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第一篇：證明高斯定理幾種方法的對(duì)比

年月第三期昌吉師專幻學(xué)報(bào)兩ahaeaehe證明高斯定理幾種方法的對(duì)比袁艷紅摘要證明高斯定理的方法有用點(diǎn)電式可知球面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度它的大小均等于E=,荷位于閉合球面球心處的特例得出高斯定理用立體角法間接地證明高斯定理利用電場(chǎng)定義和占函數(shù)的篩選性直接證明高斯定。Q4庇。擴(kuò),,它的方向沿矢徑向外在球面上取任一面理本文給出了證明高斯定理的這三種方。元,ds其單位法線矢量五亦沿矢徑方向向外,法供大家比較,所以E與面積元△s垂直即它和五的夾角為立體角6函數(shù)關(guān)鍵詞、高斯定理零則通過d中e=ds的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為:二Eeo如ds一引言4屁Q。擴(kuò)證明高斯定理的方法有三種第一種方:法是用點(diǎn)電荷位于閉合球面球心處的特例,得出高斯定理如果包圍點(diǎn)電荷的是形狀任,意的閉合曲面這個(gè)定理也成立有的電磁學(xué)教材中采用這種方法。,,:第二種方法是用立。體角法間接的證明了高斯定理,它是利用直,觀的立體角概念進(jìn)行說明很費(fèi)事不僅占用不少篇幅而且不好理解,,。大多數(shù)電動(dòng)力學(xué),。和電磁學(xué)教材中采用第二種方法這二種方法都利用特殊情況不代表一般性,,于是通過整個(gè)球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為。e,:第三種,=e手d中.=~4屁丁一Q:J__一萬一o一側(cè)叮r下丫一U慫Q4:方法是利用電場(chǎng)強(qiáng)度的定義和8函數(shù)的篩—戒~?！憾x性直接地證明了高斯定理方法簡(jiǎn)單便于理解。4二r一饑一Q。它具有普遍性以下給出證明高斯,。,這就是高斯定理定理的三種方法供大家比較、二證明高斯定理的三種方法1、用點(diǎn)電荷特例證明高斯定理,有的電磁學(xué)教材中用點(diǎn)電荷位于閉合球面球心處的特例得出高斯定理證明如下,,:設(shè)真空中有一個(gè)正點(diǎn)荷Q以它為球心作一半徑為R,,的球面由點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度公昌吉師專學(xué)報(bào)年第三期、立體角法間接證明高斯定理,,如圖所示設(shè)曲面S內(nèi)有一電荷Q其電場(chǎng)通過面元ds的通量為二ds藝玉二cE胎日Q4北。,。e擠韶odsc式中O為瓜與節(jié)的夾角ds以rs為面元投影到ocsl為半徑的球面上的面積動(dòng)dz為面元r,,,的微分算符與下無關(guān)故由于算符甲是對(duì)子_,`,s對(duì)電荷Q所張開的立體角元d。因此E對(duì)d`1任7t乞。。一`、閉合曲面S的通量為二:V=匕二二甲-Jp又r_)LV,;二了)dyR、找二手:而仔兀E華od。于旦七。,14庇。?！癭)`一二2食一,)d如果電荷在閉合曲面外則它發(fā)出的電力線穿人該曲面后再穿出來因而對(duì)該閉合曲面,痣`·?！岸盽“`“’d·的電通量無貢獻(xiàn)3、,。上{Cop(、)。(、,一、)dy,二12(呈業(yè)Co直接證明高斯定理’,如圖所示電荷量為Q的帶電體中任一點(diǎn)處的電荷密度為p(節(jié))則由電場(chǎng)強(qiáng)度的定義知該帶電體在空間節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度它,(3)式中最后一步用到己函數(shù)的篩選性將(3)式,代人(2)式中得二y手:玉丁匹竺d二為::二、,,式中子為源點(diǎn)位矢R,’麟,“d·二(1)ù一1昌L電荷Q包含在閉合曲面·內(nèi)s節(jié)一節(jié)為源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)s`0電荷Q不包含在閉合曲面。內(nèi)的位矢將它對(duì)任意閉合曲面得:求面積分即(2),這正是高斯定理參考文獻(xiàn)于藝幣由式(1)可得7·.=了(-一C7·E)dy1、郭碩鴻《電動(dòng)力學(xué))北京高等教育出年第2,,,:版社Rvd,1987、l版。。它二兀一月崢一2馬文蔚《物理學(xué)》北京高等教育出版,,社=,19843、年第,版井斗兀毛。丁、:R〕dy’復(fù)旦大學(xué)和上海師范大學(xué)物理系合編,(電磁學(xué)》上海科學(xué)技術(shù)出版社版。190年第1(作者單位昌吉師專物理系新疆昌吉38110)

