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第一篇：數(shù)理邏輯考試題及答案

“離散數(shù)學(xué)”數(shù)理邏輯部分考核試題答案

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一、命題邏輯基本知識（5分）

1、將下列命題符號化（總共4題，完成的題號為學(xué)號尾數(shù)取4的余，完成1題。共2分）（0）小劉既不怕吃苦，又愛鉆研。

解：?p∧q，其中，P：小劉怕吃苦；q：小劉愛鉆研。（1）只有不怕敵人，才能戰(zhàn)勝敵人。

解：q→?p，其中，P：怕敵人；q：戰(zhàn)勝敵人。

（2）只要別人有困難，老張就幫助別人，除非困難已經(jīng)解決了。

解：?r→(p→p)，其中，P：別人有困難；q：老張幫助別人；r：困難解決了。（3）小王與小張是親戚。

解：p，其中，P：小王與小張是親戚。

2、判斷下列公式的類型（總共5題，完成的題號為學(xué)號尾數(shù)取5的余，完成1題。共1分）（0）A：(?(p?q)?((p??q)?(?p?q)))? r（1）B：(p??(q?p))?(r?q)（2）C：(p??r)?(q?r)（3）E：p?(p?q?r)（4）F：?(q?r)?r 解：用真值表判斷，A為重言式，B為矛盾式，C為可滿足式，E為重言式，F(xiàn)為矛盾式。

3、判斷推理是否正確（總共2題，完成的題號為學(xué)號尾數(shù)取2的余，完成1題。共2分）

（0）設(shè)y=2|x|，x為實(shí)數(shù)。推理如下：如y在x=0處可導(dǎo)，則y在x=0處連續(xù)。發(fā)現(xiàn)y在x=0處連續(xù)，所以，y在x=0處可導(dǎo)。

解：設(shè)y=2|x|，x為實(shí)數(shù)。令P：y在x=0處可導(dǎo)，q：y在x=0處連續(xù)。由此，p為假，q為真。本題推理符號化為：(p?q)?q?p。由p、q的真值，計算推理公式真值為假，由此，本題推理不正確。（1）若2和3都是素數(shù)，則6是奇數(shù)。2是素數(shù)，3也是素數(shù)。所以，5或6是奇數(shù)。

解：令p:2是素數(shù)，q:3是素數(shù)，r:5是奇數(shù)，s:6是奇數(shù)。由此，p=1，q=1，r=1，s=0。本題推理符號化為：((p ? q)→s)?p ?q)→(r ? s)。計算推理公式真值為真，由此，本題推理正確。

二、命題邏輯等值演算（5分）

1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（總共3題，完成的題號為學(xué)號尾數(shù)取3的余，完成1題。共2分）

（0）求公式p→((q∧r)∧(p∨(?q∧?r)))的主析取范式。

解：p→((q∧r)∧(p∨(?q∧?r)))? ?p∨(q∧r∧p)∨(q∧r∧?q∧?r)

? ?p∨(q∧r∧p)∨0 ?(p∧q∧r)∨?(?p∧1∧1)∨(q∧r∧p)?(?p∧(q∨?q)∧(r∨?r))∨(q∧r∧p)?(?p∧(q∨?q)∧(r∨?r))∨m7 ?(?p∧?q∧?r)∨(?p∧?q∧r)∨(?p∧q∧?r)∨(?p∧q∧r)∨m7 ?m0∨m1∨m2∨m3∨m7.（1）求公式?(?(p→q))∨(?q→?p)的主合取范式。

解：?(?(p→q))?(?q→?p)?

(p→q)?(p→q)?(p→q)? ?p?q ? M2.

（2）求公式(p→(p∨q))∨r的主析取范式。

解：(p→(p?q))?r ? ?p?(p?q)?r ?(?p?p?q? r)?1 ?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.2、應(yīng)用分析（總共2題，完成的題號為學(xué)號尾數(shù)取2的余，完成1題。共3分）

（0）某村選村委，已知趙煉玉、錢谷王、孫竹灣被選進(jìn)了村委，三村民甲、乙、丙預(yù)言：

甲預(yù)言：趙煉玉為村長，錢谷王為村支書。

乙預(yù)言：孫竹灣為村長，趙煉玉為村支書。

丙預(yù)言：錢谷王為村長，趙煉玉為村婦女主任。

村委分工公布后發(fā)現(xiàn)，甲乙丙三人各預(yù)測正確一半。趙煉玉、錢谷王、孫竹灣各擔(dān)任什么職務(wù)？ 解：設(shè)P1：趙煉玉為村長，p2：錢谷王為村長，p3：孫竹灣為村長，q1：趙煉玉為村支書，q2: 錢谷王為村支書，r1：趙煉玉為村婦女主任。

判斷公式F?((p1??q2)?(?p1?q2))?((p3??q1)?(?p3?q1))?((p2??r1)?(?p2?r1))

? ?p1?q2?p3??q1??q2?r1?1?q2?p3??r1，由此，錢谷王為村支書，孫竹灣為村長，趙煉玉為村婦女主任。

說明：p1、p2、p3有且僅有一個為真，q1、q2有且僅有一個為真。一個人不能擔(dān)任兩職，一個職務(wù)不可由兩人同時擔(dān)任。

（1）某公司派趙、錢、孫、李、周五人出國學(xué)習(xí)。選派條件是：

① 若趙去，錢也去。② 李、周兩人必有一人去。

③ 錢、孫兩人去且僅去一人。④ 孫、李兩人同去或同不去。⑤ 如周去，則趙、錢也同去。如何選派他們出國？

解：① 設(shè)p：派趙去，q：派錢去，r：派孫去，s：派李去，u：派周去。

②(1)(p?q)

(2)(s?u)

(3)((q??r)?(?q?r))

(4)((r?s)?(?r??s))

(5)(u?(p?q))

③(1)~(5)構(gòu)成的合取式為：

A=(p?q)?(s?u)?((q??r)?(?q?r))?((r?s)?(?r??s))?(u?(p?q))?(?p??q?r?s??u)?(p?q??r??s?u)由此可知，A的成真賦值為00110與11001，因而派孫、李去（趙、錢、周不去），或派趙、錢、周去（孫、李不去）。

