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第一篇：18考研高等數(shù)學(xué)基本定理函數(shù)與極限部分

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2018考研高等數(shù)學(xué)基本定理：函數(shù)與極

限部分

在暑期完成第一輪基礎(chǔ)考點的復(fù)習(xí)之后，9月份開始需要對考研數(shù)學(xué)所考的定理定義進行必要的匯總。下面特意為考生整理了高數(shù)定理定義匯總。本文內(nèi)容為第一章——函數(shù)與極限。

1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界;如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。

定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。

如果數(shù)列{xn}無界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散;但如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的;同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0

定理(極限的局部保號性)如果lim(x→x0)時f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

一般的說，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮小;有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小;常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小;有限個無窮小的乘積也是無窮小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果 第 1 頁 共 1 頁

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數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。

不連續(xù)情形：

1、在點x=x0沒有定義;

2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;

3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。

定理有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續(xù)的函數(shù)。

定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)

推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

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第二篇：高等數(shù)學(xué)函數(shù)極限練習(xí)題

設(shè)f(x)?2x1?x，求f(x)的定義域及值域。 設(shè)f(x)對一切實數(shù)x1，x2成立f(x1?x2)?f(x1)f(x2)，且f(0)?0，f(1)?a，求f(0)及f(n)．(n為正整數(shù)) 定義函數(shù)I(x)表示不超過x的最大整數(shù)叫做x的取整函數(shù)，若f(x)表示將x之值保留二I(x)位小數(shù)，小數(shù)第3位起以后所有數(shù)全部舍去，試用法則保留2位小數(shù)，試用I(x)表示g(x)。 表示f(x)。 定義函數(shù)I(x)表示不超過x的最大整數(shù)叫做x的取整函數(shù)，若g(x)表示將x依4舍5入在某零售報攤上每份報紙的進價為0.25元，而零售價為0.40元，并且如果報紙當(dāng)天未售出不能退給報社，只好虧本。若每天進報紙t份，而銷售量為x份，試將報攤的利潤y表示為x的函數(shù)。 定義函數(shù)I(x)表示不超過?(x)?x?I(x)的周期性。 判定函數(shù)f(x)?(exx?xx的最大整數(shù)叫做x的取整函數(shù)，試判定?1)?ln(1?x?x)的奇偶性。 設(shè)f(x)?esinx，問在0，???上f(x)是否有界？ 函數(shù)y?f(x)的圖形是圖中所示的折線OBA，寫出y?f(x)的表達式。 ? ?x，?x，　0?x?2；0?x?4；設(shè)f(x)???(x)?? 求f??(x)?及??f(x)?． 2?x?4．4?x?6．?x?2，?x?2，??1，x?0；設(shè)f(x)???(x)?2x?1，求f??(x)?