第二篇：位移介質(zhì)時(shí)的高斯定理

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第三篇：畢達(dá)哥拉斯定理證明的論文

關(guān)于畢達(dá)哥拉斯定理的證明

專業(yè)：××××× 姓名：×× 指導(dǎo)老師：××

摘要：對(duì)于幾何原本中畢達(dá)哥拉斯定理的證明過程，歐幾里得以定義，公設(shè)，公理的方式進(jìn)行推理，現(xiàn)將所有涉及畢達(dá)哥拉斯定理的證明命題提出。

關(guān)鍵詞：畢達(dá)哥拉斯定理，定義，公設(shè)，公理。

正文：

定義：1.點(diǎn)是沒有大小的東西

2.線只有長(zhǎng)度而沒有寬帶 3.一線的兩端是點(diǎn)

4.直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線 5.面只有長(zhǎng)度和寬帶 6.面的邊緣是線

7.平面是它上面的線一樣地平放著8.平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度.9.當(dāng)包含角的兩條線都是直線時(shí)，這個(gè)角叫做直線角.10.當(dāng)一條直線和另一條直線交成鄰角彼此相等時(shí)，這些角每一個(gè)被叫做直角，而且稱這一條直線垂直于另一條直線。

11.大于直角的角稱為鈍角。 12.小于直角的角稱為銳角 13.邊界是物體的邊緣

14.圖形是一個(gè)邊界或者幾個(gè)邊界所圍成的

15.圓：由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點(diǎn)與這條線上任何一個(gè)點(diǎn)所連成的線段都相等。

16.這個(gè)點(diǎn)（指定義15中提到的那個(gè)點(diǎn)）叫做圓心。

17.圓的直徑是任意一條經(jīng)過圓心的直線在兩個(gè)方向被圓截得的線段，且把圓二等分。

18.半圓是直徑與被它切割的圓弧所圍成的圖形，半圓的圓心與原圓心相同。

19.直線形是由直線圍成的.三邊形是由三條直線圍成的,四邊形是由四條直線圍成的,多邊形是由四條以上直線圍成的.20.在三邊形中,三條邊相等的,叫做等邊三角形;只有兩條邊相等的,叫做等腰三角形;各邊不等的,叫做不等邊三角形.21.此外,在三邊形中,有一個(gè)角是直角的,叫做直角三角形;有一個(gè)角是鈍角的,叫做鈍角三角形;各邊不等的,叫做不等邊三角形.22.在四邊形中,四邊相等且四個(gè)角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四邊不全相等的,叫做長(zhǎng)方形;四邊相等,但角不是直角的,叫做菱形;對(duì)角相等且對(duì)邊相等,但邊不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四邊形叫做不規(guī)則四邊形.23.平行直線是在同一個(gè)平面內(nèi)向兩端無限延長(zhǎng)不能相交的直線.0

公理：1.等于同量的彼此相等

2.等量加等量，其和相等； 3.等量減等量，其差相等 4.彼此能重合的物體是全等的 5.整體大于部分。

公設(shè): 1.過兩點(diǎn)能作且只能作一直線；

2.線段(有限直線)可以無限地延長(zhǎng)；

3.以任一點(diǎn)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑,可作一圓； 4.凡是直角都相等；

5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于180°，則這兩條直線經(jīng)無限延長(zhǎng)后在這一側(cè)一定相交。

作圖證明：

1.在一個(gè)已知有限直線上作一個(gè)等邊三角形

設(shè)AB是已知直線

以A為圓心，以AB為距離畫圓 以B為圓心，以AB為距離畫圓 兩圓交點(diǎn)C到A,B的來連線CA,CB ∵AC=AB BC=BA ∴CA=CB=AB ∴△ABC是等邊三角形

2.過直線外一已知點(diǎn)作一直線平行于已知直線。

設(shè)A是已知點(diǎn)，BC是已知直線，要求經(jīng)過A點(diǎn)做直線平行于BC 在BC上任取一點(diǎn)D，連接AD，在直線DA上的點(diǎn)A，做∠DAE=∠ADC 設(shè)直線AF是直線EA的延長(zhǎng)線

∴直線AD和兩條直線BC,EF相交成彼此相等的內(nèi)錯(cuò)角EAD，ADC ∴EAF∥BC 作畢

3.在已知線段上作一個(gè)正方形。

設(shè)AB是已知線段，要求在線段AB上作一個(gè)正方形

令A(yù)C是從線段AB上的點(diǎn)A所畫的直線，它與AB成直角 取AD=AB 過點(diǎn)D做DE平行于AB，過點(diǎn)B做BE 平行于AD，所以ADEB是平行四邊形 ∴AB=DE,AD=BE 又AD=AB ∴平行四邊形ADEB是等邊的 ∵∠BAD+∠ADE=180° ∠BAD 是直角 ∴∠ADE是直角

