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論文題目：關(guān)于泰勒公式的應(yīng)用

課題研究意義

在初等中，多項(xiàng)式是最簡(jiǎn)單的函數(shù)。因?yàn)槎囗?xiàng)式函數(shù)的運(yùn)算只有加、減、乘三種運(yùn)算。如果能將有理分式函數(shù)，特別是無(wú)理函數(shù)和初等超越函數(shù)用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替，而誤差又能滿足要求，顯然，這對(duì)函數(shù)性態(tài)的研究和函數(shù)值的近似計(jì)算都有重要意義。那么一個(gè)函數(shù)只有什么條件才能用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替呢?這個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)與這個(gè)函數(shù)有什么關(guān)系呢?用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替這個(gè)函數(shù)誤差又怎么樣呢?

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，我感覺(jué)到泰勒公式是微積分學(xué)中的重要內(nèi)容，在函數(shù)值估測(cè)及近似計(jì)算，用多項(xiàng)式逼近函數(shù)，求函數(shù)的極限和定積分不等式、等式的證明等方面，泰勒公式是有用的工具。

文獻(xiàn)綜述

主要內(nèi)容

Taylor公式的應(yīng)用

Taylor公式在計(jì)算極限中的應(yīng)用

對(duì)于函數(shù)多項(xiàng)式或有理分式的極限問(wèn)題的計(jì)算是十分簡(jiǎn)單的，因此，對(duì)一些較復(fù)雜的函數(shù)可以根據(jù)泰勒公式將原來(lái)較復(fù)雜的函數(shù)極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式或有理分式的極限問(wèn)題。滿足下列情況時(shí)可考慮用泰勒公式求極限：

(1)用洛比達(dá)法則時(shí)，次數(shù)較多，且求導(dǎo)及化簡(jiǎn)過(guò)程較繁;

(2)分子或分母中有無(wú)窮小的差，且此差不容易轉(zhuǎn)化為等價(jià)無(wú)窮小替代形式;

(3)所遇到的函數(shù)展開(kāi)為泰勒公式不難。

當(dāng)確定了要用泰勒公式求極限時(shí)，關(guān)鍵是確定展開(kāi)的階數(shù)。如果分母(或分子)是，就將分子(或分母)展開(kāi)為階麥克勞林公式。如果分子，分母都需要展開(kāi)，可分別展開(kāi)到其同階無(wú)窮小的階數(shù)，即合并后的首個(gè)非零項(xiàng)的冪次的次數(shù)。

Taylor公式在證明不等式中的應(yīng)用

有關(guān)一般不等式的證明

針對(duì)類型：適用于題設(shè)中函數(shù)具有二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)，且最高階導(dǎo)數(shù)的大小或上下界可知的命題。證明思路：

(1)寫出比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的Taylor公式;

(2)根據(jù)所給的最高階導(dǎo)數(shù)的大小或上下界對(duì)展開(kāi)式進(jìn)行縮放。

有關(guān)定積分不等式的證明

針對(duì)類型：已知被積函數(shù)二階和二階以上可導(dǎo)，且又知最高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。

證題思路：直接寫出的Taylor展開(kāi)式，然后根據(jù)題意對(duì)展開(kāi)式進(jìn)行縮放。

有關(guān)定積分等式的證明

針對(duì)類型：適用于被積函數(shù)具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)的命題。

證明思路：作輔助函數(shù)，將在所需點(diǎn)處進(jìn)行Taylor展開(kāi)對(duì)Taylor

余項(xiàng)作適當(dāng)處理。

Taylor公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用

利用泰勒公式求極限時(shí)，宜將函數(shù)用帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式表示;若用于近似計(jì)算，則應(yīng)將余項(xiàng)以拉格朗日型表達(dá)，以便于誤差的估計(jì)。