及??f(x)?． ?1，x?0．??ex，x?0；?0，x?0；求f(x)的反函數(shù)設(shè)f(x)???(x)??2?x，　x?0．??x，x?0．g(x)及f??(x)?． 2設(shè)f(x)??x，x?0；(x?x)，?(x)??2求f??(x)?． 2?x，x?0．1?2?x，x?0；設(shè)f(x)??求f?f(x)?． ?2，　x?0．?0，x?0；?x?1，x?1；設(shè)f(x)???(x)?? 求f(x)??(x)． ?x，x?0．?x，x?1．?ex，　　???x?0；?設(shè)f(x)??x?1，0?x?4；求f(x)的反函數(shù)?(x)． ?x?1，?。?x???．??x，???x?1；?2設(shè)f(x)??x，1?x?4；求f(x)的反函數(shù)?(x)． ?x?2，4?x???．2??1?x，x?0；設(shè)f(x)??求： ???x，x?0．(1)f(x)的定義域；2(2)f(2)及f(a)．(a為常數(shù))。 ??1，x??1；?22設(shè)f(x)??x，　x?1；求f(x?3)?f(sinx)?5f(4x?x?6)． ??1，　x?1．?2x?1，x?0；設(shè)f(x)??2求f(x?1)． ?x?4，x?0．?x2，x?1；??設(shè)f(x)??，求f(cos)及f(sec)． 44?log2x，x?1．?1?x?0；?x?2，?設(shè)f(x)??0， x?0；試作出下列函數(shù)的圖形?x?2，　x?0．?(1)y?f(x)；(2)y?f(x)；(3)y??f(x)?f(x)2． ：?2?x?0；??x，?設(shè)f(x)??1，x?0試作出下列函數(shù)的圖形??x?2，0?x?2?f(x)?f(?x)(1)y?f(x)；(2)y?f(?x)；(3)y?． 2 ：2??1?x,x?1；設(shè)f(x)?? 試畫出y?f(x)，y??f(x),y?f(x).的圖形。 1?x?2．???x?1，?1?x?0，???(x)，設(shè)f(x)??求?(x)，使f(x)在??1，1?上是偶函數(shù)。 2?0?x?1．?x?x，???(x)，當(dāng)x?0時，?設(shè)f(x)??0，　當(dāng)x?0時， ?1，當(dāng)x?0時．?x?x?(1)求f(2?cosx)；(2)求?(x)，使f(x)在(??，??)是奇函數(shù)。 ?1?x?0；?0， ?設(shè)f(x)??x， 0?x?1；F(x)?f(1?2x)， ?2?x，　1?x?2．?(1)求F(x)的表達式和定義域；(2)畫出F(x)的圖形。 ?0，　　?1?x?0;?設(shè)f(x)??x?1，　0?x?1；求f(x)的定義域及值域。 ??2?x，　1?x?2．?1?x，x?0；設(shè)f(x)??x求f(?2)、f(0)及f(2)的值。 ?2，x?0.2??x?x?1，x?1；設(shè)f(x)??求f(1?a)?f(1?a)，其中a?0． 2??2x?x，x?1求函數(shù)y?lnx?1的反函數(shù)，并作出這兩個函數(shù)的圖形。 求函數(shù)y?sin(x??4)的反函數(shù)y??(x)，并作出這兩個函數(shù)的圖形（草圖）。 求函數(shù)y?tan(x?1)的反函數(shù)y??(x)，并作出這兩個函數(shù)的圖形（草圖）。 利用圖形的疊加作出函數(shù)y?x?sinx的圖形。 利用圖形的疊加作出函數(shù)y?x?1x的圖形。 作函數(shù)y?1x?1的圖形（草圖）。 作函數(shù)y?ln(x?1)的圖形（草圖）。 作函數(shù)y?arcsin(x?1)的圖形。（草圖） 作出下列函數(shù)的圖形：（草圖） (1)y?x?1；(2)y??x；222 (3)y?(x?1)．設(shè)函數(shù)y?lgax，就a?1和a??2時，分別作出其草圖。 利用y?2的圖形（如圖）作出下x列函數(shù)的圖形（草圖）： (1)y?2x?1；(2)y?1x32． 利用y?sinx的圖形（如圖）作出下(1)y?sin2x；(2)y?sin(x?? 4)。 列函數(shù)的圖形：（草圖） 利用y?sinx的圖形（如圖）作出下列函數(shù)的圖形：（草圖）(1)y?(2)y?1212sinx；sinx?1 ?ππ2 x(??，??)的反函數(shù)，并指出其定義域。 3x求函數(shù)y?ch (???x???)的反函數(shù)，并指出其定義域。 3x求函數(shù)y?Sh (???x???)的反函數(shù)，并指出其定義域。 3求函數(shù)y?ln求函數(shù)，y?ee2x2x?1?1的反函數(shù)，并指出其定義域。 驗證1?cthx??驗證1?thx?221shx22。 1chx驗證Ch(???)?Ch?Ch??Sh?Sh?。 驗證Ch(???)?Ch?Ch??Sh?Sh?。 驗證Sh(???)?Sh?Ch??Ch?Sh?。 驗證Sh(???)?Sh?Ch??Ch?Sh?。 。 驗證2Shx?Chx?Sh2x。 證明Shx?Chx?Ch2x。 設(shè)f(x)?arctanx (???x???)，?