∴平行四邊形中對(duì)邊及對(duì)角相等 ∴ABDE是正方形

4：由已知直線上一已知點(diǎn)做直線與已知直線成直角

解：設(shè)在AC上任意取一點(diǎn)D，使CE=CD 在DE上作一個(gè)等邊三角形FDE 連接FC ∵DC=CE CF=CF DF=CF DF=FE ∴∠DCF=∠ECF 他們是鄰角，由定義10，二者都是直角

作畢。

5：已知兩條不相等的線段，試由大的上邊截取一條線段是它等于另外一條

設(shè)AB，C是兩條不相等的線段 由A取AD等于線段C

以A為圓心，AD為距離畫圓DEF

∵A是圓DEF的圓心 ∴AE=AD 又C=AD ∴AE=C=AD 作畢

命題證明：

命題1：如果兩個(gè)三角形有兩邊分別等于兩邊，而且這些相等的線段所夾的角相等。那么，它們的底邊等于底邊，三角形全等于三角形，而且其它的角等于其它的角，即那等邊所對(duì)的角。

證明：設(shè)ABC,DEF是兩個(gè)三角形，AB=DE,AC=DF，∠BAC=∠EDF 如果移動(dòng)三角形ABC到DEF上，若A落在點(diǎn)D上，且線段落在DE上 ∵AB=DE ∴B與E重合

又AB與DE重合

∠BAC=∠EDF ∴AC與DF重合 又AC=DF ∴C與F重合

∴△ABC與△DEF重合，即全等

命題2：一條直線和另一條直線所交成的角，或者是兩個(gè)直角，或者是它們的和等于2個(gè)直角

證明：設(shè)任意直線AB交CD成角CBA,ABD 若∠CBA=∠ABD 則∠CBA=∠ABD=90°（定義10）

若二者不是直角 作BE⊥CD于B ∠CBE=∠EBD=90° ∠CBE=∠CBA+∠ABE ∴∠CBE+∠EBD=∠CBA+∠ABE+∠EBD 同理，∠DBA+∠ABC=∠DBE+∠EBA+∠ABC ∴∠CBE+∠EBD=∠DBA+∠ABC=180° 原命題得證

命題3：對(duì)頂角相等

證明：設(shè)直線AB,CD相交于點(diǎn)E ∵∠DEA+∠CEA=∠CEA+∠BEC=180°（命題2）∴∠DEA=∠BEC

命題4：兩直線平行，同位角相等 設(shè)直線EF與兩條平行直線AB,CD相交 假設(shè)∠AGH不等于∠GHD 不妨設(shè)∠AGH較大

∠AGH+∠BGH>∠GHD+∠BGH 又∠AGH+∠BGH=180°（命題1） ∴∠GHD+∠BGH

命題5：如果在兩個(gè)三角形中，一個(gè)的兩個(gè)角分別等于另一個(gè)的兩個(gè)角，而且一邊等于另一個(gè)的一邊，即過著這邊是的等角的家變，或者是等角的對(duì)邊，則它們的其他的邊也等于其他的邊，且其他的角也等于其他的角

證明：如果AB≠DE 不妨設(shè)AB＞DE取BG等于DE 連接GC ∵BG=DE BC=EF GB=DE BC=EF ∴∠GBC=∠DEF GC=DF 又∵△GBC≌△DEF ∴其余角和邊也相等（命題1） ∴∠GCB=∠DFE ∴∠BCG=∠BCA 這是不可能的 ∴AB=DE 又BC=EF ∴AB=DE BC=EF ∠ABC=∠DEF ∴ AC=DF ∠BAC=∠EDF（命題1） 假設(shè)BC≠EF 不妨設(shè)BC＞EF 令BH=EF 連接AH ∵BH=EF AB=DE 所成的夾角相等

∴AH=DF ∴△ABH≌△DEF ∴∠BHA=∠EFD 又∠EFD=∠BCA 因此，在三角形AHC中，外角BHA等于∠BCA 這是不可能的 ∴BC=EF 又AB=DE 夾角也相等（命題1） ∴△ABC≌△DEF ∴AC=DF

命題6：在平行四邊形中，對(duì)邊相等且對(duì)角線二等分其面積（注：《幾何原本》原文中無平行四邊形的定義

定義: 在同一平面內(nèi)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

（1）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等。 （2）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等。