三、命題邏輯推理（5分）

在自然推理系統(tǒng)中，構(gòu)造下列推理過程（總共3題，完成的題號為學(xué)號尾數(shù)取3的余，完成1題。共5分）（0）如果張老師出國，則若李老師出國，王老師出國。現(xiàn)在的情況是張老師與李老師都要出國。所以，王老師不出國，則孫老師出國。解：形式化：

p：張老師出國；q：李老師出國；r：王老師出國；s：孫老師出國。前提：p?(q?r)，p?q 結(jié)論：?r?s 證明：① p?(q?r)

【前提引入】

② ?p?(?q?r)? p?q?r

【①置換】 ③ p?q

【前提引入】

④ r

【②③假言推理】 ⑤ r ?s

【④附加規(guī)則】 ⑥ ? ? r∨s

【⑤置換】

⑦ ?r?s

【⑥置換】

證畢。

（1）若張同學(xué)與李同學(xué)是樂山人，則王同學(xué)是雅安人，若王同學(xué)是雅安人，則他喜歡吃雅魚，然而，王同學(xué)不喜歡吃雅魚，張同學(xué)是樂山人。所以，李同學(xué)不是樂山人。解：形式化：

p：張同學(xué)是樂山人；q：李同學(xué)是樂山人；r：王同學(xué)是雅安人；s：王同學(xué)喜歡吃雅魚。前提：(p?q)? r，r? s，?s，p 結(jié)論：?q 證明：①(p?q)? r

【前提引入】

② r? s

【前提引入】

③(p?q)? s

【①②假言三段論】 ④ ?s

【前提引入】 ⑤ ?(p?q)

【③④拒取式】 ⑥ ?p??q

【⑤置換】 ⑦ p

【前提引入】

⑧ ?q

【⑥⑦析取三段論】

證畢。

（2）若n是偶數(shù)并且大于5，則m是奇數(shù)。只有n是偶數(shù)，m才大于6。現(xiàn)有n大于5。所以，若m大于6，則m是奇數(shù)。解：形式化：

p：n是偶數(shù)；q：n大于5；r：m是奇數(shù)；s：m大于6。前提：(p?q)? r，s? p，q 結(jié)論：s? r 證明：① q

【前提引入】

② ?s?q

【①附加規(guī)則】（這是證明的關(guān)鍵）③ s? q

【②置換】 ④ s? p

【前提引入】 ⑤(s? q）?q（s? p）

【③④合取】 ⑥ s?(p?q)

【⑤置換】 ⑦(p?q)? r

【前提引入】

⑧ s?r

【⑥⑦假言三段論】

證畢。四、一階邏輯的基本概念（5分）

1、一階邏輯命題形式化（總共6題，完成的題號為學(xué)號尾數(shù)取6的余，完成1題。共2分）（0）人人都生活在地球上。

解：?x(F(x)→G(x))，其中，F(xiàn)(x)：x是人，G(x)：x生活在地球上。（1）有的人長著金色的頭發(fā)。

解：?x(F(x)?G(x))，其中，F(xiàn)(x)：x是人，G(x)：x長著金色的頭發(fā)。（2）沒有能表示成分?jǐn)?shù)的無理數(shù)。

解：??x(F(x)?G(x))，其中，F(xiàn)(x)：x是無理數(shù)，G(x)：x能表示成分?jǐn)?shù)。（3）說所有的男人比所有的女人力氣大是不正確的。

解：??x?y(F(x)? G(y)→S(x,y))，其中，F(xiàn)(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力氣大。（4）有的學(xué)生不住在校內(nèi)。

解：?x(F(x)??G(x))，其中，F(xiàn)(x)：x是學(xué)生，G(x)：x住在校內(nèi)。（5）說有的男人比所有的女人力氣大是正確的。解：?x(F(x)? ?y(G(x)→S(x,y)))，其中，F(xiàn)(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力氣大。

2、給出下列公式的一個成真解釋和一個成假解釋（總共3題，完成的題號為學(xué)號尾數(shù)取3的余，完成1題。共3分）

（0）?x(F(x)? G(x))解：取解釋I1：個體域?yàn)槿说募?，F(xiàn)(x)：x是男人，G(x)：x是女人。

則在I1解釋下，?x(F(x)? G(x))為真命題。

取解釋I2：個體域?yàn)槿说募希現(xiàn)(x)：x是中國人，G(x)：x是美國人。

則在I2解釋下，?x(F(x)? G(x))為假命題。

（1）?x(F(x)? G(x)? H(x))解：取解釋I1：個體域?yàn)槿说募?，F(xiàn)(x)：x是教師，G(x)：x是黨員，H(x)：x是班主任。

則在I1解釋下，?x(F(x)? G(x)? H(x))為真命題。

取解釋I2：個體域?yàn)槿说募?，F(xiàn)(x)：x是男人，G(x)：x是女人，H(x)：x是班主任。

則在I2解釋下，?x(F(x)? G(x)? H(x))為假命題。

（2）?x(F(x)??y(G(y)? H(x,y)))解：取解釋I1：個體域?yàn)檎麛?shù)集合，F(xiàn)(x)：x是正整數(shù)，G(x)：x是負(fù)整數(shù)，H(x,y)：x比y大。則在I1解釋下，?x(F(x)??y(G(y)? H(x,y)))為真命題。

取解釋I2：個體域?yàn)樽匀粩?shù)集合，F(xiàn)(x)：x是奇數(shù)，G(x)：x是偶數(shù)，H(x,y)：x比y大。則在I2解釋下，?x(F(x)??y(G(y)? H(x,y)))為假命題。五、一階邏輯等值演算（5分）

1、證明等值式（總共2題，完成的題號為學(xué)號尾數(shù)取2的余，完成1題。共1分）（0）證明等值式：?x(A(x)?B)? ?xA(x)?B。證明：?x(A(x)?B)? ?x(?A(x)?B)? ?x?A(x)?B ? ??x A(x)?B ? ?x A(x)→B。