(x)?x?a， 1?ax22(a?1，x?1)，驗證：f??(x)??f(x)?f(a)。 x?1，求f??(x)?。 設(shè)f(x)?1?lnx，?(x)?設(shè)f(x)?x1?x2，?(x)?x1x，求f??(x)?。 設(shè)f(x)?sinx，?(x)?2，求f??(x)?、??f(x)?及f?f(x)?。 設(shè)f(x)?x?1，?(x)?1x?12，求f??(x)?及??f(x)?。 設(shè)f(x)?設(shè)f(x)?1?1?(x?0，x?1)，求f??及fx?1f(x)??x，?(x)?x?1x?122?f?f?x???。 x?1x2，求f??(x)?及其定義域。 已知f(x)?e，f??(x)??1?x，且?(x)?0，求?(x)，并指出其定義域。 設(shè)f(x)?lnx，?(x)?1?x，求f??(x)?及f??(0)?。 2設(shè)f(x)?arcsinx，?(x)?lgx，求f??(x)?及其定義域。 求函數(shù)y?x?1(x??1)的反函數(shù)，并指出反函數(shù)的定義域。 32求函數(shù)y?lgarccosx(?1?x?1)的反函數(shù)，并指出其定義域。 求函數(shù)y?arctg求函數(shù)y?12(e?ea?xa?xx?x1?x的反函數(shù)。 1?x)的反函數(shù)，并指出其定義域。 求函數(shù)y?ln(a?0)的反函數(shù)的形式。 求函數(shù)y?exx1?e的反函數(shù)，并指出其定義域。 求函數(shù)y?xx?4x的反函數(shù)。 求函數(shù)f(x)?1?1?x1?x1?x(x?1)的反函數(shù)?(x)，并指出?(x)的定義域。 求函數(shù)f(x)?loga(x?設(shè)f(x)?e?exx?x1?x)的反函數(shù)?(x)(式中a?0，a?1)。 2e?ex設(shè)f(x)?(0?x???)，試討論f(x)的單調(diào)性和有界性。 1?x1討論函數(shù)f(x)?x?在區(qū)間(0，1)和(1，??)內(nèi)的單調(diào)性。 xx討論函數(shù)f(x)?的有界性。 21?x1討論函數(shù)f(x)?，當(dāng)x?(??，0)?(0，??)時的有界性。 13?2xx討論函數(shù)f(x)?2在(??，??)上的單調(diào)性。 討論函數(shù)f(x)?x?a?x，求f(x)的反函數(shù)?(x)，并指出其定義域. (a?1)在(??，??)上的單調(diào)性。 討論函數(shù)f(x)?1?lnx在(0，??)內(nèi)的單調(diào)性。 ?1?x?1?x?2，設(shè)f(x)??，?(x)?f(a?x)?b 1?x?3?x?1，試求a，b的值，使?(x)(x?0除外)為奇函數(shù)。 判斷f(x)?e?1e?1xxln1?x1?xx(?1?x?1)的奇偶性。 證明f(x)?(2?23)?(2?3)是奇函數(shù)。 2x判定f(x)?x?arccotx在其定義域(??，??)上的奇偶性。 判定f(x)?3(1?3x)?3(1?3x)　(???x???)的奇偶性。 判定f(x)?ax?a22(a?0)(???x???)的奇偶性。 ?xG(x)與偶函數(shù)F(x),使f(x)?G(x)?F(x)。 設(shè)f(x)?2exx1?e，求奇函數(shù)11設(shè)函數(shù)f(x)滿足4f(x)?2f()?，討論f(x)的奇偶性。 xx判斷f(x)?loga(x?x?1)(a?0，a?1)的奇偶性。 x2判定函數(shù)f(x)? aa2x?1(a?0，a?1)的奇偶性。 設(shè)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y滿足關(guān)系式：　　f(x?y)?f(x)?f(y)(1)求f(0)；(2)判定函數(shù)f(x)的奇偶性。 求f(x)?sinx?12sin2x?13sin3x的最小正周期。 設(shè)f(x)是以T?2為周期的周期函數(shù)，且上的表達式。 在?0，2?上f(x)?x?2x，求f(x)在??2，4?2求f(x)?sin3x?cosx的最小正周期 。 設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且滿足條件f(1)?a和f(x?2)?f(x)?f(2)。(1)試求f(2)及f(n)　(n為正整數(shù))；(2)如果f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，試確定a的值。 設(shè)F(x)?(x?x)e則F(x)?x?x?1　(???x???)?(A)是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)；(B)是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)；(C)是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(D)非奇函數(shù)又非偶函數(shù)?！　　　　　　　　　　