）

證明：∵AB∥CD ∴∠ABC=∠BCD ∵AC∥BD ∴∠ACB=∠CBD（命題4） 又BC=BC ∴△ABC≌△DCB ∴∠ABC=∠BCD 又∵∠CBD=∠ACB AC=AC ∴△ABD≌△ACD ∴∠BAC=∠CDB ∴平行四邊形ABCD中，對(duì)邊對(duì)角彼此相等 （（1）（2）性質(zhì)得證）

同樣地，∵△ABC≌△DCB ∴對(duì)角線BC平分平行四邊形ACBD的面積

命題7：在同底且在相同兩平行線之間的平行四邊形面積相等

證明：設(shè)ABCD，EBCF是平行四邊形，它們?cè)谕譈C。且在相同的平行線AF，BC之間 ∵ABCD是平行四邊形 ∴AD=BC 同理，EF=BC,AD=EF ∴AE=DF 又AB=DC FDC=∠EAB ∴△EAB≌△FDC EB=FC ∴面積△EAB-△DGE=△FDC-△DGE ∴面積ABGD=EGCF 同加上△GBC ∴平行四邊形ABCD面積等于平行四邊形EBCF

命題8：如果過任意一條直線上一點(diǎn)有兩條直線不在這一直線的同側(cè)，且和直線所成鄰角和等于二直角，則這兩條直線在同一條直線上 證明：如果BD與BC不共線 假設(shè)BE和CB共線 ∵AB在直線CBE之上

∴∠ABC+∠ABE=180°（命題2） 又∠ABC+∠ABD=180°

∴∠CBA+∠ABE=∠CBA+∠ABD

兩邊同時(shí)減去∠CBA 則∠ABE=∠ABD（公設(shè)4，公理1，公理3） 這是不可能的 ∴BE，BC不共線

同理除BD外沒有其他直線與BC共線 ∴CB與BD共線

命題9：在同底上且在相同兩平行線之間的三角形面積相等

證明：如圖所示，設(shè)三角形ABC,DBC同底且在相同兩平行線AD，BC之間 延長(zhǎng)AD和DA分別至F，E，過B作BE平行于CA，過C作CF平行于BD 則四邊形EBCA和DBCF都是平行四邊形，且面積相等（命題5） ∵△ABC的面積是偶像是必須EBCA的一半

△DBC的面積是平行四邊形DBCF的一半（命題6） ∴△DBC面積等于△ABC的面積

命題10：如果一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形既通敵又在兩平行線之間，則平行四邊形的面積是三角形的2倍 證明：連接AC ∵△ABC與△EBC又同底BC，又在平行線BC和AE之間 ∴△ABC的面積等于△EBC ∵AC平分平行四邊形ABCD ∴平行四邊形ABCD的面積是△EBC的2倍 ∴平行四邊形ABCD的面積是△EBC的2倍

關(guān)于畢達(dá)哥拉斯定理的證明：

直角三角形的直角邊的平方和等于斜邊的平方。 已知：如圖所示，△ABC是直角三角形。 求證：AB2+AC2=BC2。

證明：分別以直角邊AB,AC和斜邊BC的作正方形ABFG，正方形ACKH,正方形BCED；（作圖3）

過A作AL平行于BD或CE，連接AD，F(xiàn)C； ∵∠BAC=∠BAG=90° ∴C,A,G共線（命題8） 同理，B,A,H共線 ∵∠DBC=∠FBA 所以∠DBC+∠ABC=∠FBA+∠ABC 即∠DBA=∠FBC（公理2） 又DB=BC

FB=BA所以△ABD≌△FBC（命題1） 平行線AL與BD之間

平行四邊形BL的面積是△ABD的2倍

同理，正方形GB的面積是△FBC的2倍

由公理2，平行四邊形BL的面積與正方形BD相等（命題10） 同理可得，平行四邊形CL等于正方形HC ∴正方形BCED的面積等于正方形ABFG與正方形ACKH面積之和（公理2） ∴BC2=AB2+AC2 原命題得證

參考文獻(xiàn)：歐幾里得《幾何原本》

The proof of the Pythagorean theorem about

Profeional: ××

Name:×× Teacher: ××

Abstract: for the geometry of the proof of the Pythagorean theorem was proce, to define the kansai, axioms, justice way reasoning, now will all concerned proof of the Pythagorean theorem put forward proposition.

Key words: the Pythagorean theorem, definition, axioms, justice.

Text: Definition:1.The point is not part of the things

2.Line length and not only broadband 3.A at both ends of the line is the point

4.Straight line is on it to the point of being the same line 5.Faces only length and broadband 6.The edge is line

7.The plane is on it as a lie flat line 8, is in a plane within intersects each other but not in a straight line of the two intersecting line the gradient of each other.

