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第一篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限 求極限我會

|Xn+1-A|

|X2-A|

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②證明{x(n)}有上界。 x(1)=1

x(k+1)=√[2+3x(k)]1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分別求導(dǎo)) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0 4 用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞

(3)lim[根號(n+1)-根號(n)]=0 n→∞

(4)lim0.999…9=1 n→∞ n個9 5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。。Lim就省略不打了。。。

第二篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會

|Xn+1-A|

以此類推，改變數(shù)列下標可得|Xn-A|

|Xn-1-A|

……

|X2-A|

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|

2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1

設(shè)x(k)

x(k+1)=√

3當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0

4

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。。Lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實質(zhì)就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會學(xué)的)

第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第三篇：函數(shù)極限的定義證明

習(xí)題1?3

1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim(3x?1)?8;x?3

(2)lim(5x?2)?12;x?2

x2?4??4;(3)limx??2x?2

1?4x3

(4)lim?2.

x??2x?12

1證明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3

1證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33

1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5

1證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25

(3)分析

|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2

x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2

(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222

1?4x3111?4x3

?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim1?x3

2x3

sinxx???1;2(2)limx???x?0.

證明 (1)分析

|x|?1

1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.

證明 因為?? ?0, ?X?(2)分析

sinxx?0?

12?

, 當(dāng)|x|?X時, 有1x

1?x32x311?x31???, 所以lim?.

x??2x322

1x

??, 即x?

sinxx

|sinx|x

?, 要使

sinx

證明 因為???0, ?X?

?2

, 當(dāng)x?X時, 有

xsinxx

?0??, 只須

?

.

?0??, 所以lim

x???

?0.

3.當(dāng)x?2時,y?x2?4.問?等于多少, 使當(dāng)|x?2|\n

解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設(shè)|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要

|x?2|?

0.001

?0.0002, 取??0.0002, 則當(dāng)0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0.001.5

x2?1x?

34.當(dāng)x??時, y?

x2?1x2?3

?1, 問X等于多少, 使當(dāng)|x|>X時, |y?1|\n

解 要使?1?

4x2?3

?0.01, 只|x|?

?3?397, X?.0.01

5.證明函數(shù)f(x)?|x| 當(dāng)x?0時極限為零.

x|x|

6.求f(x)?, ?(x)?當(dāng)x?0時的左﹑右極限, 并說明它們在x?0時的極限是否存在.

xx

證明 因為

x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??

x?0

x?0

所以極限limf(x)存在.

x?0

因為

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

|x|?x

?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

lim?(x)?lim?(x),??

x?0

x?0

所以極限lim?(x)不存在.

x?0

7.證明: 若x???及x???時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則limf(x)?A.

x??

證明 因為limf(x)?A, limf(x)?A, 所以??>0,

x???

x???

?X1?0, 使當(dāng)x??X1時, 有|f(x)?A|?? ;?X2?0, 使當(dāng)x?X2時, 有|f(x)?A|?? .

取X?max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|?X時, 有|f(x)?A|?? , 即limf(x)?A.

x??

8.根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.

證明 先證明必要性.設(shè)f(x)?A(x?x0), 則??>0, ???0, 使當(dāng)0\n

|f(x)?A|\n

因此當(dāng)x0??\n

|f(x)?A|\n

這說明f(x)當(dāng)x?x0時左右極限都存在并且都等于A .再證明充分性.設(shè)f(x0?0)?f(x0?0)?A, 則??>0,??1>0, 使當(dāng)x0??10, 使當(dāng)x0\n

取??min{?1, ?2}, 則當(dāng)0\n

| f(x)?A|\n

即f(x)?A(x?x0).

9.試給出x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.

解 x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當(dāng)x??時的極限存在? 則存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時? |f(x)|?M?

證明 設(shè)f(x)?A(x??)? 則對于? ?1? ?X?0? 當(dāng)|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?

這就是說存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|?

第四篇：函數(shù)極限

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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第三章 函數(shù)極限

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和

，并能熟練運用；

4.理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會利用它們求某些函數(shù)的極限。 教學(xué)重（難）點：

本章的重點是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計算；難點是海涅定理與柯西準則的應(yīng)用。

教學(xué)時數(shù)：16學(xué)時

§ 1 函數(shù)極限概念 （3學(xué)時）

教學(xué)目的：使學(xué)生建立起函數(shù)極限的準確概念；會用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關(guān)命題。

教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會應(yīng)用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關(guān)命題，并能運用???語言正確表述函數(shù)不以某實數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的概念。

教學(xué)難點：函數(shù)極限的???定義及其應(yīng)用。

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等

二、講授新課：

（一） 時函數(shù)的極限：

- 21 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例4 驗證

例5 驗證

例6 驗證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗證

例8 驗證 ( 類似有

（三）單側(cè)極限:

1．定義：單側(cè)極限的定義及記法. 幾何意義: 介紹半鄰域

- 23 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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我們引進了六種極限: .以下以極限

,

為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.

二、講授新課：

（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.

局部有界性:

3.

局部保號性:

4.

單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ):

Th 4 若使 ，證 設(shè)

和都有 =

( 現(xiàn)證對 都存在, 且存在點

的空心鄰域

,

有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6. 以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.

”, 未必

四則運算性質(zhì): ( 只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個極限：

- 25 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例8

例9

例10 已知

求和

補充題:已知

求和 (

) § 3 函數(shù)極限存在的條件（4學(xué)時）

教學(xué)目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數(shù)極限的存在性。 教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準則，領(lǐng)會其實質(zhì)以及證明的基本思路。 教學(xué)重點：海涅定理及柯西準則。 教學(xué)難點：海涅定理及柯西準則 運用。

教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運用。 本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.

一.

Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：

Th 1 設(shè)函數(shù)在,對任何在點

且

的某空心鄰域

內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.( 證 )

存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具.對單側(cè)極限,還可加強為

單調(diào)趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.

- 27 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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教學(xué)難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說明應(yīng)用，練習(xí)。 一．

（證） （同理有

）

例1

例2 .例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.

證 對

有

例6

特別當(dāng) 等.例7

例8

- 28

29 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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三． 等價無窮小：

Th 2 ( 等價關(guān)系的傳遞性 ). 等價無窮小在極限計算中的應(yīng)用: Th 3 ( 等價無窮小替換法則 )

幾組常用等價無窮小: （見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質(zhì):

性質(zhì)1 同號無窮大的和是無窮大.

性質(zhì)2 無窮大與無窮大的積是無窮大. 性質(zhì)3 與無界量的關(guān)系.

無窮大的階、等價關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無窮小討論, 有平行的結(jié)果.

3.無窮小與無窮大的關(guān)系:

無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大

習(xí) 題 課（2學(xué)時）

一、理論概述：

- 31 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例7 .求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.

例8 求是否存在.

和.并說明極限

解 ;

可見極限 不存在.

- - 32

高數(shù)極限證明

重要極限證明

極限證明（共8篇）

證明函數(shù)fx

凸函數(shù)證明

第五篇：函數(shù)極限證明

函數(shù)極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當(dāng)x>N1,有a/MN2時，0Ni時，0

那么當(dāng)x>N,有

(a/M)^n