〈穑ā　。? 討論函數(shù)f(x)?1?2x1?x4在(??，??)的有界性。 設(shè)f(x)是定義在(??，??)內(nèi)的任意函數(shù)，則f(x)?f(?x)是（　?。?A)奇函數(shù)；　　(B)偶函數(shù)；(C)非奇非偶函數(shù)；(D)非負函數(shù)。 下列函數(shù)中為非偶數(shù)函數(shù)的是（　?。?A)y?sinx?(C)y? 22?12?1xx；　　(B)y?arccosx；x?3x?4；(D)y?2 x?3x?4?x1?x2lg(x?1?x)2設(shè)f(x)?xx，(??，??)，則f(x)　(　　)(A)在(??，??)單調(diào)減；(B)在(??，??)單調(diào)增；(C)在(??，0)內(nèi)單調(diào)增，而在(0，??)內(nèi)單調(diào)減；(D)在(??，0)內(nèi)單調(diào)減，而在(0，??)內(nèi)單調(diào)增?！　　　　　　　　　　　　　　　　〈穑ā　。?x?x f(x)?(e?e)sinx在其定義域(??，??)上是 (A)有界函數(shù)；　　(B)單調(diào)增函數(shù)；(C)偶函數(shù)；　　　(D)奇函數(shù)?！　　　　　　　　　　　　　　　　〈穑ā　。?f(x)?sinx在其定義域(??，＋?)上是(A)奇函數(shù)；　　(B)非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；(C)最小正周期為2?的周期函數(shù)；(D)最小正周期為?的周期函數(shù)?！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　〈穑ā　。? f(x)?cos(x?2)1?x2在定義域(??，??)上是 (A)有界函數(shù)；　　(B)周期函數(shù)；(C)奇函數(shù)；　　　(D)偶函數(shù)。　　　　　　　　　　　　答（　?。?f(x)?(cos3x)在其定義域(??，??)上是(A)最小正周期為3?的周期函數(shù)；　　(B)最小正周期為2?的周期函數(shù)；3(C)最小正周期為2?3的周期函數(shù)；　(D)非周期函數(shù)?！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　〈穑ā　。?設(shè)f(x)????x3，?3?x?0?，則此函數(shù)是??x3，0?x?2(A)奇函數(shù)；　　(B)偶函數(shù)； (C)有界函數(shù)；　(D)周期函數(shù)?！　　　　　　　　　　　　〈穑ā　。?設(shè)f(x)???sin3x，???x?0?，則此函數(shù)是???sin3x，0?x??(A)周期函數(shù)；　　(Ｂ)單調(diào)減函數(shù)； (C)奇函數(shù);　　　　(D)偶函數(shù)?！　　　　　　　　　　　　〈穑ā　。?f(x)?x(ex?e?x)在其定義域(??，??)上是(A)有界函數(shù)；　　(B)奇函數(shù)； (C)偶函數(shù)；　　　(D)周期函數(shù)?！　　　　　　　　　　　　〈穑ā　。?函數(shù)f(x)?lna?xa?x　(a?0)是(A)奇函數(shù)；　　(B)偶函數(shù)； (C)非奇非偶函數(shù)；(D)奇偶性決定于a的值　　　　　　　　　　　　　　答（　?。?下列函數(shù)中為非奇函數(shù)的是x(A)y?2?1； (B)y?lg(x?1?x2)；2x?1(C)y?xarccosx； (D)y?x2?3x?7?x2?3x?71?x2 答（ ） 關(guān)于函數(shù)y??1x的單調(diào)性的正確判斷是1x1x1x1x單調(diào)增；單調(diào)減；單調(diào)減；當(dāng)x?0時，y??單調(diào)增；當(dāng)x?0時，y??1x1x單調(diào)增；單調(diào)增。(A)當(dāng)x?0時，y??(B)當(dāng)x?0時，y??(C)當(dāng)x?0時，y??(D)當(dāng)x?0時，y?? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 下列函數(shù)中（其中?x?表示不超過x的最大整數(shù)），非周期函數(shù)的是(A)y?sinx?cos?x；　　(B)y?sin22x；(C)y?a?cosbx；　　　(D)y?x??x?　　　　　　　　　　　　　　　　答（　?。? 下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(A)y?xtan(sinx)；　(B)y?xcos(x?(C)y?cos(arctanx)；　(D)y?2?2x22?4)； ?x　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）求函數(shù)y?arcsin(lg確定函數(shù)y?arccosx102x)的定義域及值域。 