9.When including Angle of two lines are straight line, the horn is called straight line Angle. 10.When a straight line and the other hand in a straight line into LinJiao equal to each other, and these horns every called right Angle, and says that a straight line perpendicular to the other in a straight line.

11.Greater than the horns of the right Angle called obtuse Angle. 12.Le than the right Angle called acute Angle 13.The boundary is the edge of the object

14.The figure is a boundary or surrounded by several boundary

15.Round: by a line of surrounded by the plane figure, it is a little and the line any point joined the line are equal.

16.The point (refers to the definition of the points mentioned in 15) called circle.

17.Circle diameter is any a circular straight after the two direction was round intercepts line, and the round two parts.

18.Semicircle is diameter and was it the circular arc of the cutting that surrounded the graphics, semicircle circle and the same circle.

19.Linear form is surrounded by line.Trilateral form by three straight line is surrounded, quadrilateral by four straight lines is surrounded, polygons by more than four straight line is surrounded.

20.In the shape of 3, 3 sides equal, called an equilateral triangle; Only two edges equal, called an isosceles triangle; The edge of the range, called not an equilateral triangle.

21.In addition, in the shape of the trilateral, have a right Angle is, is called a right triangle; Have a Angle is the nails, the nails called triangle; The edge of the range, called not an equilateral triangle.

22.In the quadrilateral, tote is equal and four Angle is the Angle, is called a square; Angle is a right Angle, but quadrilateral not all equal, called the rectangle; Four equal, but not the right Angle, called diamond; Diagonal is equal and opposite sides equal, but not all equal and edge horn is not the right Angle, called the inclined square; The rest of the quadrilateral called irregular quadrilateral.

23.Parallel lines are in the same plane introverted ends extend unlimited cannot at the intersection of straight line.0

Justice: 1.Equal to about the same amount of equal to each other

2.Add amount equal, its and equal;

3.Reduced amount equal, the poor are equal 4.Each other can overlap object is congruent 5.The whole is greater than the partially.

Axiom: 1.A can only be made two and a straight line;

2.The line (limited linear) can be infinite extension;

3.As a little to the right to, any long for radius, can make a circle; 4.All right Angle are equal;

5.With plane within a straight line and another two straight line intersection, if in line with the side of the sum of the two an internal Angle is le than 180 °, then these two straight lines after the infinite extension in the side must intersect.

Drawing the proof:

1.In a given limited on a straight line equilateral triangle

Set AB is known straight line

With A to the right, to draw circles AB distance With B to the right, to draw circles AB distance Two round) to A C, B to attachment of CA, CB ∵ AC = AB BC = BA

∴ CA = CB = AB

∴ enables delta ABC is an equilateral triangle

2.A known point for a straight line parallel to the known straight line.

Set A is known point, BC is known straight line, after A request to do A straight line parallel to BC Take A little D took office in BC, connection AD in straight DA points on A, do

∴ linear AD and two straight lines BC, EF into each other NaCuoJiao intersection equal EAD, ADC

∴ EAF ∥ BC

3.In line for a known on the square.

Line AB is a known, in the line AB requirements on a square

The line AB to AC from point A are painting of the straight line, it and AB, at right angles Take AD = AB

Lead point D do DE, parallel to the AB, lead point B do BE parallel to the AD, so ADEB is a parallelogram ∴ AB = DE, AD = BE And AD = AB

∴ parallelogram ADEB is equal sides ∵

∴ parallelogram edge and diagonal in equal ∴ ABDE is a square

4: known line by a known to do a straight line and linear known at right angles

Solution: take a little arbitrary in AC D, make CE = CD In DE make one FDE equilateral triangle Connection FC ∵ DC CE CF = CF DF = CF

DF = FE

∴

They are LinJiao, by definition 10, both is right angles

Proposition proof: Proposition 1: if two triangle has both sides were equal to both sides, and the equal line between equal the Angle.So, they are equal to the lower side of the bottom edge, triangle is equal to the triangle, and other Angle is equal to other Angle, namely that the Angle to the sides. Proof: set ABC, DEF is two triangles, AB = DE, AC = DF,

∴ B and E coincidence And AB and DE superposition

∴ AC and DF superposition And AC = DF

∴ C and F coincidence ∴ enables delta ABC and train DEF coincidence, that is congruent

Proposition 2: a straight line and the other a straight line pay into horn, or two right angles, or istheir and equal to two right angles

Proof: set any straight line AB/CD into Angle CBA, ABD If

The

∴

Original proposition find

Proposition 3: vertical anglesequal

Proof: a straight line AB, CD intersect at point E

∵

Proposition 4: two straight line parallel, TongWeiJiao equal

A linear EF and two parallel straight line AB, CD intersect Hypothesis is not equal to