（1）證明等值式：?x(A(x)?B)??xA(x)?B。解：?x(A(x)?B)? ?x(?A(x)?B)? ?x ?A(x)?B ? ??x A(x)?B ? ?x A(x)→B

2、給出下列公式的前束范式（總共4題，完成的題號為學(xué)號尾數(shù)取4的余，完成1題。共2分）（0）??x(F(x)→G(x))解：??x(F(x)→G(x))? ?x ?(?F(x)?G(x))? ?x(F(x)? ?G(x))（1）??x(F(x)? G(x))解：??x(F(x)? G(x))? ?x ?(F(x)?G(x))? ?x(?F(x)? ?G(x))? ?x(F(x)→?G(x))（2）?yF(x,y)??xG(x,y,z)解：?yF(x,y)??xG(x,y,z)? ?yF(u,y)??xG(x,v,z)? ?y ?x(F(u,y)?G(x,v,z))（3）?xF(x)→?y(G(x,y)?H(x,y))解：?xF(x)→?y(G(x,y)?H(x,y))? ?zF(z)→?y(G(x,y)?H(x,y))? ?z(F(z)→?y(G(x,y)?H(x,y)))? ?z?y(F(z)→(G(x,y)?H(x,y)))

3、例證（總共2題，完成的題號為學(xué)號尾數(shù)取2的余，完成1題。共2分）（0）舉例說明“?對?無分配律”。

解：?對?無分配律指：不存在等價關(guān)系?x(A(x)?B(x))??xA(x)??xB(x)。例如，取解釋I：個體域?yàn)槿说募?，F(xiàn)(x)：x是男人，G(x)：x是女人。?x(A(x)?B(x))的真值為真，而?xA(x)??xB(x)的真值為假。

（1）舉例說明“?對?無分配律”。

解：?對?無分配律指：不存在等價關(guān)系?x(A(x)?B(x))? ?x A(x)??x B(x)。例如，取解釋I：個體域?yàn)槿说募?，F(xiàn)(x)：x是男人，G(x)：x是女人。?x(A(x)?B(x))的真值為假，而?x A(x)??x B(x))的真值為真。

六、一階邏輯推理（5分）

在自然推理系統(tǒng)中，構(gòu)造下列推理過程（總共2題，完成的題號為學(xué)號尾數(shù)取2的余，完成1題。共5分）（0）每個喜歡步行的人都不喜歡騎自行車，每個人或者喜歡騎自行車或者喜歡乘汽車，有的人不喜歡乘汽車。所以，有的人不喜歡步行。（個體域?yàn)槿祟惣希┙猓盒问交?/p>

F(x)：x喜歡步行；G(x)：x喜歡騎自行車；H(x)：x喜歡乘汽車。前提：?x(F(x)→?G(x))，?x(G(x)?H(x))，?x?H(x)結(jié)論：?x?F(x)證明：① ?x(F(x)→?G(x))

【前提引入】

② F(y)→?G(y)

【?-】

③ ?x(G(x)?H(x))

【前提引入】 ④ G(y)?H(y)

【?-】 ⑤ ?G(y)→H(y)

【④置換】

⑥ F(y)→H(y)

【②⑤假言三段論】 ⑦ ?H(y)→?F(y)

【⑥置換】 ⑧ ?H(y)→?x ?F(x)

【⑦ ?+ 】 ⑨ ?x?H(x)→?x ?F(x)

【⑧ ?+ 】 ⑩ ?x?H(x)

【前提引入】 ⑾ ?x ?F(x)

【⑨⑩假言推理】

證畢。

（1）每個科學(xué)工作者都是刻苦鉆研的，每個刻苦鉆研而又聰明的人在他的事業(yè)中都將獲得成功。王大海是科學(xué)工作者，并且聰明。所以，王大海在他的事業(yè)中將獲得成功。（個體域?yàn)槿祟惣希┙猓盒问交?/p>

F(x)：x是科學(xué)工作者；G(x)：x刻苦鉆研；H(x)：x聰明；I(x)：x事業(yè)成功；a:王大海。前提：?x(F(x)→G(x))，?x(G(x)?H(x)→I(x))，F(xiàn)(a)，H(a)。結(jié)論：I(a)證明：① F(a)

【前提引入】

② ?x(F(x)→G(x))

【前提引入】 ③ F(a)→G(a)

【②?-】

④ G(a)

【①③假言推理】 ⑤ H(a)

【前提引入】 ⑥ ?x(G(x)?H(x)→I(x))

【前提引入】 ⑦ G(a)?H(a)→I(a)

【⑥?-】 ⑧ G(a)?H(a)

【④⑤合取】

⑨ I(a)

【⑦⑧假言推理】

證畢。

第二篇：數(shù)理邏輯心得

數(shù)理邏輯的心得

數(shù)理邏輯：是計算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)，應(yīng)熟練掌握將現(xiàn)實(shí)生活中的條件化成邏輯公式，并能做適當(dāng)?shù)耐评恚@對程序設(shè)計等課程是極有用處的。是大四接觸到的，現(xiàn)簡單介紹一下數(shù)理邏輯的發(fā)展史，算是一點(diǎn)感悟吧

1數(shù)理邏輯的發(fā)展前期

·前史時期——古典形式邏輯時期：亞里斯多德的直言三段論理論·初創(chuàng)時期——邏輯代數(shù)時期（17世紀(jì)末）

·資本主義生產(chǎn)力大發(fā)展，自然科學(xué)取得了長足的進(jìn)步，數(shù)學(xué)在認(rèn)識自然、發(fā)展技術(shù)方面起到了相當(dāng)重要的作用。

·人們希望使用數(shù)學(xué)的方法來研究思維，把思維過程轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)的計算?！とR布尼茲(Leibniz, 1646~1716)完善三段論，提出了建立數(shù)理邏輯或者說理性演算的思想：