的定義域及值域。 1?x求函數(shù)y?lg(1?2cosx)的定義域及值域。 求函數(shù)y?2?x?x的定義域及值域。 22f(x)已知f(x)是二次多項式，且f(x?1)?f(x)?8x?3，f(0)?0，求。 圖中圓錐體高OH = h，底面半徑HA = R，在OH上任取一點P（OP = x），過P作平面?垂直于OH，試把以平面?為底面的圓錐體的體積V表示為x的函數(shù)。 設(shè)一球的半徑為r，作外切于球的圓錐，試將圓錐體積V表示為高h的函數(shù)，并指出其定義域。 在半徑為R的球內(nèi)嵌入一內(nèi)接圓柱，試將圓柱的體積表示為其高的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域。 在半徑為20厘米的圓內(nèi)作一個內(nèi)接矩形，試將矩形的面積表示成一邊長的函數(shù)。 135生產(chǎn)隊要用籬笆圍成一個形狀是直角梯形的苗圃（如圖），它的相鄰兩面借用夾角為?的兩面墻（圖中AD和DC），另外兩面用籬笆圍住，籬笆的總長是30米，將苗圃的面積表示成AB的邊長x的函數(shù)。 有一條由西向東的河流，經(jīng)相距150千米的A、B兩城，從A城運貨到B城正北20千米的C城，先走水道，運到M處后，再走陸道，已知水運運費是每噸每千米3元，陸運運費是每噸每千米5元，求沿路線AMC從A城運貨到C城每噸所需運費與MB之間的距離的函數(shù)關(guān)系。 由直線y?x，y?2?x及x軸所圍成的等腰三角形OAB。在底邊上任取一點x?[0 , 2]，過x作垂直x軸的直線，試將圖上陰影部分的面積表示成x的函數(shù)。 旅客乘火車可免費攜帶不超過20千克的物品，超過20千克，而不超過50千克的部分，每千克交費0.20元，超過50千克部分每千克交費0.30元，求運費與攜帶物品重量的函數(shù)關(guān)系。 設(shè)有一塊邊長為a的正方形鐵皮，現(xiàn)將它的四角剪去邊長相等的小正方形后，制作一個無蓋盒子，試將盒子的體積表示成小正方形邊長的函數(shù)。 等腰直角三角形的腰長為l（如圖），試將其內(nèi)接矩形的面積表示成矩形的底邊長x的函數(shù)。 在底AC = b，高BD = h的三角形ABC中，內(nèi)接矩形KLMN（如圖），其高為x，試將矩形的周長P和面積S表示為x的函數(shù)。 設(shè)M為密度不均勻的細桿OB上的一點，若OM的質(zhì)量與OM的長度的平方成正比，又已知OM = 4單位時，其質(zhì)量為8單位，試求OM的質(zhì)量與長度間的關(guān)系。 等腰梯形ABCD（如圖），其兩底分別為AD = a和BC = b，（a > b），高為h。作直線MN // BH，MN與頂點A的距離AM = x (的面積S表示為x的函數(shù)。 a?ba?b?x?)，將梯形內(nèi)位于直線MN左邊22 建一蓄水池，池長50 m，斷面尺寸如圖所示，為了隨時能知道池中水的噸數(shù)（1立方米水為1噸），可在水池的端壁上標(biāo)出尺寸，觀察水的高度x，就可以換算出儲水的噸數(shù)T，試列出T與x的函數(shù)關(guān)系式。 設(shè)　f(x)?arcsin(lg設(shè)　f(x)?arcsinx10x?32)，求f(x)的定義域. ?ln(4?x),　求f(x)的定義域. 2設(shè)　f(x)?設(shè)f(x)?2?x?6?5x?x?lg(x?5x?6)，求f(x)的定義域。 21，求f(x)的定義域. lg(1?x)設(shè)f(x)?lg(1?2cosx)，求f(x)的定義域。設(shè)　f(x)?lgx?12x?1，求f?x?的定義域。 2 9?x2x?1設(shè)　f(x)??srcsin，求f(x)的定義域ln(x?2)4設(shè)　?(t)?t322。 2??(t)?　???(t)? 設(shè)　f(x?2)?x?2x?3 求f(x)及f(x?h). ?1　求?(t) 　?1?x1,求f(2)，f(a),　f()，　f??。 1?xa?f(x)?設(shè)　f(x)?設(shè)　f(x)?設(shè)　f(sin1?x1　求f()及f?f(x)?. 設(shè)　f(x?1)?x?2x,求f(x). 1?xxx)?1?cosx, 求f(cos222x). 2設(shè)　2f(x)?xf(1x?2x，求f(x)。 )?xx?121x設(shè)　f(x?)?　 (x?0) , 求f(x)。 4xx?1設(shè)　z?x?y?f(x?y) , 且當(dāng) y?0 時 , z?x , 求f(x)及z。 設(shè)　f(t)?e , 證明　t2f(x)f(y)?f(x?y)。 2設(shè)F(x)?lg(x?1) , 證明當(dāng) y?1 時有F(y設(shè)f(x)?ln?2)?F(y?2)?F(y)。 y?z1?x,證明f(y)?f(z)?f() 1?x1?yz(式中y?1,z?1). 設(shè)f(x)?2x?2,求f(2),f(?2),f(5)。 2t1x2設(shè)f()?x(),求f(x)。 