And

∴ two straight line extension will intersect And two straight line parallel ∴

And

Original proposition find

Proposition 5: if two triangle, a two horns were equal to another two horn, and side is equal to the other side, which have a side yes DengJiao home change, or is the DengJiao edge, then their other edge also equal to the other side, and the other to the horn of the horns of the other Proof: if AB indicates DE

Might as well put AB > DE take BG is equal to DE Connection GC ∵ BG = DE BC = EF GB = DE BC = EF

∴

And ∵ enables delta GBC ≌ enables delta DEF ∴ the rest Angle and edge also equal (proposition 1) ∴

It is not poible ∴ AB = DE And BC = EF ∴ AB = DE BC = EF

EF Make BH = EF Link AH ∵ BH = EF AB = DE

An Angle to equal ∴ AH = DF

∴ train ABH ≌ enables delta DEF ∴

Therefore, in the triangle AHC, outside, BHA equal to

Angle are equal (proposition 1)

∴ enables delta ABC ≌ enables delta DEF ∴ AC = DF

Proposition 6: in a parallelogram, edge is equal and diagonal halve its area (note: the geometric was the original text of the definition of no parallelogram

Definition: in the same plane within two groups respectively of the parallel quadrilateral called parallelogram.

(1) if a quadrilateral is a parallelogram, so the two groups of side of quadrilateral are equal. (2) if a quadrilateral is a parallelogram, so the quadrilateral two sets of diagonal equal respectively. )

Proof: ∵ AB ∥ CD ∴

∴

∴ enables delta ABC ≌ enables delta DCB ∴

∴ enables delta ABD ≌ enables delta ACD ∴

∴ parallelogram ABCD, of the diagonal equal to each other ((1), (2) properties have to card)

Similarly, ∵ enables delta ABC ≌ enables delta DCB ∴ diagonal BC divide the area of the parallelogram ACBD

Proposition 7: in the same base and in the same two parallel lines between the parallelogram equal

Proof: set ABCD, EBCF is a parallelogram, they in the same bottom BC.And in the same parallel lines AF, between BC ∵ parallelogram ABCD is ∴ AD = BC

Similarly, EF = BC, AD = EF ∴ AE = DF

And AB = DC FDC =

∴ enables delta EAB ≌ enables delta FDC EB = FC

∴ area enables delta EAB-enables delta DGE = enables delta FDC-enables delta DGE ∴ area ABGD = EGCF With plus GBC accidents

∴ parallelogram ABCD area is equal to EBCF parallelogram

Proposition 8: if any straight line on a bit have two straight line is not this a straight line with side, and a straight line and LinJiao and equals two right angles, then these two straight lines in the same line

Proof: if BD and BC of line BE and CB co-line hypothesis ∵ AB in straight lines above CBE ∴

∴

The

Similarly in addition to no other lines and the BD BC were line ∴ CB and BD altogether line

Proposition 9: in the same base and in the same between two parallel lines equal triangle area

Proof: as shown in figure, ABC set triangle, with the same DBC and two parallel lines AD, between BC

Extend the AD and DA respectively to F, E, and BE as parallel to the CA B, C for CF, parallel to the BD

The EBCA and DBCF are quadrilateral parallelogram, and the area is equal (proposition 5) ∵ enables delta ABC is the area of the idol is must EBCA half

Train DBC is the area of the parallelogram half the DBCF (proposition 6) ∴ enables delta area is equal to train the DBC ABC area

Proposition 10: if a parallelogram and a triangle is collaborating again in two parallel lines between, is the area of a parallelogram is a triangle 2 times Proof: connect AC

∵ enables delta ABC and train EBC and with bottom BC, and in parallel lines BC and AE between ∴ train the area of the ABC is equal to train EBC ∵ AC divide the parallelogram ABCD

∴ parallelogram ABCD is the area of the train EBC twice ∴ parallelogram ABCD is the area of the train EBC twice

The proof of the Pythagorean theorem about: Right side of a right triangle hypotenuse is equal to the sum of the square.

The known: as shown in figure, train ABC is a right triangle.

Confirmed: AB 2 + AC 2 = BC 2.