·提出將推理的正確性化歸于計算，這種演算能使人們的推理不依賴于對推理過程中的命題的含義內(nèi)容的思考，將推理的規(guī)則變?yōu)檠菟愕囊?guī)則。

·使用一種符號語言來代替自然語言對演算進(jìn)行描述，將符號的形式和其含義分開。使得演算從很大程度上取決與符號的組合規(guī)律，而與其含義無關(guān)。

·布爾(G.Boole, 1815~1864)代數(shù)：將有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算的研究的代數(shù)系統(tǒng)推廣到邏輯領(lǐng)域，布爾代數(shù)既是一種代數(shù)系統(tǒng)，也是一種邏輯演算。

數(shù)理邏輯的奠基時期

·弗雷格(G.Frege, 1848~1925)：《概念語言——一種按算術(shù)的公式語言構(gòu)成的純思維公式語言》(1879)的出版標(biāo)志著數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)部分——命題演算和謂詞演算的正式建立。

·皮亞諾(Giuseppe Peano, 1858~1932)：《用一種新的方法陳述的算術(shù)原理》(1889)提出了自然數(shù)算術(shù)的一個公理系統(tǒng)。

·羅素(Bertrand Russell, 1872~1970)：《數(shù)學(xué)原理》(與懷特黑合著，1910, 1912, 1913)從命題演算和謂詞演算開始，然后通過一元和二元命題函項(xiàng)定義了類和關(guān)系的概念，建立了抽象的類演算和關(guān)系演算。由此出發(fā)，在類型論的基礎(chǔ)上用連續(xù)定義和證明的方式引出了數(shù)學(xué)（主要是算術(shù)）中的主要概念和定理。

·邏輯演算的發(fā)展：甘岑(G.Gentzen)的自然推理系統(tǒng)(Natural Deduction System)，邏輯演算的元理論：公理的獨(dú)立性、一致性、完全性等。

·各種各樣的非經(jīng)典邏輯的發(fā)展：路易斯(Lewis, 1883~1964)的模態(tài)邏輯，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵怪論和嚴(yán)格蘊(yùn)涵、相干邏輯等，盧卡西維茨的多值邏輯等。

集合論的悖論使得人們覺得數(shù)學(xué)產(chǎn)生了第三次危機(jī)，提出了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)到底是什么這樣的問題。

·羅素等的邏輯主義：數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是邏輯，倡導(dǎo)一切數(shù)學(xué)可從邏輯符號推出，《數(shù)學(xué)原理》一書是他們這一思想的體現(xiàn)。為解決悖論產(chǎn)生了邏輯類型論。

·布勞維爾(Brouwer, 1881~1966)的直覺主義：數(shù)學(xué)是心靈的構(gòu)造，只承認(rèn)可構(gòu)造的數(shù)學(xué)，強(qiáng)調(diào)構(gòu)造的能行性，與計算機(jī)科學(xué)有重要的聯(lián)系。堅持潛無窮，強(qiáng)調(diào)排中律不能用于無窮集合。海丁(Heyting)的直覺主義邏輯。

·希爾伯特(D.Hilbert)的形式主義：公理化方法與形式化方法，元數(shù)學(xué)和證明論，提倡將邏輯演算和數(shù)學(xué)證明本身形式化，把用普通的語言傳達(dá)的內(nèi)容上的數(shù)學(xué)科學(xué)變?yōu)橛脭?shù)學(xué)符號和邏輯符號按一定法則排列的一堆公式。為了消除悖論，要數(shù)學(xué)建立在公理化基礎(chǔ)上，將

各門數(shù)學(xué)形式化，構(gòu)成形式系統(tǒng)，并證明其一致性，這是希爾伯特的數(shù)學(xué)綱領(lǐng)。

·哥德爾(Godel, 1906~1978)不完全性定理：一個足夠強(qiáng)大的形式系統(tǒng)，如果是一致的則不是完全的，即有的判斷在其中是不可證的，既不能斷定其為假，也不能證明其為真?！じ鞣N計算模型：哥德爾的遞歸函數(shù)理論，邱吉爾的?演算，圖靈機(jī)模型

·這些計算模型是計算機(jī)科學(xué)的理論基礎(chǔ)，是計算機(jī)的理論模型。

第三篇：數(shù)理邏輯的大發(fā)展

數(shù)理邏輯的大發(fā)展

1930年以后，數(shù)學(xué)邏輯開始成為一個專門學(xué)科，得到了蓬勃發(fā)展。哥德爾的兩個定理證明之后，希爾伯特的有限主義綱領(lǐng)行不通，證明論出現(xiàn)新的情況，主要有兩方面：通過放寬有限主義的限制來證明算術(shù)無矛盾性以及把證明形式化、標(biāo)準(zhǔn)化，這些主要是在三十年代完成。同時哥德爾引進(jìn)遞歸函數(shù)，發(fā)展成遞歸論的新分支，開始研究判定問題。而哥德爾本人轉(zhuǎn)向公理集合論的研究，從此出現(xiàn)公理集合論的黃金時代。五十年代模型論應(yīng)運(yùn)而生，它與數(shù)學(xué)有著密切聯(lián)系，并逐步產(chǎn)生積極的作用。

1、證明論

證明論又稱元數(shù)學(xué)，它研究數(shù)學(xué)的最基本活動—證明的合理性問題。研究這類數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問題原來一直是哲學(xué)家的事，后來才成為數(shù)學(xué)家的事。這個轉(zhuǎn)變發(fā)生在1893年弗雷格發(fā)表《算術(shù)基礎(chǔ)規(guī)則》之時，后來希爾伯特和他的許多合作者使這種思想發(fā)展成一門學(xué)科—元數(shù)學(xué)，目的是用數(shù)學(xué)方法來研究整個數(shù)學(xué)理論。

要使數(shù)學(xué)理論成為一個合適的研究對象，就必須使之形式化。自從希爾伯特和阿克曼所著《理論邏輯綱要》第一版在1928年出版以來，在實(shí)踐中用得最多的是具有等式的一階謂詞演算(以及高階謂詞演算)。許多理論可以用一階理論來表述，它比較簡單方便，具有多種形式。