xx?12設(shè)f(t)?2t2?22?51?5t , 證明f(t)?f()。 tt設(shè)f(x?1)?x　 ,　求f(2x?1)。 t1設(shè)y?f(t?x)，且當(dāng)x?2 時，y?x222?2t?5，求f(x)。 設(shè)f(lnx)?x?x?2，0?x???，求f(x)及其定義域設(shè)f(1)?x(1?xx2。 ?1) 　(x?0)，求f(x)。 1x?x設(shè)f(x?)?　(x?0)，求f(x)。 42xx?3x?13設(shè)f(x)?x1?x22，求f(1?x)　(x??1)。 1?x設(shè)f(x)?ax?bx?c，計算f(x?3)?3f(x?2)?3f(x?1)?f(x)?1的值，其中a，b，c是給定的常數(shù)。 設(shè)f(x)?a?bx?c (x?0，abc?0), xm)?f(x)，對一切x?0成立。 x求數(shù)m，使f(設(shè)f(x)?lgx?5, x?5(1)確定f(x)的定義域； (2)若f?g(x)??lgx，求g(2)的值。 設(shè)y?1?a?f(x?1)滿足條件，求f(x)及y. y|a?0?x及y|x?1?2, 設(shè)f(x)?設(shè)f(x)?25?x22?arctan1x，求f(x)的定義域。 lgx?5x62，求f(x)的定義域。 設(shè)f(x)?設(shè)f(x)?2?x1?x，求f(x)的定義域16?x2。 。 sinx?，求f(x) 的定義域F(x)設(shè)f(x)的定義域為?a．b?，F(xiàn)(x)?f(x?m)?f(x?m) ，(m?0)，求的定義域。 求函數(shù)f(x)?arccos2x1?x?1?x?2x2的定義域。 設(shè)f(x)?ln?1?，求f(x)?f??的定義域。 2?x?x?2x?1522?x設(shè)f(x)?arcsin?sin?x，求f(x)的定義域2。 設(shè)f(x)?2?xx2?ln(x?x)，求f(x)的定義域。 f(x)?log2(logf(x)?2xx2x)的定義域是_________________。 的定義域是________________。 2x?13?3x?2函數(shù)f(x)?arcsin的定義域用區(qū)間表示為______________。 函數(shù)f(x)?1x?x的定義域用區(qū)間表示為________________。 函數(shù)f(x)?arccos(2x?1)的定義域用區(qū)間表示為_____________。 函數(shù)f(x)?x(x?4)的定義域是_____________。 2函數(shù)f(x)?ln(6?x?x)的定義域用區(qū)間表示為______________。 函數(shù)f(x)?1ln(x?4)的定義域用區(qū)間表示為_____________。 設(shè)f(x)?函數(shù)f(x)?x?1?ln(2?x)，則f(x)的定義域用區(qū)間表示為。 2?xx?2的定義域用區(qū)間表示為_______________。 設(shè)f(x)?arcsin2?x，則f(x)的定義域用區(qū)間表示為______________。 2設(shè)f(x)的定義域是(0,1)，則f(1?x)的定義域是________________。 設(shè)f(x)?lnx，?(x)?arcsinx，則f[?(x)]的定義域是________________。 2設(shè)f(x)的定義域是[0，4），則f(x)的定義域是______________。 ?1?設(shè)f(x)的定義域是(1 , 2]，則f??的定義域是______________。 x?1??設(shè)f(x)的定義域是（0，1），則f(lgx)的定義域是______________。 函數(shù)f(x)?sin(arcsinx)與函數(shù)g(x)?arcsin(sinx)是否表示同一函數(shù)？為什么？ 2函數(shù)f(x)?ln(x?2x?1)與函數(shù)g(x)?2ln(x?1)是否表示同一函數(shù)？為什么？ 函數(shù)f(x)?cos(arccos函數(shù)f(x)?(1?cosx)2x)與函數(shù)g(x)?x是否表示同一函數(shù)？為什么？ 12與函數(shù)g(x)?sinx是否表示同一函數(shù)？為什么？ 函數(shù)f(x)?x?1x?12與函數(shù)g(x)?lgx11?x是否表示同一函數(shù)？為什么？ 函數(shù)f(x)?10函數(shù)f(x)?3與函數(shù)g(x)?x是否表示同一函數(shù)？為什么？ 33與函數(shù)g(x)?xx?1是否表示同一函數(shù)？為什么？ x4?x函數(shù)f(x)?x?1x?2x與函數(shù)g(x)?lnxx?1x?2是否表示同一函數(shù)？為什么？ 函數(shù)f(x)?lne與函數(shù)g(x)?e函數(shù)f(x)?x2是否表示同一函數(shù)？為什么？ 1x2?1?x與函數(shù)g(x)?是否表示同一函數(shù)？為什么？ ?1?x設(shè)f(x)?1?x1?x，確定f(x)的定義域及值域。

