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§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

§2函數(shù)極限的性質(zhì)

Ⅰ. 教學(xué)目的與要求

1.理解掌握函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、保不等式性，迫斂性定理并會(huì)利用這些定理證明相關(guān)命題.

2.掌握函數(shù)極限四則運(yùn)算法則、迫斂性定理,會(huì)利用其求函數(shù)極限.

Ⅱ. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):

重點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì).

難點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用.

Ⅲ. 講授內(nèi)容

在§1中我們引入了下述六種類(lèi)型的函數(shù)極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。 4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它們具有與數(shù)列極限相類(lèi)似的一些性質(zhì)，下面以第4)種類(lèi)型的極限為代表來(lái)敘述并證明這些性質(zhì)．至于其他類(lèi)型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)地作些修改即可.

定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的． x?x0

證設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時(shí)的極限，則對(duì)任給的??0，分別存在正數(shù)

?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

f?x????? ，(1)當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

f?x????? ，(2)

取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，(1)式與(2)式同時(shí)成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.

定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內(nèi)有界． x?x0

證設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對(duì)一切x?U0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

這就證明了f在U0?x0;??內(nèi)有界．

定理3．4(局部保號(hào)性)若limf?x????0 (或?0)，則對(duì)任何正數(shù)r??（或x?x0

r???)，存在U0?x0?，使得對(duì)一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證設(shè)??0，對(duì)任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對(duì)一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，

這就證得結(jié)論．對(duì)于??0的情形可類(lèi)似地證明．

注在以后應(yīng)用局部保號(hào)性時(shí)，常取r?A．2

x?x0定理3．5(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內(nèi)x?x0??

有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

證設(shè)limf?x?=?，limg?x?=?，則對(duì)任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使x?x0x?x0

得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

????f?x?， 當(dāng)0?x?x0??2 時(shí)有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時(shí)成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設(shè)limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內(nèi)有 x?x0x?x0????

f?x??

則limh?x???． x?x0h?x??g?x?

證按假設(shè)，對(duì)任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有，

2????f?x?(7)當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式(6)、(7)、(8)同時(shí)成立， 故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?

定理3．7（四則運(yùn)算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數(shù) x?x0x?x0

f?g,f?g當(dāng)x?x0時(shí)極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0

2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0

又若limg?x??0，則f|g當(dāng)x?x0時(shí)極限存在，且有 x?x0

3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0

這個(gè)定理的證明類(lèi)似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)．

利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡(jiǎn)單的函數(shù)極限出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限．

例 1求limx??x?0?x?

解當(dāng)x?0時(shí)有

1?x?x???1， ?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫斂性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面，當(dāng)x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?

綜上，我們求得lim x???1 x?0?x?

3 ?1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及§1例4所得的， cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs， ?2x?4

并按四則運(yùn)算法則有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1

4例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??

解 當(dāng)x?1?0時(shí)有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4證明lima?1?a?1? x

x?0

證任給??0 (不妨設(shè)??1)，為使

xa?1??（9）

即1???a?1??，利用對(duì)數(shù)函數(shù)loga

loga?1????x?loga?1???

于是，令x（當(dāng)a?1時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????， 則當(dāng)0?x??時(shí)，就有(9)式成立，從而證得結(jié)論．

Ⅳ 小結(jié)與提問(wèn):本節(jié)要求學(xué)生理解掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并利用其討論相關(guān)命題.指導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理的應(yīng)用作總結(jié).

Ⅴ 課外作業(yè): P51

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8、9.