從基礎(chǔ)的觀點(diǎn)來看，有兩個理論最為重要，因而研究也最多。這兩個理論就是形式化的皮亞諾算術(shù)理論與形式化的集合論。因?yàn)榇蠖鄶?shù)觀代數(shù)學(xué)理論都可以在這兩個理論范圍內(nèi)發(fā)展，所以這兩個理論的合理性如果得到證實(shí)，也就是向數(shù)學(xué)的可靠性邁進(jìn)了一大步?！跋柌赜媱潯睙o非就是要找到一個有限的證明步驟來證明算術(shù)的無矛盾性。

這里“有限”的意義是由法國年輕數(shù)學(xué)家厄布朗明確提出的，他認(rèn)為下列條件必須滿足：必須只討論確定的有限數(shù)目的對象及函數(shù)；這些對象及函數(shù)要能確定它們的真值產(chǎn)生協(xié)調(diào)一致的計算結(jié)果；一個對象如不指出如何構(gòu)造它就不能肯定其存在；必須永遠(yuǎn)不考慮一個無窮集體中所有對象的集合；一個定理對于一組對象都成立的意思是，對于每個特殊的對象，可以重復(fù)所講的普遍論證，而這普遍論證只能看成是結(jié)果特殊論證的原型。

數(shù)學(xué)理論的無矛盾性有了這種有限的、可構(gòu)造性的論證之后，任何人都可以放心了。希爾伯特計劃提出后，幾組數(shù)學(xué)家分別為實(shí)現(xiàn)它而努力：一組是希爾伯特及貝耐斯，以及阿克曼關(guān)于把數(shù)學(xué)理論形式化的研究，一組是馮·諾依曼關(guān)于算術(shù)無矛盾性的初步研究及哥德爾的不完全性定理以及甘岑的最后解決；還有一組是厄布朗及甘岑關(guān)于證明的標(biāo)準(zhǔn)形式等的研究。

厄布朗是法國天才的青年數(shù)學(xué)家，1931年8月在登阿爾卑斯山時遇難，年僅23歲。他對代數(shù)數(shù)論尤其是數(shù)理邏輯進(jìn)行過重要的研究工作，1929年他在博士論文《證明論研究》中提出他的基本定理。從某種意義上來講，這個定理是想把謂詞演算歸結(jié)為命題演算。由于前一理論是不可判定的，而后一理論是可判定的，因此這種歸結(jié)不可能是完全的。

但是，由于厄布朗局限于希爾伯特有限主義立場，他應(yīng)用的證明方法比較繞彎子。而且在1963年發(fā)現(xiàn)，他的證明中有漏洞，他的錯誤很快就得到了彌補(bǔ)。厄布朗定理可以便我們在證明中擺脫三段論法。他的許多結(jié)果，后來也為甘岑獨(dú)立地得出。

甘岑的自然演繹系統(tǒng)是把數(shù)學(xué)中的證明加以形式化的結(jié)果。他由此得出所謂“主定理”，即任何純粹邏輯的證明，都可以表示成為某種正規(guī)形式，雖然正規(guī)形式不一定是唯一的。為了證明這個主定理，他又引進(jìn)了所謂的式列(Sequenz)演算。

在普通的數(shù)學(xué)證明中，最常用則是三段論法，即如果A→B，且若A成立，則B成立。其實(shí)這就是甘岑推論圖中的“斷”。但是甘岑的主定理就是從任何證明圖中可以消除掉所有的“斷”。也就是：如果在一個證明中用到三段論法，那么定理表明，它也可以化成為不用三段論法的證明，也得到同樣的結(jié)論。

這個定理乍一看來似乎不可理解，其實(shí)正如甘岑所說，一個證明圖中有三段論法實(shí)際上是“繞了彎子”，而不用三段論法是走直路。這種沒有三段論法的證明圖稱為“正規(guī)形式”，利用這沒有三段論法的證明圖稱為“正規(guī)形式”。利用這個主定理很容易得出許多重要結(jié)果，其中之一就是極為簡單地證明“一階謂詞演算是無矛盾的”，而且能夠推出許多無矛盾性的結(jié)果。后來還可以用來證明哥德爾的完全性及不完全性定理，當(dāng)然，最重要的事還是要證明算術(shù)的無矛盾性。

希爾伯特引進(jìn)證明論的目標(biāo)是證明整個數(shù)學(xué)的無矛盾性，其中最重要的是集合論的無矛盾性(至少ZF系統(tǒng)無矛盾)、數(shù)學(xué)分析的無矛盾性，最基本的當(dāng)然是算術(shù)的無矛盾性。哥德爾的不完全性定理說明，用有限的辦法這個目標(biāo)是達(dá)不到的。由于哥德爾不完全定理的沖擊，希爾伯特計劃需要修改。

有限主義行不通就要用非有限的超窮步驟。1935年，甘岑用超窮歸納法證明自然數(shù)算術(shù)形式系統(tǒng)的無矛盾性。其后幾年，他和其他人又給出了其他的證明。這種放寬了的希爾伯特計劃在第二次世界大戰(zhàn)之后發(fā)展成為證明論的分支，這些證明也推廣到分支類型論及其他理論。

甘岑在第二次大戰(zhàn)行將結(jié)束時去世，他的結(jié)果代表當(dāng)時證明論的最高成就，希爾伯特和貝納斯的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》第二卷中總結(jié)了他的工作，但是證明論遠(yuǎn)遠(yuǎn)未能完成它的最初目標(biāo)。戰(zhàn)后隨著模型論和遞歸論乃至六十年代以來公理集合論的發(fā)展，證明論一直進(jìn)展不大。

五十年代中，日本數(shù)學(xué)家竹內(nèi)外史等人開始對于實(shí)數(shù)理論(或數(shù)學(xué)分析)的無矛盾性進(jìn)行探索。因?yàn)閷?shí)數(shù)一開始就同有理數(shù)的無窮集和有關(guān)，描述它的語言用一階謂詞演算就不夠了，所以第一步就要先把甘岑的工作推廣到高階謂詞演算中去。

