，即{xn}存在極限
第五篇：1利用極限的四則運(yùn)算法則
極限四則運(yùn)算法則的條件是充分而非必要的 ，因此，利用極限四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)，必須對(duì)所給的函數(shù)逐一進(jìn)行驗(yàn)證它是否滿足極限四則運(yùn)算法則條件 ，滿足條件者。方能利用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行求之。不滿足條件者 ，不能直接利用極限四則運(yùn)算法則求之。但是，井非不滿足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒有極限 ，而是需將函數(shù)進(jìn)行恒等變形 ，使其符合條件后 ，再利用極限四則運(yùn)算法則求之。而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)，通常運(yùn)用一些技巧如拆項(xiàng)、分子分母同時(shí)約去零因子、分子分母有理化、通分、變量替換等等。 例 1
求 lim( x 2 3x + 5).
x→ 2
解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5
= (lim x) 2 3 lim x + lim 5
= 2 2 3 2 + 5 = 3.
x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2