Proof: respectively by orthogonal edge AB, AC and tapered side plain wheels of BC as a square ABFG, square ACKH, square BCED; (graphic 3)

Over A parallel to the BD or for AL CE, connection AD, FC; ∵

∴ C, A, G (proposition 8) were line Similarly, B, A, H of line ∵

So

So enables delta ABD ≌ enables delta FBC (proposition 1) Parallel lines between AL and BD

The area of the parallelogram BL is 2 times of ABD accidents Similarly, a square GB is the area of the train FBC twice

2 by justice, the area of the parallelogram BL and square equal BD (proposition 10) Similarly, a parallelogram CL is equal to the square HC

∴ square BCED area is equal to the square ABFG and square the size of ACKH (justice 2) ∴ BC 2 = AB 2 + AC 2

Original proposition find

Reference: kansai the geometric originally

定理證明

費(fèi)馬定理證明

勾股定理證明

中值定理證明

余弦定理證明

第四篇：證明畢達(dá)哥拉斯定理

證明畢達(dá)哥拉斯定理

制作：有丘直方

證明畢達(dá)哥拉斯定理

制作：有丘直方

畢達(dá)哥拉斯定理

AB2?AC2?BC2

或者可以這么說：

直角三角形的一條直邊的長(zhǎng)度乘自己得到的積和另一條直邊的長(zhǎng)度乘自己得到的積相加的和等于斜邊的長(zhǎng)度乘自己得到的積——是不是很煩？

中國(guó)人稱這條定理為“勾股定理”，他們把直角三角形的兩條直邊的長(zhǎng)度分別叫做“勾”和“股”，斜邊就叫“弦”。這就簡(jiǎn)單多了：

直角三角形中的勾乘自己得到的積和股乘自己得到的積相加的和等于弦乘自己得到的積。

甚至可以更簡(jiǎn)單，因?yàn)槿绻谩肮础薄ⅰ肮伞焙汀跋摇钡脑?，就不用畫圖了。這又是因?yàn)椤肮础?、“股”和“弦”只在直角三角形中出現(xiàn)。

勾2?股2?弦2

簡(jiǎn)單不？中國(guó)人就是聰明，因?yàn)楣垂啥ɡ肀犬呥_(dá)哥拉斯定理早發(fā)現(xiàn)好多年，而且更簡(jiǎn)單。

證明畢達(dá)哥拉斯定理

首先，我們畫一幅圖：

1

證明畢達(dá)哥拉斯定理

制作：有丘直方

啊，真亂。讓我們先把重要的部分先擇出來。

我們現(xiàn)在需要證明圖中用藍(lán)色的線表示的□ABCD?□JAHI?□HDEG（因?yàn)椤魽BCD是AD2、□JAHI是AH2、□HDEG是HD2）。其中，用藍(lán)色的粗線表示的形狀就是我們圖中最最重要的部分——直角三角形。圖中用綠色的線表示的諸線段是輔助線，用綠色的虛線表示的線段都是很少時(shí)候才用到的輔助線。

根據(jù)定理，我們只要證明□ABCD?□XDEF且□JAHI?□HXFG就能證明□ABCD?□JAHI?□HDEG，因?yàn)椤鮔DEF?□HXFG?□HDEG（這是肯定的）。

我們先不看JH、ID、AG和HF，這些線段暫時(shí)用不到。我們先證明□ABCD?□XDEF。

2

證明畢達(dá)哥拉斯定理

制作：有丘直方

11因?yàn)椤鰾CD?□ABCD且△DEF?□XDFE，所以我們只要證明出221△DEF?△BCD就可以推出□ABCD?□XDEF。這又是因?yàn)榈忍?hào)兩邊同時(shí)縮小

2倍，這個(gè)等式還是成立。

現(xiàn)在，讓我們先岔開一下，看看兩個(gè)角——你會(huì)知道為什么我們要提到它們的。這兩個(gè)角是：∠CDH和∠ADE。先看∠CDH，它被AD分成了兩個(gè)角：∠CDA和∠ADH；再看∠ADE，它被HD分成了兩個(gè)角：∠HDE和∠ADH。所以，∠CDH?∠ADH?90?（∠CDA是直角，所以用90?代替）且∠ADE?∠ADH?90?（∠HDE是直角，所以用90?代替）?？纯催@兩條等式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)∠CDH?∠ADE！這很重要！

讓我們?cè)倏纯磧蓚€(gè)三角形——你會(huì)知道為什么我們要提到它們的。這兩個(gè)三角形是：△CDH和△ADE。先看△CDH，它的兩條藍(lán)色的邊的長(zhǎng)度分別是AD和HD（AD其實(shí)是CD的長(zhǎng)度，因?yàn)樗麄儤?biāo)了全等標(biāo)記，所以CD可以用AD表示）；再看△ADE，它的兩條藍(lán)色的邊的長(zhǎng)度分別是AD和HD（HD其實(shí)是DE的長(zhǎng)度，因?yàn)樗麄儤?biāo)了全等標(biāo)記，所以HD可以用DE表示）。比較一下△CDH和△ADE，它們有兩條對(duì)應(yīng)的鄰邊相等！因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)三角形中有兩條對(duì)應(yīng)的邊相等且這兩條邊之間的夾角相等則這兩個(gè)三角形全等，所以△CDH≌△ADE（因?yàn)樗鼈冎g的夾角∠CDH?∠ADE）。