1967年，日本年輕數(shù)學(xué)家高橋元男用非構(gòu)造的方法證明，單純類型論中也可以消去三段論法。由此可以推出數(shù)學(xué)分析子系統(tǒng)的無矛盾性。但是，由于證明不是構(gòu)造的，數(shù)學(xué)分析的無矛盾性至今仍然有待解決。

厄布朗及甘岑的結(jié)果雖然不可能完成希爾伯特計劃的最初目標(biāo)，但是由于其有限性、可構(gòu)造性的特點(diǎn)，現(xiàn)在已廣泛地應(yīng)用于機(jī)械化證明，成為這門學(xué)科的理論基礎(chǔ)。

證明論的方法對于數(shù)理邏輯本身有很大的推動，特別是得出新的不可判定命題。最近，英國年輕數(shù)學(xué)家巴黎斯等人有了一項(xiàng)驚人的發(fā)現(xiàn)。他們發(fā)現(xiàn)了一個在皮亞諾算術(shù)中既不能證明也不能否證的純粹組合問題，這不僅給哥德爾不完全性定理一個具體的實(shí)例，而且使人懷疑要解決許多至今尚未解決的數(shù)論難題可能都是白費(fèi)力氣。這無疑開辟了證明論一個完全新的方向。

2、遞歸論

遞歸論討論的是從形式上刻劃一個運(yùn)算或一個進(jìn)程的“能行”性這種直觀的觀念，也就是從原則上講，它們能機(jī)械地進(jìn)行而產(chǎn)生一個確定的結(jié)果。“能行”的這個概念含有可具體實(shí)現(xiàn)的、有效的、有實(shí)效的等等意思。法國數(shù)學(xué)家保萊爾首先在1898年他的函數(shù)論教科書中引進(jìn)了這個詞，他把數(shù)學(xué)的對象局限于能行的對象，這種主張實(shí)際上就是“法國經(jīng)驗(yàn)主義”。因?yàn)楹瘮?shù)論主要討論集合、函數(shù)、積分等等，從這種觀點(diǎn)產(chǎn)生出描述集合論、拜爾函數(shù)等概念。

遞歸論中所討論的函數(shù)是比較簡單的。它討論有效可計算的函數(shù)，也就是遞歸函數(shù)。遞歸函數(shù)在歷史上曾從不同角度提出來，后來證明它們都是等價的。

1931年秋天，丘奇在普林斯頓開了一門邏輯課，克林和羅塞爾當(dāng)時作為學(xué)生記了筆記。丘奇在講課中引進(jìn)了他的系統(tǒng)，并且在其中定義自然數(shù)。這就很自然引起一個問題，在丘奇系統(tǒng)中如何發(fā)展一個自然數(shù)理論。于是克林開始進(jìn)行研究，結(jié)果克林和丘奇得到一類可計算的函數(shù)，他們稱之為A可定義函數(shù)。

1934年春天，哥德爾在普林斯頓做了一系列講演(克林和羅塞爾記了筆記)。在講演中，哥德爾引進(jìn)了另外一套可以精確定義的可計算函數(shù)類，他稱為一般遞歸函數(shù)。據(jù)他講，他是受了厄布朗的啟發(fā)得到的。

這時自然出現(xiàn)了一個問題。一般遞歸函數(shù)類是否包括所有能行可計算的函數(shù)，它是否與克林與丘奇研究的A可定義函數(shù)類重合。1934年春末，丘奇和哥德爾討論一般遞歸函數(shù)問題，結(jié)果丘奇明確提出他的“論點(diǎn)”，所有直覺上可看成能行可計算函數(shù)都是λ可定義函數(shù)，于是丘奇花了好幾個月反復(fù)思考。當(dāng)時克林表示懷疑，他認(rèn)為這論點(diǎn)不太可能是對的，他想如果從A可定義函數(shù)類用對

角化方法可以得出另外一個能行可計算函數(shù)，那么它就不是A可定義的。但他又想到這事行不通。不久之后，丘奇和克林在1936年分別發(fā)表論文，證明A可定義函數(shù)類正好就是一般遞歸函數(shù)類。有了這個有力的證據(jù)，丘奇于是公開發(fā)表他的“論點(diǎn)”。

也是在1936年，英國年輕數(shù)學(xué)家圖林發(fā)表了另外一篇重要文章，這標(biāo)志著所謂圖林機(jī)的產(chǎn)生。在這篇文章中，圖林也定義了一類可計算函數(shù)，也就是用圖林機(jī)可以計算的函數(shù)。同時，他也提出他的一個論點(diǎn)：“能行可計算的函數(shù)”與“用圖林機(jī)可計算的函數(shù)”是一回事。1937年圖林證明了用圖林機(jī)可計算的函數(shù)類與可定義函數(shù)類是一致的，當(dāng)然，也就和一般遞歸函數(shù)類相重合。這樣一來，丘奇的論點(diǎn)與圖林的論點(diǎn)就是一回事。當(dāng)時許多人對于丘奇的論點(diǎn)表示懷疑，由于圖林的思想表述得如此清楚，從而消除了許多人的疑慮，哥德爾就是其中一位。從這時起大家對于丘奇—圖林論點(diǎn)一般都抱支持的態(tài)度了。

與圖林同時，美國數(shù)學(xué)家波斯特也發(fā)表了一篇文章，類似于圖林的可計算函數(shù)，他的文章過于簡短，一直到1943年波斯特才發(fā)表了第四個表述，結(jié)果證明他的與別人的也都一樣。

遞歸的概念并不難理解，它就是由前面的結(jié)果可以遞推得到后面的結(jié)果。哥德爾等人引進(jìn)的實(shí)際上是一般遞歸函數(shù)，一股遞歸函數(shù)都可以由原始遞歸函數(shù)算出來。

另一個復(fù)雜一些的概念稱為遞歸集合S，它的定義是存在一種能行的辦法來判斷任何正整數(shù)n是否屬于S。正數(shù)數(shù)集合是遞歸的當(dāng)且僅當(dāng)它與它在N中的補(bǔ)集都是遞歸可枚舉的。任何無窮遞歸可枚舉集都包含一個無窮遞歸集。但是，存在正整數(shù)的遞歸可枚舉集而不是遞歸集。