第三篇：高等數(shù)學(xué)極限與中值定理應(yīng)用

(一)1.x??sin?limx??limxsin2xx?1 22xx?1(洛必達法則)1x2

=lim2x22x??x?1

?2

2. x????x ?limx??limsinxcosx?1

?1

3. x?0sinx?limcosxx?0limtanx?sinxx3

?sinx3?limx sinx(1?cosx)x?0xcosx3

x3?lim23x?0x1?2

4. limx?sinx3x?0?lim?16x1?cosx3x2 x?0

（二） 1.若

limsinxe?axx?0(cosx?b)?5，求常數(shù)a，b

lim(cosx?b)xe?a sinx(cosx?b)?limxx?0e?a x?0sinx由等價無窮小可得a=1

=lim(cosx?b)?xsinxexx?0?5

b??4

2.若x?0,?(x)?kx,?(x)?21?xarcsinx?cosx

是等價無窮小，求常數(shù)K lim1?xarcsinx?kx2cosxx?0?1

?lim1?xarcsinx?cosxkx(1?xarcsinx?1?xarcsinx?cosx2kx2x?02cosx)

?limx?0

x2arcsinx??limx?0?sinx1?x4kx1x

)?cosx'?lim31?x2?(x?01?x4k2

4k3k?4??1

3.證明當(dāng)X>02

時，(x?1)lnx?(x?1)222

f(x)?(x?1)lnx?(x?1)則f(x)?2xlnx?x??2xlnx?x?'''

1x?2(x?1)1x?2

1x2f(x)?2(lnx?1)?1?

?2lnx???ln1x21x?2?11

x2?1?0'再倒推可得：f(x)?0

22f(x)?0f(x?0)，所以 (x?1)lnx?(x?1)

（三）

1.設(shè)f(x)在[0，a]上連續(xù)，在（0，a）內(nèi)可導(dǎo)，且

f(a)?0，，證明：???(0,a)，使得f(?)??f(?)?0。

'求原函數(shù)F(x)?xf(x)

F(0)?F(a)?0滿足羅爾定律，所以F(x)?0

'即 f(?)??f(?)?0'

2.設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）上可導(dǎo)。且

f(0)?0,f(1)?1，證明

（1）?c?(0,1).推出f(c)?1?c （2）??，??(0,1)有f(?)?f(?)=1（???）''

（1）F(x)?f(c)?c?1

F(0)??1,F(1)?1

由零點定理得?c?(0,1)有F(c)=0

所以?c?(0,1).推出f(c)?1?c （2）設(shè)??(o,c),??(c,1)得

f(?)?f(?)?''f(c)?f(0)c?0f(1)?f(c)1?c??1?ccc1?c'

'所以 ??，??(0,1)有f(?)?f(?)=1（???）