我們接下來先看看△CDH與△BCD之間的關(guān)系。你發(fā)現(xiàn)了沒？它們的面積是相等的！因?yàn)閮蓚€(gè)三角形，如果它們的底和高相等，那么它們的面積相等。如果它們的底的長(zhǎng)度都是CD，那么高的長(zhǎng)度就都是BC（因?yàn)槠叫芯€之間的線段長(zhǎng)度相等BH∥CD又是因?yàn)锽H和CD都垂直于BC）且BH∥CD，。再看看△ADE與△DEF之間的關(guān)系。它們的面積也是相等的！因?yàn)樗鼈兊牡缀透呦嗟?。如果它們的底的長(zhǎng)度都是DE，那么高的長(zhǎng)度就都是FE（因?yàn)槠叫芯€之間的線段長(zhǎng)度相等且AF∥DE，AF∥DE又是因?yàn)锳F和DE都垂直于FE）。

那么現(xiàn)在??△CDH?△ADE且△CDH?△BCD且△ADE?△DEF。通過這

1三條等式我們就可以推出△DEF?△BCD！那么讓它們都被除，就能得到

2□ABCD?□XDEF了！

接下來我們不看BD、CH、AE和DF，看JH、ID、AG和HF?，F(xiàn)在我們就可以開始證明□JAHI?□HXFG了，其過程是完全一樣的。但是我們這次用簡(jiǎn)練的數(shù)學(xué)語言來表述：

3

證明畢達(dá)哥拉斯定理

制作：有丘直方

11?△JIH?□JAHI且△HGF?□HXFG22?△JIH?△HGF可以推出□JAHI?□HXFG?∠IHD?∠AHD?90?且∠AHG?∠AHD?90??∠IHD?∠AHG?△IHD≌△AHG?同底同高?△JIH?△IHD且△HGF?△AHG?△IHD?△AHG?△JIH?△HGF?□JAHI?□HXFG?定理成立簡(jiǎn)單嗎？

結(jié)論

這有什么好說的？搞了半天，結(jié)論很簡(jiǎn)單：

直角三角形的一條直邊的長(zhǎng)度乘自己得到的積和另一條直邊的長(zhǎng)度乘自己得到的積相加的和等于斜邊的長(zhǎng)度乘自己得到的積——這句話是真理。

簡(jiǎn)單嗎？

4

第五篇：磁場(chǎng)高斯定理證明

磁場(chǎng)高斯定理的證明

根據(jù)閉奧薩伐爾定律，單個(gè)電流元IdL產(chǎn)生的磁感應(yīng)線是以 dＬ方向韋軸線的圓,如圖，圓周上元磁場(chǎng)的數(shù)值處處相等：

在磁感應(yīng)線穿入處取一面元dS1,穿出處取另一面元dS2,IdL產(chǎn)生的磁場(chǎng)通過兩面元的磁感應(yīng)通量分別為:

由于磁感應(yīng)管呈嚴(yán)格的圓環(huán)狀，其正截面處處相等，故所以，即 。所以高斯定理對(duì)單個(gè)電流元成立。

，

根據(jù)磁場(chǎng)疊加原理，任意載流回路產(chǎn)生的總磁場(chǎng)B是各電流元產(chǎn)生的元磁場(chǎng)dB的矢量和, 從而通過某一面元dS的總磁通量是各電流元產(chǎn)生元磁通的代數(shù)和。至此，磁場(chǎng)的”高斯定理”得到了完全證明。

第六篇：考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

來源：智閱網(wǎng)

微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)中的重要定理，考察的頻率較高，難度也比較大，下面詳細(xì)的講解一下，希望大家有所收獲。

微積分定理包括兩個(gè)定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號(hào)扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對(duì)閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對(duì)待：對(duì)應(yīng)開區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個(gè)極限式如何化簡(jiǎn)，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時(shí)在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學(xué)科?！边@段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運(yùn)用該公式計(jì)算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個(gè)條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。

注意到該公式的另一個(gè)條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語言描述一下，即f(x)對(duì)應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個(gè)原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù)之間只差個(gè)常數(shù)，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個(gè)常數(shù)C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

上面講述的微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，考生們要認(rèn)真學(xué)習(xí)其解題方法，并且學(xué)會(huì)運(yùn)用。湯神《考研數(shù)學(xué)接力題典1800》可以檢驗(yàn)大家的復(fù)習(xí)效果，總結(jié)做題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)我們現(xiàn)階段的復(fù)習(xí)幫助很大。