于是波斯特提出問題：是否存在兩個遞歸可按舉但是非遞歸的集合，使得第一個集合相對于第二個是遞歸的，但第二個相對于第一個卻不是遞歸的。一直到十二年后的1956年，蘇聯(lián)人穆其尼克及美國人弗里德伯格才獨(dú)立地肯定地解決了這個問題。

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬爾科夫在1947年發(fā)表《算法論》，首先明確提出算法的概念。但是它同以前定義的遞歸函數(shù)及可計算函數(shù)的計算過程都是等價的。這幾個定義表面上很不相同，并有著十分不同的邏輯出發(fā)點(diǎn)，卻全都證明是等價的。這件事看來決非巧合。它表明：所有這些定義都是同一個概念，而且這個概念是自然的、基本的、有用的。這就是“算法”概念的精確的數(shù)學(xué)定義。大家都接受了這個定義之后，判定問題從我們平時直觀的概念也上升為精確的數(shù)學(xué)概念，判定問題也成為一門數(shù)理邏輯的重要分支了。從這時起，判定問題有突飛猛進(jìn)的發(fā)展。

判定問題有了精確的數(shù)學(xué)表述之后，立即在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)乃至整個數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了巨大的影響。因?yàn)檫@時一些不可判定命題的出現(xiàn)，標(biāo)志著人們在數(shù)學(xué)歷史上第一次認(rèn)識到：有一些問題是不可能找到算法解的。在過去，人們一直模模糊糊地覺

得，任何一個精確表述的數(shù)學(xué)問題總可以通過有限步驟來判定它是對還是錯，是有解還是沒有解。找到不可判定問題再一次說明用有限過程對付無窮的局限性，它從另外一個角度反映了數(shù)學(xué)的內(nèi)在固有矛盾。

怎樣得到這些結(jié)果的呢？丘奇的論點(diǎn)發(fā)表之后，不難看出存在不可計算的函數(shù)，也就是非一般遞歸的函數(shù)。因?yàn)樗锌赡懿煌乃惴ü灿锌蓴?shù)無窮多(粗淺來講，算法都是用有限多個字來描述的)，可是所有數(shù)論函數(shù)的集合卻是不可數(shù)的。

不過，頭一個明顯的不可判定的結(jié)果是1936年丘奇得到的。他首先得到與λ可定義性有關(guān)的不可判定結(jié)果。然后，他把這個結(jié)果應(yīng)用到形式系統(tǒng)的判定問題上，特別他證明，形式化的一階數(shù)論N是不可判定的。也是在1936年，丘奇證明純粹的謂詞演算也是不可判定的。當(dāng)時大家的反應(yīng)是：這種不完全性的范圍到底有多廣？

甚至于象丘奇這樣的數(shù)學(xué)家，也想找到一條出路能避開哥德爾的結(jié)果。比如說，可以采用伺哥德爾所用的系統(tǒng)完全不同的其他的特殊系統(tǒng)。一旦算法的精確定義和丘奇論點(diǎn)出現(xiàn)之后，大家就認(rèn)識到躲不過哥德爾不完全性定理的影響，可計算性和不完全性這兩個概念是緊密聯(lián)系在一起的。

實(shí)際上克林在1936年就證明了(作為丘奇論點(diǎn)的應(yīng)用)：甚至在能夠能行地認(rèn)出公理和證明的形式系統(tǒng)中，哥德爾的定理仍然成立。消去量詞方法對許多理論行不通。一般的判定問題是試圖找出一個能行的步驟，通過這個步驟可以決定什么東西具有某種指定的元數(shù)學(xué)特征。

在純粹邏輯演算的元理論中，有最明顯的一類判定問題：對于給定的演算和給定類的公式，求出一個步驟，能夠在有限多步內(nèi)判定這類的任何特殊公式是否可以形式地推導(dǎo)出來。有些情形、問題已經(jīng)得到肯定的解決，在另外一些情形，答案是否定的，可以證明不存在這樣一個步驟。這種否定的證明，特別對于數(shù)學(xué)理論，很大程度上依賴于遞歸論。

最早明確提出的數(shù)學(xué)判定問題是希爾伯特第十問題。他在1900年國際數(shù)學(xué)家大會上提出了著名的二十三個問題，其中第十個問題是：給定一個有任意多未知數(shù)的、系數(shù)為有理整數(shù)的丟番圖方程，設(shè)計一個步驟，通過它可以經(jīng)有限步運(yùn)算判定該方程是否有有理整數(shù)解。這個到1970年才被否定解決的問題不僅解決了一個重大問題，而且解決問題過程中所得到的工具和結(jié)果對數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)發(fā)展有著極大影響，比如表示素數(shù)的多項(xiàng)式，尤其與整個數(shù)理邏輯有關(guān)的是得出了一個更確切的哥德爾不完全性定理。

現(xiàn)在我們來看希爾伯特第十問題，為了清楚起見，我們考慮多項(xiàng)式方程，看看一般的多項(xiàng)式丟番圖方程的次數(shù)和未定元的數(shù)目是否可以降低。

1938年斯科蘭姆證明，任何丟番圖方程的次數(shù)可約化成次數(shù)小于等于4的方程；1974年馬蒂亞謝維奇和羅濱遜證明未定元的數(shù)目可約化成小于等于3。對

于齊次方程，阿德勒在1971年證明，任何齊次方程可以能行地約化為二次齊次方程組，從而等價于一個四次齊次方程。對于一次方程早就有具體方法解丟番圖方程了。對于任意多未定元的二次方程，1972年西格爾也找到一個算法。四次方程不能判定，三次方程尚不知道。

解決丟番圖方程解是否存在的判定問題的方法是引進(jìn)丟番圖集。我們把丟番圖方程的變元分成兩有一組解。每個丟番圖集合是遞歸可枚舉集。1970年，蘇聯(lián)大學(xué)生馬蒂亞謝維奇證明了每個遞歸可枚舉集也是丟番圖集合。這樣一來，由于存在不可判定的遞歸可枚舉集，所以存在一些特殊的丟番圖方程，使得對是否有解的判定問題不可解。當(dāng)然對一般丟番圖方程的判定問題就更不可解了。

另一個判定問題是半群和群論中字的問題，半解問題是挪威數(shù)學(xué)家圖埃在1907年首先提出來的。問題是對于一個半群，如果給定它的有限多生成元和有限多關(guān)系，那么能否找到一個方法來判定任何一個特殊的字是否等于單位元素。1947年，波斯特否定地解決了這個問題。

群論中字的問題更為重要，它是在1911年由德恩首先研究的，一直到1955年才由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家諾維科夫否定解決。這些結(jié)果給數(shù)學(xué)家指明了新的方向：不要妄圖去解決一大類問題。不過對于更窄的一類的對象比如一類特殊的群，群的字問題是可解的。

第四篇：數(shù)理邏輯智能

數(shù)理邏輯智能

人們一直把數(shù)理邏輯智能看成是智能的核心，學(xué)者們也認(rèn)為這種智能是人類認(rèn)知能力的重要部分。有關(guān)數(shù)理邏輯智能，大多數(shù)人都認(rèn)為數(shù)理邏輯智能就是一種加減乘除的能力。這是一種計算的能力，但是，數(shù)理邏輯智能所包含的遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些。數(shù)理邏輯智能包括：事物分類、復(fù)雜問題簡單化、計算、假設(shè)和證明等具體操作能力；邏輯類型、邏輯關(guān)系、陳述句和命題、函數(shù)等抽象思維能力。數(shù)理邏輯智能是所有科目和學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，它和語言智能一起組成了學(xué)業(yè)型智能，在學(xué)校里受到絕對的重視。在學(xué)校里，數(shù)理邏輯智能高的孩子學(xué)習(xí)成績通常都很好。人們也都大都喜歡這些孩子。他們的領(lǐng)悟能力特別強(qiáng)，凡事一點(diǎn)就通。教給他們從1數(shù)到10，他們就能獨(dú)自摸索數(shù)到99，然后教給他們數(shù)100，他們就可以一直地數(shù)下去。有時我們會聽到人家說：“這孩子挺聰明的，就是不好好學(xué)，要不然成績早就上去了?！逼鋵?shí)這樣的孩子也可以說是數(shù)理邏輯智能高的孩子，相比“有點(diǎn)笨，但是很用功”的孩子，這類孩子未來的成功幾率會更高。因?yàn)樗麄冎灰晕⒂霉W(xué)習(xí)，成績就能大幅度提高。當(dāng)別的孩子都花很多時間背公式的時候，邏輯智能高的孩子不會死記硬背，他們會在理解原理的基礎(chǔ)上，熟練地運(yùn)用公式，就算遇到難題也能通過舉一反

三、自我摸索找出答案。

現(xiàn)在很多家長都頭疼孩子不會寫作文，一篇文章能在哪兒寫上半天的工夫。然后拿過來一看，這句子讀著這個別扭，還哪都不挨哪。家長們也許都覺得這是孩子語文沒有學(xué)好的原因。家長們的想法是對的，但這不是根本的。孩子們不會寫作文，究其原因兩條：缺乏切身的體驗(yàn)；數(shù)理邏輯智能差。這家長說了，你這第一條我還能接受，可是這寫作文跟數(shù)理邏輯有什么關(guān)系啊！當(dāng)然有，而且關(guān)系還是深層次的。孩子的作文寫不好，一是沒有素材，二是不會組織語言。不會組織語言、說話毫無邏輯、顛三倒四，正是孩子邏輯能力差的一個表現(xiàn)。孩子在描述一個物體或一件事情的時候，不知該如何去說，不知道先說什么，后說什么。抓不著重點(diǎn)。而對于邏輯能力強(qiáng)的孩子來說，他在寫作文或說話之前，會先想好了這個話應(yīng)該怎么說，要完成一個作文題目，需要具備哪些內(nèi)容，每一段內(nèi)容又該怎么安排。所以說數(shù)理邏輯智能高的孩子不僅僅在理科科目上成績很好，在文科科目上也很優(yōu)秀。

數(shù)理邏輯智能高的人解決邏輯性問題比普通人要快得多，而且由于善于推理，往往會采用科學(xué)的方法來解決具體問題。比如我們出去逛街，買東西的時候突然發(fā)現(xiàn)錢包不見了。一般人呢可能就慌了，“哎呀，我錢包哪去了啊？剛才買東西的時候還在呢！”然后急的大腦一片空白什么也想不起來。但是數(shù)理邏輯智能高的人，當(dāng)他意識到錢包丟了的時候，他首先會把需要掛失的卡之類的東西先做掛失，把損失減到最低。然后他就開始回想：我剛剛?cè)チ四膸讉€地方，在這幾個地方我都干了些什么，在哪個地方我最有可能把錢包給丟了。然后依次回去找。體現(xiàn)了他們比普通人更有理性。不但如此，他們對數(shù)字也很敏感，很快就能記住電話號碼。

此外，數(shù)理邏輯智能高的孩子做事相當(dāng)有條理，不僅在學(xué)習(xí)上，在日常生活中，他們的條理性也表現(xiàn)得非常突出。我朋友的小孩，就是數(shù)理邏輯智能高的孩子。他今年上小學(xué)三年級，早上從來不需要大人叫他起床。他自己有個時間表，早上6:40—6:50起床，穿衣服；6:50—7:10洗漱，上廁所；7:10—7:20吃早飯，然后出門上學(xué)。晚上放學(xué)回來，作業(yè)先寫什么，后寫什么，也都不用他們家大人操心，很快就能做完，而且質(zhì)量很高。他的衣櫥里的衣服擺的很整齊，書架上的書也是分類放的，玩具全部放在一個箱子里，整個屋子特別干凈，根本不像是小男孩的臥室。